Ellipse

Renseignements généraux

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L'ellipse et certaines de ses propriétés mathématiques.

Une ellipse obtenue par l'intersection d'une cône avec un plan .

En mathématiques , une ellipse (du grec ἔλλειψις, littéralement absence) est un lieu des points dans un plan de telle sorte que la somme des distances à deux points fixes est une constante. Les deux points fixes sont appelés foyers (pluriel de concentrer). Une autre définition serait une ellipse qui est le chemin tracé par un point dont la distance d'un point fixe, appelée la mise au point, maintient un rapport constant avec moins d'un son à distance à partir d'une ligne droite ne passant pas par le foyer, appelé le directrice.

Vue d'ensemble

Une ellipse est un type de section conique : si un surface conique est coupé avec un plan qui ne coupe pas la base du cône, l'intersection du cône et plan est une ellipse. Pour une preuve élémentaire à court de cela, voir Théorème de Dandelin.

Algébriquement , une ellipse est une courbe dans le plan cartésien défini par une équation de la forme

$A x ^ 2 + B + C xy y ^ 2 + D + E x y + F = 0 \,$

tel que $B ^ 2 <4 AC$ , Où tous les coefficients sont réels, et lorsque plus d'une solution, définissant une paire de points (x, y) sur l'ellipse, existe.

Une ellipse peut être établi avec deux broches, une boucle de ficelle, et un crayon. Les broches sont placées aux foyers et les broches et un crayon sont enfermés à l'intérieur de la chaîne. Le crayon est placé sur le papier à l'intérieur de la chaîne, de sorte que la chaîne est tendue. La chaîne va former un triangle . Si le crayon est déplacé de sorte que la chaîne reste tendue, la somme des distances du crayon pour les broches restera constante, répondant à la définition d'une ellipse.

Le segment de droite AB, qui passe par les foyers et se termine sur l'ellipse, est appelé l'axe principal. Le grand axe est le plus long segment qui peut être obtenu en joignant deux points de l'ellipse. Le CD du segment de ligne, qui passe par le centre (à mi-chemin entre les foyers), perpendiculaire à l'axe principal, et se termine sur l'ellipse, est appelé l'axe secondaire. Le demi-grand axe (désigné par A dans la figure) est une moitié de l'axe majeur: le segment de ligne du centre, à travers une mise au point, et sur le bord de l'ellipse. De même, la demi-petit axe (désigné par b sur la figure) est une moitié de l'axe mineur.

Si les deux foyers coïncident, alors l'ellipse est un cercle ; en d'autres termes, un cercle est un cas particulier d'une ellipse, une où le excentricité est nulle.

Une ellipse centrée à la origine peut être considérée comme l'image du cercle unité dans une application linéaire associée à une matrice symétrique $A = PDP ^ T$ , $Ré$ être un matrice diagonale avec les valeurs propres de $Un$ , Qui sont tous deux réel positif, le long de la diagonale principale, et $P$ être un vrai matrice unitaire comportant les colonnes comme vecteurs propres de $Un$ . Ensuite, les axes de l'ellipse se trouveront le long des vecteurs propres de $Un$ Et le (racine carrée des valeurs propres) sont les longueurs des demi-grands axes et demi-petit.

Une ellipse peut être produit en multipliant les coordonnées x de tous les points sur un cercle par une constante, sans modifier les coordonnées y. Ceci est équivalent à l'étirage du cercle dans la direction x.

Excentricité

La forme d'une ellipse peut être exprimée par un nombre appelé la l'excentricité de l'ellipse, classiquement désigné $\, \ Varepsilon$ . L'excentricité est un nombre non négatif inférieur à 1 et supérieur ou égal à 0. Ce est la valeur constante du rapport de la distance d'un point sur l'ellipse à partir d'une mise au point pour que de la directrice correspondante. Une excentricité de 0 implique que les deux foyers occupent le même point et que l'ellipse est un cercle .

Pour une ellipse dont le demi-grand axe a et demi-petit axe b, l'excentricité est

$\ Varepsilon = \ sqrt {1 - \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} = \ cos \ left (\ arcsin \ gauche (\ frac {b} {a} \ right) \ right)$

Plus l'excentricité est importante, plus le rapport de a à b, et donc plus l'ellipse allongée.

Si c est égal à la distance entre le centre de chaque point, puis

$\ Varepsilon = \ frac {c} {a}$ .

La distance c est connue comme l'excentricité de l'ellipse linéaire. La distance entre les foyers est 2 c ou 2 aε.

Aussi,

$\ Varepsilon = \ sin \ gauche (o \! \ Varepsilon \, \! \ Right)$

où $o \! \ varepsilon \, \!$ est le excentricité angulaire.

Équations

Une ellipse avec une demi-grand axe a et demi-petit axe b, centrée au point $(H, k)$ et ayant son axe principal parallèle à l'axe des x peut être spécifié par l'équation

$\ Frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1$ .

Cette ellipse peut être exprimée paramétrique que

$x = h + a \, \ cos t, \, \!$

$y = k + b \, \ sin t \, \!$

où $t$ peut être limité à l'intervalle $- \ Pi \ leq t \ leq \ pi \, \!$ .

Forme paramétrique d'une ellipse en rotation par un angle $\, \ Phi$ :

$x = h + a \, \ cos t \, \ cos \ phi - b \, \ sin t \, \ sin \ phi, \!$

$y = k + b \, \ sin t \, \ cos \ phi + a \, \ cos t \, \ sin \ phi, \!$

La formule pour les directrixes est

$x = h \ h \ frac {a ^ 2} {c} = h \ h une \; \ S \ gauche (\ arcsin \ gauche (\ frac {b} {a} \ right) \ right) = h \ h une \; \ S \ left (\ arccos \ left (\ varepsilon \ right) \ right)$ .

Si $h$ = 0 et $k$ = 0 (ce est à dire, si le centre est à l'origine (0,0)), alors nous pouvons exprimer cette ellipse en coordonnées polaires par l'équation

$r = \ frac {ab} {\ sqrt {a ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta + b ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta}} = \ frac {b} {\ sqrt {\ varepsilon 1- ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta}}$

où $\ Varepsilon$ est l'excentricité de l'ellipse.

Avec une mise au point à l'origine, équation polaire de l'ellipse est

$r = \ frac {a \ cdot (1- \ varepsilon ^ {2})} {1 + \ varepsilon \ cdot \ cos \ theta}$ .

Un Forme de Gauss-mappé:

$\left(\frac{a\cos\beta}{\sqrt{a^2\cos^2\beta+b^2\sin^2\beta}},\frac{b\sin\beta}{\sqrt{a^2\cos^2\beta+b^2\sin^2\beta}}\right)$

a la normale $(\ Cos \ beta, \ sin \ beta)$ .

Rectum semi-latus et coordonnées polaires

Le rectum de semi-latus d'une ellipse, généralement désigné $l \, \!$ ( L minuscule), est la distance entre un foyer de l'ellipse de l'ellipse elle-même, mesurée le long d'une ligne perpendiculaire à l'axe principal. Elle est liée à $A \, \!$ et $b \, \!$ (Demi-axes de l'ellipse) par la formule $al = b ^ 2 \, \!$ ou, si vous utilisez l'excentricité, $L = A \ cdot (1- \ varepsilon ^ 2) \, \!$ .

En coordonnées polaires , une ellipse avec une mise au point à l'origine et l'autre sur l'axe des x négatif est donnée par l'équation

$r \ cdot (1 + \ varepsilon \ cdot \ cos \ theta) = L \, \!$

Une ellipse peut également être considéré comme une projection d'un cercle: un cercle sur un plan à l'angle φ à l'horizontale de la projection verticale sur un plan horizontal donne une ellipse d'excentricité péché φ, à condition φ ne est pas 90 °.

Espace et la circonférence

Le zone délimitée par une ellipse est πab, où (comme avant) a et b sont demi-grands axes et demi-petit de l'ellipse.

Le circonférence $C$ d'une ellipse est $4 un E (\ varepsilon)$ Où la fonction $E$ est la complète de l'intégrale elliptique deuxième type.

L'exact série infinie est:

$C = 2 \ pi un \ left [{1 - \ gauche ({1 \ over 2} \ right) ^ 2 \ varepsilon ^ 2 - \ gauche ({1 \ cdot 3 \ plus de 2 \ cdot 4} \ right) ^ 2 {\ varepsilon ^ 4 \ plus de 3} - \ gauche ({1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ plus de 2 \ cdot 4 \ cdot 6} \ right) ^ 2 {\ varepsilon ^ 6 \ over5} - \ dots} \ right] \! \,$

Ou:

$C = 2 \ pi un \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {\ left \ lbrace - \ left [\ prod_ {m = 1} ^ n \ gauche ({2m-1 \ 2m} \ right) \ right ] ^ 2 {\ varepsilon ^ {2n} \ over 2n - 1} \ right \} rbrace$

Un bien approximation est Ramanujan:

$C \ approx \ pi \ left [3 (a + b) - \ sqrt {(3a + b) (a + 3b)} \ right]! \ \,$

qui peut aussi se écrire:

$C \ approx \ pi un \ left [3 (1+ \ sqrt {1- \ varepsilon ^ 2}) - \ sqrt {(3+ \ sqrt {1- \ varepsilon ^ 2}) (1 + 3 \ sqrt {1 -! \ varepsilon ^ 2})} \ right] \ \,$

Pour le cas particulier où le petit axe est la moitié du grand axe, on obtient:

$C \ approx \ pi un! (9 - \ sqrt {35}) / 2 \ \,$

ou $C \ approx \ frac {a} {2} \ sqrt {93 + \ frac {1} {2} \ sqrt {3}} \! \,$ (Meilleure approximation).

Plus généralement, le longueur de l'arc d'une partie de la circonférence, en fonction de l'angle sous-tendu, est donnée par une incomplet intégrale elliptique. La fonction inverse , l'angle sous-tendu en fonction de la longueur d'arc, est donnée par la fonctions elliptiques.

Stretching et projection

Une ellipse peut être uniformément étiré le long d'un axe quelconque, dans ou en dehors du plan de l'ellipse, et il sera toujours une ellipse. L'ellipse étirée aura des propriétés différentes (peut-être changé excentricité et semi-longueur d'axe principal, par exemple), mais il sera toujours une ellipse (ou une ellipse dégénéré: un cercle ou une ligne). De même, toute projection oblique sur un résultat d'avion dans une section conique. Si la projection est une courbe fermée dans le plan, la courbe est une ellipse ou une ellipse dégénérée.

propriété de réflexion

Supposons un elliptique miroir avec une source de lumière à l'un des foyers. Puis tous les rayons sont réfléchi à un seul point - le second foyer. Comme aucun autre courbe a une telle propriété, il peut être utilisé comme une autre définition d'une ellipse. Dans un cercle, toute la lumière serait réfléchie vers le centre depuis toutes les tangentes sont orthogonal au rayon.

Les ondes sonores sont reflétées d'une manière similaire, donc dans une grande salle elliptique une personne debout à un foyer peut entendre une personne debout à un autre accent remarquablement bien. Une telle pièce est appelée une chambre de murmure. Des exemples sont le Collection nationale de Hall Statuaire au US Capitol (où John Quincy Adams est dit avoir utilisé cette propriété pour écoute sur les questions politiques), lors d'une exposition sur le son à la Musée des sciences et de l'industrie de Chicago , en face de la Université de l'Illinois à Urbana-Champaign Foellinger Auditorium, et aussi à une chambre de côté du Palais de Charles V, dans le Alhambra.

Ellipses en physique

Dans le 17ème siècle , Johannes Kepler a expliqué que le orbites long de laquelle les planètes se déplacent autour du Soleil sont des ellipses dans sa première loi du mouvement planétaire . Plus tard, Isaac Newton a expliqué cela comme un corollaire de son la loi de la gravitation universelle.

Plus généralement, dans le gravitationnelle problème à deux corps, si les deux corps sont liés les uns aux autres (ce est à dire, l'énergie totale est négative), leurs orbites sont ellipses semblables avec la common barycentre étant l'un des foyers de chaque ellipse. L'autre objectif de soit ellipse a pas connu signification physique. Fait intéressant, l'orbite de ces deux organes dans le cadre de l'autre de référence est également une ellipse, avec l'autre corps à une mise au point.

La solution générale pour un Oscillateur harmonique à deux ou plus dimensions est également une ellipse, mais cette fois avec l'origine de la force situé au centre de l'ellipse.

En optique, un indice décrit l'ellipsoïde indice de réfraction d'un matériau en fonction de la direction à travers ce matériau. Cela se applique uniquement aux matériaux qui sont optiquement anisotrope. Voir aussi biréfringence.

Ellipses en infographie

Dessin d'une ellipse comme un primitive graphique est commun dans des banques de présentation standard, telles que le Macintosh API QuickDraw, Windows Device Interface GDI (Graphics) et le Windows Presentation Foundation (WPF). Souvent, ces bibliothèques sont limitées et ne peuvent dessiner une ellipse avec soit l'axe principal ou à l'horizontale de l'axe secondaire. Jack Bresenham chez IBM est le plus célèbre pour l'invention des primitives de dessin 2D, y compris ligne et le dessin de cercle, en utilisant des opérations entières seulement rapides telles que l'addition et la branche sur bit de retenue. Une généralisation efficace pour dessiner des ellipses a été inventé en 1984 par Jerry Van Aken (IEEE CG & A, septembre 1984).

Ce qui suit est un exemple de code JavaScript en utilisant la formule paramétrique pour une ellipse pour calculer un ensemble de points. L'ellipse peut être approchée puis en reliant les points par des lignes.

 / ** * Cette fonction retourne un tableau contenant 36 points pour dessiner une ellipse *.  * *param X {} deux coordonnée X *param y {} deux coordonnée Y *param un {} Demi-grand axe à double *param b} {deux demi-petit axe * angle deparam {} à double angle de l'ellipse */ function calculateEllipse ( x , y , a , b , angle , steps ) { if ( steps == null ) steps = 36 ; var points = [ ] ; var beta = - angle / 180 * Math . PI ; var sinbeta = Math . sin ( beta ) ; var cosbeta = Math . cos ( beta ) ; for ( var i = 0 ; i < 360 ; i += 360 / steps ) { var alpha = i / 180 * Math . PI ; var sinalpha = Math . sin ( alpha ) ; var cosalpha = Math . cos ( alpha ) ; var X = x + ( a * cosalpha * cosbeta - b * sinalpha * sinbeta ) ; var Y = y + ( a * cosalpha * sinbeta + b * sinalpha * cosbeta ) ; points. push ( new OpenLayers. Geometry . Point ( X , Y ) ) ; } return points ; }

Une conséquence avantageuse de l'utilisation de la formule paramétrique ne est que la densité des points est plus grand là où il est le plus courbure. Ainsi, le changement de pente entre chaque point successif est faible, ce qui réduit la "effet dents de scie" apparent de l'approximation.

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