Vérifié contenu

Polynôme

Sujets connexes: Mathématiques

Contexte des écoles Wikipédia

SOS croit que l'éducation donne une meilleure chance dans la vie des enfants dans le monde en développement aussi. Mères SOS chaque regard après une une famille d'enfants parrainés .

En mathématiques , un polynôme est un expression qui est construit à partir d'un ou plusieurs les variables et constantes, en utilisant uniquement les opérations d'addition, soustraction, multiplication, et constants exposants sont des nombres entiers positifs. Par exemple, x ^ 2 - 4x + 7 \, est un polynôme, mais x ^ 2-4 / x + 7x ^ {3/2} \, est un polynôme non parce qu'elle implique la division par une variable et parce qu'il a un exposant qui ne est pas un nombre entier positif.

Polynômes sont un des concepts les plus importants de l'algèbre et dans les mathématiques et les sciences. Ils peuvent être utilisés pour former des équations polynomiales, qui peut coder pour un large éventail de problèmes, de l'élémentaire problèmes de l'histoire à des problèmes complexes dans les sciences; ils peuvent être utilisés pour définir des fonctions polynômes, qui apparaissent dans les réglages de base allant de la chimie et de la physique à l'économie , et sont utilisés dans le calcul et analyse numérique, rapprochant d'autres fonctions. Polynômes sont utilisés dans leur propre droit de construire anneaux de polynômes, l'un des concepts les plus puissants de l'algèbre et de géométrie algébrique.

Vue d'ensemble

Un polynôme est soit zéro, ou peut être écrite comme la somme d'un ou plusieurs non-zéro termes. Le nombre de termes est fini. Ces termes sont constitués d'une constante (appelé coefficient du terme) multiplié par zéro ou plus variables (qui sont généralement représentés par des lettres). Chaque variable peut avoir un exposant qui est un entier non négatif. L'exposant d'une variable dans une période est égale à la degré de cette variable dans ce terme. Depuis x = x ^ 1 Le degré d'une variable sans exposant est écrite une. Un terme sans variables est appelé terme constant, ou tout simplement une constante. Le degré d'un terme constant est 0. Le coefficient d'un terme peut être ne importe quel nombre, y compris les fractions, les nombres irrationnels, les nombres négatifs, et les nombres complexes.

Par exemple,

-5x ^ 2a \,

est un terme. Le coefficient est -5, les variables x et y sont, le degré de x est deux, et le degré de y est une.

Le degré de la durée totale est la somme des degrés de chaque variable en elle. Dans l'exemple ci-dessus, le degré est 2 + 1 = 3.

Un polynôme est une somme de termes. Par exemple, ce qui suit est un polynôme:

3x ^ 2 - 5x + 4 \ ,.

Il se compose de trois termes: le premier est diplôme de deux, le second est un degré, et le troisième est de zéro degré. Ici "

"Signifie"

", De sorte que le coefficient de moyen terme est de -5.

Quand un polynôme à une variable est disposé dans l'ordre traditionnel, les termes de degré supérieur viennent avant les termes de degré inférieur. Dans le premier terme ci-dessus, le coefficient est de 3, la variable est x, et l'exposant est 2. Dans le second terme, le coefficient est de -5. Le troisième terme est une constante. Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand degré d'une quelconque durée. Dans l'exemple, le polynôme est de degré deux.

Autres formes

Une expression qui peut être converti en forme polynomiale à travers une série de demandes de l' commutative , associative , et lois de distribution est généralement considéré comme un polynôme. Par exemple

(X + 1) ^ 3

est un polynôme, car il peut être élaboré à x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1 . De même

\ Frac {x ^ 3} {12}

est considéré comme un terme de validité dans un polynôme, même se il se agit d'une division, parce que ce est l'équivalent de \ Frac {1} {12} x ^ 3 et \ Frac {1} {12} est juste une constante. Le coefficient de ce terme est donc \ Frac {1} {12} . Pour des raisons similaires, si coefficients complexes sont autorisés, une beaucoup ont un mandat unique comme (2 + 3i) x ^ 3 ; même si on dirait qu'il devrait être élaboré à deux mandats, le nombre complexe 2 + 3 i est en fait juste un coefficient unique dans ce cas ce qui se passe à exiger un "+" d'être écrit.

Division par une expression contenant une variable est généralement pas autorisée dans polynômes. Par exemple,

{1 \ over x ^ 2 + 1} \,

ne est pas un polynôme car il comprend la division par une variable. De même,

(5 + y) ^ x, \,

ne est pas un polynôme, parce qu'il a un exposant variable.

Depuis la soustraction peuvent être traités comme ajout de l'additif en face, et, depuis exponentiation à une puissance constante de nombre entier positif peut être traitée comme une multiplication répétée, polynômes peuvent être construits à partir des constantes et des variables avec juste l'ajout de deux opérations et la multiplication.

Fonctions polynômes

Une fonction polynôme est une fonction définie par l'évaluation d'un polynôme. Par exemple, la fonction f, en prenant les nombres réels pour les nombres réels, défini par

f (x) = x ^ 3 - x

est une fonction polynomiale d'une variable. Fonctions polynômes peuvent également être définis à l'aide des polynômes en plusieurs variables, comme dans

f (x, y) = 2x + 3 ^ 4x ^ xy ^ 2y + 5 + y ^ 7/2 .

Fonctions polynômes sont une classe importante de fonctions lisses.

Équations polynomiales

Une équation polynomiale est une équation dans laquelle un polynôme est réglé égal à un autre polynôme.

3x ^ 2 + 4x -5 = 0 \,

est une équation polynomiale.

Propriétés élémentaires des polynômes

  1. Un somme de polynômes est un polynôme
  2. Un produit de polynômes est un polynôme
  3. Le dérivé d'une fonction polynomiale est une fonction polynomiale
  4. Toute primitif ou primitive d'une fonction polynomiale est une fonction polynomiale

Les polynômes servent à rapprocher d'autres fonctions , telles que sinus, cosinus et exponentielle .

Tous les polynômes ont une forme élargie, dans laquelle le loi distributive a été utilisé pour enlever tous les parenthèses. Toutes les polynômes ont également une forme pondérée, dans lequel le polynôme est écrit comme un produit de polynômes linéaires. Par exemple, le polynôme

x ^ 2 - 2x - 3 \,

est la forme développée du polynôme

(X - 3) (x + 1) \, ,

qui est écrit sous forme factorisée. On notera que les constantes de polynômes linéaires (comme -3 et 1 dans l'exemple ci-dessus) peuvent être des nombres complexes dans certains cas.

En algèbre de l'école, les élèves apprennent à se déplacer facilement d'une forme à l'autre (voir: l'affacturage ).

Chaque polynôme à une variable correspond à un polynôme de la forme

a_n x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_2 x ^ 2 + x + a_1 a_0 .

Cette forme est parfois considéré comme la définition d'un polynôme à une variable.

L'évaluation d'un polynôme consiste à attribuer un numéro à chaque variable et l'exécution des multiplications et d'additions indiquées. Évaluation est parfois effectué plus efficace en utilisant Schéma de Horner

((\ Ldots (a_n x + a_ {n-1}) x + ... + a_2) x + a_1) x + a_0 \, .

En élémentaire, l'algèbre , les méthodes sont donnés pour résoudre tous au premier degré et du second degré équations polynômes à une variable. Dans le cas d'équations polynomiales, la variable est souvent appelé une inconnue. Le nombre de solutions ne peut pas dépasser le degré, et correspondra le degré lorsque multiplicité des solutions et nombres complexes solutions sont comptés. Ce fait est appelé le théorème fondamental de l'algèbre.

Un système d'équations polynomiales est un ensemble d'équations dans lequel une variable donnée doit prendre sur la même valeur partout où il apparaît dans l'une des équations. Systèmes d'équations sont généralement groupées avec une seule accolade ouverte sur la gauche. En algèbre élémentaire , des procédés sont donnés pour résoudre un système d'équations linéaires en plusieurs inconnues. Pour obtenir une solution unique, le nombre d'équations doit être égal au nombre d'inconnues. Se il n'y a plus d'inconnues que d'équations, le système est appelé sous-déterminé . Se il ya plus d'équations que d'inconnues, le système est appelé surdéterminé. Ce sujet important est étudié de façon approfondie dans le domaine des mathématiques connues comme l'algèbre linéaire . Systèmes surdéterminés sont communs dans les applications pratiques. Par exemple, une étude cartographique américaine a utilisé des ordinateurs pour résoudre 2500000 équations 400000 inconnues.

Des exemples plus avancés de polynômes

En algèbre linéaire , le polynôme caractéristique d'une matrice carrée code pour plusieurs propriétés importantes de la matrice .

En la théorie des graphes polynôme chromatique d'une graphe code les différentes façons de vertex colorer le graphe en utilisant x couleurs.

En algèbre abstraite , on peut définir des polynômes à coefficients dans toute anneau.

Dans la théorie des nœuds du Alexander polynôme, la Polynôme de Jones, et de la HOMFLY polynomiale sont importants invariants de nœuds.

Histoire

Déterminer les racines de polynômes, ou «la résolution des équations algébriques", est parmi les plus anciens problèmes en mathématiques. Toutefois, la notation élégant et pratique que nous utilisons aujourd'hui ne se est développé à partir du 15ème siècle. Avant cela, les équations sont écrites dans les mots. Par exemple, un problème d'algèbre des Chinois Arithmétique en neuf sections, vers 200 avant notre ère, commence "Trois gerbes de bonne récolte, deux gerbes de culture médiocre, et une gerbe de mauvaise récolte sont vendus pour 29 dou." Nous écrire 3x + 2y + z = 29 .

Notation

La première utilisation connue du signe égal est en De Robert Recorde Le Whetstone de Witte, 1557. Les signes + pour l'addition, - pour la soustraction, et l'utilisation d'une lettre d'un inconnu apparaissent dans Michael Stifel Arithemetica integra, 1544. René Descartes, à La geometrie, 1637, a introduit le concept de la représentation graphique d'une équation polynomiale. Il a popularisé l'utilisation de lettres à partir du début de l'alphabet pour désigner les constantes et les lettres de la fin de l'alphabet pour désigner les variables, comme on le voit ci-dessus, dans la formule générale pour un polynôme à une variable, où le un «s désignent constantes et X représente une variable. Descartes introduit l'utilisation de exposants pour désigner exposants ainsi.

Résoudre des équations polynomiales

Tous les polynômes correspond à une fonction polynomiale, où f (x) est égal au polynôme, et à une équation polynomiale, où le polynôme est mis égal à zéro. Les solutions de l'équation sont appelés les racines du polynôme et ils sont les zéros de la fonction et les abscisses à l'origine de son graphique. Si x = a est une racine d'un polynôme, alors (x - a) est un facteur de ce polynôme.

Certains polynômes, comme f (x) = x 2 + 1, ne ont pas de racines entre les nombres réels . Cependant, si l'ensemble de candidats admis est étendu aux nombres complexes , tout polynôme (non constante) présente au moins une racine distincte; cela découle du théorème fondamental de l'algèbre.

Il existe une différence entre les racines se rapprochant et en trouvant des racines exactes. Formules pour les racines des polynômes à une degré de deux ont été connu depuis l'Antiquité (voir équation quadratique ) et jusqu'à un degré de quatre depuis le 16ème siècle (voir Jérôme Cardan, Niccolo Fontana Tartaglia). Mais les formules de degré 5 échappé chercheurs. En 1824, Niels Henrik Abel prouvé le résultat frappant qu'il ne peut y avoir de formule générale (comprenant uniquement les opérations arithmétiques et les radicaux) pour les racines d'un polynôme de degré 5 ou plus en termes de ses coefficients (voir Théorème Abel-Ruffini). Ce résultat a marqué le début de la théorie de Galois qui se engage dans une étude détaillée des relations entre les racines de polynômes.

Résolvant numériquement une équation polynomiale à une inconnue se fait facilement sur l'ordinateur par le Procédé Durand-Kerner ou par un autre root-algorithme de recherche. La réduction des équations dans plusieurs inconnues de chacune des équations à une inconnue est discutée dans l'article sur la L'algorithme de Buchberger. Le cas particulier où tous les polynômes sont de degré un est appelé un système d'équations linéaires , pour lesquels une gamme de différentes méthodes de résolution existe, y compris le classique élimination de Gauss .

Il a été montré par Richard Birkeland et Karl Meyr que les racines de tout polynôme peuvent être exprimées en termes de multivariée fonctions hypergéométriques. Ferdinand von Lindemann et Hiroshi Umemura a montré que les racines peuvent également être exprimés en termes de Siegel fonctions modulaires, des généralisations de la thêta fonctions qui apparaissent dans la théorie de fonctions elliptiques. Ces caractérisations des racines de polynômes arbitraires sont des généralisations des méthodes précédemment découvert à résoudre le quintique équation.

Graphiques

Une fonction polynôme à une variable réelle peut être représenté par un graphique.

  • Le graphe du polynôme zéro
f (x) = 0
est l'axe des x.
  • Le graphique de degré 0 polynomiale
f (x) = a 0,un 0 ≠ 0,
est une ligne horizontale avec ordonnée à l'origine d'un 0
  • Le graphique de degré 1 polynôme (ou fonction linéaire)
f (x) = a 0 + a 1 x,a 1 ≠ 0,
est une ligne oblique avec ordonnée à l'origine d'un 0 et une pente 1.
  • Le graphique d'un polynôme de degré 2
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2,une 2 ≠ 0
est un parabole.
  • Le graphique de tout polynôme de degré 2 ou plus
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . + A n x n,c n ≠ 0 et n ≥ 2
est une courbe non-linéaire continu.

Graphiques polynômes sont analysés dans le calcul des intersections, des pentes, concavité, et le comportement de fin.

Les illustrations ci-dessous montrent les graphiques de polynômes.

Polynôme de degré 2:
f (x) = x 2 - x - 2
= (X 1) (x -2)
Polynôme de degré 3:
f (x) = x 3/4 x 5 + 2/5-7 x / 5-2
= 1/5 (5 x) (x 1) (x -2)
Polynôme de degré 4:
f (x) = 1/14 (x 4) (x 1) (x-1) (x -3) + 0,5
Polynôme de degré 5:
f (x) = 1/20 (x 4) (2 x) (x 1) (x-1) (x -3) + 2

Polynômes et le calcul

Un aspect important du calcul est le projet de l'analyse des fonctions compliquées par les moyens de les rapprocher avec des polynômes. Le point culminant de ces efforts est le théorème de Taylor , qui stipule que chaque environ fonction différentiable ressemble localement comme un polynôme, et de la Théorème de Stone-Weierstrass, qui stipule que tous les fonction continue définie sur un compact intervalle de l'axe réel peut être approchée sur tout l'intervalle d'aussi près que souhaité par un polynôme. Polynômes sont aussi fréquemment utilisés pour interpoler fonctions.

Quotients de polynômes sont appelés des expressions rationnelles, et les fonctions qui évaluent des expressions rationnelles sont appelés fonctions rationnelles. Fonctions rationnelles sont les seules fonctions qui peuvent être évaluées sur un ordinateur par une séquence fixe d'instructions concernant les opérations d'addition, multiplication, division, dont les opérations sur les nombres à virgule flottante sont généralement mises en œuvre dans matériel. Toutes les autres fonctions que les ordinateurs ont besoin pour évaluer, tels que les fonctions trigonométriques , logarithmes et exponentielles , doivent alors être calculés en logiciel qui peut utiliser des approximations de ces fonctions sur certains intervalles par des fonctions rationnelles, et éventuellement itération.

Calcul de dérivées et intégrales de polynômes est particulièrement simple. Pour le polynôme

\ Sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i

la dérivée par rapport à x est

\ Sum_ {i = 1} ^ n a_i i x ^ {i-1}

et l'intégrale indéfinie est

\ Sum_ {i = 0} ^ {n a_i \ over i + 1} x ^ {i + 1} + c .

Algèbre abstraite

En algèbre abstraite , il faut prendre soin de distinguer entre les polynômes et fonctions polynômes. Un polynôme à une indéterminée X au cours d'une anneau R est défini comme étant une expression formelle de la forme

f = a_n X ^ n + a_ {n - 1} X ^ {n - 1} + \ cdots + X + a_1 a_0

n est un nombre naturel, les coefficients a_0, \ ldots, a_n sont des éléments de R et X est considéré comme un symbole formel. Deux polynômes partageant la même valeur de n sont considérés comme égaux si et seulement si les séquences de leurs coefficients sont égaux; En outre, tout polynôme est égal à tout polynôme avec une plus grande valeur de n obtenu d'elle en ajoutant des termes dont le coefficient est égal à zéro. Polynômes X à coefficients dans R peut être ajouté en ajoutant simplement coefficients correspondant (la règle d'extension par des termes avec coefficients nuls peuvent être utilisés pour se assurer que ces coefficients existent). Ils peuvent être multipliés à l'aide du loi distributive et la règle

un X ^ k \; b X ^ l = ab X ^ {k + l}
pour tous les éléments a, b de l'anneau R et tous les numéros naturelle k et l.

On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans les formes R anneau lui-même un anneau, l'anneau des polynômes sur R, qui est désignée par R [X]. Si R est commutatif , alors R [X] est un algèbre sur R.

On peut penser de l'anneau R [X] comme résultant de R en ajoutant un nouvel élément X R et ne nécessitant que X commutent avec tous les éléments de R. Pour R [X] pour former un noyau, toutes les combinaisons linéaires de puissances de X doivent être inclus ainsi. Formation de l'anneau de polynômes, avec la formation d'anneaux de facteurs par l'affacturage sur idéaux, sont des outils importants pour la construction de nouveaux anneaux de ceux connus. Par exemple, la construction de nettoyage champs finis implique l'utilisation de ces opérations, en commençant avec le champ des entiers modulo certains nombre premier que l'anneau de coefficient R (voir arithmétique modulaire ).

Si R est commutatif , alors on peut associer à tout polynôme f R [X] , Une fonction polynomiale avec le domaine et égal à R (Plus généralement on peut prendre le domaine et à être la même unifère algèbre associative plus R ). On obtient la valeur de cette fonction pour un argument r donné par le remplacement, partout le symbole X dans l'expression de f par r. Une raison pour laquelle algébristes distinction entre polynômes et fonctions polynômes est que plus de quelques anneaux différents polynômes peuvent donner lieu à la même fonction polynomiale (voir Le petit théorème de Fermat pour un exemple où R est entiers modulo p). Ce ne est pas le cas lorsque R est les nombres réels ou complexes et donc de nombreux analystes ne ont souvent pas séparer les deux concepts. Une raison encore plus important de faire la distinction entre les polynômes et fonctions polynômes est que de nombreuses opérations sur les polynômes (comme Division euclidienne) exige de ce qu'un polynôme est composé comme une expression plutôt que de l'évaluer à une certaine valeur constante pour X . Et il convient de noter que, si R ne est pas commutative, il n'y a pas (bien comportés) notion de fonction polynomiale du tout.

Divisibilité

En algèbre commutative, un point central de l'étude est la divisibilité parmi les polynômes. Si R est un domaine et f et g sont des polynômes intégrale par R [X], on dit que f divise g se il existe un polynôme en q R [X] tel que f = g q. On peut alors montrer que «chaque zéro donne lieu à un facteur linéaire", ou plus formellement: si f est un polynôme en R [X] et r est un élément de R telle que f (r) = 0, alors le polynôme ( X - r) divise f. L'inverse est également vrai. Le quotient peut être calculée en utilisant la Schéma de Horner.

Si F est un champ et f et g sont des polynômes par F [X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r unique dans F [X] avec

f = q \, g + r

et de telle sorte que le degré de r est plus petit que le degré de g. Le polynômes q et r sont déterminés de manière unique par f et g. Cela se appelle "division avec reste" ou " polynomiale division longue "et montre que l'anneau F [X] est une Domaine euclidienne.

De manière analogue, "nombres premiers" polynôme (plus exactement, polynômes irréductibles) peut être définie, qui ne se factorise en produit de deux polynômes de moindre degré. Il ne est pas facile de déterminer si un polynôme irréductible est donné. On peut commencer en vérifiant simplement si le polynôme a des facteurs linéaires. Ensuite, on peut vérifier la divisibilité par d'autres polynômes irréductibles. Critère d'Eisenstein peut également être utilisé dans certains cas pour déterminer irréductible.

Voir aussi: Plus grand commun diviseur de deux polynômes.

Classifications

La classification la plus importante de polynômes est basé le nombre de variables distinctes. Un polynôme à une variable est appelée un polynôme univarié, un polynôme à plusieurs variables est appelé un polynôme à plusieurs variables. Ces notions se réfèrent plus au genre de polynômes une est généralement travailler avec que de polynômes individuels; par exemple lorsque l'on travaille avec des polynômes univariés une ne exclut pas polynômes constants (qui peuvent résulter, par exemple, de la soustraction de polynômes non constants), bien que strictement parlant polynômes constants ne contiennent pas toutes les variables du tout. Il est possible de classer les polynômes à plusieurs variables en outre que deux variables, à trois variables, etc., en fonction du nombre de variables, mais ce est rarement le cas; il est plus fréquent, par exemple, de dire simplement "polynômes en x, y et z". Un (généralement mulitvariate) est appelé polynôme homogène de degré n si tous ses termes ont degré n.

Polynômes univariés ont de nombreuses propriétés que ne partagent pas polynômes multivariés. Par exemple, les termes d'un polynôme univariée sont complètement commandés par leur degré, et il est classique de toujours écrire dans un ordre décroissant de degré. Un polynôme univariée en x de degré n prend alors la forme générale

c_nx ^ n + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + c_2x ^ 2 + c_1x + c_0

c n, c n-1, ..., c 2, c 1 et c 0 sont des constantes, les coefficients de ce polynôme. Ici, le terme c n x n est appelé le terme de premier plan et son coefficient c n le coefficient d'attaque; si le premier coefficient est 1, le polynôme univariée est appelé unitaire. Notez que mis à part le premier coefficient c n (qui doit être différent de zéro ou encore le polynôme ne serait pas de degré n) cette forme générale permet de coefficients à zéro; lorsque cela se produit au terme correspondant est égal à zéro et peut être retiré de la somme sans changer le polynôme. Il est néanmoins courant de se référer à c i comme coeffient de x i, même si c i arrive à 0, de sorte que x i ne pas vraiment se produire dans ne importe quel terme; par exemple, on peut parler de la terme constant du polynôme, ce qui signifie c 0 même si elle devrait être de zéro.

Polynômes peuvent également être classés par le type de valeurs constantes admis en coefficients. On peut travailler avec des polynômes à coefficients entiers, rationnels, réels ou complexes, et polynômes de l'algèbre abstraite avec de nombreux autres types de coefficients peuvent être définis. Comme pour la classification précédente, ce est sur les coefficients une fonctionne généralement avec; par exemple lorsque l'on travaille avec des polynômes à coefficients complexes comprend une polynômes dont les coefficients arriver à tout être réel, même si ces polynômes peuvent également être considérés comme un des polynômes à coefficients réels.

Les polynômes peuvent en outre être classés selon leur degré et / ou le nombre de termes non nuls qu'ils contiennent.

Polynômes classée selon le degré
Degré Nom Exemple
{^ {- \ Infty}} zéro 0
0 (Non nulle) constante 1
1 linéaire x + 1
2 quadratique x ^ 2 + 1
3 cubique x ^ 3 + 1
4 quartique ou biquadratiques x ^ 4 + 1
5 quintique x ^ 5 + 1
6 sextique ou Hexic x ^ 6 + 1
7 septique ou heptic x ^ 7 + 1
8 Octic x ^ 8 + 1
9 nonic x ^ 9 + 1
10 Decic x ^ {10} + 1

Les noms des degrés plus élevée que 3 sont moins fréquentes. Les noms des degrés peuvent être appliqués au polynôme ou à ses termes. Par exemple, une constante peut se référer à un polynôme de degré zéro ou à une peine de zéro degré.

Le polynôme 0, ce qui peut être considéré comme ne pas avoir de termes à tout, est appelé polynôme zéro. Contrairement à d'autres polynômes constants, son degré est non nul. Au contraire le degré du polynôme est zéro soit laissée explicitement défini, ou défini comme étant négatif (-1 navigateur ou -∞) . La dernière convention est important lors de la définition Division euclidienne des polynômes.

Polynômes classés par nombre de termes non nuls
Nombre de termes non nuls Nom Exemple
0 polynôme zéro 0
1 monôme x ^ 2
2 binomial x ^ 2 + 1
3 trinôme x ^ 2 + x + 1

Le mot monôme peut être ambiguë, comme il est également souvent utilisé pour désigner simplement une puissance de la variable, ou dans le produit de cas multivarié de ces pouvoirs, sans coefficient. Deux ou plusieurs termes qui impliquent la même monôme dans ce dernier sens, en d'autres termes, qui ne diffèrent que par la valeur de leurs coefficients, sont appelés des termes similaires; ils peuvent être combinés en un seul terme en ajoutant leurs coefficients; si le terme résultant a coefficient zéro, il peut être entièrement supprimée. La classification ci-dessus selon le nombre de termes suppose que des termes similaires ont été combinés en premier.

Extensions du concept d'un polynôme

On parle aussi de polynômes en plusieurs variables, obtenus en prenant l'anneau des polynômes d'un anneau de polynômes: R [X, Y] = (R [X]) [Y] = (R [Y]) [X]. Ce sont d'une importance fondamentale dans géométrie algébrique qui étudie les simultanées zéro ensembles de plusieurs de ces polynômes multivariés.

Polynômes sont fréquemment utilisés pour encoder des informations sur un autre objet. Le polynôme caractéristique d'un opérateur matriciel ou linéaire contient des informations sur de l'opérateur les valeurs propres . Le un polynôme minimal de élément algébrique enregistre la plus simple relation algébrique satisfait par cet élément.

Autres objets connexes étudiés dans l'algèbre abstraite sont séries formelles, qui sont comme des polynômes mais peut avoir degré infini, et de la fonctions rationnelles, qui sont des rapports de polynômes.

Récupéré à partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polynomial&oldid=198821887 "