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Paradoxe du singe savant

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Renseignements généraux

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Étant donné assez de temps, un hypothétique chimpanzé tapant au hasard serait, dans le cadre de sa production, presque sûrement produire l'un des pièces de Shakespeare (ou tout autre texte).

Le singe théorème infinie stipule qu'un singe frapper les touches au aléatoire sur un clavier de machine à écrire pour un quantité infinie de temps sera presque sûrement taper un texte particulier choisi, tels que les œuvres complètes de William Shakespeare . Dans ce contexte, " presque sûrement "est un terme mathématique avec un sens précis, et le« singe »ne est pas un singe réelle, mais plutôt, ce est une métaphore pour un dispositif abstrait qui produit une séquence aléatoire de lettres à l'infini. Le théorème illustre les périls de raisonner sur l'infini en imaginant un vaste, mais nombre fini, et vice versa. La probabilité d'un singe tapant une chaîne donnée d'un texte aussi longtemps que, par exemple, Hamlet, est si minuscule que, ont été menées l'expérience, la chance qu'il se produise réellement pendant un laps de temps de l'ordre de l' âge de l'univers est minuscule mais pas zéro.

Variantes du théorème comprennent de multiples et même une infinité de dactylographes, et le texte cible varie entre toute une bibliothèque et une seule phrase. L'histoire de ces déclarations peut être retracée à Aristote Métaphysique s 'et De natura la deorum de Cicéron, par Blaise Pascal et Jonathan Swift, et enfin aux états modernes avec leurs machines à écrire emblématiques. Au début du 20e siècle, Émile Borel et Arthur Eddington utilisé le théorème pour illustrer les délais implicites dans les fondements de la mécanique statistique . Divers Apologistes chrétiens d'une part, et Richard Dawkins de l'autre, ont fait valoir à propos de la pertinence des singes comme une métaphore de l'évolution .

Aujourd'hui, l'intérêt populaire pour les singes de frappe est soutenue par de nombreuses apparitions dans la littérature, la télévision et la radio, la musique et l'Internet. En 2003, une expérience a été réalisée avec humour six Célèbes Crested macaques, mais leur contribution littéraire était cinq pages constitué en grande partie de la lettre S.

Solution

Preuve directe

Il est une preuve directe de ce théorème. Si deux événements sont statistiquement indépendants, (ce est à dire ne affecte ni le résultat de l'autre), alors la probabilité de survenance la fois est égale au produit des probabilités de chacun d'eux passe de façon indépendante. Par exemple, si le risque de pluie à Sydney un jour donné est de 0,3 et la possibilité d'un tremblement de terre à San Francisco ce jour est de 0,008, alors la chance de passe à la fois sur ce même jour est de 0,3 × 0,008 = 0,0024.

Supposons que la machine dispose de 50 touches, et le mot est tapé être " banane ". Taper au hasard, la chance que la première lettre tapée est b est 1/50, et la chance que la deuxième lettre tapée est un 1/50 est aussi, et ainsi de suite, parce que les événements sont indépendants. Donc les chances de la banane six premières lettres correspondant est

(1/50) x (1/50) x (1/50) x (1/50) x (1/50) x (1/50) = (1/50) 6.

Pour la même raison, la possibilité que les six lettres suivantes correspondent à la banane est également (1/50) 6, et ainsi de suite.

De ce qui précède, la chance de ne pas taper la banane dans un bloc donné de 6 lettres est une - (1/50) 6. Parce que chaque bloc est tapé indépendamment, la chance n X de ne pas taper la banane dans l'un des n premiers blocs de six lettres est

X_n = \ left (1- \ frac {1} {50 ^ 6} \ right) ^ n.

Comme pousse n, X n devient plus petit. Pour un n d'un millions, X n est de 99,99%, mais pour un n de 10 milliards de X n est de 53% et pour un n de 100 milliards, il est de 0,17%. Comme n tend vers l'infini, la probabilité X n se approche de zéro; ce est en faisant n suffisamment grand, X n peut être rendue aussi petite que l'on veut.

Le même argument montre pourquoi au moins un d'une infinité de singes aura (presque sûrement) produire un texte aussi rapidement qu'il serait produite par une dactylo humaine parfaitement exacte copie de l'original. Dans ce cas, X n = (1 - (1/50) 6) n dans laquelle X n représente la probabilité qu'aucun des premier n types de singes banane correctement du premier coup. Lorsque nous considérons 100000000000 singes, la probabilité tombe à 0,17%, et que le nombre de singes n augmente à l'infini la valeur de X n - la probabilité des singes défaut de reproduire le texte donné - diminue à zéro. Cela équivaut à dire que la probabilité qu'un ou plusieurs d'un nombre infini de singes va produire un texte donné sur le premier essai est de 100%, ou qu'il est presque certain qu'ils le feront.

Cordes infinies

Les deux déclarations ci-dessus peuvent être énoncés plus généralement et de façon compacte en termes de cordes, qui sont des séquences de caractères choisis parmi un alphabet fini:

  • Compte tenu d'une chaîne infinie où chaque caractère est choisi uniformément au hasard, ne importe quelle chaîne finie donné se produit presque sûrement comme une chaîne à une position (et en effet, un nombre infini de positions).
  • Étant donné une suite infinie de chaînes infinies, où chaque caractère de chaque chaîne est choisi uniformément au hasard, ne importe quelle chaîne finie donné se produit presque sûrement comme préfixe d'une de ces chaînes (et en effet, comme un préfixe d'une infinité de ces chaînes dans le séquence).

Ils suivent facilement de la seconde Borel-Cantelli. Pour la deuxième théorème, soit E k le Si le k ème chaîne commence par le texte donné. Parce que cela a un certain fixe non nul probabilité p de se produire, le E k sont indépendants, et la somme ci-dessous diverge,

\ Sum_ {i = 1} ^ \ infty P (E_k) = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty p = \ infty,

la probabilité que nombre infini de l'E k se produisent est 1. Le premier théorème est démontré de façon similaire; on peut diviser la chaîne aléatoire en blocs non chevauchants correspondant à la taille du texte souhaité, et de faire E k le cas où le k ème bloc est égal à la chaîne souhaitée.

Probabilités

Ignorance la ponctuation, l'espacement et la capitalisation, un singe tapant les lettres uniformément au hasard a une chance sur 26 de taper correctement la première lettre de Hamlet. Il a une chance sur 676 (26 × 26) de taper les deux premières lettres. Parce que la probabilité diminue de façon exponentielle , à 20 lettres qu'il a déjà qu'une chance sur 26 = 20 19,928,148,895,209,409,152,340,197,376, à peu près équivalent à la probabilité d'acheter 4 billets consécutivement et gagner le jackpot à chaque fois loterie. Dans le cas de l'ensemble du texte de Hamlet, les probabilités sont si infime qu'ils peuvent à peine être conçus en termes humains. Dites le texte de Hamlet contient 130 000 lettres (il est en fait plus, même dépouillé de ponctuation), alors il ya une probabilité de un sur 3,4 × 10 183 946 pour obtenir le droit de texte lors du premier procès. Le nombre moyen de lettres qui doit être tapé jusqu'à ce que le texte se affiche est également 3,4 × 10 183 946.

Pour fins de comparaison, il ya seulement environ 3 × 10 79 atomes d'hydrogène dans l' univers observable et à seulement 4,3 × 10 17 secondes se sont écoulées depuis le Big Bang . Même si l'univers observable était rempli de singes tapant une fois pour toutes, de leur probabilité totale pour produire une seule instance de Hamlet serait encore moins d'un sur 10 183 800. Comme Kittel et Kroemer a dit, "La probabilité d'Hamlet est donc nul dans tous les sens opérationnelle d'un événement ...", et la déclaration que les singes doivent finalement réussir »donne une conclusion trompeuse sur les très, très grand nombre." Ce est de leur manuel sur la thermodynamique , le domaine dont les fondements statistiques motivé les expositions d'abord connus des singes de frappe.

Histoire

Mécanique statistique

Dans l'une des formes sous lesquelles probabilistes sais maintenant ce théorème, avec son "dactyloscopique" [cf., dactylographie] singes ( français : singes dactylographes; le mot Français singe couvre à la fois les singes et les singes ), paru dans 1913 article d'Émile Borel "Mécanique Statistique et irréversibilité" ( de la mécanique statistique et irréversibilité), et dans son livre "Le Hasard" en 1914. Ses «singes» ne sont pas des singes réels; plutôt, ils sont une métaphore de manière imaginaire pour produire une grande, séquence aléatoire de lettres. Borel a dit que si un million de singes saisis dix heures par jour, il est extrêmement peu probable que leur production serait exactement égale tous les livres des bibliothèques les plus riches du monde; et pourtant, en comparaison, ce était encore plus improbable que les lois de la mécanique statistique seraient jamais être violés, même brièvement.

Le physicien Arthur Eddington a attiré sur l'image de Borel plus loin dans la nature du monde physique (1928), écrit:

Si je laisse mes doigts se promènent bras croisés sur les touches de machine à écrire, il peut arriver que mon chape fait une phrase intelligible. Si une armée de singes ont été Jouant sur les machines à écrire, ils peuvent écrire tous les livres au British Museum. Le risque de leur faire est nettement plus favorable que le hasard des molécules de retour à la moitié de la cuve.

Ces images invitent le lecteur à considérer l'incroyable invraisemblance d'un grand mais fini nombre de singes de travail pour une grande mais finie de temps produire un travail important, et de comparer cela avec la plus grande invraisemblance de certains événements physiques. Tout processus physique qui est encore moins probable que le succès de ces singes est effectivement impossible, et il peut dire sans se tromper que ce processus ne se produira jamais.

Origines et "La Bibliothèque totale"

Dans un essai 1939 intitulé «La bibliothèque totale", l'écrivain argentin Jorge Luis Borges retracé le concept infinie singe retour à Aristote Métaphysique s '. Expliquant les vues de Leucippe, qui a estimé que le monde se pose à travers la combinaison aléatoire de atomes , Aristote note que les atomes eux-mêmes sont homogènes et leurs arrangements possibles ne diffèrent que par la position et l'ordre. Le philosophe grec compare à la façon dont une tragédie et une comédie se composent des mêmes "atomes", ce est à dire, des caractères alphabétiques. Trois siècles plus tard, De natura deorum de Cicéron (De la nature des Dieux) a argumenté contre la vision du monde atomiste:

Celui qui croit cela peut ainsi croire que si une grande quantité de l'un vingt-lettres, composées soit d'or ou de toute autre question, ont été jetés sur le sol, ils serait tomber dans l'ordonnance lisiblement pour former les Annales de Ennius. Je doute que la fortune pourrait faire un seul verset d'entre eux.

Borges suit l'histoire de cet argument par Blaise Pascal et Jonathan Swift, puis observe que, dans son temps, le vocabulaire a changé. En 1939, l'idiome était "qu'une demi-douzaine de singes seraient fournies avec les machines à écrire, en quelques éternités, produire tous les livres au British Museum." (Pour ce qui ajoute Borges, «Strictement parlant, un singe immortel suffirait.") Borges imagine alors le contenu de la Bibliothèque total dont cette entreprise produirait si elle est menée à son maximum extrême:

Tout serait dans ses volumes aveugles. Tout: l'histoire détaillée de l'avenir, d'Eschyle Les Egyptiens, le nombre exact de fois que les eaux du Gange ont réfléchis le vol d'un faucon, la nature secrète et vrai de Rome, l'encyclopédie Novalis aurait construit, mes rêves et les demi-rêves à l'aube, le 14 Août 1934, la preuve du théorème de Pierre de Fermat, les chapitres non écrites de Edwin Drood, ces mêmes chapitres traduits dans la langue parlée par les Garamantes, les paradoxes Berkeley inventé concernant le temps, mais ne ont pas publié, Les livres d'Urizen de fer, les épiphanies prématurés de Stephen Dedalus, qui ne aurait aucun sens avant un cycle de mille ans, le gnostique Evangile de Basilide, le chant des sirènes chantaient, le catalogue complet de la bibliothèque, la preuve de l'inexactitude de cette catalogue. Tout: mais pour chaque ligne sensible ou fait précise il y aurait des millions de cacophonies signification, farragoes verbales et bavardages. Tout: mais toutes les générations de l'humanité pourraient se écouler avant que les étagères-étagères vertigineuses qui oblitèrent le jour et sur lequel le chaos se trouve jamais les récompenser avec une page tolérable.

Concept de bibliothèque totale de Borges était le thème principal de sa très lu 1941 histoire courte " La Bibliothèque de Babel ", qui décrit un incroyablement vaste bibliothèque composée de verrouillage chambres hexagonales, renfermant ensemble chaque volume possible qui pourrait être composé à partir des lettres de l'alphabet et quelques caractères de ponctuation.

Applications et critiques

Évolution

Thomas Huxley est parfois misattributed de proposer une variante de la théorie dans ses débats avec Samuel Wilberforce.

Dans son livre 1931 Le mystérieux Univers, rival Eddington James Jeans attribué la parabole de singe à un "Huxley", ce qui signifie sans doute Thomas Henry Huxley. Cette attribution est incorrect. Aujourd'hui, il est parfois également signalé que Huxley appliqué l'exemple dans un désormais légendaire débat sur Charles Darwin l ' origine des espèces avec l'évêque anglican d'Oxford, Samuel Wilberforce, tenue lors d'une réunion de la Association britannique pour l'avancement des sciences à Oxford en 30 juin 1860. Cette histoire ne souffre pas seulement d'un manque de preuves, mais le fait que, en 1860, la machine à écrire lui-même ne avait pas encore à émerger. Primates étaient toujours un sujet sensible pour d'autres raisons, et le débat Huxley-Wilberforce fait inclure byplay sur les grands singes: l'évêque a demandé si Huxley descendait d'un singe sur répondu de sa grand-mère ou du côté de son grand-père, et Huxley quelque chose à l'effet qu'il serait plutôt descendre d'un singe que de quelqu'un qui a fait valoir que malhonnête que l'évêque.

Malgré le mix-up original, arguments singe et-machine à écrire sont désormais courants dans les arguments sur l'évolution. Par exemple, Doug Powell affirme comme un Apologiste chrétien que même si un singe accidentellement types les lettres de Hamlet, il a échoué à produire Hamlet parce qu'il ne avait pas l'intention de communiquer. Son implication parallèle est que les lois naturelles ne pouvaient pas produire le contenu de l'information dans l'ADN . Un argument plus commune est représentée par John MacArthur, qui prétend que les mutations génétiques nécessaires pour produire un ténia d'une amibe sont aussi improbable comme un singe tapant le soliloque de Hamlet, et donc les chances contre l'évolution de toute vie sont impossibles à surmonter.

Le biologiste évolutionniste Richard Dawkins emploie le concept de singe de frappe dans son livre 1986 L'Horloger aveugle pour démontrer les capacités de la sélection naturelle dans la production biologique la complexité d'aléatoire mutations. Dans l'expérience de simulation qu'il décrit, Dawkins a son programme de Weasel produire la phrase Hamlet me semble, ce est comme une belette en tapant des phrases aléatoires, mais le gel en permanence les parties de la sortie qui correspond déjà l'objectif. Le point est que la génération de chaîne aléatoire sert simplement à fournir des matières premières, tandis que la sélection donne l'information.

Une autre avenue pour rejeter l'analogie entre l'évolution et un singe sans contrainte réside dans le problème que les types de singe seule lettre à la fois, indépendamment des autres lettres. Hugh Petrie fait valoir que une configuration plus sophistiquée est nécessaire, dans son cas, pas pour l'évolution biologique, mais l'évolution des idées:

Afin d'obtenir l'analogie correcte, nous aurions à équiper le singe avec une machine à écrire plus complexe. Il devrait inclure des phrases et des pensées élisabéthaine entiers. Il devrait inclure croyances élisabéthaines sur les modes d'action humains et les causes, la morale et la science élisabéthaine, et des modèles linguistiques pour exprimer ces. Il serait probablement même avoir à inclure un compte des sortes d'expériences qui ont façonné la structure de croyance de Shakespeare comme un exemple particulier d'un élisabéthaine. Puis, peut-être, nous pourrions permettre le singe à jouer avec une telle machine à écrire et produire des variantes, mais l'impossibilité d'obtenir une pièce de Shakespeare ne est plus évidente. Ce qui est vraiment variée fait encapsuler un grand nombre de connaissances déjà atteint.

James W. Valentine, tout en admettant que la tâche du singe classique est impossible, trouve qu'il ya une analogie intéressante entre l'anglais écrit et l' métazoaires génome dans cette autre sens: les deux ont "combinatoires, les structures hiérarchiques" qui limitent grandement l'immense nombre de combinaisons au niveau de l'alphabet.

La théorie littéraire

RG Collingwood a fait valoir en 1938 que l'art ne peut être produit par accident, et a écrit comme un sarcastique de côté pour ses détracteurs,

... Certains ... ont refusé cette proposition, soulignant que si un singe joue avec une machine à écrire ... il produire ... le texte complet de Shakespeare. Tout lecteur qui n'a rien à voir peuvent se amuser à calculer combien de temps il faudrait pour que la probabilité d'être la peine de parier sur. Mais l'intérêt de la suggestion réside dans la révélation de l'état mental d'une personne qui peut identifier les «œuvres» de Shakespeare avec la série de lettres imprimées sur les pages d'un livre ...

Nelson Goodman a pris la position contraire, illustrant son point avec Catherine Elgin par l'exemple de Borges " Pierre Ménard, auteur du Quichotte »,

Que Menard écrit est tout simplement une autre inscription du texte. Chacun d'entre nous peut faire la même chose, que les presses d'impression boîte et les photocopieurs. En effet, nous dit-on, si un nombre infini de singes ... une finiraient par produire une réplique du texte. Ce réplique, nous maintenons, serait autant une instance du travail, Don Quichotte, de Cervantès que le manuscrit, le manuscrit de Menard, et chaque exemplaire du livre qui ait jamais été ou seront imprimés.

Dans un autre écrit, Goodman développe, "que le singe peut être censé avoir produit sa copie fait au hasard aucune différence. Ce est le même texte, et il est ouvert à tous les mêmes interprétations ...." Gérard Genette rejette l'argument de Goodman que la mendicité la question.

Pour Jorge JE Gracia, la question de l'identité des textes conduit à une autre question, celle de auteur. Si un singe est capable de taper Hamlet, malgré l'absence d'intention de sens et donc se disqualifiant en tant qu'auteur, il apparaît que les textes ne ont pas besoin auteurs. Les solutions possibles sont disant que celui qui trouve le texte et l'identifie comme Hamlet est l'auteur; ou que Shakespeare est l'auteur, le singe son agent, et le viseur simplement un utilisateur du texte. Ces solutions ont leurs propres difficultés, en ce que le texte semble avoir un sens distinct des autres agents: si le singe fonctionne avant Shakespeare est né, ou si Shakespeare ne est jamais né, ou si on ne trouve jamais le tapuscrit du singe?

Génération de nombres aléatoires

Le théorème concerne un pensé expérience qui ne peuvent être pleinement réalisée dans la pratique, car il est prévu d'exiger des montants prohibitifs de temps et de ressources. Néanmoins, il a inspiré des efforts dans la génération aléatoire finie texte.

Un programme informatique géré par Dan Oliver de Scottsdale, en Arizona, selon un article paru dans The New Yorker, est venu avec un résultat le 4 Août 2004: Après que le groupe avait travaillé pour 42162500000 milliards de milliards d'années, l'un des «singes» dactylographiées, "VALENTINE. Cessez toIdor: eFLP0FRjWK78aXzVOwm) - '; 8.t. . . "Les premiers 19 lettres de cette séquence peuvent être trouvés dans" Les Deux Gentilshommes de Vérone ". D'autres équipes ont reproduit 18 caractères de" Timon d'Athènes ", 17 de" Troilus et Cressida ", et 16 de" Richard II ".

Un site web intitulé The Monkey Shakespeare Simulator, lancé le 1er juillet 2003 , contenait une applet Java qui simule une grande population de singes tapant au hasard, avec l'intention déclarée de voir combien de temps il prend les singes virtuels pour produire une pièce de Shakespeare complète du début à la fin. Par exemple, on produit à partir de cette ligne partielle Henry IV, partie 2, les rapports qu'il a fallu "2.737.850 millions de milliards de milliards de milliards d'années-singe" pour atteindre 24 caractères correspondants:

RUMEUR. Ouvrez vos oreilles; 9R "5J5 &? OWTY Z0d ...

En raison des limitations de puissance de traitement, le programme utilise un modèle probabiliste (en utilisant un Générateur de nombres aléatoires ou RNG) au lieu de générer effectivement moins aléatoire et le comparer à Shakespeare. Lorsque le simulateur "détecte un match" (qui est, le RNG génère une certaine valeur ou une valeur dans une certaine fourchette), le simulateur simule le match en générant texte correspondant.

Questions sur les statistiques décrivant combien de fois un singe idéal devront taper certaines chaînes peuvent motiver des tests pratiques pour générateurs de nombres aléatoires ainsi; ceux-ci vont de la simple à la "très sophistiqués". professeurs d'informatique George Marsaglia et Arif Zaman rapport qu'ils ont utilisé pour appeler ces tests "m- chevauchement tests de tuple "en lecture, car ils concernent chevauchement m-uplets d'éléments successifs dans un ordre aléatoire. Mais ils ont constaté que les qualifiant de« tests de singe "ont aidé à motiver l'idée avec les élèves. Ils ont publié un rapport sur la classe de tests et leur résultats pour diverses RNG en 1993.

Vrais singes

Comportementalistes primates Cheney et Seyfarth remarque que les vrais singes seraient effectivement avoir à compter sur la chance pour avoir un espoir de produire Roméo et Juliette . Contrairement singes et en particulier les chimpanzés , les données indiquent que les singes ne ont pas de théorie de l'esprit et qui sont incapables de faire la différence entre leur propre et les connaissances des autres, les émotions et les croyances. Même si un singe pourrait apprendre à écrire une pièce et décrire les caractères de comportement, il ne pouvait pas révéler les caractères de l'esprit et ainsi de construire une tragédie ironique.

En 2003, les professeurs et les étudiants de la Université de Plymouth cours MediaLab Arts utilisé une subvention £ 2000 de la Conseil des arts d'étudier la production littéraire de vrais singes. Ils ont laissé un clavier d'ordinateur dans l'enceinte de six Célèbes Crested macaques dans Paignton Zoo Devon en Angleterre pendant un mois, avec une liaison radio de diffuser les résultats sur un site Web. Un chercheur, Mike Phillips, a défendu les dépenses comme étant moins cher que la télé-réalité et encore «très stimulant et la visualisation fascinante".

Non seulement les singes ne produisent rien, mais cinq pages constitué en grande partie de la lettre S, le mâle plomb a commencé par dénigrer le clavier avec une pierre, et les singes poursuivie par uriner et déféquer sur elle. Responsable scientifique du zoo fait remarquer que l'expérience avait «peu de valeur scientifique, sauf à démontrer que la théorie 'de singe infini» est erronée ". Phillips a déclaré que le projet de l'artiste financé était surtout l'art de la performance, et ils avaient appris "énormément" de lui. Il a conclu que les singes »ne sont pas générateurs aléatoires. Ils sont plus complexe que cela. ... Ils étaient très intéressés à l'écran, et ils ont vu que quand ils ont tapé une lettre, quelque chose se est passé. Il y avait un niveau d'intention là-bas."

La culture populaire

Le théorème de singe infini et son imagerie associé est considéré comme un populaire et illustration proverbiale des mathématiques de la probabilité, largement connu du grand public en raison de sa transmission par la culture populaire plutôt que du fait de sa transmission par la salle de classe.

Le caractère durable, répandue et populaire de la connaissance du théorème a été noté dans l'introduction à un document de 2001, "Les singes, les machines à écrire et Réseaux - Internet dans la lumière de la théorie d'excellence accidentel» (Hoffmann et Hofmann). En 2002, un Article du Washington Post a déclaré: "Beaucoup de gens ont eu du plaisir avec la fameuse idée que un nombre infini de singes avec un nombre infini de machines à écrire et une quantité infinie de temps pourrait éventuellement écrire les œuvres de Shakespeare." En 2003, le mentionné précédemment Conseil des arts financé expérience impliquant de vrais singes et un clavier d'ordinateur a reçu une couverture médiatique généralisée. En 2007, le théorème a été répertorié par Le magazine Wired dans une liste de huit classique expériences de pensée.

L'histoire de l'imagerie des «singes de frappe» remonte au moins aussi loin que l'utilisation de Borel de la métaphore dans son essai de 1913, et cette imagerie a récidivé à plusieurs reprises depuis dans une variété de médias. Aujourd'hui, l'intérêt populaire pour les singes de frappe est soutenue par de nombreuses apparitions dans la littérature, la télévision et la radio, la musique et l'Internet, ainsi que des romans graphiques et stand-up routines de comédie.

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