La théorie des ensembles

La théorie des ensembles est la branche de mathématiques qui étudie ensembles, qui sont des collections d'objets. Bien que tout type d'objets peut être recueilli dans un ensemble, la théorie des ensembles est appliquée le plus souvent à des objets qui sont pertinents pour les mathématiques.

L'étude moderne de la théorie des ensembles a été initié par Cantor et Dedekind dans les années 1870. Après la découverte de paradoxes dans la théorie des ensembles informelle, de nombreux systèmes d'axiomes ont été proposées au début du XXe siècle, dont la Zermelo-Fraenkel axiomes, avec le axiome du choix, sont le plus connu.

La théorie des ensembles, formalisé en utilisant la logique du premier ordre , est le système de base le plus commun pour les mathématiques. Le langage de la théorie des ensembles est utilisé dans les définitions de presque tous les objets mathématiques, comme les fonctions et les concepts de la théorie des ensembles sont intégrés tout au long du programme de mathématiques. Faits élémentaires sur les jeux et appartenance à un ensemble peuvent être introduits à l'école primaire, avec des diagrammes de Venn , pour étudier des collections d'objets physiques banales. Opérations élémentaires comme le jeu union et intersection peuvent être étudiés dans ce contexte. Des concepts plus avancés tels que cardinalité sont une partie standard du programme de mathématiques de premier cycle.

Au-delà de son utilisation comme un système fondamental, la théorie des ensembles est une branche de mathématiques dans son propre droit, avec une communauté de recherche active. La recherche contemporaine en théorie des ensembles comprend une collection variée de sujets, allant de la structure du nombre réel en ligne à l'étude de la cohérence des grands cardinaux.

Histoire

Voir Johnson (1972) pour un traitement de livre-longueur. Sujets mathématiques émergent et évoluent généralement par des interactions entre de nombreux chercheurs. Le point d'origine de la théorie des ensembles est quelque peu inhabituel en ce qu'il peut être identifié en tant que document 1874 par Georg Cantor : «Sur une propriété caractéristique de tous les nombres réels algébriques".

En commençant par le travail de Zeno autour de 450 avant JC, les mathématiciens avait été strugglinging avec le concept de l'infini . Particulièrement remarquable est le travail de Bernard Bolzano dans la première moitié du 19ème siècle. La compréhension moderne de l'infini a commencé 1867 à 1871, avec Georg Cantor travail de l 'sur la théorie des nombres. Une réunion entre 1872 et Cantor Dedekind beaucoup influencé la pensée de Cantor et a abouti à Cantor (1874).

Le travail de Cantor initialement polarisé les mathématiciens de son temps. Tandis que Weierstrass et Dedekind soutenu Cantor, Kronecker, maintenant considéré comme un des fondateurs de constructivisme mathématique, n'a pas fait. Mais l'utilité des concepts tels que cantoriennes correspondance un-à-un entre les ensembles, sa preuve qu'il ya plus nombres réels que des nombres entiers, et le «infinité de infinis" ("paradis Cantor»), le opération de jeu de puissance donne lieu à, a finalement conduit à l'acceptation généralisée de la théorie des ensembles cantorienne.

La prochaine vague d'excitation dans la théorie des ensembles est venu autour de 1900, quand il a été découvert que la théorie des ensembles cantorienne a donné lieu à plusieurs contradictions, appelés ou antinomies paradoxes. Russell et Zermelo trouvé indépendamment le paradoxe le plus simple et le plus connu, maintenant appelé Le paradoxe de Russell et impliquant «l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes." Il est clair que cet ensemble ne peut pas être membre d'elle-même, et donc il doit être membre d'elle-même! En 1899, Cantor avait lui-même posé la question: "quel est le nombre cardinal ? de l'ensemble de tous les ensembles " et a obtenu un paradoxe lié. Il a réalisé plus tard que ces paradoxes ne sont pas simplement mis théorique, et que, dans la logique de la phrase "cette phrase est fausse" donne lieu à un problème similaire, car si la phrase est vraie, elle doit être fausse. Kurt Gödel utilisé ce fait dans le 1931 la preuve de son célèbre théorème de l'incomplétude.

L'élan de la théorie des ensembles était telle que le débat sur les paradoxes n'a pas conduit à son abandon. Le travail de Zermelo en 1908 et Fraenkel en 1922 a abouti à la canonique théorie des ensembles axiomatique ZFC, qui est exempt de paradoxes. Le travail de tels que les analystes Lebesgue a démontré la grande utilité mathématique de la théorie des ensembles. théorie des ensembles axiomatique est devenue tissé dans le tissu même des mathématiques comme nous le connaissons aujourd'hui.

Concepts de base

La relation fondamentale entre les objets et ensembles est le adhésion ou "elementhood« relation; donné un joint d'objet et un ensemble A, soit O est un membre de A ou il ne est pas un membre. La relation fondamentale entre deux ensembles est le sous-ensemble relation, aussi appelé ensemble inclusion. Par exemple, {a, b} est un sous-ensemble {a, b, c}, mais {a, d} ne est pas.

Tout comme il existe des opérations arithmétiques qui opèrent sur les chiffres, il ya des opérations dans la théorie des ensembles qui fonctionnent sur des ensembles. Par exemple, en commençant par les ensembles {1, 2, 3} et {2, 3, 4}, la opération d'union produit un nouvel ensemble {1, 2, 3, 4} contenant tous les éléments qui sont dans les deux ensemble, et l' intersection opération produit l'ensemble {2, 3} constitué de tous les éléments qui sont à la fois dans des décors originaux. Des opérations supplémentaires sur les ensembles comprennent:

• Complémentation: l'ensemble des éléments d'un ensemble U qui ne sont pas dans un ensemble A est appelé le complément de A par rapport à U, notée . Cette terminologie est utilisée le plus souvent lorsque U est un ensemble implict «universel», comme dans l'étude des diagrammes de Venn . L'ensemble des éléments de U pas dans A est aussi appelé la différence de jeu, notée .
• Le la différence symétrique des deux ensembles est constitué de tous les éléments qui sont exactement l'un des deux ensembles.
• Le Produit cartésien de deux ensembles A et B se compose de tous les couples (a, b) où a est un membre de A et B est un membre de B.
• Le powerset d'un ensemble A se compose de tous les sous-ensembles de A. Par exemple, le powerset de {1, 2} est {{}, {1}, {2}, {1,2}}.

Interprétations

Une idée clé dans la théorie des ensembles est le von Neumann univers de ensembles purs. Un ensemble est pur si tous ses membres sont des ensembles, tous les membres de ses membres sont des ensembles, et ainsi de suite. Par exemple, l'ensemble ne contenant que l'ensemble vide est un ensemble non vide pur. Il est commun dans la théorie des ensembles pour restreindre l'attention sur les jeux purs, plutôt que d'étudier des ensembles arbitraires, et de nombreux systèmes axiomatiques de la théorie des ensembles sont uniquement destinées à axiomatiser les ensembles purs.

Les ensembles purs sont disposés dans la hiérarchie cumulatif basé sur combien de leurs membres, les membres des membres, etc. sont imbriqués. Chaque ensemble est attribué un nombre ordinal α dans cette hiérarchie, connu comme son rang. Inversement, pour chaque ordinal α l'ensemble V _α est défini pour contenir tous les jeux qui sont affectés de rang plus supérieur à α. L'attribution de grades se fait par récurrence transfinie: si la borne supérieure sur les rangs des éléments d'un ensemble X est α rang α alors X est affecté + 1.

La théorie des ensembles axiomatique

Les concepts de base de la théorie des ensembles peuvent être étudiées de manière informelle et intuitive plutôt que axiomatique. Ainsi la théorie des ensembles très élémentaire peut être enseigné dans les écoles primaires en utilisant, par exemple, les diagrammes de Venn . Cette approche intuitive donne lieu à antinomies, le plus simple et le plus connu dont être Paradoxe. Russell la théorie des ensembles axiomatique a été initialement conçu pour bannir ces antinomies.

Les systèmes les plus étudiés de la théorie des ensembles sont basés sur le concept d'un hiérarchie cumulative de jeux. Ces systèmes sont disponibles en deux saveurs, ceux dont ontologie se compose de:

• Définit seul. Cela comprend la théorie la plus commune axiomatique des ensembles, Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), qui comprend le axiome du choix. Des fragments de ZFC comprennent:
  • Zermelo la théorie des ensembles, qui remplace le Schéma d'axiomes de remplacement avec celui de séparation;
  • La théorie des ensembles général, un petit fragment de La théorie des ensembles Zermelo suffisante pour le Axiomes de Peano et ensembles finis;
  • Kripke-Platek théorie des ensembles, qui omet les axiomes de l'infini, powerset, et choix, et affaiblit les schèmes de axiome de séparation et remplacement.
• Les classes appropriées ainsi que des ensembles. Ceci comprend Von Neumann-Bernays-Gödel théorie des ensembles, qui a la même force que ZFC pour théorèmes sur les seuls ensembles, et Théorie des ensembles de Morse-Kelley, qui est plus fort que ZFC.

Les systèmes NFU (avec urelements) et NF (qui en sont dépourvues) ne sont pas fondées sur une hiérarchie cumulative. NF et NFU comprennent un «ensemble de tous les ensembles", par rapport à laquelle chaque ensemble a un complément. D'autre part, NF (mais pas NFU) permet à des systèmes d'ensembles pour lesquels la axiome du choix ne tient pas.

Systèmes de la théorie des ensembles constructive, comme CST, CZF et IZF, intégrer leurs axiomes fixés dans logique intuitionniste lieu de logique du premier ordre . Pourtant, d'autres systèmes acceptent la norme logique du premier ordre , mais disposent d'une relation d'appartenance non standard. Il se agit notamment la théorie des ensembles rugueux et théorie des ensembles flous, dans lequel la valeur d'un formule atomique incarnant la relation d'appartenance ne est pas simplement Vrai et Faux. Le modèles de valeur booléenne de ZFC sont un sujet connexe.

Applications

Presque tous les concepts mathématiques sont maintenant définis formellement en termes d'ensembles et des concepts théoriques fixés. Par exemple, les structures mathématiques aussi divers que graphiques, collecteurs , anneaux, et espaces vectoriels sont tous définis comme des ensembles ayant diverses propriétés (axiomatiques). équivalence et relations d'ordre sont omniprésents dans les mathématiques, la théorie de relations est entièrement fondées sur la théorie des ensembles.

La théorie des ensembles est aussi un système fondamental prometteuse pour beaucoup des mathématiques. Depuis la publication du premier volume de Principia Mathematica, il a été affirmé que la plupart voire tous les théorèmes mathématiques ou peuvent être obtenues en utilisant un ensemble d'axiomes bien conçues pour la théorie des ensembles, augmentée de nombreuses définitions, en utilisant en premier ou deuxième logique de commande. Par exemple, les propriétés des naturels et nombres réels peuvent être dérivées au sein théorie des ensembles, que chaque système de notation peut être identifié avec un ensemble de classes d'équivalence sous une appropriée relation d'équivalence dont le champ est un peu ensemble infini.

La théorie des ensembles comme fondement de l'analyse mathématique , topologie , l'algèbre abstraite , et mathématiques discrètes est également à controverse; mathématiciens acceptent que (en principe) théorèmes dans ces domaines peuvent être obtenues à partir des définitions pertinentes et les axiomes de la théorie des ensembles. Quelques dérivations complètes de théorèmes mathématiques complexes à partir de la théorie des ensembles ont été formellement vérifiée, cependant, parce que ces dérivations formelles sont souvent beaucoup plus longtemps que la langue naturelle preuves mathématiciens souvent présente. Un projet de vérification, Metamath, comprend dérivations de plus de 10 000 théorèmes à partir de la Axiomes ZFC et utilisant logique du premier ordre .

Les domaines d'études

La théorie des ensembles est un domaine majeur de la recherche en mathématiques, avec de nombreux sous-domaines interdépendants.

La théorie des ensembles combinatoire

La théorie des ensembles combinatoire concerne les extensions de finis combinatoire d'ensembles infinis. Cela comprend l'étude des arithmétique cardinale et l'étude des extensions de Le théorème de Ramsey tel que le Théorème de Erdos-Rado.

La théorie des ensembles descriptive

La théorie des ensembles descriptive est l'étude des sous-ensembles de la ligne réelle et, plus généralement, des sous-ensembles de Espaces polonais. Il commence par l'étude des pointclasses dans le Borel hiérarchie et se étend à l'étude des hiérarchies plus complexes telles que la et la hiérarchie projective Hiérarchie Wadge. Beaucoup de propriétés des ensembles Borel peuvent être établis dans ZFC, mais prouver ces propriétés détiennent pour des ensembles plus complexes nécessite axiomes supplémentaires liés à déterminisme et grands cardinaux.

Le domaine de la la théorie des ensembles descriptive efficace est entre théorie des ensembles et théorie récursivité. Il comprend l'étude des pointclasses maigre, et est étroitement liée à hyperarithmetical théorie. Dans de nombreux cas, les résultats de la théorie descriptive des ensembles classiques ont des versions efficaces; dans certains cas, de nouveaux résultats sont obtenus en prouvant la version en vigueur première et se étendant ensuite ("relativiser") pour le rendre plus largement applicable.

Une zone récente des préoccupations de recherche Borel équivalence et relations plus complexes définissables relations d'équivalence . Cela a d'importantes applications à l'étude des invariants dans de nombreux domaines des mathématiques.

Théorie des ensembles flous

En théorie des ensembles comme Cantor défini et Zermelo et Fraenkel axiomatisé, un objet est soit un membre d'un ensemble ou non. En théorie des ensembles flous cette condition a été assouplie par Zadeh si un objet a un degré d'appartenance à un ensemble, comme nombre compris entre 0 et 1. Par exemple, le degré d'appartenance d'une personne dans l'ensemble des "personnes de grande taille" est plus souple que d'un simple oui ou non réponse et peut être un nombre réel tels que 0,75.

Théorie du modèle interne

Un modèle interne de Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) est un transitive catégorie qui comprend tous les ordinaux et satisfait tous les axiomes de ZF. L'exemple type est la constructible univers L développé par Gödel. L'étude des modèles internes des extensions de ZF est d'intérêt dans la théorie des ensembles, car il peut être utilisé pour prouver des résultats de cohérence. Par exemple, on peut montrer que quel que soit un modèle de ZF V satisfait la hypothèse du continu ou le axiome du choix, le modèle interne L construit à l'intérieur du modèle original satisfaire à la fois l'hypothèse de continuum et l'axiome du choix. Ainsi l'hypothèse que ZF est conforme (a ne importe quel modèle que ce soit) implique que ZF avec ces deux principes est conforme.

L'étude de modèles internes est commune dans l'étude de déterminisme et de grands cardinaux, surtout lorsque l'on considère axiomes tels que l'axiome de déterminisme qui contredisent l'axiome du choix. Même si un modèle fixe de la théorie des ensembles satisfait l'axiome du choix, il est possible pour un modèle interne à l'échec pour satisfaire l'axiome du choix. Par exemple, l'existence de suffisamment grands cardinaux implique qu'il ya un modèle interne satisfaisant l'axiome de déterminisme (et donc pas satisfaire l'axiome du choix).

Grands cardinaux

Un grand cardinal est un nombre cardinal avec une propriété supplémentaire. Beaucoup de ces propriétés sont étudiées, y compris cardinaux inaccessibles, cardinaux mesurables, et beaucoup plus. Ces propriétés impliquent généralement le nombre cardinal doit être très grande, avec l'existence d'un cardinal avec la propriété improuvable dans Zermelo-Fraenkel indiqué la théorie des ensembles.

Déterminisme

Déterminisme se réfère au fait que, sous des hypothèses appropriées, certains jeux à deux joueurs d'information parfaite sont déterminés dès le départ dans le sens où un joueur doit avoir une stratégie gagnante. L'existence de ces stratégies a des conséquences importantes dans la théorie descriptive des ensembles, que l'hypothèse selon laquelle une catégorie plus large de jeux est déterminée souvent implique qu'une catégorie plus large de jeux aura une propriété topologique. Le axiome de déterminisme (AD) est un objet d'étude important; bien incompatible avec l'axiome du choix, AD implique que tous les sous-ensembles de la ligne réelle sont bien élevés (en particulier, mesurables et avec la propriété ensemble parfait). AD peut être utilisé pour prouver que le Degrés Wadge ont une structure élégante.

Forcer

Paul Cohen a inventé forçant tout en recherchant un modèle de ZFC dans lequel le hypothèse de continuum échoue. Forcer est contigu à un modèle donné de théorie des ensembles ensembles supplémentaires afin de créer un modèle plus grand avec des propriétés déterminées par la construction et le modèle original. Par exemple, la construction de Cohen jouxte sous-ensembles supplémentaires des nombres naturels sans changer les nombres cardinaux du modèle original. Forcer est aussi l'un des deux modes de preuve cohérence relative par des méthodes finitiste, l'autre méthode étant modèles de valeur booléenne.

Invariants Cardinal

Un invariant cardinal est une propriété de la ligne réelle mesurée par un nombre cardinal. Par exemple, un invariant bien étudiée est la plus petite cardinalité d'une collection de ensembles maigres réels dont l'union est toute la ligne réelle. Ce sont des invariants dans le sens que les deux modèles isomorphes de la théorie des ensembles doivent donner le même cardinal pour chaque invariant. De nombreux invariants cardinaux ont été étudiés, et les relations entre eux sont souvent complexes et liées à axiomes de la théorie des ensembles.

Topologie ensembliste

Set-études théoriques de topologie questions de topologie générale qui sont mis en théorie dans la nature ou qui nécessitent des méthodes de la théorie des ensembles avancé pour leur solution. Beaucoup de ces théorèmes sont indépendants de ZFC, nécessitant axiomes forts pour leur preuve. Un problème célèbre est le question de l'espace Moore normale, une question en topologie générale qui a fait l'objet d'intenses recherches. La réponse à la question d'espace Moore normale a été finalement avéré être indépendant de ZFC.

Objections à la théorie des ensembles

Depuis sa création, il ya eu quelques mathématiciens qui ont opposé à l'utilisation de la théorie des ensembles comme une fondation pour les mathématiques, prétendant que ce est juste un jeu qui comprend des éléments de fantaisie. Errett évêque a rejeté la théorie des ensembles comme « Dieu mathématiques de l ', que nous devrions laisser à Dieu de faire. " Aussi Ludwig Wittgenstein interrogé en particulier le traitement des infinis, qui concerne également ZF. Les points de vue de Wittgenstein sur les fondements des mathématiques ont été critiquées par Paul Bernays, et étroitement étudiée par Crispin Wright, entre autres.

L'objection la plus fréquente à la théorie des ensembles est le vue constructiviste que les mathématiques sont vaguement liées au calcul et que la théorie des ensembles naïve est formalisée avec l'ajout d'éléments noncomputational.

Topos théorie a été proposée comme une alternative à la théorie des ensembles axiomatique traditionnelle. la théorie de Topos peut être utilisé pour interpréter diverses solutions de rechange à la théorie des ensembles tels que constructivisme, théorie des ensembles finis, et la théorie des ensembles calculable.