L'inégalité (mathématiques)

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Le régions possibles de programmation linéaire sont définis par un ensemble d'inégalités.

En mathématiques , une inégalité est une déclaration au sujet de la taille relative ou cet ordre de deux objets. (Voir aussi: l'égalité)

La notation $<b \! \$ un moyen qui est inférieur à b, et
La notation $a> b \! \$ signifie que a est supérieur à b.

Ces relations sont connus comme inégalité stricte; en revanche

$un \ le b$ signifie que a est inférieur ou égal à b;
$a \ b ge$ signifie que a est supérieur ou égal à b;
$\ not> b$ signifie que a ne est pas plus grand que b et
$\ not <b$ signifie que a ne est pas inférieur à b.

Une utilisation supplémentaire de la notation est de montrer que l'on est beaucoup plus grande quantité que l'autre, habituellement par plusieurs ordres de grandeur.

La notation $a \ b gg$ signifie que A est beaucoup plus grand que b.
La notation $un \ ll b$ signifie que A est beaucoup inférieur à b.

Si le sens de l'inégalité est la même pour toutes les valeurs des variables pour lesquelles ses membres sont définis, puis l'inégalité est appelée une inégalité «absolue» ou «inconditionnel». Si le sens d'une inégalité ne vaut que pour certaines valeurs des variables impliquées, mais est renversée ou détruit d'autres valeurs des variables, il est appelé une inégalité conditionnelle. Le sens d'une inégalité ne est pas modifié si les deux côtés sont augmentés ou diminués par le même nombre, ou si les deux côtés sont multipliés ou divisés par un nombre positif; le sens d'une inégalité est inversé si les deux membres sont multipliés ou divisés par un nombre négatif .

Propriétés

Les inégalités sont régies par les suivantes propriétés . Notez que, pour la transitivité, inversion, addition et la soustraction, multiplication et division et propriétés, la propriété est également titulaire si des signes d'inégalité stricte (<et>) sont remplacés par leur signe correspondant non stricte inégalité (≤ et ≥).

Trichromie

Le Etats propriété Trichotomy:

Pour toute nombres réels , a et b, exactement une des conditions suivantes est remplie:
- <b
- a = b
- a> b

Transitivité

Le transitivité des inégalités déclare:

Pour toute nombres réels , a, b, c:
- Si a> b et b> c; puis a> c
- Si a <b et b <c; alors un <c

Renversement

Les relations d'inégalité sont relations inverses:

Pour toute nombres réels , a et b:
- Si a> b puis b <a
- Si un <b puis b> un

Addition et soustraction

Les propriétés qui traitent de plus et la soustraction Etat:

Pour toute nombres réels , a, b, c:
- Si a> b, alors a + c> b + c et un - c> b - c
- Si a <b, alors a + c <b + c et un - c <b - c

ce est à dire, les chiffres réels sont un groupe ordonné.

Multiplication et division

Les propriétés qui traitent de la multiplication et de la division Etat:

Pour toute nombres réels, a, b, c:
- Si c est positif et un <b, puis ac <bc
- Si c est négative et un <b, puis ac> bc

Plus généralement cela se applique pour un corps ordonné, voir ci-dessous.

Opposé

Les propriétés de la additif état inverse:

Pour toute nombres réels a et b
- Si un <b puis - a> - b
- Si a> b alors - un <- b

Inverse multiplicatif

Les propriétés de la multiplicatif état inverse:

Pour tout nombre réel a et b qui sont à la fois positifs ou les deux négatif
- Si un <b puis 1 / a> 1 / b
- Si a> b puis 1 / a <1 / b

L'application d'une fonction à deux côtés

Nous considérons deux cas de fonctions: monotone et strictement monotone.

Toute strictement monotone croissante fonction peut être appliquée aux deux côtés de l'inégalité et il va encore tenir. L'application d'une fonction strictement monotone décroissante de part et d'autre d'une inégalité signifie l'inégalité inverse est maintenant. Les règles d'additif et inverses multiplicatifs sont deux exemples de l'application d'une fonction décroissante monotone.

Si vous avez une inégalité non stricte (a ≤ b, a ≥ b) puis:

Appliquer une fonction croissante monotone préserve la relation (≤ reste ≤, ≥ reste ≥)
L'application d'une fonction décroissante monotone inverse la relation (≤ devient ≥, ≤ ≥ devient)

Il ne deviendra jamais strictement inégale, puisque, par exemple, 3 ≤ 3 ne implique pas que 3 <3.

Champs commandés

Si F, +, * être un ≤ champ et un ordre total sur F, alors F, +, *, ≤ est appelé champ si et seulement si commandé:

si un ≤ b alors a + c ≤ b + c
si 0 ≤ a et 0 ≤ b ≤ 0 alors ab

On notera que les deux $\ Mathbb {Q}$ , +, *, Et ≤ $\ Mathbb {R}$ , +, *, Sont ≤ champs commandés.

≤ ne peut être définie afin de rendre $\ Mathbb {C}$ , +, *, Un ≤ corps ordonné.

Les inégalités non strictes ≤ et ≥ sur nombres réels sont commandes totales. Les inégalités strictes <et> sur nombres réels sont Module: Total_order ( parler · · hist · · liens · sous-pages essais - résultats).

Notation Enchaîné

La notation <b <c signifie "a <b et b <c", à partir de laquelle, par la propriété de transitivité ci-dessus, il se ensuit également que <c. De toute évidence, par les lois ci-dessus, on peut ajouter / soustraire le même nombre à tous les trois termes, ou multiplier / diviser les trois termes par même nombre différent de zéro et inverser les inégalités selon le signer. . Mais il faut prendre soin de sorte que vous utilisez vraiment le même nombre dans tous les cas, par exemple, une <b + e <c est équivalent à un - e <b <c - e.

Cette notation peut être généralisé à tout nombre de termes: par exemple, un ₁ ≤ ₂ ≤ ... ≤ a _n signifie qu'un _i ≤ a _{i 1} pour i = 1, 2, ..., n - 1. Par transitivité, cette condition est équivalent à un _i ≤ a _j pour tout 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Lors de la résolution des inégalités en utilisant la notation en chaîne, il est possible et parfois nécessaire d'évaluer les termes indépendamment. Par exemple, pour résoudre l'inégalité 4 x <2 x + 1 ≤ 3 x + 2, vous ne serez pas en mesure d'isoler x une quelconque partie de l'inégalité par l'addition ou la soustraction. Au lieu de cela, vous pouvez résoudre 4 x <2 x + 1 et 2 + 1 x ≤ 3 x + 2 indépendamment, ce qui donne x <1/2 et x ≥ -1 respectivement, qui peuvent être combinés dans la solution finale -1 ≤ x < 2.1.

Parfois, la notation enchaîné est utilisé avec les inégalités dans des directions différentes, auquel cas le sens est le conjonction logique des inégalités entre les termes adjacents. Par exemple, un <b> c ≤ d signifie que <b, b> c et c ≤ d. En plus de l'utilisation rare dans les mathématiques, cette notation existe dans quelques langages de programmation tels que Python .

Représenter les inégalités sur la ligne de nombre réel

Chaque inégalités (sauf ceux qui impliquent nombres imaginaires) peuvent être représentés sur le réel numéro de ligne montrant des régions sombres sur la ligne.

Les inégalités entre les moyens

Il existe de nombreuses inégalités entre les moyens. Par exemple, pour des nombres positifs $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$

$H \ le G \ le A \ le Q$ Où

$H = \ frac {n} {\ frac {1} {} a_1 + \ frac {1} {} a_2 + ... + \ frac {1} {}} a_n$ ( moyenne harmonique),

$G = \ sqrt [n] {a_1 \ cdot a_2 \ cdot ... \ cdot a_n}$ ( moyenne géométrique),

$A = \ frac {a_1 + a_2 + ... + a_n} {n}$ ( moyenne arithmétique ),

$Q = \ sqrt {\ frac {a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + ... + a_n ^ 2} {n}}$ ( moyenne quadratique).

Les inégalités de pouvoir

Parfois avec la notation "l'inégalité de pouvoir" comprendre les inégalités qui contiennent $un b ^$ expressions de type cas $une$ et $b$ sont des nombres réels positifs ou expressions de certaines variables. Elles peuvent apparaître à des exercices de olympiades mathématiques et des calculs.

Exemples

Si $x> 0$ , Puis $x ^ x \ ge \ left (\ frac {1} {e} \ right) ^ \ frac {1} {e}$
Si $x> 0$ , Puis $x ^ {x ^ x} \ ge x$
Si $x, y, z> 0$ , Puis $(X + y) ^ z + (x + z) ^ y + (y + z) ^ x> 2$ .
Pour toute nombres réels distincts $une$ et $b$ , $\ Frac {e ^ b-e ^ a} {b-a}> e ^ {\ frac {a + b} {2}}$
Si $x, y> 0$ et $0 <p <1$ , Puis $(X + y) ^ p <x + y ^ p ^ p$
Si $x$ , $y$ et $z$ sont positifs, alors $x ^ x ^ y y z ^ z \ ge (xyz) ^ \ frac {x + y + z} {3}$
Si $une$ et $b$ sont positifs, alors $a ^ b + b ^ a> 1$ . Ce résultat a été généralisé par R. Ozols en 2002 qui a prouvé que si $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$ sont des nombres réels positifs, puis $a_1 ^ {} + a_2 a_2 ^ {} A_3 + ... + a_n ^ {} a_1> 1$ (Résultat est publié dans trimestrielle vulgarisation scientifique lettone le ciel étoilé, voir les références).

Inégalités bien connus

Voir également liste des inégalités.

Les mathématiciens utilisent souvent les inégalités à des quantités consolidés pour lesquels les formules exactes ne peuvent pas être calculés facilement. Certaines inégalités sont utilisés si souvent qu'ils ont des noms:

Inégalité d'Azuma
Inégalité de Bernoulli
Inégalité de Boole
Inégalité de Cauchy-Schwarz
L'inégalité de Tchebychev
Inégalité de Chernoff
Cramér-Rao inégalités
Inégalité de Hoeffding
L'inégalité de Hölder
Inégalité arithmético-géométrique
L'inégalité de Jensen
L'inégalité de Kolgomorov
L'inégalité de Markov
Minkowski inégalités
Inégalité de Nesbitt
L'inégalité de Pedoe
Triangle inégalités

Les mnémoniques pour les étudiants

Les jeunes étudiants confondent parfois la moins-que et de signes supérieur, qui sont des images miroir l'une de l'autre. Un moyen mnémotechnique couramment enseignée est que le signe représente la bouche d'une faim alligator qui essaie de manger le plus grand nombre; ainsi, il se ouvre à la fois vers 8 3 <8 et 8> 3. Une autre méthode est de remarquer la quantité de points de plus grandes à la plus petite quantité et dit, "ha-ha, je suis plus grand que vous."

En outre, sur une ligne numérique horizontale, le signe supérieur est la flèche qui est à l'extrémité la plus grande de la ligne numéro. De même, le symbole est inférieure à la flèche à l'extrémité la plus petite de la numéro de ligne (<--- 0--1--2--3--4--5--6--7--8--9 --->).

Les symboles peuvent aussi être interprétés directement à partir de leur forme - le côté avec une grande séparation verticale indique une grande (r) la quantité, et le côté qui est un point indique un petit (er) la quantité. De cette manière, les symboles d'inégalité sont semblables à la musique crescendo et decrescendo. Les symboles pour l'égalité, moins-que ou égal à, et supérieur ou égal à peuvent aussi être interprétés avec cette perspective.

Les nombres complexes et les inégalités

En introduisant un ordre lexicographique sur les nombres complexes , ce est un ensemble totalement ordonné. Toutefois, il est impossible de définir ≤ sorte que $\ Mathbb {C}$ , +, *, Devient un ≤ corps ordonné. Si $\ Mathbb {C}$ , +, *, ≤ étaient une corps ordonné, il doit satisfaire les deux propriétés suivantes:

si un ≤ b alors a + c ≤ b + c
si 0 ≤ a et 0 ≤ b ≤ 0 alors ab

Parce ≤ est un total de la commande, pour un certain nombre a, a ≤ 0 ou 0 ≤ a. Dans les deux cas 0 ≤ a ^2; cela signifie que $i ^ 2> 0$ et $1 ^ 2> 0$ ; si $1> 0$ et $-1> 0$ , Contradiction.

Cependant ≤ peut être défini afin de satisfaire la première propriété, ce est à dire si un ≤ b alors a + c ≤ b + c. Une définition qui est parfois utilisé est l'ordre alphabétique: