Médiane

Dans la théorie des probabilités et des statistiques , une médiane est décrit comme le nombre séparant la moitié supérieure d'un échantillon, une population ou une distribution de probabilité , de la moitié inférieure. La médiane d'une liste finie de nombres peut être trouvé en disposant de toutes les observations du plus bas de la valeur à plus haute valeur et la cueillette au milieu une. Se il ya un nombre pair d'observations, la médiane ne est pas unique, donc on prend souvent la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemple: X, Y, Z médiane = Y Exemple: W, X, Y, Z médiane = moyenne (X, Y) = (X + Y) / 2

Tout au plus la moitié de la population a des valeurs inférieures à la médiane et au plus la moitié des valeurs supérieures à la médiane. Si les deux groupes contiennent moins de la moitié de la population, alors une partie de la population est exactement égale à la médiane.

Explication populaire

La différence entre la médiane et la moyenne est illustrée dans cet exemple simple:

Supposons que 19 pauvres et une milliardaire sont dans une pièce. Tout le monde enlève tout l'argent de leurs poches et le met sur une table. Chaque pauvre met 5 $ sur la table; le milliardaire met $ 1,000,000,000 (soit 10 $ ⁹ $) il. Le total est alors $ 1,000,000,095. Si cet argent est divisé également entre les 20 personnes, chacun obtient 50,000,004.75 $. Ce montant est le moyen montant d'argent que les 20 personnes introduits dans le local. Mais le montant médian est de 5 $, puisque l'on peut diviser le groupe en deux groupes de 10 personnes chacun, et de dire que tout le monde dans le premier groupe a en pas plus de 5 $, et chaque personne dans le deuxième groupe apporté pas moins de 5 $. Dans un sens, la médiane est le montant que la personne typique apporté. En revanche, la moyenne ne est pas du tout typique, puisque personne dans la salle amené un montant se rapprochant de 50,000,004.75 $.

Mesures de dispersion statistique

Lorsque la médiane est utilisée comme paramètre de position dans les statistiques descriptives, il ya plusieurs choix pour une mesure de la variabilité: la gamme, le gamme interquartile, la moyenne écart absolu, et la écart absolu médian. Étant donné que la médiane est la même que la deuxième quartile, le calcul est illustré dans l'article sur quartiles.

Travailler avec des ordinateurs, une population d'entiers devrait avoir une médiane entier. Ainsi, pour une population entière d'un nombre pair d'éléments, il existe deux médianes appelés médian inférieur et médian supérieur. Pour virgule flottante population, la médiane se situe quelque part entre les deux éléments intermédiaires, en fonction de la distribution. Médian est le plus de valeur moyenne après l'organisation des données par ne importe quel ordre

Propriétés théoriques

Une propriété d'optimalité

La médiane est le point central qui minimise la moyenne des écarts absolus; dans l'exemple ci-dessus cela serait (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1,5 en utilisant la médiane, et il serait 1,944 utilisant la moyenne. Dans le langage de la théorie des probabilités, la valeur de c qui minimise

est la médiane de la distribution de probabilité de la variable aléatoire X. Notez, cependant, que c ne est pas toujours unique, et par conséquent pas bien définie en général.

Le calcul efficace

Même si trier n éléments prend en général O (n log n) opérations, en utilisant un "Diviser pour régner" algorithme de la médiane de n éléments peuvent être calculés avec seulement O (n) opérations (en fait, vous pouvez toujours trouver le k ième élément d'une liste de valeurs avec cette méthode, ce qui est appelé le problème de sélection).

Explication facile (Statistiques)

A titre d'exemple, nous allons calculer la médiane de la population de chiffres suivante: 1, 5, 2, 8, 7.

Commencer par tri les numéros: 1, 2, 5, 7, 8.

Dans ce cas, 5 est la médiane, parce que quand les numéros sont triés, ce est le nombre du milieu. Se il existe encore une quantité de nombres, la médiane est la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales.