Arithmétique élémentaire

Arithmétique élémentaire est le genre le plus fondamental des mathématiques : il concerne les opérations de plus , la soustraction , la multiplication et la division . La plupart des gens apprennent élémentaire arithmétique dans école primaire.

Arithmétique élémentaire commence avec les nombres naturels et les chiffres arabes utilisés pour les représenter. Elle nécessite la mémorisation des tables d'addition et tables de multiplication pour additionner et multiplier paires de chiffres. La connaissance de ces tableaux, une personne peut effectuer certaines procédures bien connues pour l'ajout et la multiplication de nombres naturels. Autres algorithmes sont utilisés pour soustraction et la division arithmétique mentale est l'arithmétique élémentaire effectué dans la tête, par exemple de savoir que 100 -. 37 = 63 sans utiliser de papier. Ce est une compétence tous les jours. Formes prolongées de calcul mental peut consister à calculer un très grand nombre, mais ce est une compétence généralement pas enseigné au niveau primaire.

Arithmétique élémentaire passe ensuite à fractions , décimales et les nombres négatifs , qui peuvent être représentés sur un numéro de ligne.

Aujourd'hui, les gens utilisent couramment électroniques calculatrices , caisses enregistreuses, et des ordinateurs pour effectuer leur arithmétique élémentaire pour eux. Plus tôt les outils inclus calcul règles à calcul (pour la multiplication, la division, les journaux et TRIG), tables de logarithmes , abaques et calculatrices mécaniques.

La question de savoir si ou non calculatrices doit être utilisé, et si les méthodes traditionnelles de calcul de manuels de mathématiques doivent encore être enseignées à l'école primaire a provoqué une vive controverse autant basés sur les standards textes mathématiques omettent délibérément certains ou la plupart des méthodes standard de calcul. Le 1989 Normes NCTM conduit à des programmes qui les méthodes de calcul non standard de-estimé ou omis beaucoup de ce qui a été considéré comme l'arithmétique élémentaire à l'école primaire, et l'a remplacé avec un accent sur des sujets traditionnellement étudiés au collège comme l'algèbre, les statistiques et la résolution de problèmes, et inconnu pour la plupart des adultes.

Dans les temps anciens, le boulier a été utilisé pour effectuer des opérations arithmétiques élémentaires, et est encore dans de nombreuses parties de l'Asie. Un utilisateur expérimenté peut être aussi rapide avec un boulier comme avec une calculatrice, ce qui peut nécessiter des piles.

Au 14ème siècle les chiffres arabes ont été introduits en Europe par Leonardo Pisano. Ces chiffres ont été plus efficace pour effectuer des calculs que les chiffres romains , en raison du système de positionnement.

Les chiffres

0, zéro , représente l'absence d'objets à compter.
1, une . Ce est un bâton: Je
2, deux. Ce est deux bâtons: II
3, trois. Ce est trois bâtons: III
4, quatre. Ce est quatre bâtons: II I I
5, cinq. Ce est cinq bâtons: II I II
6, six. Ce est six bâtons: II I III
7, sept. Ce est sept bâtonnets: II I II I I
8, huit. Ce est huit bâtons: II I II I II
9, neuf. Ce est neuf bâtons: II I II I III
Il ya autant de chiffres que les doigts sur les mains: le mot "chiffres" peut aussi signifier doigt. Mais si le comptage des chiffres sur les deux mains, le premier chiffre serait une et le dernier chiffre ne serait pas compté comme "zéro" mais comme " dix ":.. 10, composé des uns et des zéros Le nombre 10 est le premier numéro à deux chiffres Ce est dix bâtons: II I II I II II

Si un certain nombre a plus d'un chiffre, puis le chiffre le plus à droite, dit être le dernier chiffre, qu'on appelle la «ceux chiffres". Le chiffre immédiatement à sa gauche est le "dizaines chiffres". Le chiffre immédiatement à la gauche de la chiffres des dizaines est le "chiffres des centaines". Le chiffre immédiatement à gauche de l'centaines chiffres est le "milliers chiffres".

Addition

Que signifie pour ajouter deux nombres naturels? Supposons que vous ayez deux sacs, un sac détenant cinq pommes et un deuxième sac contenant trois pommes. Saisissant tiers sac, vide, déplacer toutes les pommes des premier et deuxième sacs dans le troisième sac. Le troisième sac détient maintenant huit pommes. Cela illustre la combinaison de trois pommes et cinq pommes est huit pommes; ou plus généralement: "trois plus cinq est huit" ou "trois plus cinq égalent huit» ou «huit est la somme de trois et cinq". Les chiffres sont abstraite, et l'ajout d'un groupe de trois choses à un groupe de cinq choses donneront un groupe de huit choses. L'addition est un regroupement: deux ensembles d'objets qui ont été comptés séparément sont mis en un seul groupe et comptés ensemble: le compte du nouveau groupe est la "somme" des chefs d'accusation distincts des deux groupes originaux.

Symboliquement, l'addition est représenté par la " signe plus ":. + Donc la déclaration« trois plus cinq égalent huit "peut se écrire symboliquement comme 3 + 5 = 8. L'ordre dans lequel deux numéros sont ajoutés n'a pas d'importance, donc 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Ce est le commutative propriété de plus.

Pour ajouter une paire de chiffres en utilisant la table, trouver l'intersection de la ligne du premier chiffre de la colonne de la deuxième chiffres: la ligne et la colonne se coupent en un carré contenant la somme des deux chiffres. Certaines paires de chiffres se additionnent à deux chiffres, avec le chiffre des dizaines, étant toujours un 1. Dans l'algorithme d'addition de chiffres des dizaines de la somme d'une paire de chiffres qui est appelé la " mener chiffres ".

algorithme d'addition

Pour plus de simplicité, de ne considérer que les numéros à trois chiffres ou moins. Pour ajouter une paire de nombres (écrit en chiffres arabes), écrire le deuxième nombre dans le premier, de sorte que les chiffres se alignent dans les colonnes: la colonne de droite contiendra ceux chiffres du second nombre sous la les chiffres de la premier numéro. Cette colonne de droite est le ceux-colonne. La colonne immédiatement à sa gauche est la colonne des dizaines. Les dizaines colonne aura des dizaines chiffres du deuxième numéro (si elle en a un) dans le cadre du dizaines chiffres du premier numéro (si elle en a un). La colonne située immédiatement à gauche de la colonne sont de dizaines centaines la colonne. Les centaines-colonne aligner le centaines chiffres du deuxième numéro (si il existe) sous le centaines chiffres du premier numéro (si il existe).

Après le deuxième numéro a été écrit dans le cadre du premier de telle sorte que les chiffres se alignent dans leurs colonnes correctes, tirer un trait sur la deuxième (en bas) nombre. Commencez par ceux-colonne: ceux-colonne doit comporter une paire de chiffres: ceux-chiffre du premier nombre et, sous elle, ceux-chiffres du second nombre. Trouver la somme de ces deux chiffres: écrire cette somme sous la ligne et dans le ceux-colonne. Si la somme a deux chiffres, puis notez que ceux-chiffres de la somme. Écrivez le "chiffres porter" au-dessus du chiffre haut de la colonne suivante: dans ce cas, la colonne suivante est la colonne des dizaines, donc écrire un 1 ci-dessus dizaines chiffres du premier numéro.

Si les deux premier et second nombres ont chacun un seul chiffre, puis leur somme est donnée dans le tableau de plus, et l'algorithme d'addition ne est pas nécessaire.

Puis vient la colonne des dizaines. La dizaines colonne peut contenir deux chiffres: le chiffre des dizaines du premier nombre et du dizaines chiffres du deuxième nombre. Si l'un des nombres a une dizaines chiffres manquants puis le chiffre des dizaines pour ce nombre peut être considéré comme un zéro. Ajouter les dizaines chiffres des deux numéros. Ensuite, se il se agit d'un chiffre de retenue, ajouter à cette somme. Si la somme est 18 puis en ajoutant le chiffre de retenue qui lui sera donné 19. Si la somme des dizaines chiffres (plus effectuer chiffres, se il en a un) est inférieur à dix, puis l'écrire dans les dizaines colonne sous la ligne. Si la somme a deux chiffres alors écrire le dernier chiffre dans la colonne des dizaines sous la ligne, et effectuer son premier chiffre (qui devrait être un) sur la colonne suivante: dans ce cas, la colonne des centaines.

Si aucun des deux nombres a une centaines chiffres puis en l'absence de chiffre de retenue alors l'algorithme d'addition est terminé. Se il ya un chiffre de retenue (reporté de l'dizaines colonne) puis l'écrire dans la colonne des centaines sous la ligne, et l'algorithme est terminé. Quand l'algorithme se termine, sous le numéro de la ligne est la somme des deux nombres.

Si au moins l'un des numéros a une centaines chiffres si l'un des numéros a une centaines chiffres manquants puis ensuite écrire un chiffre zéro à sa place. Ajouter les deux-chiffres des centaines, et à leur somme ajouter le chiffre de retenue se il ya une. Puis écrire la somme de la colonne des centaines sous la ligne, également dans la colonne des centaines. Si la somme a deux chiffres puis notez le dernier chiffre de la somme dans la colonne des centaines et écrire le chiffre de retenue à sa gauche: des milliers sur la colonne.

Exemple

Dites on veut trouver la somme des numéros 653 et 274. Ecrire le deuxième nombre dans la première, avec des chiffres alignés en colonnes, comme ceci:

Puis tirer un trait sur le second numéro et commencer par ceux-colonne. Le celles chiffres du premier numéro est 3 et du second nombre est 4. La somme des trois et quatre est de sept, donc écrire un sept dans le ceux-colonne sous la ligne:

Ensuite, la colonne des dizaines. Les chiffres des dizaines du premier nombre est cinq, et le chiffre des dizaines du second nombre est de 7, et cinq plus sept à douze: 12, qui a deux chiffres, alors écrire son dernier chiffre, 2, dans la colonne de dizaines sous la ligne, et d'écrire le chiffre de retenue sur la colonne au-dessus des centaines-le premier numéro:

Ensuite, la colonne des centaines. Les centaines chiffres du premier nombre est six, tandis que le centaines chiffres du second nombre est 2. La somme de six et deux est de huit, mais il ya un chiffre de retenue, ce qui a ajouté à huit est égal à neuf. Ecrire neuf sous la ligne dans la colonne des centaines:

Pas de chiffres (et pas de colonnes) ont été laissés unadded, alors l'algorithme se termine, et

653 + 274 = 927.

La succession et la taille

Le résultat de l'addition d'une d'un certain nombre est le successeur de ce nombre. Exemples:
le successeur de zéro est une,
le successeur de l'un est deux,
le successeur de deux est de trois,
le successeur de dix est onze.
Chaque nombre naturel a un successeur.

Le prédécesseur du successeur d'un nombre est le nombre lui-même. Par exemple, cinq est le successeur de quatre sont donc quatre est le prédécesseur de cinq ans. Chaque nombre naturel sauf zéro a un prédécesseur.

Si un nombre est le successeur d'un autre numéro, puis le premier numéro est dit être plus grand que l'autre numéro. Si un nombre est supérieur à un autre nombre, et si l'autre nombre est supérieur à un troisième nombre, le premier nombre est plus grand que le troisième nombre. Exemple: cinq est plus grand que quatre et quatre est plus grand que trois, donc cinq est supérieur à trois. Mais six est supérieur à cinq, donc six est également plus grand que trois. Mais sept est supérieure à six, donc sept est également plus grand que trois ... donc huit est plus grand que trois ... donc neuf est supérieure à trois, etc.

Si deux nombres entiers naturels non nuls sont ajoutés ensemble, puis leur somme est plus grande que l'un d'eux. Exemple: trois plus cinq égalent huit, donc huit est supérieure à trois (8> 3) et huit est plus grand que cinq (8> 5). Le symbole de "plus grand que" est>.

Si un nombre est plus grand que l'autre, alors que l'autre est plus petite que la première. Exemples: trois est inférieure à huit (3 <8) et cinq est inférieure à huit (5 <8). Le symbole est plus petit que <. Un certain nombre ne peut pas être à la fois plus grande et plus petite que l'autre nombre. Ni peut-être un certain nombre dans le même temps plus grand que et égal à un autre numéro. Étant donné une paire de nombres naturels, un et un seul des cas suivants doivent être remplies:

• le premier nombre est plus grand que la seconde,
• le premier nombre est égal à la seconde,
• le premier nombre est plus petit que le second.

Compte

Pour compter un groupe d'objets signifie attribuer un nombre naturel à chacun des objets, comme si ce était une étiquette pour cet objet, de telle sorte qu'un nombre naturel ne est jamais attribué à un objet à moins que son prédécesseur a été déjà attribué à un autre objet, à l'exception que le zéro ne est pas attribué à un objet: le plus petit nombre naturel d'être affecté est une, et le plus grand nombre naturel attribué dépend de la taille du groupe. Il se agit du comptage et il est égal au nombre d'objets de ce groupe.

Le processus de le comptage d'un groupe est la suivante:
Étape 1: Soit "le nombre" soit égal à zéro. "Le comte" est une quantité variable, qui commence bien avec une valeur de zéro, va bientôt avoir sa valeur a changé plusieurs fois.
Étape 2: Trouver au moins un objet dans le groupe qui n'a pas été marqué par un nombre naturel. Si un tel objet peut être trouvé (se ils ont tous été marqués), le comptage est terminé. Sinon choisir un des objets non marqués.
Étape 3: Augmenter le nombre par un. Ce est, à remplacer la valeur du comptage par son successeur.
Étape 4: Affecter la nouvelle valeur du compte, comme une étiquette, à l'objet sans étiquette choisie à l'étape 2.
Étape 5: Retour à l'étape 2.

Lorsque le comptage est terminé, la dernière valeur du compte sera le comptage final. Ce nombre est égal au nombre d'objets du groupe.

Souvent, lorsque le comptage d'objets, on ne garde pas trace de ce que l'étiquette numérique correspond à quel objet: on garde seule piste du sous-groupe d'objets qui ont déjà été marqués, de façon à être en mesure d'identifier les objets non marqués nécessaire pour l'étape 2. Toutefois , si l'on se comptent personnes, alors on peut demander aux personnes qui sont comptés à chaque garder une trace du nombre qui soi de la personne a été attribué. Après le dépouillement est terminé, il est possible de demander au groupe de personnes à déposer dans une ligne, par ordre croissant de l'étiquette numérique. Que les personnes feraient au cours du processus de la queue serait quelque chose comme ceci: chaque paire de personnes qui ne sont pas sûrs de leurs positions dans la ligne poser mutuellement quels sont leurs numéros sont: la personne dont le nombre est inférieur devrait se tenir sur le côté gauche et celui avec le plus grand nombre sur le côté droit de l'autre personne. Ainsi, des paires de personnes comparent leurs numéros et leurs positions, et commuer leurs positions si nécessaire, et par la répétition de ces commutations conditionnelles ils deviennent commandés.

Algorithmes pour soustraction

Il existe plusieurs méthodes pour accomplir soustraction. Mathématiques traditionnelles enseigné aux enfants de l'école élémentaire de soustraire en utilisant des méthodes appropriées pour le calcul de la main. Le procédé particulier utilisé varie d'un pays d'un pays, et dans un pays, différentes méthodes sont à la mode à des moments différents. Mathématiques basées sur les normes se distinguent généralement par l'absence de préférence pour aucune méthode standard, remplacé en guidant les enfants de 2e catégorie à inventer leurs propres méthodes de calcul, comme l'utilisation de propriétés des nombres négatifs dans le cas de TERC.

Écoles américaines enseignent actuellement une méthode de soustraction à l'aide d'emprunt et un système de marquage appelé béquilles. Même si une méthode d'emprunt avait été connu et publié dans les manuels avant, apparemment, les béquilles sont l'invention de William A. Browell qui les utilise dans une étude en Novembre 1937 . Ce système pris sur rapidement, déplaçant les autres méthodes de soustraction en usage en Amérique à cette époque.

Enfants européens sont enseignées, et certains Américains âgés emploient, une méthode de soustraction appelé la méthode autrichienne, aussi connu comme la méthode des ajouts. Il n'y a pas emprunt dans ce procédé. Il ya aussi des béquilles (marques pour aider la mémoire) qui [probablement] varient selon les pays.

Dans la méthode de l'emprunt, une soustraction tels que 86-39 accomplira le seul endroit de la soustraction de 9 de 6 à 10 en empruntant de 80 et l'ajouter à l'6. Le problème est ainsi transformé en (70 + 16) -39, efficacement. Ceci est indiqué, par la suppression par le 8, écrivant un petit 7 ci-dessus, et écrit un petit 1 au-dessus du 6. Ces marques sont appelés béquilles. Le 9 est ensuite soustrait de 16, laissant 7 et le 30 du 70, laissant 40 ou 47 comme résultat.

Dans la méthode des ajouts, à 10 est empruntée pour rendre le 6 en 16, en préparation de la soustraction de neuf, tout comme dans le mode d'emprunt. Cependant, le 10 ne est pas pris en réduisant diminuende plutôt une augmente la soustraction. En effet, le problème se transforme en (80 + 16) - (39 + 10). Typiquement une béquille d'un petit-ci est marqué juste au-dessous du chiffre de diminuteur comme un rappel. Ensuite, les opérations se déroulent: 9 de 16 est 7; et 40 (ce est-à-30 + 10) 80 est de 40, ou 47 à la suite.

La méthode des ajouts semble être enseignée dans les deux variantes, qui ne diffèrent que par la psychologie. En reprenant l'exemple de 86 à 39, la première variation tente de soustraire 9 à partir de 6, 9 et ensuite à partir de 16, en empruntant un 10 marquage par le chiffre proche de la soustraction dans la colonne suivante. La seconde variante se efforce de trouver un chiffre qui, lorsqu'il est ajouté à 9 donne 6, et en reconnaissant que ne est pas possible, donne 16, 10 et portant la du 16 marquage comme une près le même chiffre que dans le premier procédé. Les marques sont les mêmes, ce est juste une question de préférence quant à la façon dont on explique son apparence.

Comme un avertissement final, le mode d'emprunt devient un peu compliqué dans les cas tels que 100 à 87, où un emprunt ne peut être faite immédiatement, et doit être obtenu en atteignant pour plusieurs colonnes. Dans ce cas, le diminuende est effectivement réécrit 90 + 10, en prenant un cent parmi les centaines, faisant dix des dizaines d'elle, et immédiatement emprunter que jusqu'à neuf des dizaines dans la colonne des dizaines et enfin placer une dizaine dans la colonne de l'une .

Il existe plusieurs autres méthodes, dont certaines sont particulièrement avantageux de calcul de la machine. Par exemple, les ordinateurs numériques utilisent la méthode du complément à deux. D'une grande importance est la méthode de comptage par lequel le changement est effectué. Supposons un montant P est donnée de payer le montant requis Q, avec P supérieur Q. Plutôt que d'effectuer le PQ de soustraction et de compter sur ce montant dans le changement, l'argent est compté à partir de Q et continue jusqu'à atteindre P. Curieusement, bien que la montant compté doit être égal au résultat du PQ de soustraction, la soustraction n'a jamais vraiment été fait et la valeur du PQ pourrait encore être inconnu du changement-maker.

Une soustraction aux États-Unis: une perspective Historial, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, Les mathématiques éducateur, Vol. 8, n o 1.

Browell, WA (1939). Apprendre que la réorganisation: Une étude expérimentale en arithmétique troisième année, Duke University Press.

Voir aussi:

• Méthode de compléments
• Soustraction sans emprunter

Multiplication

Lorsque deux nombres sont multipliés ensemble, le résultat est appelé un produit. Les deux numéros étant multipliés ensemble sont appelés facteurs.

Que signifie pour multiplier deux nombres naturels? Supposons qu'il ya cinq sacs rouges, chacun contenant trois pommes. Maintenant saisissant un sac vert vide, déplacer toutes les pommes de tous les cinq sacs rouges dans le sac vert. Maintenant, le sac vert aura quinze pommes. Ainsi, le produit de cinq ans et de trois à quinze. Cela peut aussi être déclaré comme "cinq fois trois est de quinze" ou "cinq fois trois égalent quinze" ou "quinze est le produit de cinq et trois". Multiplication peut être considérée comme une forme de répétition de l'addition: le premier facteur indique combien de fois le second facteur devrait être ajouté sur lui-même; la somme finale étant le produit.

Symboliquement, la multiplication est représenté par le signe de multiplication: . Donc la déclaration "cinq fois trois égale quinze" peut se écrire symboliquement

Dans certains pays, et dans plus arithmétique avancée, d'autres signes de multiplication sont utilisés, par exemple, . Dans certaines situations, en particulier dans l'algèbre , où les chiffres peuvent être symbolisées par des lettres, le symbole de multiplication peut être omise; par exemple moyens . L'ordre dans lequel deux nombres sont multipliés n'a pas d'importance, de sorte que, par exemple, trois fois équivaut à quatre quatre fois trois. Ce est la propriété commutative de la multiplication.

Pour multiplier une paire de chiffres en utilisant la table, trouver l'intersection de la ligne du premier chiffre de la colonne de la deuxième chiffres: la ligne et la colonne se croisent à un carré contenant le produit des deux chiffres. La plupart des paires de chiffres produisent nombres à deux chiffres. Dans l'algorithme de multiplication chiffres des dizaines du produit d'une paire de chiffres est appelé le " mener chiffres ".

algorithme de multiplication d'un facteur à un chiffre

Considérons une multiplication où l'un des facteurs a un seul chiffre, tandis que l'autre élément comporte une quantité arbitraire de chiffres. Notez le facteur à plusieurs chiffres, puis écrire le facteur chiffres sous le dernier chiffre du facteur à plusieurs chiffres. Tracez une ligne horizontale sous le seul facteur chiffres. Désormais, le seul facteur chiffres sera appelé le «multiplicateur» et le facteur multi-chiffres sera appelé le "multiplicande".

Supposons pour simplifier que le multiplicande a trois chiffres. Le premier chiffre est le centaines chiffres, le chiffre du milieu est dizaines chiffres, et le dernier, le plus à droite, est le chiffres les chiffres. Le multiplicateur n'a qu'une ceux chiffres. Ceux-chiffres du multiplicande et le multiplicateur forment une colonne: ceux-colonne.

Commencez par ceux-colonne: ceux-colonne doit comporter une paire de chiffres: ceux chiffres du multiplicande et, sous elle, ceux-chiffres du multiplicateur. Trouver le produit de ces deux chiffres: écrire ce produit sous la ligne et dans le ceux-colonne. Si le produit a deux chiffres, puis notez que ceux-chiffres du produit. Écrivez le "chiffres effectuer" en exposant du chiffre encore-non écrite dans la colonne suivante et sous la ligne: dans ce cas, la colonne suivante est le dizaines colonne, donc écrire le chiffre de retenue que l'exposant des dizaines encore-non écrites à chiffres du produit (sous la ligne).

Si les deux premier et second nombres ont chacun un seul chiffre alors leur produit est donnée dans la table de multiplication, et l'algorithme de multiplication ne est pas nécessaire.

Puis vient la colonne des dizaines. La colonne contient des dizaines jusqu'à présent un seul chiffre: les dizaines chiffres du multiplicande (si elle peut contenir un chiffre de retenue, sous la ligne). Trouvez le produit du multiplicateur et les dizaines chiffres du multiplicande. Ensuite, se il est un chiffre de retenue (en exposant, dans la ligne et dans la colonne des dizaines), ajouter à ce produit. Si la somme résultante est inférieur à dix, puis l'écrire dans le dizaines colonne sous la ligne. Si la somme a deux chiffres alors écrire le dernier chiffre dans la colonne des dizaines sous la ligne, et effectuer son premier chiffre sur la colonne suivante: dans ce cas, la colonne des centaines.

Si le multiplicande ne est pas une centaines chiffres puis en l'absence de chiffre de retenue alors l'algorithme de multiplication soit terminée. Se il ya un chiffre de retenue (reporté de l'dizaines colonne) puis l'écrire dans la colonne des centaines sous la ligne, et l'algorithme est terminé. Quand l'algorithme se termine, sous le numéro de la ligne est le produit des deux nombres.

Si le multiplicande a une centaines chiffres ... trouver le produit du multiplicateur et des centaines chiffres du multiplicande, et à ce produit ajouter le chiffre de retenue se il ya une. Puis écrire la somme résultant de la colonne des centaines sous la ligne, également dans la colonne des centaines. Si la somme a deux chiffres puis notez le dernier chiffre de la somme dans la colonne des centaines et écrire le chiffre de retenue à sa gauche: des milliers sur la colonne.

Exemple

Dites on veut trouver le produit des numéros 3 et 729. Ecrire le multiplicateur à un chiffre dans le multiplicande à plusieurs chiffres, avec le multiplicateur sous le les chiffres du multiplicande, comme ceci:

Puis tirer un trait sur le multiplicateur et de commencer avec ceux-colonne. Le celles chiffres du multiplicande est neuf et le multiplicateur est de 3. Le produit de trois et neuf est de 27, alors écrire un sept dans le ceux-colonne sous la ligne, et écrire le report chiffres 2 en exposant de l'encore -unwritten dizaines chiffres du produit dans la ligne:

Ensuite, la colonne des dizaines. Les chiffres des dizaines du multiplicande est 2, le multiplicateur est égal à 3, et trois fois deux est de six. Ajouter le report chiffres, 2, au produit 6 pour obtenir 8. Huit a un seul chiffre: pas de report chiffres, donc écrire dans le dizaines colonne sous la ligne:

Ensuite, la colonne des centaines. La centaines chiffres du multiplicande est de 7, alors que le multiplicateur est égal à 3. Le produit de trois et sept est de 21, et il n'y a pas de report chiffre précédent (reporté de la colonne dizaines). Le produit 21 a deux chiffres: écrire son dernier chiffre dans la colonne sous-centaines la ligne, puis effectuer son premier chiffre sur la colonne des milliers. Depuis le multiplicande n'a pas des milliers chiffres, puis écrire ce report chiffres dans la colonne des milliers sous la ligne (non exposant):

Pas de chiffres du multiplicande ont été laissés non multipliée, donc l'algorithme se termine, et

     . 

algorithme de multiplication des facteurs à plusieurs chiffres

Étant donné une paire de facteurs, chacun ayant deux ou plusieurs chiffres, écrire deux facteurs bas, l'un sous l'autre, de sorte que de chiffres alignés en colonnes.

Pour plus de simplicité envisager une paire de nombres à trois chiffres. Ecrire le dernier chiffre de la deuxième numéro sous le dernier chiffre du premier nombre, ceux formant la colonne. Immédiatement à la gauche de la colonne celles-dizaines sera la colonne: la partie supérieure de cette colonne ont le deuxième chiffre du premier nombre, et en dessous, il sera le second chiffre du second nombre. Immédiatement à la gauche de la colonne de dizaines centaines sera la colonne: la tête de cette colonne aura le premier chiffre du premier nombre et au-dessous, il sera le premier chiffre du second nombre. Après avoir écrit les deux facteurs, tirer un trait sur le deuxième facteur.

La multiplication se composera de deux parties. La première partie sera composée de plusieurs multiplications impliquant multiplicateurs à un chiffre. Le fonctionnement de chacun de ces multiplications a déjà été décrit dans l'algorithme de multiplication précédente, alors cet algorithme ne sera pas décrire chacun individuellement, mais ne décrire comment les plusieurs multiplications avec des multiplicateurs à un chiffre doit être coordonné. La deuxième partie va ajouter toutes les sous-produits de la première partie, et la somme résultante sera le produit.

Première partie. Laissez le premier facteur est appelé le multiplicande. Que chaque chiffre du deuxième facteur être appelé un multiplicateur. Que ceux chiffres du deuxième facteur est appelé "ceux-multiplicateur». Laissez les dizaines chiffres du deuxième facteur est appelé "des dizaines multiplicateur". Laissez le centaines chiffres du deuxième facteur est appelé "des centaines multiplicateur".

Commencez avec ceux-colonne. Trouver le produit de ceux-multiplicateur et le multiplicande et de l'écrire dans une rangée sous la ligne, en alignant les chiffres du produit dans les colonnes précédemment définis. Si le produit présente quatre chiffres, le premier chiffre sera le début de la colonne des milliers. Laissez ce produit sera appelé "ceux-ligne".

Puis la colonne de dizaines. Trouvez le produit des dizaines multiplicateur et le multiplicande et de l'écrire dans une rangée - appeler le "dizaines ligne" - sous la ceux rangée, mais décalé d'une colonne vers la gauche. Ce est, ceux-chiffres des dizaines rangée sera dans le dizaines colonne de la ceux-rangée; les dizaines chiffres des dizaines rangée sera sous le centaines chiffres ceux de la rangée; l'centaines chiffres des dizaines rangée sera sous la milliers chiffres ceux de la rangée. Si les dizaines rangée a quatre chiffres, le premier chiffre sera le début de la dix-milliers-colonne.

Ensuite, la colonne des centaines. Trouver le produit de la centaines multiplicateur et le multiplicande et de l'écrire dans une rangée - appeler le "centaines rangée" - sous la rangée des dizaines, mais décalé d'une colonne de plus vers la gauche. Ce est, ceux-chiffres de la rangée des centaines sera dans la colonne des centaines; les dizaines chiffres de la rangée des centaines sera dans la colonne des milliers; l'centaines chiffres de la rangée des centaines sera dans le dix-milliers-colonne. Si le centaines rangée a quatre chiffres, le premier chiffre sera le début de la cent-milliers-colonne.

Après avoir ceux en bas de la rangée, des dizaines rangée, et des centaines rangée, tracez une ligne horizontale sous le centaines rangée. Les multiplications sont plus.

Deuxième partie. Maintenant la multiplication a une paire de lignes. La première sous la paire de facteurs, et le second sous les trois rangées de sous-produits. En vertu de la deuxième ligne, il y aura six colonnes, de droite à gauche sont les suivantes: celles-colonnes, des dizaines colonnes, des centaines colonnes, des milliers colonnes, dix-milliers-colonne, et cent-milliers-colonne.

Entre les première et deuxième lignes, celles-colonne contient un seul chiffre, situé dans le ceux rangée: ce sont ceux-chiffres ceux de la rangée. Copiez ce chiffre en le réécrivant dans le ceux-colonne de la deuxième ligne.

Entre les première et deuxième lignes, des dizaines colonne contiendra une paire de chiffres qui se trouvent dans la ligne et ceux-dizaines rangée: des dizaines chiffres ceux de la rangée et celles chiffres des dizaines rangée. Ajouter ces chiffres et si la somme a juste un chiffre, puis écrire ce chiffre dans la colonne sous dizaines la deuxième ligne. Si la somme a deux chiffres, puis le premier chiffre est un report chiffres: écrire le dernier chiffre dans la colonne sous dizaines la deuxième ligne et effectuer le premier chiffre sur la colonne des centaines, écrit comme un exposant à l'instant -unwritten centaines chiffres sous la deuxième ligne.

Entre les première et deuxième lignes, la colonne des centaines contiendra trois chiffres: le centaines chiffres ceux de la rangée, les dizaines chiffres des dizaines rangée, et celles chiffres de la rangée des centaines. Trouver la somme de ces trois chiffres, puis se il ya un report chiffres de la colonne des dizaines (écrit en exposant sous la deuxième ligne dans la colonne des centaines) puis ajouter ainsi ce report chiffres. Si la somme résultante a un chiffre puis notez-le dans la deuxième ligne dans la colonne des centaines; si elle a deux chiffres alors écrire le dernier chiffre vers le bas sous la ligne dans la colonne des centaines, et reporter le premier chiffre à des milliers colonne, écrit comme un exposant à l'milliers chiffres encore-non écrite sous le seuil.

Entre les première et deuxième lignes, la colonne des milliers contiendra deux ou trois chiffres: le centaines chiffres de la rangée des dizaines, des dizaines chiffres de la rangée des centaines, et (éventuellement) la milliers chiffres de ceux -row. Trouver la somme de ces chiffres, alors se il ya un report chiffres de la colonne des centaines (écrit en exposant sous la deuxième ligne dans la colonne des milliers) puis ajouter ainsi ce report chiffres. Si la somme résultante a un chiffre puis notez-le dans la deuxième ligne dans la colonne des milliers; si elle a deux chiffres alors écrire le dernier chiffre vers le bas sous la ligne dans la colonne des milliers, et porter le premier chiffre sur la dix-milliers-colonne, écrit comme un exposant à la dix-milliers chiffres encore non écrite sous- la ligne.

Entre les première et deuxième lignes, le dix-milliers-colonne contient un ou deux chiffres: l'centaines chiffres de la colonne des centaines et (éventuellement) la milliers chiffres des dizaines colonne. Trouver la somme de ces chiffres (si l'une dans la rangée des dizaines manque penser que ce est un zéro), et se il ya un report chiffres de la colonne des milliers (écrit en exposant sous la deuxième ligne dans le dix milliers colonnes) puis ajouter ainsi ce report chiffres. Si la somme résultante a un chiffre puis notez-le dans la deuxième ligne dans le dix-milliers-colonne; si elle a deux chiffres alors écrire le dernier chiffre vers le bas sous la ligne dans le dix-milliers-colonne, et porter le premier chiffre sur la centaine de milliers-colonne, écrit comme un exposant à l'encore-non écrite dix-milliers chiffres sous la ligne. Toutefois, si le centaines rangée n'a pas de milliers chiffres alors ne pas écrire ce report chiffres en exposant, mais de taille normale, dans la position de la cent-milliers-chiffres dans la deuxième ligne, et l'algorithme de multiplication est plus .

Si le centaines rangée a un milliers chiffres, puis ajouter le report chiffres de la rangée précédente (se il ya pas de report chiffres alors penser que ce est un zéro) et écrire la somme à un chiffre dans la centaine -Des milliers-colonne sous la deuxième ligne.

Le nombre sous la deuxième ligne est le produit recherché de la paire de facteurs ci-dessus la première ligne.

Exemple

Que notre objectif soit de trouver le produit de 789 et 345. Écrivez le 345 dans les colonnes 789 à trois, et tracez une ligne horizontale sous eux:

Première partie. Commencez avec ceux-colonne. Le multiplicande est 789 et ceux-multiplicateur est 5. Effectuer la multiplication dans une rangée sous la ligne:

Puis la colonne de dizaines.Le multiplicande est 789 et le chiffre des dizaines multiplicateur est 4. Effectuez la multiplication dans les dizaines rangée, sous le sous-produit dans la précédente les rangs, mais décalé d'une colonne vers la gauche:

Ensuite, la colonne des centaines. Le multiplicande est une fois de plus 789, et des centaines multiplicateur est 3. Effectuer la multiplication dans le centaines rangée, sous le sous-produit précédent dans la rangée des dizaines, mais décalé d'une colonne (plus) à gauche. Puis tracez une ligne horizontale sous le centaines rangée:

Deuxième partie.Maintenant, ajoutez les sous-produits entre les première et deuxième lignes, mais sans tenir compte des reports de chiffres en exposant situées entre les première et deuxième lignes.

La réponse est