Homéomorphisme

Une déformation permanente entre un tasse de café et un beigne illustrant qu'ils sont homéomorphes. Mais il n'a pas besoin d'être une déformation continue pour deux espaces soient homéomorphes.

Dans la mathématique domaine de la topologie , un homéomorphisme ou isomorphisme topologique (des grecs mots homoios = similaire et μορφή (morphe) = = forme forme (déformation latin de morphe)) est une spéciale isomorphisme entre espaces topologiques qui respecte propriétés topologiques. Deux espaces avec un homéomorphisme entre eux sont appelés homéomorphes. Du point de vue topologique, ils sont les mêmes.

Grosso modo, un espace topologique est un géométrique objet, et l'homéomorphisme est un étirement continu et la flexion de l'objet dans une nouvelle forme. Ainsi, un carré et un cercle sont homéomorphes à l'autre, mais une sphère et un beigne ne sont pas. Une blague souvent répétée est que topologues ne peuvent pas dire la tasse de café dont ils boivent de la beigne qu'ils mangent, depuis un beignet suffisamment pliable pourrait être remodelé à la forme d'une tasse de café en créant une fossette et progressivement agrandissant , tout en réduisant le trou dans une poignée.

Intuitivement, une Cartes homéomorphisme points dans le premier objet qui sont "rapprochés" à des points dans le deuxième objet qui sont rapprochés, et les points dans le premier objet qui ne sont pas rapprochés des points dans le deuxième objet qui ne sont pas rapprochés. La topologie est l'étude de ces propriétés des objets qui ne changent pas quand homéomorphismes sont appliquées.

Définition

Une fonction f entre deux espaces topologiques X et Y est appelé un homéomorphisme si elle a les propriétés suivantes:

• f est un bijection ( 1-1 et sur),
• f est continu,
• la fonction inverse F ^-1 est continue (f est un cartographie ouverte).

Si une telle fonction existe, nous disons X et Y sont homéomorphes. Un auto-homéomorphisme est un homéomorphisme d'un espace topologique et lui-même. Les homéomorphismes forment une relation d'équivalence sur le classe de tous les espaces topologiques. La résultante classes d'équivalence sont appelés classes de homéomorphisme.

Exemples

Un Nœud de trèfle est homéomorphe à un tore . Même si cela peut paraître illogique, en quatre dimensions, ils peuvent facilement être déformées en permanence.

• L'unité 2- disque D ² et la carré unité dans R ² sont homéomorphes.

• Le ouverte intervalle (-1, 1) est homéomorphe à l' nombres réels R.

• Le l'espace produit S ¹ × S ¹ et le deux dimensions tore sont homéomorphes.

• Chaque isomorphisme uniforme et isomorphisme isométrique est un homéomorphisme.

• Toute 2-sphère avec un seul point retiré est homéomorphe à l'ensemble de tous les points de R ² (2 dimensions planes ).

• et ne sont pas pour homéomorphe

Propriétés

• Deux espaces homéomorphes partagent le même propriétés topologiques. Par exemple, si l'un d'eux est compact , alors que l'autre est ainsi; si l'un d'entre eux est reliée, alors que l'autre est ainsi; si l'un d'entre eux est Hausdorff, alors l'autre est aussi; leur groupes d'homologie coïncideront. Notez cependant que cela ne se applique pas aux propriétés définies par un métrique; il ya des espaces métriques homéomorphes même si l'un d'entre eux est compléter et l'autre non.

• Un homéomorphisme est à la fois un cartographie ouverte et une cartographie fermé, ce est qu'il maps ouverts pour ouvrir et ensembles ensembles fermés à ensembles fermés.

• Chaque auto-homéomorphisme dans peut être étendu à une auto-homéomorphisme de l'ensemble du disque ( Trick Alexander).

La discussion informelle

Le critère intuitive d'étirement, pliage, découpage et collage de retour ensemble prend une certaine quantité de la pratique d'appliquer correctement - il peut ne pas être évident de la description ci-dessus que la déformation d'une segment de ligne à un point est inadmissible, par exemple. Il est donc important de réaliser que ce est la définition formelle donnée ci-dessus qui compte.

Cette caractérisation d'un homéomorphisme conduit souvent à confusion avec la notion d' homotopie , qui est en fait défini comme une déformation continue, mais d'une fonction à une autre, plutôt que d'un espace à un autre. Dans le cas d'un homéomorphisme, envisageant une déformation continue est un outil mental pour garder la trace de qui pointe sur l'espace X correspondances entre points sur Y - on les suit tout comme X déforme. Dans le cas d'homotopie, la déformation continue d'une carte à l'autre est de l'essence, et il est également moins restrictive, car aucune des cartes concernées doivent être one-to-one ou sur. Homotopie ne mène à une relation sur des espaces: équivalence d'homotopie .

Il ya un nom pour le type de déformation impliqué dans la visualisation d'un homéomorphisme. Il est (sauf lors de la coupe et de recollage sont obligatoires) une isotopie entre le carte d'identité sur X et l'homéomorphisme de X à Y.