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Équation

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Une équation est une mathématique déclaration, dans symboles, que les deux choses sont la même (ou équivalent). Les équations sont écrites avec une signe égal, comme dans

2 + 3 = 5.

L'équation ci-dessus est un exemple d'un l'égalité: un proposition qui stipule que deux Les constantes sont égales. Égalités peuvent être vraie ou fausse.

Les équations sont souvent utilisés pour indiquer l'égalité des deux expressions contenant un ou plusieurs Variables. Dans les reals nous pouvons dire, par exemple, que pour toute valeur donnée de x il est vrai que

x (x-1) = x ^ 2-x.

L'équation ci-dessus est un exemple d'un identité; une équation qui est vrai quelles que soient les valeurs de toutes les variables qui apparaissent en elle. L'équation suivante ne est pas une identité:

x ^ 2 x = 0.

Il est faux pour un nombre infini de valeurs de x Et vrai pour seulement deux, le racines ou des solutions de l'équation, x = 0 et x = 1 . Par conséquent, si l'équation est connue pour être vrai, il porte une information sur la valeur de x. À résoudre une équation signifie trouver ses solutions.

De nombreux auteurs se réservent l'équation terme pour une égalité qui ne est pas une identité. La distinction entre les deux concepts peut être subtile; par exemple,

(X + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1

est une identité, tout en

(X + 1) = 2x ^ 2 ^ 2 + x + 1

est une équation, dont les racines sont x = 0 et x = 1 . Si une indication est conçu pour être une identité ou une équation, portant des informations sur ses variables peuvent généralement être déterminée à partir de son contexte.

Lettres du début de l'alphabet comme a, b, c ... désignent souvent constantes dans le contexte de la discussion à portée de main, alors que les lettres de fin de l'alphabet, comme x, y, z ..., sont habituellement réservés pour le des variables, une convention initiée par Descartes.

Propriétés

Si une équation dans l'algèbre est connu pour être vrai, les opérations suivantes peuvent être utilisées pour produire une autre équation vraie:

  1. Ne importe quelle quantité peut être ajouté aux deux parties.
  2. Toute quantité peut être soustraite des deux côtés.
  3. Toute quantité peut être multiplié pour les deux parties.
  4. Toute quantité non nulle peut diviser les deux côtés.
  5. En général, toute fonction peut être appliquée sur les deux faces. (Cependant, il faut être prudent afin de se assurer que l'on ne rencontre pas de solutions étrangères.)

Les propriétés algébriques (1-4) impliquent que l'égalité est un relation de congruence pour un domaine; en fait, ce est essentiellement le seul.

Le plus connu système de nombres qui permet à tous de ces opérations est les nombres réels , ce qui est un exemple de domaine. Toutefois, si l'équation étaient basées sur les nombres naturels par exemple, certaines de ces opérations (comme la division et la soustraction) peut ne pas être valide que les nombres négatifs et non nombres entiers ne sont pas autorisés. Les entiers sont un exemple d'un domaine intégrante qui ne permet pas toutes les divisions, à nouveau, des nombres entiers sont nécessaires. Cependant, la soustraction est autorisée, et est le opérateur inverse dans ce système.

Si une fonction qui ne est pas injective est appliquée aux deux côtés d'une véritable équation, l'équation résultante sera toujours vrai, mais il peut être moins utile. Formellement, on a une implication, pas une équivalence, donc l'ensemble de la solution peut se agrandir. Les fonctions implicites dans les propriétés (1), (2) et (4) sont toujours injective, comme ce est (3) si l'on ne se multiplient pas par zéro . Certains généralisée produits, comme un produit scalaire, ne sont jamais injectif.

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