Histoire des mathématiques
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La zone d'étude connu comme l'histoire des mathématiques est principalement une enquête sur l'origine de découvertes en mathématiques et, dans une moindre mesure, une enquête sur les méthodes mathématiques et la notation du passé.
Avant l' ère moderne et à la propagation dans le monde de la connaissance, des exemples écrits de nouveaux développements mathématiques en sont venus à la lumière que dans quelques endroits. Les textes mathématiques les plus anciennes sont disponibles Plimpton 322 ( Babylonienne mathématiques c. 1900 avant JC), le Papyrus Mathématique Rhind (mathématiques égyptienne c. 2000-1800 BC) et le Papyrus de Moscou ( Mathématiques égyptiennes c. 1890 BC). Tous ces textes concernent la soi-disant théorème de Pythagore , qui semble être le développement mathématique la plus ancienne et répandue après l'arithmétique de base et de la géométrie.
L'étude des mathématiques comme un sujet à part entière commence dans le 6ème siècle avant JC avec le Pythagoriciens, qui a inventé le terme «mathématiques» de l'ancienne μάθημα grec (mathema), ce qui signifie «sous réserve de l'instruction". Mathématiques grecques grandement affiné les méthodes (en particulier par l'introduction de raisonnement déductif et rigueur mathématique dans preuves ) et élargi l'objet de mathématiques. Mathématiques chinoises faites premières contributions, y compris une placer système de valeurs. Le Système de numération indo-arabe et les règles pour l'utilisation de ses opérations, en usage dans le monde d'aujourd'hui, ont probablement évolué au cours du premier millénaire de notre ère en Inde et a été transmise à l'ouest par les mathématiques islamiques. Mathématiques islamiques, à son tour, développer et étendre les mathématiques connues de ces civilisations. Beaucoup de textes grecs et arabes sur les mathématiques étaient alors traduit en latin, qui a conduit à la poursuite du développement des mathématiques dans l'Europe médiévale .
Depuis les temps anciens par les Moyen-Age , des éclats de la créativité mathématique étaient souvent suivis par des siècles de stagnation. À partir de la Renaissance en Italie au 16ème siècle, de nouveaux développements mathématiques, en interaction avec de nouvelles découvertes scientifiques, ont été faites à un rythme croissant qui continue à travers le présent jour.
Mathématiques préhistorique
L'origine de la pensée mathématique se trouvent dans les concepts de nombre , l'ampleur et forme. Les études modernes de la cognition animale ont montré que ces concepts ne sont pas uniques à l'homme. Ces concepts auraient fait partie de la vie quotidienne dans les sociétés de chasseurs-cueilleurs. L'idée de la notion de "Numéro" évolution progressivement au fil du temps est pris en charge par l'existence des langues qui préservent la distinction entre «un», «deux», et «beaucoup», mais pas de numéros de plus de deux.
L'objet connu éventuellement mathématique la plus ancienne est le Lebombo os, découvert dans les montagnes Lebombo de Swaziland et daté à environ 35 000 en Colombie-Britannique. Il se compose de 29 crans distincts coupées en péroné de babouin. Aussi préhistorique artefacts découverts en Afrique et en France , datés entre 35 000 et Ancienne 20000 années, suggèrent les premières tentatives à quantifier le temps.
Le bâton d'Ishango , trouvé près de la source du Nil rivière (nord-est du Congo ), peut-être autant que 20000 années vieux et se compose d'une série de marques de pointage sculptées en trois colonnes sur toute la longueur de l'os. Interprétations communes sont que l'os d'Ishango indique soit la première manifestation connue de séquences de nombres premiers ou un calendrier lunaire de six mois. Dans le livre Comment Mathématiques Happened: Les premiers 50 000 ans, Peter Rudman fait valoir que le développement de la notion de nombres premiers ne aurait pu se produire après le concept de la division, qu'il remonte à 10 000 après JC, avec des nombres premiers probablement pas à se faire comprendre jusqu'à environ 500 BC. Il écrit également que «aucune tentative n'a été faite pour expliquer pourquoi un décompte de quelque chose doit présenter des multiples de deux nombres premiers, entre 10 et 20, et quelques chiffres qui sont presque des multiples de 10." Le bâton d'Ishango, selon l'universitaire Alexander Marshack, peut avoir influencé le développement ultérieur des mathématiques en Egypte, comme certaines entrées sur l'os d'Ishango, l'arithmétique égyptienne a également fait usage de la multiplication par deux; Ceci, cependant, est contestée.
Prédynastique Egyptiens de la 5ème millénaire avant JC représentés graphiquement géométriques dessins. Il a été affirmé que monuments mégalithiques de l'Angleterre et de l'Ecosse , datant du 3ème millénaire avant JC, intègrent idées géométriques telles que des cercles , ellipses , et Triplets pythagoriciens dans leur conception.
Tout ce qui précède sont contestés cependant, et le plus ancien actuellement l'usage mathématique est incontesté dans les sources égyptiennes et babyloniennes dynastiques. Ainsi, il a pris des êtres humains au moins 45000 années de la réalisation des la modernité comportementale et de la langue (généralement considérées comme un long moment avant que) de développer les mathématiques en tant que tels.
Mathématiques babyloniennes
Babylonienne mathématiques se réfère à des mathématiques du peuple de la Mésopotamie (l'actuel Irak ) des jours du début des Sumériens à travers le Période hellénistique presque à l'aube du christianisme . Il est nommé mathématiques babyloniennes en raison du rôle central de Babylone comme un lieu d'étude. Plus tard dans le cadre du Empire arabe, en Mésopotamie, en particulier à Bagdad , une fois de plus devenu un centre important d'étude pour Mathématiques islamiques.
Contrairement à la rareté des sources de Mathématiques égyptiennes, notre connaissance des mathématiques babyloniennes proviennent de plus de 400 tablettes d'argile déterrés depuis les années 1850. Écrit en écriture cunéiforme, les comprimés ont été inscrits alors que l'argile était humide, et cuit dur dans un four ou par la chaleur du soleil. Certains d'entre eux semblent être classé devoirs.
Les premières traces écrites des mathématiques remonte aux anciens Sumériens , qui ont construit la première civilisation en Mésopotamie. Ils ont développé un système complexe de la métrologie de 3000 BC. Depuis environ 2500 avant J.-C., les Sumériens écrit tables de multiplication sur des tablettes d'argile et traitées géométriques exercices et division problèmes. Les premières traces des chiffres babyloniens datent aussi de cette période.
La majorité des tablettes d'argile récupérés datent de 1800 à 1600 avant JC, et couvrent des sujets qui comprennent fractions, algèbre, équations du second degré et de cubes, et le calcul des régulier réciproque paires. Les comprimés comprennent également des tables et des méthodes pour résoudre multiplication linéaire et équations du second degré . La tablette babylonienne YBC 7289 donne une approximation de √2 précise à cinq décimales.
Les mathématiques babyloniennes ont été écrites en utilisant un sexagésimal (base-60) de système de numération . De là découle l'utilisation moderne de jour de 60 secondes dans une minute, 60 minutes à une heure, et 360 (60 x 6) degrés dans un cercle, ainsi que l'utilisation des secondes et minutes d'arc pour désigner fractions de degré. Progrès en mathématiques babyloniennes ont été facilitées par le fait que 60 a de nombreux diviseurs. En outre, contrairement aux Egyptiens, les Grecs et les Romains, les Babyloniens avaient un système de valeur de vrai, où chiffres écrits dans la colonne de gauche représentaient des valeurs plus grandes, autant que dans la décimale système. Ils ne avaient pas, cependant, un équivalent de la virgule, et ainsi de la valeur de position d'un symbole souvent dû être déduite du contexte. D'autre part, ce «défaut» est équivalent à l'utilisation moderne de l'arithmétique flottante; En outre, l'utilisation de la base 60 signifie que ne importe quel réciproque d'un nombre entier qui est un multiple de diviseurs de 60 a nécessairement un développement limité à la base 60. (En arithmétique décimale, seuls inverses des multiples de 2 et 5 ont des développements décimaux finis. ) En conséquence, il ya un argument fort que l'arithmétique babylonienne style ancien est beaucoup plus sophistiqué que celui de l'usage courant.
L'interprétation de Plimpton 322 était la source de controverse depuis de nombreuses années après sa signification dans le contexte de triangles de Pythagore a été réalisé. Dans le contexte historique, les problèmes de succession impliquant cloisonnement égal zone de champs triangulaires et trapézoïdales (avec des côtés entiers de longueur) convertissent rapidement dans la nécessité de calculer la racine carrée de 2, ou pour résoudre «l'équation de Pythagore" en nombres entiers: plutôt que de considérer un place que la somme de deux carrés, nous pouvons envisager de façon équivalente un carré comme une différence de deux carrés. Après la division, (ca) (c + a) = bb devient le produit de deux nombres rationnels donnant une: (c / ba / b) (c / b + a / b) = 1. Ceci est facilement résolu par consultation d'une table des paires réciproques. Les solutions de l'équation originale sont ainsi paramétrées par le choix d'un nombre rationnel x, d'où-triangles rectangles de Pythagore triple peuvent facilement être construits en entier détartrage un triangle rectangle dont les côtés mesurent 2x longueur, xx-1, xx + 1 (si un désir de mathématicien contemporain de le faire). Tous les triplets pythagoriciens se posent dans ce chemin, et les exemples fournis dans Plimpton 322 impliquent certains assez grand nombre, selon les normes modernes, tels que (4601, 4800, 6649) dans la notation décimale.
Mathématiques égyptiennes
Égyptienne mathématiques se réfère aux mathématiques écrites dans le Langue égyptienne. Du Période hellénistique, grec remplacé égyptienne comme langue écrite de Érudits égyptiens. Etude mathématique dans l'Egypte a continué tard dans le cadre du Empire arabe dans le cadre de Mathématiques islamiques, où l'arabe est devenu la langue écrite de savants égyptiens.
Le plus vaste texte mathématique égyptienne est la Papyrus Rhind (parfois aussi appelé le Ahmès Papyrus de son auteur), daté c. 1650 avant JC, mais probablement une copie d'un document plus ancien de la Moyen-Uni d'environ 2000-1800 av. Ce est un manuel d'instruction pour les élèves de l'arithmétique et de la géométrie. En plus de donner des formules et des méthodes de multiplication, division région et de travailler avec des fractions de l'unité, il contient également des preuves d'autres connaissances mathématiques, y compris composites et nombres premiers ; arithmétique , géométrique et des moyens harmoniques; et compréhensions simplistes à la fois du Crible d'Ératosthène et la théorie des nombres parfaits (à savoir que le nombre de six). Il montre également comment résoudre de premier ordre des équations linéaires ainsi que arithmétique et série géométrique.
Un autre texte mathématique égyptienne importante est la Papyrus de Moscou, également de la Période du Moyen Empire, daté c. 1890 BC. Il se compose de ce que sont aujourd'hui appelé problèmes de mots ou des problèmes de l'histoire, qui étaient apparemment destinés comme un divertissement. Un problème est considéré comme étant d'une importance particulière car elle donne une méthode pour trouver le volume d'un tronc: "Si on vous dit:. Une pyramide tronquée de 6 pour la hauteur verticale de 4 sur la base de 2 sur le haut Vous êtes à la quadrature du 4, entraîner 16. Vous êtes à doubler 4, le résultat 8. Vous êtes à carré 2, entraîner 4. Vous êtes pour ajouter le 16, le 8 et le 4, entraîner 28. Vous êtes de prendre un tiers des 6, entraîner 2. Vous êtes de prendre 28 deux fois, entraîner 56. Voir, ce est 56 . Vous trouverez les choses. "
Enfin, la Berlin papyrus (c. 1300 BC) montre que les anciens Egyptiens pourrait résoudre un second ordre équation algébrique.
Mathématiques grecques
Mathématiques grecques se réfère aux mathématiques écrites dans la langue grecque de l'époque de Thalès de Milet (~ 600 avant JC) à la fermeture de la Académie d'Athènes en 529 AD. Mathématiciens grecs vivaient dans des villes réparties sur l'ensemble de la Méditerranée orientale, de l'Italie à l'Afrique du Nord, mais ont été unis par la culture et la langue. Mathématiques grecques de la période suivant Alexandre le Grand est parfois appelé mathématiques hellénistiques.
Mathématiques grecques était beaucoup plus sophistiqué que les mathématiques qui ont été élaborés par les cultures antérieures. Tous les dossiers survivants des mathématiques pré-grecs montrent l'utilisation du raisonnement inductif, ce est observations répétées utilisés pour établir des règles de pouce. Mathématiciens grecs, en revanche, utilisés raisonnement déductif. Les Grecs utilisaient la logique de tirer des conclusions à partir des définitions et des axiomes, et utilisés rigueur mathématique à prouver eux.
Mathématiques grecques est pensé pour avoir commencé avec Thalès de Milet (c. 624-c.546 BC) et Pythagore de Samos (c. 582-c. 507 BC). Bien que l'ampleur de l'influence est contestée, ils ont probablement été inspirés par Égyptienne et Les mathématiques babyloniennes. Selon la légende, Pythagore a voyagé en Egypte pour apprendre les mathématiques, la géométrie, l'astronomie et de prêtres égyptiens.
Thales utilisé la géométrie pour résoudre des problèmes tels que le calcul de la hauteur des pyramides et la distance des navires de la côte. Il est crédité de la première utilisation du raisonnement déductif appliqué à la géométrie, en dérivant quatre corollaires Le théorème de Thalès. En conséquence, il a été salué comme le premier vrai mathématicien et l'individu d'abord connu à qui une découverte mathématique a été attribué. Pythagore a établi le École de Pythagore, dont la doctrine était que les mathématiques exclure l'univers et dont la devise était «Tout est nombre». Ce était les Pythagoriciens, qui a inventé le terme «mathématiques», et avec lesquels l'étude des mathématiques pour elle-même commence. Les pythagoriciens sont crédités de la première preuve de la théorème de Pythagore , si la déclaration du théorème a une longue histoire, et la preuve de l'existence de nombres irrationnels .
Platon (428/427 BC - BC 348/347) est important dans l'histoire des mathématiques pour inspirer et guider les autres. Son Académie de Platon, dans Athènes , est devenu le centre mathématique du monde dans le 4ème siècle avant JC, et ce est de cette école que les principaux mathématiciens de l'époque, tels que Eudoxe de Cnide, est venu. Platon a également examiné les fondements des mathématiques, a précisé certaines des définitions (par exemple celle d'une ligne comme "longueur sans largeur"), et réorganisé les hypothèses. La méthode analytique est attribué à Platon, tout en une formule pour obtenir triplets pythagoriciens porte son nom.
Eudoxe (408-c.355 BC) a développé le méthode de l'épuisement, un précurseur du moderne intégration et une théorie de rapports qui ont évité le problème de grandeurs incommensurables . L'ancien permis aux calculs de superficies et des volumes de figures curvilignes, tandis que le second a permis géomètres ultérieures de faire des avancées significatives dans la géométrie. Bien qu'il n'a pas fait de découvertes mathématiques techniques spécifiques, Aristote (384-c.322 BC) a contribué de manière significative au développement des mathématiques en jetant les bases de la logique .
Dans le 3ème siècle avant JC, le premier centre de l'éducation et de la recherche mathématique était le Musaeum d' Alexandrie . Ce est là que Euclid (c. 300 BC) a enseigné, et a écrit le Elements , largement considéré comme le manuel le plus de succès et les plus influents de tous les temps. Les éléments introduits rigueur mathématique à travers le méthode axiomatique et est le premier exemple du format encore utilisé en mathématiques aujourd'hui, celle de la définition, axiome, théorème, et la preuve. Bien que la plupart des contenus des éléments étaient déjà connus, Euclid les rangea dans un seul cadre logique, cohérente. Les éléments était connu pour tous les gens instruits en Occident jusqu'au milieu du 20e siècle et son contenu est toujours enseignée dans les classes de géométrie aujourd'hui. En plus des théorèmes familiers de la géométrie euclidienne , des éléments a été conçu comme un manuel d'introduction à tous les sujets mathématiques de l'époque, tels que la théorie des nombres , l'algèbre et une géométrie solide, y compris des preuves que la racine carrée de deux est irrationnel et qu'il existe une infinité de nombres premiers. Euclid aussi a beaucoup écrit sur d'autres sujets, tels que les sections coniques , l'optique , géométrie sphérique, et de la mécanique, mais seulement la moitié de ses écrits survivent.
Le premier mathématicien femme enregistrée par l'histoire était Hypatie d'Alexandrie (AD 350-415). Elle a succédé à son père comme bibliothécaire à la Grande Bibliothèque et a écrit de nombreux ouvrages sur les mathématiques appliquées. Parce qu'elle était une femme, la communauté chrétienne à Alexandrie l'a punie pour sa présomption en déshabillant et gratter sa peau avec des coquilles (certains disent tuiles).
Archimède (c.287-212 BC) de Syracuse, largement considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité, utilisé le Procédé d'épuisement de calculer l' aire sous un arc de avec la parabole sommation d'une série infinie, d'une manière pas trop différente de calcul moderne. Il a également montré on pourrait utiliser la méthode de l'épuisement pour calculer la valeur de π avec autant de précision que désiré, et a obtenu la valeur la plus précise de π alors connu, 3 10/71 <π <3 10/70. Il a également étudié la spirale qui porte son nom, obtint des formules pour les volumes de surfaces de révolution (paraboloïde, ellipsoïde, hyperboloïde), et un système ingénieux pour exprimer un très grand nombre. Alors qu'il est également connu pour ses contributions à la physique et plusieurs dispositifs mécaniques avancées, Archimède se plaça valeur beaucoup plus grande sur les produits de sa pensée et les principes mathématiques générales. Qu'il considérait comme sa plus grande réalisation de son constat de la surface et le volume d'une sphère, qu'il a obtenu en prouvant ce sont 2/3 de la surface et le volume d'un cylindre circonscrit à la sphère.
Apollonius de Perge (c. 262-190 BC) a fait des progrès importants à l'étude des sections coniques , en montrant que l'on peut obtenir tous les trois variétés de section conique en faisant varier l'angle de l'avion qui coupe un cône double-molletonnée. Il a également inventé la terminologie en usage aujourd'hui pour les sections coniques, à savoir parabole ("placer à côté" ou "comparaison"), "ellipse" ("carence"), et "hyperbole" ("un jet au-delà "). Son travail de coniques est une des œuvres les plus connues et les mathématiques conservés de l'antiquité, et en elle il tire de nombreux théorèmes concernant les sections coniques qui prouveraient une valeur inestimable pour les mathématiciens et astronomes qui étudient tard le mouvement des planètes, comme Isaac Newton. Bien que ni Apollonius ni d'autres mathématiciens grecs ont fait le saut à la géométrie analytique, le traitement d'Apollonius de courbes est en quelque sorte similaire au traitement moderne, et une partie de son travail semble anticiper le développement de la géométrie analytique par Descartes quelque 1800 ans plus tard.
Vers la même époque, Eratosthène de Cyrène Cyrène (c. 276-194 BC) a conçu le Crible d'Ératosthène pour trouver des nombres premiers . Le 3ème siècle avant JC est généralement considéré comme le "Golden Age" des mathématiques grecques, avec des avancées en mathématiques pures désormais en déclin relatif. Néanmoins, dans les siècles qui ont suivi des progrès significatifs ont été réalisés en mathématiques appliquées, notamment la trigonométrie , en grande partie pour répondre aux besoins des astronomes. Hipparque de Nicée (c. 190-120 BC) est considéré comme le fondateur de la trigonométrie pour compiler la table trigonométrique d'abord connu, et lui est également due à l'utilisation systématique de la cercle de 360 degrés. Héron d'Alexandrie (c. 10-70 AD) est crédité La formule de Héron pour trouver l'aire d'un triangle scalène et d'être le premier à reconnaître la possibilité de nombres négatifs possédant des racines carrées. Ménélas d'Alexandrie (c. 100 AD) pionnier trigonométrie sphérique travers Théorème de Ménélaüs. Le travail le plus complet et le plus influent de l'antiquité trigonométrique est le Almageste de Ptolémée (c. AD 90-168), un traité d'astronomie historique dont les tables trigonométriques serait utilisé par les astronomes pour les mille prochaines années. Ptolémée est également crédité Théorème de Ptolémée pour dériver des quantités trigonométriques, et la valeur la plus précise de π extérieur de la Chine jusqu'à la période médiévale, 3,1416.
Après une période de stagnation après Ptolémée, la période entre 250 et 350 AD est parfois appelé le «Silver Age" des mathématiques grecques. Au cours de cette période, Diophante réalisé des progrès significatifs dans l'algèbre , en particulier analyse indéterminée, qui est également connu comme «l'analyse diophantienne". L'étude de Équations diophantiennes et Approximations diophantiennes est un domaine important de la recherche à ce jour. Son travail principal était l'Arithmetica, une collection de 150 problèmes algébriques traiter avec des solutions exactes pour déterminée et équations indéterminées. Le Arithmetica eu une influence significative sur les mathématiciens plus tard, comme Pierre de Fermat , qui est arrivé à son célèbre dernier théorème après avoir essayé de généraliser un problème qu'il avait lu dans le Arithmetica (que de diviser un carré en deux carrés). Diophante a également fait des progrès significatifs dans la notation, le Arithmetica étant la première instance du symbolisme algébrique et la syncope.
Mathématiques chinoises
Early mathématiques chinois est si différent de celui des autres parties du monde qu'il est raisonnable de supposer développement indépendant. Le plus ancien texte mathématique existant de la Chine est le Chou Pei Suan Ching, diversement daté entre 1200 avant JC et 100 avant JC, si une date d'environ 300 avant JC semble raisonnable.
On notera en particulier l'utilisation en mathématiques chinois d'un système de notation positionnelle décimale, les soi-disant «chiffres de tige" dans laquelle des chiffres distincts ont été utilisés pour les nombres entre 1 et 10, et des chiffres supplémentaires pour les puissances de dix. Ainsi, le nombre 123 seraient écrits en utilisant le symbole "1", suivi par le symbole «100», le symbole de "2" suivi par le symbole de "10", suivi par le symbole "3". Ce était le système de nombre le plus avancé dans le monde à l'époque, apparemment en utiliser plusieurs siècles avant l'ère commune et bien avant le développement du système de numération indienne. numéros de tige ont permis à la représentation des nombres aussi grands que les calculs souhaités et autorisés à être effectués sur la pan Suan ou boulier chinois. La date de l'invention de la casserole de Suan ne est pas certain, mais le premier écrit dates mention de l'an 190, dans les notes complémentaires de Xu Yue sur l'art de figures.
Le plus ancien ouvrage existant sur la géométrie en Chine provient de la philosophie Mohist canon c. 330 BC, compilé par les adeptes de Mozi (470-390 BC). Le Mo Jing décrit divers aspects de nombreux domaines liés à la science physique, et a fourni un petit nombre de théorèmes géométriques ainsi.
En 212 avant JC, l'empereur Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) commandait tous les livres dans l'Empire Qin autres que celles officiellement reconnues être brûlés. Ce décret n'a pas été universellement obéi, mais comme une conséquence de cet ordre peu est connu sur anciens mathématiques chinoises avant cette date. Après le autodafé de 212 avant JC, la Dynastie des Han (202 BC-220 AD) produit des Å“uvres des mathématiques qui vraisemblablement étendus sur les Å“uvres qui sont aujourd'hui perdus. Le plus important d'entre eux est Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, le titre complet de ce qui semblaient par AD 179, mais existait en partie sous d'autres titres au préalable. Il se compose de 246 problèmes comportant agriculture, les affaires, l'emploi de la géométrie de comprendre travées de hauteur et des rapports de dimensions pour Tours de pagode chinoise, de l'ingénierie, arpentage, et comprend significatif sur triangles rectangles et les valeurs de π . Il a créé la preuve mathématique pour le théorème de Pythagore , et une formule mathématique pour l'élimination de Gauss . Liu Hui a commenté sur le travail dans le 3ème siècle après JC, et a donné une valeur de π précision de 5 décimales. Bien que plus d'une question d'endurance calcul que aperçu théorique, dans le 5ème siècle après JC Zu Chongzhi calculé la valeur de π à sept décimales, qui est resté la valeur la plus précise de π près les prochaines 1000 années. Il a également établi une méthode qui sera plus tard appelé Méthode des indivisibles de trouver le volume d'une sphère .
La ligne des hautes eaux de mathématiques chinoises se produit au 13ème siècle (dernière partie de la période Sung ), avec le développement de l'algèbre chinoise. Le texte le plus important de cette période est le Miroir précieux des quatre éléments par Chu Shih-chieh (fl. 1280-1303), qui traite de la solution d'équations simultanées élevés algébriques de commande en utilisant une méthode similaire à La méthode de Horner. Le Miroir précieux contient également un schéma de triangle de Pascal avec des coefficients de l'expansion binomiale par la huitième puissance, bien que les deux apparaissent dans les ouvrages chinois dès 1100. La Chine a également utilisé du schéma combinatoire complexe connu sous le carré magique et cercles magiques, décrites dans l'antiquité et au point par Yang Hui (AD 1238-1298).
Même après les mathématiques européens ont commencé à se épanouir au cours de la Renaissance , les mathématiques européennes et chinoises étaient traditions distinctes, avec sortie mathématique chinoise significative en déclin du 13ème siècle. Missionnaires jésuites tels que Matteo Ricci effectuée idées mathématiques et-vient entre les deux cultures du 16e au 18e siècles, mais à ce point des idées beaucoup plus mathématiques entraient dans la Chine de laisser.
Mathématiques indiennes
La première civilisation sur le sous-continent indien est la civilisation de l'Indus qui a prospéré entre 2600 et 1900 avant JC dans le fleuve Indus bassin. Leurs villes ont été aménagés avec une régularité géométrique, mais pas de documents mathématiques connus survivent de cette civilisation.
Les plus anciens documents mathématiques existants de l'Inde sont les Sulba soutras (datées diversement entre le 8ème siècle avant JC et le 2ème siècle après JC), les annexes aux textes religieux qui donnent des règles simples pour construire des autels de différentes formes, comme des carrés, des rectangles, des parallélogrammes, et autres. Comme avec l'Egypte, la préoccupation avec les fonctions du temple souligne à une origine des mathématiques dans le rituel religieux. Les soutras Sulba donnent des méthodes pour construire une cercle avec approximativement la même surface d'un carré donné, ce qui implique plusieurs approximations différentes de la valeur de π . En outre, ils calculent la racine carrée de 2 à plusieurs décimales, la liste des triples de Pythagore, et de donner une déclaration du théorème de Pythagore . Tous ces résultats sont présents dans les mathématiques babyloniennes, indiquant influence mésopotamienne. On ne sait pas dans quelle mesure les soutras Sulba influencé mathématiciens indiens tard. Comme en Chine, il ya un manque de continuité dans les mathématiques indiennes; des avancées significatives sont séparées par de longues périodes d'inactivité.
Pāṇini (c. 5ème siècle avant JC) a formulé les règles de Grammaire sanskrit. Sa notation était semblable à la notation mathématique moderne, et utilisé métarègles, transformations, et récursivité. Pingala (environ 3ème-1ère siècles avant JC) dans son traité de prosodie utilise un appareil correspondant à un système de numération binaire . Sa discussion des combinatoire de m correspond à une version élémentaire de la binôme. Le travail de Pingala contient également les idées de base de nombres de Fibonacci (appelé mātrāmeru).
Les prochains documents mathématiques importants de l'Inde après les soutras Sulba sont les Siddhantas, traités d'astronomie de la 4e et 5e siècles de notre ère ( Période Gupta) montrant une forte influence hellénistique. Ils sont importants en ce qu'ils contiennent de la première instance de relations trigonométriques en fonction de la demi-corde, comme ce est le cas dans la trigonométrie moderne, plutôt que l'accord complet, comme ce fut le cas dans la trigonométrie ptolémaïque. Grâce à une série d'erreurs de traduction, les mots "sinus" et "cosinus" découlent de la "jiya" sanskrit et "Kojiya".
Dans le 5ème siècle après JC, Aryabhata écrit la Aryabhatiya, un volume mince, écrite en vers, destiné à compléter les règles de calcul utilisés en astronomie et en mensuration mathématique, mais avec aucun sentiment pour la logique ou la méthode déductive. Bien que près de la moitié des entrées sont mauvais, ce est dans le Aryabhatiya que le système de valeur de décimale apparaît en premier. Plusieurs siècles plus tard, le Mathématicien musulman Abu Rayhan Biruni décrit le Aryabhatiya comme un «mélange de cailloux communs et cristaux coûteuses".
Au 7ème siècle, Brahmagupta identifié le Brahmagupta théorème, L'identité et Brahmagupta Formule de Brahmagupta, et pour la première fois, en Brahma-sphuta-siddhanta, il lucidement expliqué l'utilisation de zéro à la fois comme un espace réservé et décimale , et explique le Système de numération indo-arabe. Il était d'une traduction de ce texte indienne sur les mathématiques (c. 770) que les mathématiciens islamiques ont été introduits à ce système numérique, qui ils se sont adaptés que les chiffres arabes . Érudits islamiques effectuées connaissance de ce système numérique pour l'Europe par le 12ème siècle, et il est maintenant déplacée tous les systèmes numériques âgées à travers le monde. Au 10ème siècle, Le commentaire de Halayudha sur Le travail de Pingala contient une étude de la suite de Fibonacci et le triangle de Pascal , et décrit la formation d'une matrice .
Au 12ème siècle, Bhāskara II vivait dans le sud de l'Inde et a beaucoup écrit sur toutes les branches des mathématiques alors connus. Son travail contient des objets mathématiques ou équivalent approximativement équivalent à infinitésimaux, dérivés, le théorème de la valeur moyenne et la dérivée de la fonction sinus. Dans quelle mesure il a anticipé l'invention du calcul est un sujet de controverse parmi les historiens des mathématiques.
Au 14ème siècle, Madhava de Sangamagrama, le fondateur de la soi-disant Kerala École de mathématiques, a trouvé la Série Madhava-Leibniz, et, en utilisant 21 termes, calculé la valeur de π que 3,14159265359. Madhava également trouvé la série Madhava-Grégoire de déterminer l'arctangente, le Newton-Madhava série de puissance pour déterminer sinus et cosinus et le rapprochement Taylor pour les fonctions sinus et cosinus. Au 16ème siècle, Jyesthadeva consolidé un grand nombre de développements et les théorèmes de l'École dans le Kerala Yukti-Bhasa. Toutefois, l'École Kerala n'a pas formulé une théorie systématique de la différenciation et de l'intégration , il ne existe aucune preuve directe de leurs résultats transmis à l'extérieur Kerala. Progrès en mathématiques ainsi que d'autres domaines de la science a stagné en Inde avec la création de La domination musulmane en Inde.
Mathématiques islamique
Le Empire islamique établis à travers la Perse , le Moyen-Orient , Asie centrale, Afrique du Nord , Iberia, et dans certaines parties de l'Inde dans le 8ème siècle apporté d'importantes contributions mathématiques. Bien que la plupart des textes islamiques sur les mathématiques ont été écrits en arabe , la plupart d'entre eux ne ont pas été écrits par des Arabes , depuis peu comme le statut de la langue grecque dans le monde hellénistique, l'arabe a été utilisé comme langue écrite de chercheurs non-arabes dans l'ensemble du monde islamique à la temps. Perses contribué au monde de mathématiques aux côtés des Arabes.
Au 9ème siècle, le Mathématicien persan Al-Khwarismi a écrit plusieurs livres importants sur les chiffres indo-arabes et sur les méthodes de résolution des équations. Son livre Sur le calcul avec chiffres hindous , écrit environ 825, avec le travail de Al-Kindi, ont joué un rôle dans la diffusion des mathématiques indiennes et chiffres indiens à l'Ouest. Le mot algorithme est dérivée de la latinisation de son nom, Algoritmi, et le mot algèbre dans le titre d'une de ses Å“uvres, Al-Kitab al-Mukhtasar fî al-hisab Gabr wal-muqabala ( Le Livre Compendious sur le calcul par Achèvement et équilibrage ). Il a donné une explication exhaustive de la solution algébrique des équations du second degré avec racines positives, et il fut le premier à enseigner l'algèbre dans une forme élémentaire et pour son propre bien. Il a également discuté de la méthode fondamentale de « réduction »et« équilibre », se référant à la transposition des termes soustraits à l'autre côté de l'équation, qui est, l'annulation des termes comme sur les côtés opposés de l'équation. Ceci est l'opération qui al-Khwarizmi décrit à l'origine comme al-Jabr . Son algèbre était aussi plus concerné "avec une série de problèmes à résoudre, mais une exposition qui commence avec les termes primitifs dont les combinaisons doivent donner tous les prototypes possibles pour les équations, qui constituent désormais explicitement le véritable objet de l'étude. " Il a également étudié une équation pour son propre bien et "de manière générique, dans la mesure où il ne ressort pas tout simplement dans le cadre de la résolution d'un problème, mais est spécifiquement appelé à définir une classe infinie de problèmes."
D'autres développements dans l'algèbre ont été faites par Al-Karaji dans son traité al-Fakhri , où il étend la méthodologie pour intégrer les puissances entières et les racines entières de quantités inconnues. Quelque chose à proximité d'une preuve par induction mathématique apparaît dans un livre écrit par Al-Karaji autour de 1000 AD, qui sert à prouver la formule du binôme, triangle de Pascal , et la somme des intégrales cubes. Le historien des mathématiques, F. Woepcke, a salué Al -Karaji pour être "le premier qui a introduit la théorie de la algébrique le calcul . " Toujours dans le 10ème siècle, Abul Wafa traduit les Å“uvres de Diophante en arabe. Ibn al-Haytham a été le premier mathématicien pour calculer la formule pour la somme des puissances quatrièmes, en utilisant une méthode qui est facilement généralisable pour déterminer la formule générale pour le somme de toutes les puissances entières. Il a effectué une intégration afin de trouver le volume d'un paraboloïde, et a été en mesure de généraliser son résultat pour les intégrales des polynômes jusqu'au quatrième degré. Il est venu ainsi près de trouver une formule générale pour les intégrales de polynômes, mais il n'a pas été préoccupé par des polynômes de plus que la quatrième degré.
Dans la fin du 11ème siècle, Omar Khayyam a écrit discussions des difficultés à Euclid , un livre sur ce qu'il percevait comme des failles dans d'Euclide éléments , en particulier le postulat des parallèles. Il a également été le premier à trouver la solution géométrique générale des équations cubiques. Il a également été très influent dans la réforme du calendrier.
Au 13ème siècle, Nasir al-Din al-Tusi (Nasireddin) a fait des progrès dans la trigonométrie sphérique. Il a également écrit ouvrage influent sur ​​les Euclid s ' postulat des parallèles. Au 15ème siècle, Ghiyath al-Kashi calculé la valeur de Ï€ à la 16e décimale. Kashi a également eu un algorithme de calcul n ième racines, ce qui était un cas particulier des méthodes indiquées nombreux siècles plus tard par Ruffini et Horner.
Autres réalisations de mathématiciens musulmans pendant cette période comprennent l'ajout de lanotation décimale pour leschiffres arabes, la découverte de tous les modernesfonctions trigonométriquesen plus le sinus,l'introduction d'al-Kindi decryptanalyse etla fréquence d'analyse, le développement dela géométrie analytiqueparIbn al-Haytham, le début dela géométrie algébrique parOmar Khayyam et le développement d'unenotation algébrique paral-Qalasadi.
Pendant le temps de l'Empire ottomanetsafavide Empire du 15ème siècle, le développement des mathématiques islamiques est devenu stagnant.
Mathématiques médiévale européenne
Intérêt européen médiéval en mathématiques a été alimentée par des préoccupations tout à fait différentes de celles des mathématiciens modernes. Un élément de conduite était la croyance que les mathématiques à condition que la clé pour comprendre l'ordre créé de la nature, justifie souvent par Platon de Timée et le passage biblique (dans le Livre de la Sagesse ) que Dieu avait ordonné à tous les choses dans la mesure, et le nombre, et poids .
Boèce a fourni un endroit pour les mathématiques dans le curriculum au 6ème siècle quand il a inventé le terme quadrivium pour décrire l'étude de l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Il a écrit De institutione arithmetica , une traduction libre du grec de de Nicomaque Introduction à l'arithmétique ; De institutione musica , également dérivé de sources grecques; et une série d'extraits de Euclide s ' Elements . Ses Å“uvres étaient théoriques, plutôt que pratique, et sont à la base de l'étude des mathématiques jusqu'à la reprise des travaux mathématiques grecs et arabes.
Au 12ème siècle, les savants européens ont voyagé à l'Espagne et de la Sicileà la recherche de textes arabes scientifiques, y comprisal-Khwarizmis ' Le Compendious livre sur le calcul par l'achèvement et l'équilibrage, traduit en latin parRobert de Chester, et le texte complet ded'EuclideElements, traduits en différentes versions parAdelard de Bath,Herman de Carinthie, etGérard de Crémone.
Ces nouvelles sources ont suscité un renouveau des mathématiques. Fibonacci, écrivant dans le Liber Abaci , en 1202 et mis à jour en 1254, a produit le premier mathématiques importantes en Europe depuis l'époque de Eratosthène, un écart de plus de mille ans. Le travail présenté des chiffres indo-arabes en Europe, et a discuté de nombreux autres problèmes mathématiques.
Le 14e siècle a vu le développement de nouveaux concepts mathématiques pour enquêter sur un large éventail de problèmes. Une contribution importante a été le développement des mathématiques du mouvement local.
Thomas Bradwardine proposé que la vitesse (V) augmente en proportion arithmétique comme le rapport de la force (F) à la résistance (R) augmente en proportion géométrique. Bradwardine exprimé cela en une série d'exemples spécifiques, mais bien que le logarithme avait pas encore été conçu, nous pouvons exprimer sa conclusion anachronique par écrit: V = log (F / R). L'analyse de Bradwardine est un exemple de transfert d'une technique mathématique utilisée par Al-Kindi et Arnaud de Villeneuve à quantifier la nature des médicaments composés d'un problème physique différent.
Un de la 14e siècleOxford Calculatrices,William Heytesbury, manquantcalcul différentiel et la notion delimites, a proposé de mesurer la vitesse instantanée "par le chemin quiseraitêtre décrit par [un organisme]si... il était transféré uniformément à la même degré de rapidité avec laquelle il est déplacé à cet instant donné ".
Heytesbury et d'autres mathématiquement déterminé la distance parcourue par un corps subissant mouvement uniformément accéléré (aujourd'hui résolu parl'intégration), en déclarant que "un corps en mouvement uniforme acquérir ou perdre cet incrément [la vitesse] va traverser dans quelques temps donné une [Distance] complètement égal à celle qu'elle aurait si elle était traverser déplace en continu à travers le même temps avec le degré moyen [de vitesse] ".
Nicole Oresme à l' Université de Paris et l'Italien Giovanni di Casali fourni indépendamment des démonstrations graphiques de cette relation, affirmant que l'aire sous la ligne représentant l'accélération constante, représentait la distance totale parcourue. Dans un commentaire mathématique plus tard d'Euclide Eléments , Oresme a fait une analyse générale plus détaillée dans laquelle il a démontré que le corps va acquérir dans chaque tranche successive de temps un incrément de toute qualité qui augmente à mesure que les nombres impairs. Depuis Euclide avait démontré la somme des nombres impairs sont les nombres carrés, la qualité totale acquise par les corps augmente comme le carré de l'époque.
Mathématiques Renaissance
Pendant la Renaissance , le développement des mathématiques et de la comptabilité ont été liés. Bien qu'il n'y ait pas de relation directe entre l'algèbre et de la comptabilité, l'enseignement des sujets et les livres publiés souvent destiné aux enfants de marchands qui ont été envoyés à compter écoles (en Flandre et l'Allemagne ) ou boulier écoles (connu sous le nom abbaco en Italie), où ils ont appris les compétences utiles pour le commerce et le commerce. Il n'y a probablement pas besoin de l'algèbre dans l'exécution des opérations comptables, mais pour les opérations de troc complexes ou le calcul de l'intérêt composé, une connaissance de base de l'arithmétique était obligatoire et la connaissance de l'algèbre a été très utile.
Luca Pacioli "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità" (en italien: «Examen de l'arithmétique , la géométrie , Ratio et Proportion ") premier a été imprimées et publiées dans de Venise en 1494. Il comprenait un 27 pages Traité sur comptabilité, "Particularis de Computis et Scripturis " (en italien: «Détails du calcul et d'enregistrement»). Il a été écrit principalement pour, et vendue principalement, les commerçants qui ont utilisé le livre comme un texte de référence, comme une source de plaisir des énigmes mathématiques qu'il contenait, et à une aide à l'éducation de leurs fils. Dans Summa Arithmetica , Pacioli introduit des symboles pour plus et moins pour la première fois dans un livre imprimé, des symboles qui sont devenus notation standard en mathématiques de la Renaissance italienne. Summa Arithmetica était aussi le premier livre imprimé en Italie connue pour contenir l'algèbre . Il est important de noter que Pacioli avait lui-même emprunté une grande partie de l'Å“uvre de Piero Della Francesca qu'il plagié.
En Italie, au cours de la première moitié du 16ème siècle, Scipione del Ferro et Niccolò Fontana Tartaglia ont découvert des solutions pour les équations cubiques. Gerolamo Cardano les a publiées dans son livre 1545 Ars Magna , avec une solution pour les équations du quatrième degré, découvert par son élève Lodovico Ferrari. En 1572, Rafael Bombelli publié son L'algèbre dans lequel il a montré comment traiter avec les quantités imaginaires qui pourraient apparaître dans la formule de Cardano pour résoudre des équations cubiques.
Le livre de Simon StevinDe thiende(«l'art de dixièmes '), d'abord publié en néerlandais en 1585, contenait le premier traitement systématique denotation décimale, qui a influencé tous les travaux plus tard sur lesystème des nombres réels.
Poussé par les exigences de la navigation et le besoin croissant de cartes précises de grandes zones,la trigonométriea grandi pour être une branche majeure de mathématiques.Bartholomaeus Pitiscus était le premier à utiliser le mot, la publication de sonTrigonometriaen 1595. tableau de Regiomontanus des sinus et cosinus a été publié en 1533.
Pendant la Renaissance le désir des artistes pour représenter le monde naturel de façon réaliste, avec la philosophie retrouvée des Grecs, conduit les artistes à étudier les mathématiques. Ils étaient aussi les ingénieurs et les architectes de cette époque, et avait donc besoin des mathématiques dans tous les cas. L'art de la peinture en perspective, et les développements en géométrie impliqués, ont été étudiés intensément.
Mathématiques au cours de la révolution scientifique
17ème siècle
Le 17e siècle a vu une explosion sans précédent des idées mathématiques et scientifiques en Europe. Travers Galileo a observé les lunes de Jupiter en orbite autour de cette planète, en utilisant un télescope basé sur un jouet importé de Hollande. Tycho Brahe avait rassemblé une énorme quantité de données mathématiques décrivant le positions des planètes dans le ciel. Grâce à sa position comme l'assistant de Brahe, Johannes Kepler a d'abord été exposé à et sérieusement interagi avec le thème de mouvement planétaire. Les calculs de Kepler ont été simplifiées par l'invention contemporaine de logarithmes par John Napier et Jost Bürgi. Kepler a réussi à formuler des lois mathématiques du mouvement planétaire. La géométrie analytique développé par René Descartes (1596-1650) a permis à ces orbites à être reportés sur un graphique, en coordonnées cartésiennes . Simon Stevin (1585) a créé la base pour la notation décimale moderne capable de décrire tous les numéros, si rationnelle ou irrationnelle.
Construire sur des travaux antérieurs par de nombreux prédécesseurs, Isaac Newton a découvert les lois de la physique expliquant les lois de Kepler , et a réuni les concepts maintenant connu comme calcul infinitésimal. Indépendamment, Gottfried Wilhelm Leibniz a développé le calcul et une grande partie de la notation de calcul encore en usage aujourd'hui. Sciences et les mathématiques étaient devenus une entreprise internationale, qui allait bientôt se répandre sur le monde entier.
En plus de l'application des mathématiques à des études sur les cieux, mathématiques appliquées commencé à se développer dans de nouveaux domaines, avec la correspondance de Pierre de Fermat et de Blaise Pascal . Pascal et Fermat jeté les bases pour les enquêtes de la théorie des probabilités et les règles correspondantes de la combinatoire dans leurs discussions sur un jeu de jeu. Pascal, avec son pari, tenté d'utiliser la théorie des probabilités nouveau développement à plaider en faveur d'une vie consacrée à la religion, sur la motif que, même si la probabilité de succès était faible, les récompenses étaient infinies. Dans un certain sens, cela préfigure le développement de la théorie de l'utilité dans le 18e au 19e siècle.
18ème siècle
Le mathématicien le plus influent du 18ème siècle était sans doute Leonhard Euler . Ses contributions vont de la fondation de l'étude de la théorie des graphes avec les sept ponts de Königsberg problème de la normalisation de nombreux termes et des notations mathématiques modernes. Par exemple, il a nommé la racine carrée de moins 1 avec le symbole i , et il a popularisé l'utilisation de la lettre grecque 
pour représenter le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Il a fait de nombreuses contributions à l'étude de la topologie, la théorie des graphes, le calcul, la combinatoire, et l'analyse complexe, comme en témoigne la multitude de théorèmes et de notations nommés pour lui.
Autres mathématiciens européens importants du 18ème siècle inclusJoseph Louis Lagrange, qui a fait Å“uvre de pionnier dans la théorie des nombres, l'algèbre, le calcul différentiel, et le calcul des variations, etLaplacequi, à l'âge deNapoléon, ont fait un travail important sur ​​les fondations decéleste la mécanique et sur​​les statistiques.
Mathématiques modernes
19ème siècle
Tout au long du 19e siècle les mathématiques sont devenus de plus en plus abstraite. Au 19ème siècle vécu Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Laissant de côté ses nombreuses contributions à la science, en mathématiques pures qu'il a fait un travail révolutionnaire sur les fonctions de variables complexes, à la géométrie , et sur ​​la convergence des série. Il a donné les premières preuves satisfaisantes du théorème fondamental de l'algèbre et de la la loi de réciprocité quadratique.
Ce siècle a vu le développement des deux formes de la géométrie non-euclidienne, où le postulat parallèle de la géométrie euclidienne ne tient plus. Le mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski et son rival, le mathématicien hongrois János Bolyai, définis indépendamment et étudié la géométrie hyperbolique, où l'unicité de parallèles ne tient plus. Dans cette géométrie la somme des angles d'un triangle ajouter jusqu'à moins de 180 °. géométrie elliptique a été développé plus tard dans le 19ème siècle par le mathématicien allemand Bernhard Riemann ; ici pas d'équivalent peut être trouvé et les angles d'un triangle ajouter jusqu'à plus de 180 °. Riemann a également développé la géométrie de Riemann, qui unifie et généralise largement les trois types de géométrie, et il a défini le concept d'un collecteur , qui généralise les idées de courbes et surfaces.
Le 19ème siècle a vu le début d'une grande partie de l'algèbre abstraite . Hermann Grassmann en Allemagne a donné une première version du espaces vectoriels , William Rowan Hamilton en Irlande développé l'algèbre non commutative. Le mathématicien britannique George Boole a conçu une algèbre qui a vite évolué dans ce qui est maintenant appelé l'algèbre de Boole, dans lequel les seuls chiffres étaient de 0 et de 1. algèbre de Boole est le point de départ de la logique mathématique et a d'importantes applications dans l'informatique .
Augustin-Louis Cauchy,Bernhard Riemann, etKarl Weierstrass reformulées le calcul d'une manière plus rigoureuse.
Aussi, pour la première fois, les limites des mathématiques ont été explorées. Niels Henrik Abel, un Norvégien, et Évariste Galois, un Français, ont prouvé qu'il n'y a pas de méthode algébrique générale pour résoudre des équations algébriques de degré supérieur à quatre ( Abel-Ruffini théorème ). Autres mathématiciens du 19ème siècle utilisé ce dans leurs preuves que la règle et compas sont seuls ne suffisent pas à la trisection un angle arbitraire, pour construire le côté d'un cube deux fois le volume d'un cube donné, ni pour construire une égale carrés dans la zone à une donnée cercle. Mathématiciens avaient vainement tenté de résoudre tous ces problèmes depuis l'époque des Grecs anciens. D'autre part, la limitation des trois dimensions de la géométrie a été dépassé dans le 19ème siècle par des considérations de l'espace des paramètres et des numéros hypercomplexes.
Les enquêtes d'Abel et de Galois dans les solutions de diverses équations polynomiales ont jeté les bases de nouveaux développements de la théorie des groupes , et les domaines connexes de l'algèbre abstraite . Au 20e siècle, les physiciens et d'autres scientifiques ont vu la théorie des groupes comme le moyen idéal pour étudier la symétrie .
À la fin du 19ème siècle, Georg Cantor a établi les premiers fondements de la théorie des ensembles , ce qui a permis le traitement rigoureux de la notion de l'infini et est devenu la langue commune de presque tous les mathématiques. La théorie des ensembles de Cantor, et la montée de la logique mathématique dans les mains de Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert , Bertrand Russell , et AN Whitehead, a lancé un débat long de roulement sur ​​la fondements des mathématiques.
Le 19ème siècle a vu la création d'un certain nombre de sociétés mathématiques nationales: laLondon Mathematical Society en 1865, laSociété Mathématique de France en 1872, leCircolo Matematico di Palermo en 1884, laSociété mathématique d'Edimbourg en 1883, et de l'American Mathematical Society 1888. La première, la société d'intérêt spécial international, laSociété Quaternion, a été formé en 1899, dans le contexte d'unecontroverse de vecteur.
En 1897, Hensel introduitnombres p-adiques.
20ième siècle
Le 20e siècle a vu les mathématiques deviennent une profession importante. Chaque année, des milliers de nouveaux titulaires d'un doctorat en mathématiques sont attribués, et les emplois sont disponibles dans l'enseignement et l'industrie.
Dans un discours de 1900 à l' Congrès international des mathématiciens, David Hilbert a établi une liste de 23 problèmes non résolus en mathématiques. Ces problèmes, couvrant de nombreux domaines des mathématiques, ont formé un point central pour une grande partie des mathématiques 20e siècle. Aujourd'hui, 10 ont été résolus, 7 sont partiellement résolus, et 2 sont encore ouverts. Les 4 autres sont trop lâche formulé pour être déclaré comme résolu ou non.
Conjectures historiques notables ont finalement été prouvés. En 1976, Wolfgang Haken et Kenneth Appel utilisé un ordinateur pour prouver la théorème des quatre couleurs . Andrew Wiles, se fondant sur ​​le travail des autres, a prouvé le dernier théorème de Fermat en 1995. Paul Cohen et Kurt Gödel a démontré que l' hypothèse de continuum est indépendant de (possible être ni prouvée ni réfutée à partir de) les axiomes standard de la théorie des ensembles. En 1998, Thomas Hales Callister prouvé la conjecture de Kepler.
Collaborations mathématiques de la taille et la portée sans précédent ont eu lieu. Un exemple est le classification des groupes finis simples (également appelés la «énorme théorème"), dont la preuve entre 1955 et 1983 requise articles de revues quelque 500 d'environ 100 auteurs, et des dizaines de remplissage de milliers de pages. Un groupe de mathématiciens français, dont Jean Dieudonné et André Weil, de l'édition sous le pseudonyme de " Nicolas Bourbaki ", a tenté de Exposit toutes les mathématiques connues comme un tout cohérent rigoureuse. Les plusieurs dizaines de volumes résultant a eu une influence controversée sur l'enseignement des mathématiques.
Géométrie différentielle est venu dans son propre quand Einstein a utilisé dans la relativité générale . Nouvelles zones entières des mathématiques tels que la logique mathématique, topologie , et John von Neumann de la théorie des jeux changé les types de questions qui pourraient être résolues par des méthodes mathématiques. Tous les types de structures ont été extraites en utilisant axiomes et prénoms, comme les espaces métriques, espaces topologiques, etc. Comme font les mathématiciens, la notion d'une structure abstraite était elle-même abstraite et ont conduit à théorie des catégories. Grothendieck et Serre refonte géométrie algébrique en utilisant la théorie de la gerbe. Les grandes avancées ont été faites dans l'étude qualitative des systèmes dynamiques que Poincaré avait commencé dans les années 1890. Mesurer la théorie a été développée à la fin du 19ème et début du 20ème siècles. Applications de mesures comprennent l' intégrale de Lebesgue , l'axiomatisation de Kolmogorov de la théorie des probabilités et la théorie ergodique. Nouez théorie considérablement élargi. La mécanique quantique a conduit au développement d' analyse fonctionnelle. autres domaines nouveaux comprennent, de Laurent Schwarz la théorie de distribution, théorie des points fixes, la théorie des singularités et de René Thom la théorie des catastrophes, modèle la théorie et de Mandelbrot les fractales . théorie de Lie avec ses groupes de Lie et algèbres de Lie est devenu l'un des principaux domaines d'étude.
L'analyse non-standard, introduit par Abraham Robinson, rehabillitated l' approche au calcul infinitésimal, qui était tombé en discrédit en faveur de la théorie de limites , en étendant le champ des nombres réels pour les numéros hyperréaliste qui comprennent des quantités infimes et infinies. Un système de nombre encore plus important, les chiffres surréalistes ont été découvert par John Horton Conway dans le cadre de jeux combinatoires.
Le développement et l'amélioration continue des ordinateurs , au premières machines mécaniques analogiques, puis les machines électroniques numériques, a permis l'industrie pour faire face à des quantités plus en plus grandes de données pour faciliter la production et la distribution et la communication de masse, et de nouveaux domaines des mathématiques ont été élaborés pour faire face à cette : Alan Turing s ' théorie de la calculabilité; théorie de la complexité; de Claude Shannon théorie de l'information; traitement du signal; l'analyse des données; optimisation et d'autres domaines de la recherche opérationnelle . Dans les siècles précédents beaucoup l'accent mathématique était sur ​​le calcul et fonctions continues, mais la montée des réseaux informatiques et de communication a conduit à une importance croissante des concepts distincts et l'expansion de la combinatoire , y compris la théorie des graphes. les capacités de vitesse et de traitement de données d'ordinateurs a également permis à la manipulation de mathématique problèmes qui étaient beaucoup trop de temps à traiter par papier et crayon calculs, conduisant à des domaines tels que l'analyse numérique et calcul symbolique. Certains des procédés les plus importants et les algorithmes du 20ème siècle sont: l' algorithme du simplexe, la transformée de Fourier rapide, les codes correcteurs d'erreurs, le filtre de Kalman à partir de la théorie du contrôle et de l' algorithme RSA de cryptographie à clé publique.
Dans le même temps, des idées profondes ont été faites sur les limites aux mathématiques. En 1929 et 1930, il a été prouvé la vérité ou la fausseté de toutes les déclarations formulées sur les nombres naturels plus un des additions et des multiplications, était décidable, ce pourrait être déterminée par un algorithme. En 1931, Kurt Gödel a constaté que ce ne fut pas le cas pour le naturel numéros plus deux addition et de multiplication; ce système, connu sous le nom arithmétique de Peano, était en fait inachevable. (Arithmétique de Peano est adéquate pour une bonne partie de la théorie des nombres , y compris la notion de nombre premier .) Une conséquence de deux de Gödel théorèmes d'incomplétude est que dans tout système mathématique qui inclut l'arithmétique de Peano (y compris l'ensemble des analyses et géométrie ), la vérité devance nécessairement la preuve, à savoir qu'il ya de vrais déclarations qui ne peuvent pas être prouvés au sein du système. Ainsi les mathématiques ne peut être réduite à la logique mathématique, et David Hilbert rêve de faire de toutes les mathématiques complètes et cohérentes nécessaires pour être reformulé.
Une des figures les plus colorés en mathématiques 20e siècle était Srinivasa Ramanujan Aiyangar (1887-1920), un Indien autodidacte qui a conjecturé ou avéré plus de 3000 théorèmes, y compris les propriétés des nombres très composites, la fonction de partition et ses asymptotique et fonctions thêta maquettes . Il a également fait des enquêtes majeures dans les domaines de fonctions gamma, formes modulaires, séries divergentes, séries hypergéométriques et nombre premier théorie.
Paul ErdÅ‘s a publié plus de documents que tout autre mathématicien dans l'histoire, en collaboration avec des centaines de collaborateurs. Les mathématiciens ont un jeu équivalent à la Kevin Bacon jeu, ce qui conduit à l' nombre ErdÅ‘s d'un mathématicien. Cela décrit la «distance de collaboration" entre une personne et Paul ErdÅ‘s, telle que mesurée par la paternité conjointe de documents mathématiques.
Emmy Noethera été décrit par beaucoup comme la femme la plus importante dans l'histoire des mathématiques, elle a révolutionné les théories de bagues, champs, et algèbres.
Comme dans la plupart des domaines d'étude, l'explosion des connaissances à l'ère scientifique a conduit à une spécialisation: d'ici la fin du siècle, il y avait des centaines de domaines spécialisés dans les mathématiques et la Classification Mathématique était plusieurs dizaines de pages. De plus en plus de revues mathématiques ont été publiés et, d'ici la fin du siècle, le développement du World Wide Web a conduit à la publication en ligne.
21e siècle
En 2000, le Clay Mathematics Institute a annoncé les septproblèmes du prix du millénaire, et en 2003, laconjecture de Poincaré a été résolu parGrigori Perelman (qui a refusé d'accepter un prix sur ce point).
La plupart des revues mathématiques ont maintenant des versions en ligne ainsi que les versions imprimées, et de nombreux ligne uniquement revues sont lancés. Il ya un lecteur de plus en plus vers l'édition en libre accès, d'abord popularisée par le arXiv.
Avenir des mathématiques
Il ya beaucoup de tendances observables dans les mathématiques, la plus notable étant que le sujet se développe toujours plus, les ordinateurs sont de plus en plus important et puissant, l'application des mathématiques à la bioinformatique est en pleine expansion, le volume de données à analyser étant produite par la science et la l'industrie, facilitée par les ordinateurs, est explosive en pleine expansion.
