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Renseignements généraux

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Dans les statistiques , la moyenne a deux significations connexes:

On dit parfois que la «moyenne» signifie moyenne. Ce est incorrect si "moyenne" est pris dans le sens spécifique de "moyenne arithmétique" comme il existe différents types de moyennes: la moyenne, la médiane et le mode . Par exemple, les prix moyens des maisons utilisent presque toujours la valeur médiane de la moyenne.

Pour une valeur réelle variable aléatoire X, la moyenne est la espérance de X. On notera que chaque pas la distribution de probabilité a une moyenne définie (ou variance ); voir le Distribution de Cauchy pour un exemple.

Pour un ensemble de données, la moyenne est la somme des observations divisé par le nombre d'observations. La moyenne est souvent cité avec l' écart-type : la moyenne décrit l'emplacement central des données, et l'écart type décrit la propagation.

Une autre mesure de la dispersion est l'écart moyen, équivalent à la moyenne déviation absolue de la moyenne. Il est moins sensible aux valeurs aberrantes, mais moins mathématiquement traitable.

Ainsi que des statistiques, des moyens sont souvent utilisés en géométrie et l'analyse; un large éventail de moyens ont été développés pour ces fins, qui ne sont pas beaucoup utilisés dans les statistiques. Ils sont énumérés ci-dessous.

Des exemples de moyens

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est la moyenne "standard", souvent simplement appelée la «moyenne».

\ Bar {x} = \ frac {1} {n} \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i

La moyenne peut souvent être confondue avec la médiane ou le mode . La moyenne est la moyenne arithmétique d'un ensemble de valeurs, ou la distribution; cependant, pour distributions asymétriques, la moyenne ne est pas nécessairement la même que la valeur moyenne (médiane), ou (mode) le plus probable. Par exemple, le revenu moyen est biaisé vers le haut par un petit nombre de personnes avec de très gros revenus, de sorte que la majorité ont un revenu inférieur à la moyenne. En revanche, le revenu médian est le niveau auquel la moitié de la population est en dessous et la moitié est au-dessus. Le revenu de mode est le revenu le plus probable, et favorise le plus grand nombre de personnes à faible revenu. La médiane ou le mode sont souvent des mesures plus intuitives de ces données.

Cela dit, de nombreuses distributions asymétriques sont mieux décrites par leur moyenne - comme les exponentielles et Poisson distributions.

Par exemple, la moyenne arithmétique des 34, 27, 45, 55, 22, 34 (six valeurs) est (34 + 27 + 45 + 55 + 22 + 34) / 6 = 217/6 ≈ 36,167.

Moyenne géométrique

Le moyenne géométrique est une moyenne qui est utile pour les ensembles de nombres qui sont interprétées en fonction de leur produit et non pas leur somme (comme ce est le cas avec la moyenne arithmétique). Par exemple, les taux de croissance.

\ Bar {x} = \ left (\ prod_ {i = 1} ^ {n} x_i \ right) ^ {1 / n}

Par exemple, la moyenne géométrique de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (six valeurs) est (34 × 27 × 45 × 55 × 22 × 34) 6.1 6.1 = 1699493400 = 34,545.

Moyenne harmonique

Le moyenne harmonique est une moyenne qui est utile pour des ensembles de nombres qui sont définis par rapport à certaines unité, par exemple vitesse (distance par unité de temps).

\ Bar {x} = n \ cdot \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {} x_i \ right) ^ {- 1}

Par exemple, la moyenne harmonique des nombres 34, 27, 45, 55, 22, et 34 est

\ Frac {6} {\ frac {1} {34} + \ frac {1} {27} + \ frac {1} {45} + \ frac {1} {55} + \ frac {1} {22} + \ frac {1} {34}} \ approx 33,0179836.

Moyen généralisé

Puissance moyenne

Le moyenne généralisée, aussi connu comme la puissance moyenne ou le titulaire dire, est une abstraction de la quadratique, l'arithmétique, géométrique et des moyens harmoniques. Elle est définie par

\ Bar {x} (m) = \ left (\ frac {1} {n} \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ n ^ {x_i m} \ right) ^ {1 / m}

En choisissant la valeur appropriée pour le paramètre m nous obtenons

m \ rightarrow \ infty maximum
m = 2 moyenne quadratique,
m = 1 moyenne arithmétique ,
m \ rightarrow0 moyenne géométrique,
m = -1 harmonique signifie,
m \ rightarrow- \ infty minimum.

f-moyen

Ceci peut être généralisé en outre que le f-généralisée moyen

\ Bar {x} = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n} \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ n {f (x_i)}} \ right)

et encore un choix approprié d'un inversible fa donnera

f (x) = \ frac {1} {x} harmonique signifie,
f (x) = x ^ m moyen d'alimentation,
f (x) = \ x ln moyenne géométrique.

Moyenne pondérée

Le moyenne arithmétique pondérée est utilisée, si l'on veut combiner des valeurs moyennes à partir d'échantillons de la même population avec différentes tailles de l'échantillon:

\ Bar {x} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n w_i \ cdot x_i}} {\ sum_ {i = 1} ^ {n}} w_i

Les poids w_i représenter les limites de l'échantillon partiel. Dans d'autres applications, ils représentent une mesure de la fiabilité de l'influence sur la moyenne de valeurs respectives.

Moyenne tronquée

Parfois, un ensemble de nombres (la données) peut être contaminée par les valeurs aberrantes inexactes, ce est à dire des valeurs qui sont beaucoup trop bas ou trop élevé. Dans ce cas, on peut utiliser un moyenne tronquée. Il implique la suppression des parties des données fournies en haut ou l'extrémité inférieure, généralement un montant égal à chaque extrémité, puis en prenant la moyenne arithmétique des données restantes. Le nombre de valeurs retirées est indiqué en pourcentage du nombre total de valeurs.

Interquartile signifie

Le interquartile signifie, ce est un exemple concret d'une moyenne tronquée. Ce est tout simplement la moyenne arithmétique après avoir retiré le plus bas et le plus haut trimestre de valeurs.

\ Bar {x} = {2 \ over n} \ sum_ {i = (n / 4) 1} ^ {3n / 4} {} x_i

en supposant que les valeurs ont été commandés.

Moyen d'une fonction

Dans le calcul , et surtout calcul à variables multiples, la moyenne d'une fonction est vaguement définie comme la valeur moyenne de la fonction sur sa domaine. Dans une variable, le moyen d'une fonction f (x) sur l'intervalle (a, b) est défini par

\ Bar {f} = \ frac {1} {b-a} \ int_a ^ bf (x) \, dx.

(Voir aussi valeur moyenne théorème.) Dans plusieurs variables, la moyenne sur une relativement compact domaine U dans un espace euclidien est définie par

\ Bar {f} = \ frac {1} {\ hbox {} Vol (U)} \ int_U f.

Ceci généralise la moyenne arithmétique. D'autre part, il est également possible de généraliser la moyenne géométrique de fonctions en définissant la moyenne géométrique de f pour être

\ Exp \ left (\ frac {1} {\ hbox {} Vol (U)} \ int_U \ log f \ right).

Plus généralement, théorie de la mesure et de la théorie des probabilités soit sorte de signifier joue un rôle important. Dans ce contexte, L'inégalité de Jensen place estimations pointus sur la relation entre ces deux notions différentes de la moyenne d'une fonction.

Moyenne des angles

La plupart des moyens habituels échouent sur les quantités circulaires, comme les angles , daytimes, parties fractionnaires des nombres réels . Pour les quantités que vous avez besoin d'un moyenne des quantités circulaires.

D'autres moyens

  • Arithmétique-moyenne géométrique
  • Arithmétique moyenne harmonique
  • Lemme de Cesàro
  • Moyenne Chisini
  • Moyenne Contraharmonic
  • Moyenne symétriques élémentaires
  • Moyenne géométrique harmonique
  • Heinz signifie
  • Moyenne Heronian
  • Identric signifierait
  • Moyenne des moindres carrés
  • Lehmer signifie
  • Moyenne logarithmique
  • Médiane
  • Moyenne quadratique
  • Stolarsky signifie
  • Moyenne temporelle
  • Moyenne géométrique pondérée
  • Moyenne harmonique pondérée
  • L'entropie de Rényi (un généralisée f-moyen)

Propriétés

La méthode la plus générale pour définir une moyenne ou moyenne, y, prend toute fonction d'une liste g (x_1, x_2, ..., xn), qui est symétrique par permutation des membres de la liste, et l'assimile à la même fonction de la valeur de la moyenne remplacement de chaque membre de la liste: g (x 1, x_2, ..., xn) = g (y, y, ..., y). Tous les moyens part certaines propriétés et d'autres propriétés sont partagées par les moyens les plus courants. Certaines de ces propriétés sont collectés ici.

Moyenne pondérée

Une moyenne pondérée M est une fonction qui associe uplets de nombres positifs à un nombre positif ( \ Mathbb {R} {_> 0} ^ n \ to \ mathbb {R} _ {0>} ).

  • " Point fixe ": M (1,1, \ dots, 1) = 1
  • Homogénéité: \ Forall \ lambda \ \ forall x \ M (\ lambda \ cdot x_1, \ dots, \ lambda \ cdot x_n) = \ lambda \ cdot M (x_1, \ dots, x_n)
(En utilisant notation vectorielle: \ Forall \ lambda \ \ forall x \ M (\ lambda \ cdot x) = \ lambda \ cdot M x )
  • Monotonie: \ Forall x \ \ forall y \ (\ forall i \ x_i \ le y_i) \ Rightarrow M x \ le M y

Cela suit

  • Borné: \ Forall x \ M x \ in [\ x min, \ max x]
  • Continuité: \ {X lim_ \ pour y} M x = M y
Croquis d'une preuve: Parce que \ Forall x \ \ forall y \ \ gauche (|| xy || _ \ infty \ le \ varepsilon \ cdot \ min x \ Rightarrow \ forall i \ | x_i-y_i | \ le \ varepsilon \ cdot x_i \ right) et M ((1+ \ varepsilon) \ cdot x) = (1+ \ varepsilon) \ cdot M x cela suit \ Forall x \ \ forall \ varepsilon> 0 \ \ forall y \ || xy || _ \ infty \ le \ varepsilon \ cdot \ min x \ Rightarrow | Mx-Mon | \ le \ varepsilon .
  • Il existe des moyens qui ne sont pas dérivables . Par exemple, le nombre maximal d'un tuple est considérée comme un moyen (comme un cas extrême de la puissance moyenne, ou comme un cas particulier d'une médiane ), mais ne est pas différentiable.
  • Tous les moyens énumérés ci-dessus, à l'exception de la majeure partie de la F-moyen généralisé, satisfont les propriétés présentées.
    • Si fa est bijective, le f-moyenne généralisée satisfait la propriété de point fixe.
    • Si fa est strictement monotone, le f-moyenne généralisée satisfaire également la propriété de monotonie.
    • En général, un f-moyenne généralisée ratera homogénéité.

Les propriétés ci-dessus impliquent des techniques pour construire des moyens plus complexes:

Si C, M_1, \ dots, M_M des moyens pondérés, p est un facteur positif nombre réel , alors A, B avec

\ Forall x \ A x = C (M_1 x, \ dots, M_M x)
\ Forall x \ B x = \ sqrt [p] {C (x_1 ^ p, \ dots, x_n ^ p)}

sont également une moyenne pondérée.

Moyenne non pondérée

Intuitivement parlé, moyenne non pondérée est une moyenne pondérée avec des poids égaux. Depuis notre définition de la moyenne pondérée ci-dessus ne expose pas des poids particulières, des poids égaux doivent être maintenus par un autre chemin. Un point de vue différent sur la pondération est homogène, que les entrées peuvent être échangés sans altérer le résultat.

Ainsi nous définissons M étant une moyenne non pondérée se il se agit d'une moyenne pondérée, et pour chaque permutation \ Pi des entrées, le résultat est le même. Laisser P comme l'ensemble des permutations de n -uplets.

Symétrie: \ Forall x \ \ forall \ pi \ P \ M x = M (\ pi x)

De manière analogue aux moyens pondérés, si C est une moyenne pondérée et M_1, \ dots, M_M sont des moyens non pondérés, p est un facteur positif nombre réel , alors A, B avec

\ Forall x \ A x = C (M_1 x, \ dots, M_M x)
\ Forall x \ B x = \ sqrt [p] {M_1 (x_1 ^ p, \ dots, x_n ^ p)}

sont également des moyens non pondérés.

Convertir moyenne non pondérée à moyenne pondérée

Une moyenne non pondérée peut être transformé en une moyenne pondérée par des éléments répéter. Cette connexion peut également être utilisé pour indiquer qu'une moyenne est la version pondérée d'une moyenne non pondérée. Disons que vous avez la moyenne non pondérée M et le poids des chiffres par des nombres naturels a_1, \ dots, a_n . (Si les chiffres sont rationnelle , puis les multiplier avec le dénominateur commun moins). Puis la moyenne pondérée correspondante Un est obtenu par

Un (x_1, \ dots, x_n) = M (\ {underbrace x_1, \ dots, x_1} _ {} a_1, x_2, \ dots, x_ {n-1}, \ {underbrace x_n, \ dots, x_n} _ {} a_n) .

Moyens de tuples de différentes tailles

Si un moyen M est défini pour plusieurs tuples de taille, alors on se attend également que la moyenne d'un tuple est délimitée par le moyen de cloisons. Plus précisément

  • Compte tenu d'un tuple arbitraire x , Qui est partitionné en y_1, \ dots, y_k , Alors il détient M x \ in \ mathrm {} convexhull (M y_1, \ dots, M y_k) . (Voir Enveloppe convexe)

L'enseignement des mathématiques

Dans de nombreuses normes de l'Etat et programmes du gouvernement, les élèves sont censés traditionnellement à apprendre ni le sens ni la formule de calcul de la moyenne par la quatrième année. Cependant, dans de nombreux programmes de mathématiques basée sur les standards, les étudiants sont encouragés à inventer leurs propres méthodes, et ne peuvent être enseignées la méthode traditionnelle. textes de réforme de base tels que TERC en fait décourager l'enseignement de la traditionnelle "ajouter les numéros et diviser par le nombre d'éléments" méthode en faveur de passer plus de temps sur le concept de la médiane , qui ne nécessite pas la division. Cependant, la moyenne peut être calculée avec une calculatrice à quatre fonctions simple, tandis que la médiane nécessite un ordinateur. Le même guide de l'enseignant consacre plusieurs pages sur la façon de trouver la médiane d'un ensemble, qui est jugée plus simple que de trouver la moyenne.

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