Polygone

Des polygones de différentes sortes

Dans la géométrie d'un polygone (pron .: / p ɒ l ɪ ɡ ɒ n /) Est une forme plane constituée de lignes droites qui sont joints pour former un chaîne ou circuit fermé.

Un polygone est traditionnellement un plan chiffre qui est délimité par une fermeture chemin, composé d'une suite finie de droite segments de ligne (ce est à dire, par un chaîne polygonale fermée). Ces segments sont appelés ses bords ou sur les côtés, et les points où deux bords rencontrent sont les sommets du polygone (singulier: sommet) ou des coins. Un n-gon est un polygone à n côtés. L'intérieur du polygone est parfois appelé son corps. Un polygone est un exemple deux dimensions de la plus générale polytope dans un nombre quelconque de dimensions.

Le mot «polygone» dérive du grec πολύς (Polus) "beaucoup", "beaucoup" et γωνία (Goniá) "coin", "angle", ou γόνυ (Gonu) "genou".

La notion géométrique de base a été adapté de diverses manières pour répondre à des fins particulières. Les mathématiciens sont souvent préoccupés seulement avec la chaîne polygonale fermée et polygones simples qui ne sont pas auto-intersection, et peut définir un polygone conséquence. Géométriquement réunion de deux bords à un coin sont nécessaires pour former un angle qui ne est pas droit (180 °); autrement, les segments de ligne seront considérées comme des parties d'un seul bord; Mais mathématiquement, ces coins peuvent parfois être autorisés. Dans les domaines relatifs au calcul, le polygone terme a pris un sens légèrement modifié dérivé de la façon dont la forme est stocké et manipulé en infographie (génération d'image). Certains autres généralisations de polygones sont décrits ci-dessous.

Classification

Certains types de polygone

Nombre de côtés

Les polygones sont essentiellement classés par le nombre de côtés. Voir tableau ci-dessous .

Convexité et les types de non-convexité

Les polygones peuvent être caractérisés par leur convexité ou le type de non-convexité:

• Convex: toute ligne tracée à travers le polygone (et non tangent à un bord ou coin) rencontre sa limite exactement deux fois. De manière équivalente, tous ses angles internes sont inférieurs à 180 °.
• Non-convexe: une ligne peut être trouvé qui répond à sa frontière plus de deux fois. En d'autres termes, il contient au moins un angle intérieur avec une mesure plus grande que 180 °.
• Simple: la limite du polygone ne se croisent pas. Tous les polygones convexes sont simples.
• Concave: non-convexe et simple.
• Star-forme: tout l'intérieur est visible à partir d'un seul point, sans traverser ne importe quel bord. Le polygone doit être simple, et peut être convexe ou concave.
• Auto-intersection: la limite du polygone traverse elle-même. Branko Grünbaum appelle ces copte, bien que ce terme ne semble pas être largement utilisé. Le complexe de terme est parfois utilisé à la différence de simple, mais cet usage risque de confusion avec l'idée d'un polygone complexe que celle qui existe dans le complexe Hilbert plan constitué par les deux complexes dimensions.
• Étoile polygone: un polygone qui se auto-intersecte de façon régulière.

Symétrie

• Équiangles: tous ses angles de coin sont égaux.
• Cycliques: tous les coins se situent sur un seul cercle .
• Isogonal ou sommet-transitif: tous les coins se situent dans la même symétrie orbite. Le polygone est également cyclique et équiangulaire.
• Équilatéraux: toutes les arêtes sont de même longueur. (Un polygone à cinq côtés ou plus peut être équilatéral sans être convexe.)
• Isotoxal ou Edge-transitif: tous les côtés se trouvent dans le même symétrie orbite. Le polygone est équilatéral.
• Tangentielle: tous les côtés sont tangents à un cercle inscrit.
• Normal: Un polygone est régulier se il est à la fois cyclique et équilatéral. Un polygone régulier non-convexe est appelé régulière polygone étoiles.

Propriétés

La géométrie euclidienne est supposé dans l'ensemble.

Angles

Tout polygone, auto-intersection régulière ou irrégulière ou simple, a autant de coins comme il a des côtés. Chaque coin a plusieurs angles. Les deux plus importants sont:

• Angle intérieur - La somme des angles intérieurs d'un n-gon est simple, (n - 2) π radians ou (N - 2) 180 degrés . Ce est parce que tout n -gon simple peut être considéré comme constitué de (n - 2) triangles, dont chacun a un angle somme de π radians ou 180 degrés. La mesure de ne importe quel angle intérieur d'un convexe régulière n-gon est radians ou degrés. Les angles intérieurs d'régulière polygones étoilés ont été étudiés par Poinsot, dans le même journal dans lequel il décrit les quatre polyèdres réguliers étoiles.

• Angle extérieur - Tracing autour d'un n-gon convexe, l'angle "tourné" à un coin est l'angle extérieur ou externe. Tracing tout le chemin autour du polygone fait un tour complet tourner, de sorte que la somme des angles extérieurs doit être de 360 °. Cet argument peut être généralisée à concave polygones simples, si angles externes qui tournent dans le sens opposé sont soustraites du total tourné. Traçage autour d'un n-gone, en général, la somme des angles extérieurs (la quantité totale tourne à une sommets) peut être ne importe quel nombre entier d multiple de 360 °, par exemple 720 ° pour un pentagone et 0 ° pour un angle "huit", où d est la densité ou starriness du polygone. Voir également en orbite (dynamique).

L'angle extérieur est le angle supplémentaire à l'angle intérieur. De ce la somme des angles intérieurs peut être facilement confirmé, même si certains angles intérieurs sont plus de 180 °: dans le sens horaire autour, cela signifie que l'on parfois tourne à gauche au lieu de droite, qui est considéré comme tourner un montant négatif. (Nous considérons donc quelque chose comme le numéro de l'orientation des côtés, où à chaque sommet de la contribution est entre la liquidation -. _^1/2 et _^1/2 d'enroulement)

Région et centre de gravité

Nomenclature d'un polygone 2D.

La surface d'un polygone est la mesure de la région de dimension 2 délimitée par le polygone. Pour un non-auto-intersection ( simples polygone) à n sommets, la région et centroïde sont données par:

Pour fermer le polygone, le premier et le dernier sommets sont les mêmes, ce est à dire, x _n, y _n = x _0, y _0. Les sommets doivent être classés en fonction de l'orientation positive ou négative (à gauche ou à droite, respectivement); si elles sont ordonnées négativement, la valeur donnée par la formule de la zone sera négatif, mais correct dans valeur absolue , mais le calcul et , La valeur signée de (Qui dans ce cas est négative) doit être utilisé. Ceci est communément appelé le Formule de l'arpenteur.

La formule de zone est calculé en prenant chaque arête AB, et en calculant le (signé) ABO aire du triangle avec un sommet à l'origine O, en prenant le produit croisé (qui donne à l'aire d'un parallélogramme) et en divisant par 2. Comme une se enroule autour du polygone, ces triangles avec zone positive et négative se chevauchent, et les zones entre l'origine et le polygone seront annulés et résumer à 0, tandis que seule la zone à l'intérieur du triangle de référence reste. Ce est pourquoi la formule est appelée la formule de l'arpenteur, depuis le «arpenteur» est à l'origine; si vous allez dans le sens antihoraire, zone positive est ajouté en allant de gauche à droite et la zone négative est ajouté en allant de droite à gauche, du point de vue de l'origine.

La formule a été décrit par Meister en 1769 et par Gauss en 1795. Il peut être vérifiée en divisant le polygone en triangles, mais elle peut aussi être considérée comme un cas particulier de Le théorème de Green.

La zone A d'un polygone simple, peut également être calculée si les longueurs des côtés, a _1, a _2, ..., a _n et la angles extérieurs, θ _1, θ _2, ..., θ _n sont connus. La formule est la

La formule a été décrit par Lopshits en 1963.

Si le polygone peut être dessiné sur une grille régulièrement espacés de telle sorte que tous les sommets sont les points de grille, Théorème de Pick donne une formule simple pour la zone du polygone basée sur le nombre de points de grille intérieur et aux limites.

Dans chaque polygone à périmètre p et la zone A, le l'inégalité isopérimétrique détient.

Si deux polygones simples de même aire sont donnés, le premier peut être coupé en morceaux polygonaux qui peuvent être réassemblés pour former le deuxième polygone. Ceci est le Théorème Bolyai-Gerwien.

L'aire d'un polygone régulier est également donnée en termes de rayon r de son cercle inscrit et par son périmètre p

.

Ce rayon est également appelé son apothème et est souvent représenté comme un.

L'aire d'un n-gon régulier avec le côté inscrit dans un cercle unité est

.

L'aire d'un n-gon régulière en termes de rayon r de son cercle circonscrit et son périmètre p est donnée par

.

L'aire d'un n-gon régulier, inscrit dans un cercle de rayon unité, avec le côté s et l'angle θ intérieur peut aussi être exprimée comme trigonométriquement

.

Les côtés d'un polygone ne le font pas, en général déterminer la zone. Cependant, si le polygone est cyclique les côtés font déterminer la zone. De tous côtés avec n -gons donnés, celui avec la plus grande zone est cyclique. De tous les n -gons avec un périmètre donné, celui avec la plus grande zone est régulier (et donc cyclique).

polygones auto-intersection

L'aire d'un polygone de l'auto-intersection peut être définie de deux manières différentes, dont chacune donne une réponse différente:

• En utilisant les procédés ci-dessus pour les polygones simples, on découvre que des régions particulières à l'intérieur du polygone peuvent avoir leur surface multipliée par un facteur que l'on appelle la densité de la région. Par exemple, le pentagone convexe centrale dans le centre d'un pentagone a une densité 2. Les deux régions triangulaires d'un quadrilatère en coupe (comme une figure 8) opposés ont des densités-signé, et l'addition de leurs zones ensemble, peuvent donner une surface totale de zéro pour la figure entière.
• Considérant les régions clos que des ensembles de points, nous pouvons trouver la zone de l'ensemble de points clos. Cela correspond à la zone du plan couvert par le polygone, ou à la surface d'un polygone simple ayant le même contour que l'auto-coupant une (ou, dans le cas de la traverse quadrilatère, les deux triangles simples).

Degrés de liberté

Un n-gon a 2 n degrés de liberté, y compris pour la position 2, pour une orientation de rotation, et pour une taille globale, de sorte que 2 n - 4 pour façonner. Dans le cas d'un ligne de symétrie ce dernier se réduit à n - 2.

Soit k ≥ 2 Pour une nk -gon avec k -fois symétrie de rotation (C _k), il ya deux n -. 2 degrés de liberté pour la forme. Avec miroir image supplémentaire symétrie (D _k) il ya n - 1 degrés de liberté.

Produit de distances à partir d'un sommet à d'autres sommets d'un polygone régulier

Pour un n-gon régulier inscrit dans un cercle de rayon unité, le produit de la distance entre un sommet donné à tous les autres sommets est égal à n.

Généralisations de polygones

Dans un sens large, un polygone est une (sans extrémités) séquence ou circuit de segments alternant (côtés) et les angles (angles) sans limite. Un polygone ordinaire est illimitée parce que la séquence se referme en elle-même dans une boucle ou un circuit, tandis qu'un apeirogon (du polygone infini) est illimitée, car il va à l'infini. La compréhension mathématique moderne est de décrire une telle séquence structurelle en termes de " polygone abstrait ", qui est un partiellement ordonné set (ensemble ordonné) des éléments. L'intérieur (corps) du polygone est un autre élément, et (pour des raisons techniques) est donc le polytope nulle ou nullitope.

Un polygone géométrique est une réalisation du polygone abstraite associée. Cela implique une certaine cartographie des éléments de l'abstrait géométrique. Un tel polygone ne pas avoir à mentir dans un plan, ou ont des parois droites, ou joindre un domaine, et des éléments individuels peuvent se chevaucher ou même coïncider. Par exemple, un sphérique polygone est tracé sur la surface d'une sphère, et ses côtés sont des arcs de grands cercles.

Un digone est un polygone fermé ayant deux côtés et deux angles. Deux points opposées sur une surface sphérique, rejoints par deux grands demi-cercles différents produisent une digone. Carrelage la sphère avec digons produit un polyèdre appelé hosohedron. Un grand cercle avec un point d'angle ajoutée, produit un monogon ou Hénagone.

D'autres réalisations de ces polygones sont possibles sur d'autres surfaces, mais dans le (plat) plan euclidien, leur corps ne peuvent pas être sensiblement réalisés et sont considérées dégénérée.

L'idée d'un polygone a été généralisé de diverses manières. Une courte liste de certains cas dégénérés (ou des cas particuliers) comprend ce qui suit:

• Digon: angle intérieur de 0 ° dans le plan euclidien. Voir les remarques ci-dessus concernant la sphère
• Angle intérieur de 180 °: Dans l'avion ce qui donne une apeirogon (voir ci-dessous), sur la sphère une dièdre
• Un polygone désalignement ne réside pas dans un plan plat, mais en zigzag en trois (ou plus) dimensions. Le Polygones Petrie des polyèdres réguliers sont des exemples classiques
• Un polygone sphérique est un circuit de côtés et les coins sur la surface d'une sphère
• Une apeirogon est une séquence infinie de côtés et les angles, qui ne est pas fermée, mais il n'a pas d'extrémités, car elle se étend à l'infini
• Un polygone complexe est une figure analogue à un polygone ordinaire, qui existe dans le plan complexe de Hilbert

Nommer polygones

Le mot «polygone» vient de Polygonum latin tardif (un nom), de grec πολύγωνον (polygōnon / polugōnon), l'utilisation du nom neutre de πολύγωνος (polygōnos / polugōnos, l'adjectif masculin), ce qui signifie «beaucoup angle". Polygones individuels sont nommés (et parfois classés) en fonction du nombre de côtés, la combinaison d'une grecque -derived préfixe numérique avec le -gon suffixe, par exemple pentagone, dodécagone. Le triangle , ou quadrilatère quadrilatère, et ennéagone ya des exceptions. Pour un grand nombre, mathématiciens écrivent généralement le chiffre lui-même, par exemple, 17-gon. Une variable peut même être utilisé, généralement n-gon. Ceci est utile si le nombre de côtés est utilisé dans une formule .

Certains polygones spéciales ont aussi leurs propres noms; par exemple le régulier étoile pentagone est également connu comme le pentagramme.

Noms Polygon

Nom	Bords	Remarques
Hénagone (ou monogon)	1	Dans le plan euclidien, dégénère à une courbe fermée avec un point de sommet unique sur elle.
digone	2	Dans le plan euclidien, dégénère à une courbe fermée avec deux points de sommet sur elle.
triangle (ou trigone)	3	Le polygone simple qui peut exister dans le plan euclidien.
quadrilatérale (ou quadrilatère ou tétragone)	4	Le polygone simple qui peut se passer; le polygone simple qui peut être concave.
Pentagone	5	Le polygone simple qui peut exister comme une étoile régulière. Une étoile pentagone est connu comme un pentagramme ou pentacle.
hexagone	6	Évitez "SEXAGON" = latine [sexe] + grecque.
heptagone	7	Évitez "Septagon" = latine [Sept] + grecque. Le polygone simple telle que la forme ne est pas régulière constructible avec règle et au compas . Cependant, il peut être construit en utilisant une Neusis construction.
octogone	8
enneagon ou ennéagone	9	"Nonagon" est couramment utilisé, mais mêle latine [novem = 9] avec le grec. Certains auteurs modernes préfèrent "enneagon", qui est pur grec.
décagone	10
hendécagone	11	Évitez "undecagon" = latine [non -] + grecque. Le polygone simple telle que la forme régulière ne peut être construit avec la boussole, règle, et trisectrice angle.
dodécagone	12	Évitez "duodecagon" = latine [duo -] + grecque.
Tridécagone (ou triskaidecagon)	13
tetradecagon (ou tetrakaidecagon)	14
Pentadécagone (ou quindecagon ou pentakaidecagon)	15
Hexadecagon (ou hexakaidecagon)	16
Heptadécagone (ou heptakaidecagon)	17
Octadécagone (ou octakaidecagon)	18
Ennéadécagone (ou enneakaidecagon ou nonadecagon)	19
Icosagone	20
Triacontagone	30
hectogon	100	"Hectogon" est le nom grec (voir hectomètre), "centagon" est un hybride latin-grec; ni est largement attestée.
chiliogone	1000	René Descartes, Kant , David Hume , et d'autres ont utilisé le chiliogone comme exemple dans la discussion philosophique.
myriagone	10000
megagon	1000000	Comme avec l'exemple de René Descartes de la chiliogone, le polygone millions verso a été utilisé comme une illustration d'un concept bien défini qui ne peut pas être visualisé. Le megagon est également utilisé comme une illustration de la convergence de polygones réguliers à un cercle.
apeirogon		Un polygone dégénéré d'une infinité de côtés

Construire noms plus élevés

Pour construire le nom d'un polygone avec plus de 20 et moins de 100 bords, combiner les préfixes comme suit

Le "kai" ne est pas toujours utilisé. Les opinions divergent sur exactement quand il le devrait, ou ne doivent pas être utilisées (voir également les exemples ci-dessus).

Alternativement, le système utilisé pour nommer le alcanes supérieurs (des hydrocarbures totalement saturés) peuvent être utilisés:

Cela a l'avantage d'être compatible avec le système utilisé pour 10 à travers les chiffres 19-verso.

Ce est, une figure 42-face serait nommé comme suit:

et un chiffre de 50-face

Mais au-delà ennéagones et décagones, mathématiciens professionnels préfèrent généralement la notation numérique précitée (par exemple, MathWorld a articles sur 17-gones et 257-gones). Des exceptions existent pour les comptes secondaires qui sont plus facilement exprimées sous forme verbale.

Histoire

image historique de polygones (1699)

Polygones sont connues depuis l'Antiquité. Le polygones réguliers étaient connus des Grecs anciens, et de la pentagramme, un polygone régulier non-convexe ( polygone étoiles), apparaît sur le vase de Aristophonus, Caere, daté du 7ème siècle BC polygones non convexes en général ne ont pas été systématiquement étudiées jusqu'à ce que le 14ème siècle par Thomas Bradwardine.

En 1952, Geoffrey Colin Shephard généraliser l'idée de polygones au plan complexe, où chaque dimension réelle est accompagné d'un imaginaire, pour créer polygones complexes.

Polygones dans la nature

La Chaussée des Géants , en Irlande du Nord

De nombreux polygones réguliers peuvent être vus dans la nature. Dans le monde de la géologie , les cristaux ont des faces planes, ou facettes, qui sont des polygones. Quasicristaux peuvent même avoir pentagones réguliers que visages. Un autre exemple fascinant de polygones réguliers se produit lorsque le refroidissement de la lave forme de zones serrées hexagonales colonnes de basalte , qui peuvent être vus à la Chaussée des Géants en Irlande , ou à la Postpile du Diable en Californie .

Carambole, un fruit populaire dans Asie Du Sud Est

Les hexagones plus célèbres dans la nature se trouvent dans le règne animal. La cire nid d'abeille faite par les abeilles est un tableau de hexagones utilisé pour stocker le miel et le pollen, et comme un endroit sûr pour les larves de se développer. Il existe également des animaux qui se prennent la forme approximative de polygones réguliers, ou au moins avoir la même symétrie. Par exemple, étoiles de mer affichent la symétrie d'un pentagone ou, moins fréquemment, le heptagone ou d'autres polygones. Autre échinodermes, comme oursins, affichent parfois symétries similaires. Bien échinodermes ne présentent pas exacte symétrie radiale, méduses et Cnétophores font, généralement quatre ou huit.

Symétrie radiale (symétrie et d'autres) est également largement observé dans le règne végétal, en particulier parmi les fleurs, et (dans une moindre mesure) les graines et fruits, la forme la plus commune de cette symétrie étant pentagonale. Un exemple particulièrement frappant, ce est la carambole, un fruit légèrement acidulé populaire en Asie du Sud-Est, dont la section est en forme d'étoile pentagonale.

Déplacement sur la terre dans l'espace, les premiers mathématiciens à effectuer les calculs à l'aide de Newton la loi de la gravitation découvert que si deux corps (telles que le soleil et la terre) sont en orbite autour de l'autre, il existe certains points dans l'espace, appelé Points de Lagrange, où un corps plus petit (comme un astéroïde ou une station spatiale) restera dans une orbite stable. Le système Soleil-Terre a cinq points de Lagrange. Les deux plus stables sont exactement 60 degrés devant et derrière la terre sur son orbite; ce est, joignant le centre du soleil et de la terre et l'un de ces points de Lagrange stables forme un triangle équilatéral. Les astronomes ont déjà trouvé astéroïdes à ces points. Il est encore débattue si elle est pratique pour garder une station spatiale au point de Lagrange - bien qu'il ne aurait jamais besoin des corrections de trajectoire, il aurait à esquiver souvent les astéroïdes qui sont déjà présents. Il ya déjà des satellites et les observatoires spatiaux aux points de Lagrange moins stables.

Polygones en infographie

Un polygone dans un système infographie (génération d'image) est une forme bidimensionnelle qui est modélisé et stocké dans sa base de données. Un polygone peut être coloré, ombragé et texturé, et sa position dans la base de données est définie par les coordonnées de ses sommets (coins).

Les conventions de nommage diffèrent de celles des mathématiciens:

• Un polygone simple ne se croise pas.
• un polygone est un polygone concave simple ayant au moins un angle intérieur supérieur à 180 °.
• Un polygone complexe ne se croiser.

L'utilisation de polygones dans l'imagerie en temps réel: Le système d'imagerie appelle la structure de polygones nécessaires pour la scène doit être créé à partir de la base de données. Ce est transféré dans la mémoire active et enfin, le système d'affichage (écran, écrans de télévision, etc.) de sorte que la scène peut être visualisée. Pendant ce processus, le système d'imagerie rend polygones en perspective correcte prêt pour la transmission des données traitées dans le système d'affichage. Bien que les polygones sont à deux dimensions, grâce à l'ordinateur du système, ils sont placés dans une scène visuelle dans l'orientation correcte en trois dimensions de telle sorte que le point de vue se déplace à travers la scène, il est perçu en 3D.

Morphing: Pour éviter les effets artificiels aux frontières de polygones où les avions de polygones contigus sont à angle différent, dits "Algorithmes Morphing» sont utilisés. Ce mélange, adoucir ou lisser les bords du polygone afin que la scène semble moins artificielle et plus comme le monde réel.

Polygones maillés: Le nombre de polygones maillés ("maillé" est comme un filet de poisson) peut être jusqu'à deux fois celle de polygones unmeshed autonome, en particulier si les polygones sont contigus. Si une maille carrée a n + 1 points (sommets) de chaque côté, il ya N carré carrés dans le maillage, ou 2 n carré triangles car il ya deux triangles dans un carré. Il n'y a (n + 1) ^2/2 (n ²⁾ par les sommets triangle. Où n est grand, cette approche de la moitié. Ou, chaque sommet intérieur de la maille carrée relie quatre bords (lignes).

nombre de polygones: Depuis un polygone peut avoir plusieurs côtés et ont besoin de nombreux points de la définir, afin de comparer un système d'imagerie avec un autre, "le nombre de polygones" est généralement considéré comme un triangle. En analysant les caractéristiques d'un système d'imagerie particulier, la définition exacte du nombre de polygones doit être obtenu comme elle se applique à ce système car il ya une certaine souplesse dans le traitement qui provoque des comparaisons deviennent non-trivial.

Vertex Count: Bien que l'utilisation de cette mesure semble être proche de la réalité, il doit toujours être pris avec un peu de sel. Depuis chaque sommet peut être augmentée avec d'autres attributs (comme la couleur ou normal) la quantité de traitement impliqués ne peuvent pas être déduit trivialement. En outre, le sommet appliquée transformer doit être pris en compte, ainsi topologie informations spécifiques au système en cours d'évaluation mise en cache peut introduire des variations cohérentes dans les résultats escomptés post-transformée.

Point test de polygone: En infographie et géométrie de calcul, il est souvent nécessaire de déterminer si un point donné P = (x _0, y ₀₎ se trouve à l'intérieur d'un polygone simple, donné par une séquence de segments de ligne. Il est connu comme le Point test de polygone.