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Composition de Fonction

Sujets connexes: Mathématiques

Renseignements généraux

SOS Enfants, un organisme de bienfaisance de l'éducation , a organisé cette sélection. Le parrainage d'enfants aide les enfants un par un http://www.sponsor-a-child.org.uk/ .

En mathématiques , une fonction composite, formé par la composition d'une fonction sur l'autre, représente l'application de la première à la suite de l'application de ce dernier à l'argument du composite. Les fonctions f: XY et g: YZ peuvent être composées en appliquant d'abord f à un argument x, puis en appliquant g au résultat. Ainsi on obtient une fonction g o f: XZ définie par (g o f) (x) = g (f (x)) pour tout x dans X. La notation g o f est lu comme "g f cercle" ou "g composée de f», «g suivante f", ou tout simplement "g de f".

g o f, la composition de f et g

La composition des fonctions est toujours associative . Ce est, si f, g et h sont trois fonctions avec des domaines et codomaines convenablement choisis, alors f o (g o h) = (f o g) o h. Comme il n'y a pas de distinction entre les choix de placement de parenthèses, ils peuvent être laissés en toute sécurité hors tension.

Les fonctions g et f trajet à l'autre si g o f = f o g. En général, la composition de fonctions ne sera pas commutative. Commutativité est une propriété spéciale, atteint que par des fonctions particulières, et souvent dans des circonstances spéciales. Par exemple, \ Left | x \ right | + 3 = \ left | x + 3 \ right | \, seulement quand x \ ge 0 . Mais fonctions inverses commutent toujours pour produire le cartographie d'identité.

Dérivés de compositions impliquant des fonctions différentiables peuvent être trouvés en utilisant le règle de la chaîne. Dérivés "supérieur" de ces fonctions sont donnés par Formule de Faà di Bruno.

Exemple

A titre d'exemple, supposons que l'altitude d'un avion à l'instant t est donnée par la fonction h (t) et que la concentration d'oxygène à la cote x est donnée par la fonction C (x). Puis (c o h) (t) décrit la concentration en oxygène autour de l'avion à l'instant t.

Pouvoirs fonctionnels

Si Y \ subseteq X puis f: X \ rightarrow Y peut composer avec lui-même; ce est parfois notée f ^ 2 \, . Ainsi:

(F \ circ f) (x) = f (f (x)) = f ^ 2 (x)
(F \ circ f \ circ f) (x) = f (f (f (x))) = f ^ 3 (x)

Composition répétée d'une fonction avec lui-même est appelé fonction itération.

Les fonctionnels pouvoirs f \ circ f ^ n = f ^ n \ circ f = f ^ {n + 1} pour naturelle n \, suivre immédiatement.

  • Par convention, f ^ 0 = id_ {D (f)} \,\ Big ( la carte d'identité sur le domaine de la f \ big) .
  • Si f: X \ rightarrow X admet une fonction inverse , les pouvoirs fonctionnels négatifs f ^ {- k} \,(K> 0 \,) sont définis comme la puissance inverse de la fonction inverse, (F ^ {- 1}) ^ k \, .

Remarque: Si f prend ses valeurs dans un anneau (en particulier pour de vrai ou de valeur complexe f), il existe un risque de confusion, comme f n pourrait également se tenir pour le produit n -fois de f, par exemple f 2 (x) = f (x) · f (x ).

(Fonctions trigonométriques, généralement celle-ci est destinée, au moins pour les exposants positifs. Par exemple, dans trigonométrie, cette notation exposant représente norme exponentiation lorsqu'il est utilisé avec les fonctions trigonométriques : sin 2 (x) = sin (x) · sin (x). Toutefois, pour les exposants négatifs (en particulier -1), il se agit néanmoins généralement à la fonction inverse, par exemple, tan -1 = arctan (≠ 1 / tan).

Dans certains cas, une expression de f en g (x) = f r (x) peut être dérivée de la règle G donné des valeurs non entières de r. Cela se appelle itération fractionnée. Un exemple simple serait que où f est la fonction successeur, f r (x) = x + r.

Fonctions répétées se produisent naturellement dans l'étude des fractales et systèmes dynamiques.

monoïdes de composition

Supposons que l'on a deux (ou plus) fonctions f: XX, g: XX ayant le même domaine et la portée. Alors on peut former de longues chaînes, potentiellement complexes de ces fonctions composées ensemble, comme f o f o g o f. Ces longues chaînes ont la structure algébrique d'un monoïde, parfois appelé le monoïde de composition. En général, monoïdes de composition peuvent avoir une structure remarquablement compliqué. Un exemple notable est le particulier courbe de Rham. L'ensemble de toutes les fonctions f: XX est appelé pleine semigroupe de transformation sur X.

Si les fonctions sont bijective, alors l'ensemble de toutes les combinaisons possibles de ces fonctions forment un groupe ; et on dit que le groupe est générée par ces fonctions.

L'ensemble de tous fonctions bijective f: XX forment un groupe par rapport à l'opérateur de composition. Ceci est le groupe symétrique, parfois aussi appelé le groupe de composition.

Alternative notation

Au milieu du 20e siècle , certains mathématiciens ont décidé que l'écriture "g o signifie «appliquer d'abord f, g puis appliquer" était trop confus et a décidé de changer notations. Ils ont écrit "xf" pour "f (x)» et «XFG" pour "g (f (x))". Cela peut être plus naturel et semble plus simple que l'écriture des fonctions sur la gauche dans certaines régions.

Catégorie Théorie utilise f; g interchangeable avec g o f.

opérateur de composition

Étant donné une fonction g, l'opérateur de composition C_g qui est défini comme étant opérateur qui fait correspondre à des fonctions comme des fonctions

C_g f = f \ circ g.

opérateurs de composition sont étudiés dans le domaine de la la théorie de l'opérateur.

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