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Algèbre linéaire

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Renseignements généraux

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Algèbre linéaire est la branche de mathématiques concernés par l'étude des vecteurs , espaces vectoriels (également appelés espaces linéaires), cartes linéaires (également appelés transformations linéaires), et des systèmes d'équations linéaires . Espaces vectoriels sont un thème central dans modernes des mathématiques ; Ainsi, linéaire algèbre est largement utilisé à la fois dans l'algèbre abstraite et analyse fonctionnelle. Algèbre linéaire a également une représentation concrète de la géométrie analytique et il est généralisé dans la théorie de l'opérateur. Il a des applications étendues dans le sciences naturelles et de la sciences sociales, puisque les modèles non linéaires peuvent souvent être estimés par les linéaires.

Histoire

L'histoire de l'algèbre linéaire moderne remonte au début des années 1840. En 1843, William Rowan Hamilton introduit quaternions, qui décrivent la mécanique dans l'espace tridimensionnel. En 1844, Hermann Grassmann a publié son livre Die Lineale Ausdehnungslehre (voir références). Arthur Cayley introduit matrices , l'une des idées algébriques linéaires les plus fondamentaux, en 1857. En dépit de ces premiers développements, algèbre linéaire a été développé principalement dans le XXe siècle.

Matrices ont été mal définis avant le développement de la théorie des anneaux dans les algèbre abstraite . Avec la venue de la relativité restreinte , de nombreux pratiquants ont gagné l'appréciation des subtilités de l'algèbre linéaire. En outre, l'application systématique de La règle de Cramer pour résoudre des équations aux dérivées partielles a conduit à l'inclusion de l'algèbre linéaire à des cours dans les universités norme. ET Copson a écrit, par exemple,

" Quand je suis allé à Edimbourg comme un jeune maître de conférences en 1922, je ai été surpris de trouver à quel point le programme était de celle d'Oxford. Il comprenait des sujets tels que l'intégration de Lebesgue , la théorie des matrices , analyse numérique, La géométrie de Riemann, dont je ne savais rien ... "

-ET Copson, Préface à équations aux dérivées partielles, 1973

Francis Galton a lancé l'utilisation de corrélation des coefficients en 1888. Souvent plus d'une variable aléatoire est en jeu et peut être corrélation croisée. Dans l'analyse statistique des variables aléatoires multivariées la matrice de corrélation est un outil naturel. Ainsi, l'étude statistique de ces vecteurs aléatoires a aidé à établir l'utilisation de la matrice.

Introduction élémentaire

Algèbre linéaire a fait ses débuts dans l'étude des vecteurs dans cartésienne deux-trois-espace et l'espace. Un vecteur, ici, est un dirigé segment de ligne, caractérisé à la fois par son ampleur, représentée par la longueur, et sa direction. Les vecteurs peuvent être utilisés pour représenter des entités physiques telles que les forces , et ils peuvent être ajoutés les uns aux autres et multipliés par scalaires, formant ainsi le premier exemple d'un véritable espace de vecteur .

Algèbre linéaire moderne a été étendu à envisager des espaces de dimension arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n -espace. La plupart des résultats utiles de 2 et 3 de l'espace peut être étendu à ces espaces de dimensions supérieures. Bien que les gens ne peuvent pas facilement visualiser les vecteurs de n -espace, de tels vecteurs ou n uplets sont utiles dans la représentation des données. Depuis vecteurs, comme n-uplets, sont des listes ordonnées de n composants, il est possible de résumer et de manipuler des données efficacement dans ce cadre. Par exemple, dans l'économie , on peut créer et utiliser, par exemple, des vecteurs huit dimensions ou 8-uplets pour représenter la Produit national brut de 8 pays. On peut décider d'afficher le PNB de 8 pays pour une année donnée, lorsque l'ordre des pays est spécifié, par exemple, ( États-Unis , Royaume-Uni , France , Allemagne , Espagne , Inde , Japon , Australie ), en utilisant un vecteur (v 1, v 2, v 3, v 4, 5 v, v 6, v 7, v 8) où le PNB de chaque pays est dans sa position respective.

Un espace vectoriel (ou espace linéaire), comme un concept purement abstrait dont les théorèmes sont prouvés, fait partie de l'algèbre abstraite, et est bien intégré dans cette discipline. Quelques exemples frappants de ce sont le groupe de cartes ou linéaires inversibles matrices , et de la anneau de cartes linéaires d'un espace vectoriel. Algèbre linéaire joue également un rôle important dans l'analyse, notamment, dans la description des dérivés d'ordre supérieur dans l'analyse de vecteur et l'étude des produits tensoriels et cartes alternance.

Dans ce cadre abstrait, les scalaires avec laquelle un élément d'un espace vectoriel peut être multipliée ne doivent pas être des nombres. La seule exigence est que les scalaires forment une structure mathématique, appelée domaine. Dans les applications, ce domaine est généralement le domaine des nombres réels ou le champ des nombres complexes . Applications linéaires prennent les éléments d'un espace linéaire à un autre (ou d'elle-même), d'une manière qui est compatible avec l'addition et la multiplication scalaire donnée à l'espace (s) de vecteur. L'ensemble de toutes ces transformations est lui-même un espace vectoriel. Si un base d'un espace vectoriel est fixé, chaque transformation linéaire peut être représenté par un tableau de nombres appelée matrice . L'étude détaillée des propriétés de et algorithmes agissant sur des matrices, y compris les déterminants et les vecteurs propres , est considéré comme faisant partie de l'algèbre linéaire.

On peut dire tout simplement que la problèmes linéaires de mathématiques - ceux qui présentent linéarité dans leur comportement - sont les plus susceptibles d'être résolus. Par exemple calcul différentiel fait beaucoup avec approximation linéaire à des fonctions. La différence de problèmes non linéaires est très important dans la pratique.

La méthode générale de trouver un moyen linéaire pour examiner un problème, exprimer cela en termes d'algèbre linéaire et le résoudre, le cas échéant par des calculs de la matrice, est l'un des plus généralement applicable en mathématiques.

Certains théorèmes utiles

  • Chaque espace vectoriel a une base.
  • Les deux bases de la même espace vectoriel ont la même cardinal; de façon équivalente, la dimension d'un espace vectoriel est bien défini.
  • Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
  • Une matrice est inversible si et seulement si le linéaire représenté par la matrice est une isomorphisme.
  • Si une matrice carrée a un inverse à gauche ou à droite, puis inverse il est inversible (voir matrice inversible pour d'autres déclarations équivalentes).
  • Une matrice est semi-définie positive si et seulement si chacune de ses valeurs propres est supérieur ou égal à zéro.
  • Une matrice est définie positive si et seulement si chacune de ses valeurs propres est supérieur à zéro.
  • Le théorème spectral (concernant matrices diagonalisables).

Généralisations et des sujets connexes

Depuis l'algèbre linéaire est une théorie succès, ses méthodes ont été développées dans d'autres parties des mathématiques. En une théorie de module remplace le corps des scalaires par un anneau. En Algèbre multilinéaire on considère transformations linéaires multivariables, ce est-mappages qui sont linéaires dans chacun d'un nombre de différentes variables. Cette ligne d'enquête conduit naturellement à l'idée de la produit tenseur. Dans la théorie spectrale des opérateurs de contrôle des matrices de dimension infinie est acquise, en appliquant l'analyse mathématique dans une théorie qui ne est pas purement algébrique. Dans tous ces cas, les difficultés techniques sont beaucoup plus importantes.

Note

  1. ^ L'existence d'une base est simple pour type fini espaces vectoriels, mais dans les généralités, ce est logiquement équivalente à la axiome du choix.
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