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La preuve mathématique

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Renseignements généraux

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En mathématiques , une preuve est une démonstration convaincante que certains énoncé mathématique est nécessairement vrai, dans les normes reconnues du champ. Une preuve est une logique argumentation, pas une une empirique. Ce est, la preuve doit démontrer qu'une proposition est vraie dans tous les cas auxquels elle se applique, sans une seule exception. Une proposition non prouvée croyait ou fortement soupçonnée d'être vrai est connu comme un conjecture.

Preuves emploient logique mais incluent habituellement une certaine quantité de langage naturel qui admet généralement une certaine ambiguïté. En fait, la grande majorité des preuves écrites en mathématiques peut être considéré comme des applications de la logique informelle. Purement preuves formelles sont pris en compte dans théorie de la preuve. La distinction entre preuves formelles et informelles a conduit à beaucoup de Examen de courant et historique pratique mathématique, quasi-empirisme en mathématiques, et soi-disant mathématiques folkloriques (dans les deux de sens de ce terme). Le philosophie des mathématiques est préoccupé par le rôle du langage et de la logique dans les preuves, et les mathématiques comme un langage.

Indépendamment de l'attitude de l'un au formalisme, le résultat qui est prouvé pour être vrai est un théorème ; dans une preuve complètement formelle, il serait la dernière ligne, et la preuve complète montre comment il résulte de la axiomes seule par l'application des règles d'inférence. Une fois qu'un théorème est démontré, il peut être utilisé comme base pour prouver d'autres états. Un théorème peut également être considéré comme un lemme se il est utilisé comme un tremplin dans la démonstration d'un théorème. Les axiomes sont ces déclarations on ne peut pas, ou ne ont pas, prouver. Ce sont une fois l'étude principale des philosophes des mathématiques. Aujourd'hui l'accent est mis davantage sur la pratique, ce est à dire des techniques acceptables.

Modes de preuve

Preuve directe

En preuve directe, la conclusion est établi par la combinaison logique des axiomes, définitions et théorèmes précédents. Par exemple, la preuve directe peut être utilisé pour établir que la somme de deux même entiers est toujours même:

Pour toute deux entiers pairs x et y nous pouvons écrire x = 2a et y = 2b pour certains entiers une et b Puisque les deux x et y sont des multiples de 2. Mais la somme x + y = 2a + 2b = 2 (a + b) est aussi un multiple de deux, de sorte qu'il est donc, par définition même.

Cette preuve utilise définition des entiers pairs, ainsi que droit de la distribution.

Preuve par induction

En preuve par induction, d'abord un "scénario de base" est prouvé, puis une «règle d'induction» est utilisé pour prouver un (souvent infini) série d'autres cas. Depuis le cas de base est vrai, l'infinité d'autres cas doit aussi être vrai, même si chacun d'eux ne peut être prouvée directement en raison de leur nombre infini. Un sous-ensemble de l'induction est Descente infinie. Infini descente peut être utilisé pour prouver la irrationalité de la racine carrée de deux.

Le principe de l'induction mathématique précise que: Soit N = {1, 2, 3, 4, ...} l'ensemble des nombres naturels et P (n) un énoncé mathématique impliquant le nombre naturel n appartenant à N tel que ( i) P (1) est vrai, ce est-P (n) est vraie pour n = 1 (ii) P (m + 1) est vrai chaque fois que P (m) est vrai, ce est-P (m) est vrai implique que P (m + 1) est vrai. Alors P (n) est vrai pour l'ensemble des nombres naturels N.

Preuve par transposition

Preuve par Transposition établit la conclusion «si p, alors q" en prouvant l'équivalent déclaration contrapositive "si ce ne est donc pas q p".

Preuve par l'absurde

Dans la preuve par l'absurde (également connu sous le nom reductio ad absurdum, latin pour "la réduction dans l'absurde"), il est démontré que si certaines déclarations étaient fausses, une contradiction logique se produit, d'où la déclaration doit être vrai. Cette méthode est peut-être la plus répandue des preuves mathématiques. Un exemple célèbre d'une preuve par l'absurde montre que \ Sqrt {2} est irrationnelle :

Supposer que \ Sqrt {2} est rationnel, donc \ Sqrt {2} = {a \ b} plusa et b sont des nombres entiers non nuls sans facteur commun (définition du nombre rationnel). Ainsi, b \ sqrt {2} = a . Quadrature deux côtés donne 2 b 2 = 2. Depuis 2 divise le côté gauche, 2 doivent également diviser le côté droit (comme elles sont égales et les deux nombres entiers). Ainsi, un deux est encore, ce qui implique que A doit être aussi même. On peut donc écrire a = c 2, où c est un entier également. Remplacement dans les rendements d'origine de l'équation 2 b = 2 (2 c) 2 = 4 c 2. Divisant les deux côtés par deux rendements b = 2 2 2 c. Mais alors, par le même argument comme avant, 2 divise b 2, donc b doit être encore. Toutefois, si A et B sont à la fois même, ils partagent un facteur, à savoir 2. Cela contredit notre hypothèse, si nous sommes obligés de conclure que \ Sqrt {2} est irrationnel.

La preuve par la construction

La preuve par la construction, ou la preuve par l'exemple, est la construction d'un exemple concret avec une propriété de montrer que quelque chose ayant cette propriété existe. Joseph Liouville, par exemple, a prouvé l'existence de nombres transcendants par la construction d'un exemple explicite.

Preuve par l'épuisement

Dans Preuve par l'épuisement, la conclusion est établie en la divisant en un nombre fini de cas et de prouver chacun séparément. Le nombre de cas peut parfois devenir très volumineux. Par exemple, la première preuve de la théorème des quatre couleurs était une preuve par l'épuisement avec 1936 cas. Cette preuve a été controversée parce que la majorité des cas ont été vérifiés par un programme d'ordinateur, pas à la main. La preuve la plus courte connue du théorème des quatre couleurs aujourd'hui a encore plus de 600 cas.

Preuve probabiliste

Une preuve probabiliste est celui dans lequel est représenté un exemple d'exister, avec certitude, en utilisant les méthodes de la théorie des probabilités . Ce ne est pas être confondu avec un argument qui est un théorème «probablement» vrai. Le dernier type de raisonnement peut être appelé un «argument de la plausibilité» et ne est pas une preuve; dans le cas de la Collatz Conjecture il est clair dans quelle mesure ce est d'une véritable preuve. Preuve probabiliste, comme la preuve par construction, est l'une des nombreuses façons de montrer théorèmes d'existence.

Preuve combinatoire

Une preuve combinatoire établit l'équivalence des expressions différentes en montrant qu'ils comptent le même objet de différentes manières. Habituellement, un bijection est utilisé pour montrer que les deux interprétations donnent le même résultat.

La preuve nonconstructive

Une preuve nonconstructive établit qu'un certain objet mathématique doit exister (par exemple «Certains X satisfait f (X)"), sans expliquer comment un tel objet peut être trouvé. Souvent, cela prend la forme d'une démonstration par l'absurde dans laquelle la non-existence de l'objet se avère être impossible. En revanche, une preuve constructive établit qu'un objet particulier existe en fournissant un procédé de le trouver. Un exemple célèbre d'une preuve nonconstructive montre qu'il existe deux nombres irrationnels une et b tel que un b ^ est un nombre rationnel :

Non plus \ Sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} est un nombre rationnel et nous fait (prendre a = b = \ sqrt {2} ), Ou (\ Sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}) ^ \ sqrt {2} = \ sqrt {2} ^ 2 = 2 montre que nous pouvons prendre a = \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} et b = \ sqrt {2} .

Preuve ni réfutation

Il ya une classe d'énoncés mathématiques pour lesquels ni une preuve ni réfutation existe, en utilisant seulement ZFC, la forme standard de la théorie des ensembles axiomatique . Des exemples comprennent le hypothèse continuum; voir plus loin Liste des déclarations indécidable dans ZFC. Sous l'hypothèse que ZFC est cohérente, l'existence de ces états résulte de (Premier) théorème d'incomplétude de Gödel. Si une proposition non prouvée particulier peut être prouvée ou réfutée utilise un ensemble standard d'axiomes ne est pas toujours évident, et peut être extrêmement technique pour déterminer. Pour montrer qu'un énoncé mathématique est indépendant (ou indécidable) dans une formalisation donné de mathématiques tels que ZFC exige des méthodes qui transcendent la formalisation donné.

Preuve élémentaire

Une preuve élémentaire est (habituellement) une preuve qui ne utilise pas l'analyse complexe. Depuis quelque temps, on a pensé que certains théorèmes, comme le théorème des nombres premiers, ne pouvait être prouvé en utilisant les mathématiques «supérieures». Cependant, au fil du temps, beaucoup de ces résultats ont été réprimandé en utilisant des techniques élémentaires seulement.

Fin d'une preuve

Parfois, l'abréviation "CQFD" est écrit pour indiquer la fin d'une preuve. Cette abréviation de «Quod Erat DEMONSTRANDUM", qui est latine pour "ce qui devait être démontré". Une alternative consiste à utiliser un carré ou un rectangle, par exemple ∎ □ ou, connu comme un " pierre tombale »ou« Halmos ".

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