Factorisation

En mathématiques , factorisation (également dans factorisation L'anglais britannique) ou de l'affacturage est la décomposition d'un objet (par exemple, un nombre , un polynôme ou une matrice ) dans un produit d'autres objets, ou des facteurs qui, lorsqu'ils sont multipliés ensemble donnent l'original. Par exemple, le nombre 15 facteurs en nombres premiers que 3 × 5, et les polynômes x ^2-4 facteurs que (x - 2) (x + 2). Dans tous les cas, un produit d'objets simples est obtenu.

Le but de l'affacturage est généralement de réduire quelque chose à "blocs de construction de base," telles que les numéros à nombres premiers, ou polynômes à polynômes irréductibles. Affacturage entiers est couvert par le théorème fondamental de l'arithmétique et de affacturage polynômes de la théorème fondamental de l'algèbre.

Le contraire de la factorisation est expansion. Ce est le processus de multiplier ainsi les facteurs de recréer le, original "élargi" polynomiale .

Entier factorisation de grands nombres entiers semble être un problème difficile. Il ne existe aucune méthode connue pour le réaliser rapidement. Sa complexité est la base de la sécurité de certaines supposé des algorithmes de cryptographie à clé publique, tels que RSA.

Une matrice peut également être factorisée en un produit de matrices de types spéciaux, pour une application dans laquelle cette forme est pratique. Un exemple majeur de cette utilise un ou orthogonal matrice unitaire, et une matrice triangulaire. Il existe différents types: Décomposition QR, LQ, QL, RQ, RZ.

Un autre exemple est la factorisation d'une fonction que la composition d'autres fonctions ayant certaines propriétés; par exemple, chaque fonction peut être considérée comme la composition d'un Surjection avec un fonction injective.

Premier factorisation d'un entier

Par le théorème fondamental de l'arithmétique , tous les positifs entier a une situation unique factorisation en nombres premiers. Étant donné un algorithme de factorisation d'entiers, on peut tenir tout entier jusque dans ses constituantes nombres premiers par l'application répétée de cet algorithme. Pour un très grand nombre, pas efficace algorithme est connu. Pour les plus petits nombres, cependant, il existe une variété de différents algorithmes qui peuvent être appliqués.

Affacturage un polynôme quadratique

Tout polynôme quadratique sur les nombres complexes (des polynômes de la forme où , Et ∈ ) Peuvent être pris en compte dans un expression de forme en utilisant la formule quadratique . La méthode est la suivante:

où et sont les deux racines du polynôme, qui se trouvent avec la formule quadratique .

Polynômes décomposables sur les entiers

Polynômes quadratiques peuvent parfois être pris en compte dans deux binômes à coefficients entiers simples, sans la nécessité d'utiliser la formule quadratique. Dans une équation quadratique , ce exposera ses deux racines. La formule

seraient pris en compte dans:

où

Vous pouvez ensuite définir chacune égale binomiale à zéro, et à résoudre pour x pour révéler les deux racines. L'affacturage ne implique pas d'autres formules, et est surtout juste quelque chose que vous voyez quand vous arrivez sur une équation quadratique.

Prenons, par exemple 2 x ² - 5 x + 2 = 0. Puisque a = 2 et Mn = a, Mn = 2, ce qui signifie que m et n, on est 1 et l'autre est 2. Maintenant, nous avons (2 x + p) (x + q) = 0. Parce que c = 2 et c = pq, PQ = 2, ce qui signifie que de p et q, on est une et l'autre est 2 ou on est -1 et l'autre est - 2. Une estimation et le contrôle de substituer le 1 et 2, et -1 et -2, en p et q (tout en appliquant pn + mq = b) nous dit que 2 x ^2-5 x + 2 = 0 facteurs en (2 x - 1) (x - 2) = 0, nous donnant les racines x = {0,5, 2}

Si un polynôme à coefficients entiers a un discriminant qui est un carré parfait, ce polynôme est factorisable sur les entiers.

Par exemple, regardez le polynôme 2x ² + 2x - 12. Si vous remplacez les valeurs de l'expression dans la formule quadratique, le discriminant devient ² à 4 février × 2 × -12, ce qui équivaut à 100. 100 est un carré parfait, de sorte que le polynôme 2x ² + 2x - 12 est factorisable sur les entiers; ses deux facteurs sont, (x - 2) et (x + 3).

Maintenant, regardez le polynôme x ² + 93x - 2. Son discriminante, 93 ^2-4 × 1 × -2, est égale à 8657, qui ne est pas un carré parfait. Donc x ² + 93x - 2 ne peuvent être factorisé sur les entiers.

Trinômes carré parfait

Une preuve visuelle de l'identité (a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

Certains quadratiques peuvent être pris en compte dans deux binômes identiques. Ces équations du second degré sont appelés parfaits trinômes carrés. Trinômes carrés parfaits peuvent être pris en compte comme suit:

Somme / différence de deux carrés

Un autre type courant de l'affacturage algébrique est appelé différence de deux carrés. Ce est l'application de la formule

à tous deux termes, si oui ou non ils sont des carrés parfaits. Si les deux termes sont soustraites, il suffit d'appliquer la formule. Se ils sont ajoutés, les deux binômes obtenus à partir de l'affacturage auront chacun un terme imaginaire. Cette formule peut être représentée comme

.

Par exemple, peut être pris en compte dans .

Affacturage autres polynômes

Somme / différence de deux cubes

Une autre formule moins utilisé mais toujours commune pour l'affacturage est la somme ou la différence de deux cubes. La somme peut être représenté par

et la différence par

Par exemple, x ³ à 10 mars (ou x ^3-1000) peut être pris en compte dans (x - 10) (x ² + 10 + x 100).

Somme / différence de deux nombres élevés à la même puissance

En général, est un facteur de où est un entier positif. Alors,

Aussi, est un facteur de où est un entier positif pair. Tel que,

De même, est un facteur de où est un entier impair positif. De sorte que,

Factoring par groupe

Une autre façon de tenir compte de certaines équations est l'affacturage en regroupant. Ceci est réalisé en plaçant les termes dans une expression en deux ou plusieurs groupes, où chaque groupe peut être pris par un procédé connu. Les résultats de ces factorisations peuvent parfois être combinés pour faire une expression encore plus simplifiée.

Par exemple, supposons que vous aviez l'expression

qui à première vue ressemble à une expression difficile à manier. Une étape logique, si vous décidez de prendre en compte par le groupe, serait de combiner toutes les expressions avec et tout cela sans . Ensuite, vous auriez l'expression

où chacun des deux groupes se factorisent nous donner

Cela peut être encore simplifiée en

quand peut alors être pris en compte dans

et enfin

qui est l'expression sous forme entièrement pris en compte.

D'autres formules courantes

Il existe de nombreuses formules supplémentaires qui peuvent être utilisés pour tenir compte facilement un polynôme. Parmi les plus courants sont répertoriés ci-dessous.

Forme développée	Forme factorisée
( Sophie Germain de l'identité)

Factoring en logique mathématique

En la logique mathématique et automatisée de théorème, l'affacturage est la technique de dériver une seule, plus spécifique atome d'une disjonction des deux plus générale atomes unifiables. Par exemple, à partir de ∀ X, Y: P (x, a) ou P (B, Y), on peut calculer P (b, a).