Cinématique

Renseignements généraux

SOS Enfants a fait cette sélection Wikipedia aux côtés d'autres écoles des ressources . Cliquez ici pour plus d'informations sur les enfants SOS.

Cinématique ( grec κινειν, kinein, se déplacer) est une branche de la dynamique qui décrit le mouvement d'objets sans la prise en compte des masses ou des forces qui font ressortir le mouvement. En revanche, cinétique est concerné avec les forces et interactions qui produisent ou qui affectent le mouvement.

L'application la plus simple de la cinématique est de montrer le mouvement des particules ( cinématique cinématique de translation ou linéaire). La description de rotation ( la cinématique de rotation ou angulaires cinématique) est plus compliqué. L'état d'un corps rigide générique peut être décrit en combinant à la fois la traduction et la cinématique de rotation ( la cinématique de corps rigide). Un cas plus compliqué est la cinématique d'un système de corps rigides, éventuellement reliés entre eux par des moyens mécaniques articulations. La description cinématique de l'écoulement du fluide est encore plus compliqué, et pas généralement considéré dans le contexte de la cinématique.

Translation

Translationnelle ou cinématique curvilignes est la description du mouvement dans l'espace d'un point le long d'une trajectoire. Ce chemin peut être linéaire ou courbe comme on le voit avec le mouvement du projectile. Il ya trois concepts de base qui sont nécessaires pour comprendre le mouvement de translation:

Le déplacement est la distance la plus courte entre deux points: l'origine et le point déplacées. L'origine est (0,0) sur une système qui est défini par l'observateur de coordonnées. Parce que le déplacement a à la fois l'ampleur (longueur) et la direction, ce est un vecteur dont le point de départ est l'origine et le point terminal est le point déplacé.
La vitesse est la vitesse de variation de déplacement en fonction du temps; ce est le déplacement d'un point change avec le temps. Velocity est également un vecteur. Pour une vitesse constante, chaque unité de temps ajoute la longueur du vecteur vitesse (dans le même sens) pour le déplacement de la pointe mobile. Vitesse instantanée (la vitesse à un instant de temps) est définie comme $\ Vec v = \ frac {d \ vec s} {d} t$ , Où ds est un infiniment petit déplacement et dt est un infiniment petit laps de temps. La vitesse moyenne (vitesse sur une longueur de temps) est définie comme $\ Vec v = \ frac {\ Delta \ vec s} {\ Delta t}$ Où Δs est le changement dans le déplacement et At est l'intervalle de temps pendant laquelle le déplacement changements.
L'accélération est la vitesse de variation de la vitesse par rapport au temps. L'accélération est également un vecteur. Comme avec une vitesse si l'accélération est constante, pour chaque unité de temps de la longueur du vecteur d'accélération (dans le même sens) est ajoutée à la vitesse. Si la variation de la vitesse (un vecteur) est connu, l'accélération est parallèle. Accélération instantanée (l'accélération à un instant de temps) est définie comme $\ Vec a = \ frac {d \ vec v} {d} t$ Où dv est un infiniment petit changement de vitesse et dt est un infiniment petit laps de temps. Accélération moyenne (d'accélération sur une longueur de temps) est définie comme $\ Vec a = \ frac {\ Delta \ vec v} {\ Delta t}$ Où Av est le changement de vitesse et At est l'intervalle de temps pendant lequel les changements de vitesse.

Lorsque l'accélération est constante, il est dit être en cours de mouvement uniformément accéléré. Si tel est le cas, il ya quatre équations qui peuvent être utilisés pour décrire le mouvement d'un objet.

$\ Vec v = \ int \ vec une dt = \ vec v_0 + \ vec un t$ Ceux qui sont familiers avec le calcul peut reconnaître comme un problème de valeur initiale. Étant donné que l'accélération (a) est une constante, intégrant par rapport au temps (t) donne un changement de vitesse. L'ajout de ce à la vitesse initiale (v ₀₎ donne la vitesse finale (V).
$\ Vec s = \ int \ vec v dt = \ int \ v_0 vec + \ vec au dt = \ vec v_0 t + \ frac {1} {2} \ vec au ^ 2$ En utilisant la formule ci-dessus, nous pouvons substituer à v pour arriver à cette équation, où s est le déplacement.
$\ = \ Frac de l'vec {\ vec v + \ vec v_0} {2} t$ En utilisant la définition d'un moyenne, et la connaissance que les temps de la vitesse moyenne du temps de déplacement est égal, nous pouvons arriver à cette équation.
$v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 une s$

Vitesse relative

Pour décrire le mouvement de l'objet A par rapport à l'objet O, quand on sait comment chacun se déplace par rapport à l'objet B, nous utilisons l'équation suivante impliquant des vecteurs et addition de vecteurs:

$r_ {A / S} = {r_ B / O} + r_ {A / B} \, \!$

L'équation de mouvement relatif ci-dessus indique que le mouvement de A par rapport à O est égale à la motion de B par rapport à O, plus le mouvement de A par rapport à B.

Par exemple, laissez-Ann se déplacer avec vitesse $V_ {A}$ et laissez Bob déplacer avec une vitesse $V_ {B}$ , Chaque vitesse donnée par rapport au sol. Pour trouver quelle vitesse Ann se déplace par rapport à Bob (nous appelons cette vitesse $V_ {A / B}$ ), L'équation ci-dessus donne:

$V_ {A} = V_ {B} + V_ {A / B} \, \! .$

Trouver $V_ {A / B}$ nous réorganisons tout simplement cette équation pour obtenir:

$V_ {A / B} = V_ {A} -V_ {B} \, \! .$

A des vitesses comparables à la vitesse de la lumière , ces équations sont pas valides. Ils sont remplacés par des équations d'Einstein dérivés de la théorie de la relativité restreinte .

Exemple: rectiligne (1D) mouvement

Un objet est tiré vers le haut, atteint son sommet, puis commence sa descente dans une accélération constante.

Considérons un objet qui est tiré directement vers le haut et retombe sur le sol de sorte que sa trajectoire est contenue dans une ligne droite. Si nous adoptons la convention que la direction vers le haut est le sens positif, l'objet subit une accélération constante d'environ -9,81 m / s ^2. Par conséquent, son mouvement peut être modélisée avec les équations régissant mouvement uniformément accéléré.

Par souci d'exemple, supposons que l'objet a une vitesse initiale de 50 m / s. Il ya plusieurs questions cinématiques intéressantes que nous pouvons poser au sujet de la motion de la particule:

Combien de temps faudra-il l'air?

Pour répondre à cette question, nous appliquons la formule

$x_f - x_i = v_i t + \ frac {1} {2} au ^ 2.$

Puisque la question demande la longueur de temps entre l'objet quitter le sol et frapper le sol sur sa chute, le déplacement est zéro.

$0 = v_i t + \ frac {1} {2} au ^ 2 = t (v_i + \ frac {1} {2} at)$

Nous trouvons deux solutions pour cela. La solution triviale affirme que le temps est zéro; ce est effectivement vrai aussi, ce est le premier moment le déplacement est nul: juste au moment où il amorce le mouvement. Toutefois, la solution est d'intérêt

$t = - \ frac {} 2v_i {a} = - \ frac {2} {* 50 - 9,81 = 10,2} \ s$

Que faut-il atteindre l'altitude avant qu'il ne commence à tomber?

Dans ce cas, on utilise le fait que l'objet a une vitesse de zéro au sommet de sa trajectoire. Par conséquent, l'équation est applicable:

$v_F ^ 2 = v_i ^ 2 + 2 bis (x_f - x_i)$

Si l'origine de notre système de coordonnées est au sol, puis $x_i$ est zéro. Puis nous résolvons pour $x_f$ et substitut valeurs connues:

$x_f = \ frac {v_F ^ 2 - v_i ^ 2} {2} + un x_i = \ frac {0-50 ^ 2} {2} * -9,81 0 = 127,55 \ m$

Quelle sera sa vitesse finale être quand il atteint le sol?

Pour répondre à cette question, nous utilisons le fait que l'objet a une vitesse initiale de zéro au sommet avant qu'il ne commence sa descente. Nous pouvons utiliser la même équation que nous avons utilisé pour la dernière question, en utilisant la valeur de 127,55 m pour $x_i$ .

$v_F = \ sqrt {v_i ^ 2 + 2 bis (x_f - x_i)} = \ sqrt {0 ^ 2 + 2 (-9,81) (0 à 127,55)} = 50 \ m / s$

En supposant que cette expérience a été réalisée sous vide (niant les effets de traînée), nous constatons que les vitesses finales et initiales sont égales, un résultat qui est d'accord avec conservation de l'énergie.

Exemple: Projectile (2D) mouvement

Un objet tiré à un angle $\ Theta$ à partir du sol suit une trajectoire parabolique.

Supposons qu'un objet ne est pas tiré verticalement, mais est tiré à un angle $\ Theta$ à partir du sol. L'objet sera alors suivre une trajectoire parabolique, et son mouvement horizontal peut être modélisé indépendamment de son mouvement vertical. On suppose que l'objet est cuit à une vitesse initiale de 50 m / s et 30 degrés par rapport à l'horizontale.

Jusqu'où faut-il voyager avant de toucher le sol?

L'objet subit une accélération de -9,81 ms ^-2 dans la direction verticale et pas d'accélération dans la direction horizontale. Par conséquent, le déplacement horizontal est

$\ Delta x = x_f - x_i = v_i \ cos \ theta \ t + \ frac {1} {2} au ^ 2 = v_i \ cos \ theta \ t$

Pour résoudre cette équation, nous devons trouver t. Cela peut être fait en analysant le mouvement dans la direction verticale. Si nous imposons que le déplacement vertical est égal à zéro, nous pouvons utiliser la même procédure que nous avons fait pour le mouvement rectiligne de trouver t.

$0 = v_i \ sin \ theta \ t + \ frac {1} {2} au ^ 2 = t (v_i \ sin \ theta + \ frac {1} {2} at)$

Nous résolvons maintenant t et remplaçons cette expression dans l'expression original pour déplacement horizontal. (Notez l'utilisation de la identité trigonométrique $2 \ sin \ theta \ cos \ theta = \ sin 2 \ theta$ )

$\ Delta x = v_i \ cos \ theta \ left (\ frac {-2 v_i \ sin \ theta} {a} \ right) = - \ frac {v_i ^ 2 \ sin 2 \ theta} {a} = 220,93 \ m$

Un mouvement de rotation

Le vecteur de vitesse angulaire pointe vers le haut pour la rotation dans le sens antihoraire et vers le bas pour une rotation dans le sens horaire, comme spécifié par le Règle de la main droite.

La cinématique de rotation est la description de la rotation d'un objet et implique la définition et l'utilisation des trois quantités suivantes:

Position angulaire: Si un vecteur est défini comme étant la distance orientée de l'axe de rotation jusqu'à un point sur un objet, la position angulaire de ce point est l'angle orienté $\ Theta$ à partir d'un axe de référence (par exemple, les x-de demi-axe positifs) à ce vecteur. Un angle est un angle orienté balayé autour d'un axe de rotation connue et dans un sens de rotation connue. Dans la cinématique en deux dimensions (la description du mouvement planaire), l'axe de rotation est normale au cadre de référence et peuvent être représentés par un point de rotation (ou centre), et le sens de rotation est représenté par le signe de l'angle (généralement, un signe positif signifie sens antihoraire). Déplacement angulaire peut être considéré comme une position relative. Elle est représentée par l'angle orienté balayée par le point mentionné ci-dessus (ou vecteur), d'une position angulaire à l'autre.

Vitesse angulaire: la grandeur de la vitesse angulaire $\ Omega$ est la vitesse à laquelle la position angulaire $\ Theta$ des changements par rapport au temps t:

$\ Mathbf {\ omega} = \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}$

Accélération angulaire: L'amplitude de l'accélération angulaire $\ Alpha$ est la vitesse à laquelle la vitesse angulaire $\ Omega$ des changements par rapport au temps t:

$\ Mathbf {\ alpha} = \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {\ omega}} {\ mathrm {d} t}$

Les équations de la cinématique de translation peuvent facilement être étendues à la cinématique de rotation plane avec échanges variables simples:

$\ \ \ Theta_f -! \ Theta_i = \ omega_i t + \ frac {1} {2} \ alpha t ^ 2 \ qquad \ theta_f - \ theta_i = \ frac {1} {2} (\ + omega_f \ omega_i) t$ $! \, \ \ Omega_f = \ omega_i + \ alpha t \ qquad \ alpha = \ frac {\ omega_f - \ omega_i} {t} \ qquad \ omega_f ^ 2 = \ omega_i ^ 2 + 2 \ alpha (\ theta_f - \ theta_i)$

Ici $\, \! \ Theta_i$ et $\, \! \ Theta_f$ sont, respectivement, les positions angulaires initiales et finales, $\, \! \ Omega_i$ et $\, \! \ Omega_f$ sont, respectivement, les vitesses angulaires initiales et finales, et $\, \! \ Alpha$ est l'accélération angulaire constante. Bien que la position dans l'espace et de la vitesse dans l'espace sont deux vecteurs de mouvement vrai (en termes de leurs propriétés dans la rotation), comme ce est la vitesse angulaire, angle soi ne est pas un véritable vecteur.

Systèmes de coordonnées

Dans une situation donnée, coordonnées les plus utiles peuvent être déterminées par contraintes sur le mouvement ou par la nature géométrique de la force provoquant ou affectant la motion. Ainsi, pour décrire le mouvement d'une bille contraint de se déplacer le long d'un arceau circulaire dont le plus utile de coordonnées peut être son angle sur la frette. De même, pour décrire le mouvement d'une particule chargée par un force centrale, coordonnées les plus utiles peuvent être coordonnées polaires .

Coordonnées rectangulaires fixes

Dans ce système de coordonnées, les vecteurs sont exprimés comme une addition de vecteurs dans le plan x, y, et z direction à partir d'une origine non tournante. Habituellement i est un vecteur unitaire dans la direction x, j est un vecteur unitaire dans la direction y, et k est un vecteur unitaire dans la direction z.

Le vecteur de position, S (ou R), le vecteur de vitesse, v, et l' accélération vecteur, sont exprimés en utilisant des coordonnées rectangulaires de la manière suivante:

$\ S vec = x \ vec i + Y j vec \ + z \ vec k \, \!$

$\ Vec v = \ dot {s} = \ dot {x} \ vec {i} + \ dot {y} \ vec {j} + \ dot {z} \ vec {k} \, \!$

$\ Vec a = \ ddot {s} = \ ddot {x} \ vec {i} + \ ddot {y} \ vec {j} + \ {z ddot} \ vec {k} \, \!$

Remarque: $\ Dot {x} = \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}$ , $\ Ddot {x} = \ frac {\ mathrm {d} ^ 2x} {\ mathrm {d} t ^ 2}$

Trois rotation dimensions cadre de coordonnées

(À écrire)

Contraintes cinématiques

Une contrainte cinématique est toute condition relative propriétés d'un système dynamique qui doit être vrai en tout temps. Voici quelques exemples courants:

Rouler sans glisser

Un objet qui roule contre un surface sans glisser obéit à la condition que la vitesse de son centre de masse est égal au produit vectoriel de la vitesse angulaire d'un vecteur à partir du point de contact au centre de masse,:

$v_G (t) {G / O de l'} = \ omega de \ times \, \!$

Pour le cas d'un objet qui ne est pas basculer ou tourner, ce qui réduit à v = R ω.

Cordon inextensible

Ce est le cas où les corps sont reliés par un cordon qui reste en tension et ne peut pas changer de longueur. La contrainte est que la somme de tous les composants de la moelle, mais ils sont définis, est la longueur totale, et la dérivée temporelle de cette somme est nulle.

Récupéré à partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kinematics&oldid=199418384 "

We provide Linux to the World