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Sphère

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Une sphère.

Une sphère est une symétrie géométrique objet. Dans l'usage non mathématique, le terme est utilisé pour se référer soit à un tour bille ou à son bidimensionnelle surface. En mathématiques , une sphère est l'ensemble de tous les points de un espace tridimensionnel (R 3) qui sont à une distance r à partir d'un point fixe de l'espace, où r est un positif nombre réel appelé le rayon de la sphère. Ainsi, en trois dimensions, une sphère mathématique est considéré comme une surface sphérique à deux dimensions noyé dans un espace tridimensionnel, plutôt que le volume contenu à l'intérieur (ce qui mathématiciens place décrire comme un balle). Le point fixe est appelé le centre ou du centre, et ne fait pas partie de la sphère elle-même. Le cas particulier de r = 1 est appelé sphère unité.

Cet article traite de la notion mathématique d'une sphère. En physique , une sphère est un objet (généralement idéalisé pour des raisons de simplicité) capable d'entrer en collision ou empilage avec d'autres objets qui occupent l'espace.

Equations dans R 3

Dans la géométrie analytique , une sphère de centre (x 0, y 0, z 0) et de rayon r est le lieu des points (x, y, z) de telle sorte que

(X - x_0) ^ 2 + (y - Y_0) ^ 2 + (z - z_0) ^ 2 = r ^ 2.

Les points sur la sphère de rayon r peuvent être paramétrés via

x = x 0 + r \ cos \ theta \; \ Sin \ phi
y = Y_0 + r \ sin \ theta \; \ Sin \ phi \ qquad (0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \ mbox {et} 0 \ leq \ phi \ leq \ pi) \,
z = z_0 + r \ cos \ phi \,

(Voir aussi les fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques ).

Une sphère de rayon centré quelconque à l'origine est décrite de la manière suivante équation différentielle :

x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.

Cette équation reflète le fait que les vecteurs position et de vitesse d'un point voyageant sur la sphère sont toujours orthogonales entre elles.

Le zone de surface d'une sphère de rayon r est

A = 4 \ pi r ^ 2 \,

donc le rayon de surface spécifique est

r = \ left (\ frac {A} {4 \ pi} \ right) ^ \ frac {1} {2}.

Son volumique est

V = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3.

de sorte que le rayon de volume est

r = \ left (V \ frac {3} {4 \ pi} \ right) ^ \ frac {1} {3}.

La sphère a la plus petite aire de surface entre les surfaces entourant un volume donné et il renferme le plus grand volume parmi toutes les surfaces fermées avec une aire de surface donnée. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature: par exemple des bulles et des gouttelettes d'eau sont à peu près sphérique, car la tension de surface minimise localement surface.

Une image de l'un des domaines les plus précis jamais créé par l'homme, comme il réfracte l'image d'Einstein dans le fond. Cette sphère a un quartz fondu gyroscope pour la Expérience Gravity Probe B qui diffère dans la forme d'une sphère parfaite de pas plus de 40 atomes d'épaisseur. On pense que seulement étoiles à neutrons sont plus lisses. Il a été annoncé sur 15 Juin 2007, que australiens scientifiques ont l'intention de faire même des sphères plus parfaits, précise à 35 millionièmes de millimètre, dans le cadre d'une chasse internationale pour trouver une nouvelle norme mondiale kg .

Le circonscrit pour un cylindre donné sphère a un volume qui est 3/2 fois le volume de la sphère, et également la partie incurvée a une aire de surface qui est égale à la surface de la sphère. Ce fait, ainsi que les volume et de surface formules indiquées ci-dessus, était déjà connu d'Archimède .

Une sphère peut également être définie comme la surface formée par la rotation d'un cercle près ne importe quel diamètre . Si le cercle est remplacée par une ellipse , et en rotation autour de l'axe principal, la forme allongée devient sphéroïde, en rotation autour de l'axe mineur, un sphéroïde aplati.

Terminologie

Les paires de points d'une sphère qui se trouvent sur une droite passant par son centre sont appelés les points aux antipodes. Un grand cercle est un cercle sur la sphère qui a le même centre et rayon que la sphère, et par conséquent, il se divise en deux parties égales. La distance la plus courte entre deux points non-antipodes distinctes sur la surface et mesurée le long de la surface, est sur le grand cercle unique, en passant par les deux points.

Si un point particulier sur une sphère est désigné comme son pôle nord, alors le point antipode correspondante est appelée le pôle sud et l' équateur est le grand cercle qui est équidistant pour eux. Les grands cercles à travers les deux pôles sont appelées lignes (ou méridiens) du la longitude et la ligne reliant les deux pôles est appelé le axe de rotation. Les cercles sur la sphère qui sont parallèles à l'équateur sont des lignes de latitude . Cette terminologie est également utilisé pour les organismes astronomiques tels que la planète Terre , même si elle ne est ni sphérique ni même sphéroïde (voir géoïde).

Une sphère est divisée en deux hémisphères égales par ne importe quel plan qui passe par son centre. Si deux plans se coupant traversent son centre, puis ils vont diviser la sphère en quatre lunes ou biangles, dont les sommets coïncident tous avec les points antipodes couché sur la ligne d'intersection des plans.

Généralisation à d'autres dimensions

Sphères peuvent être généralisés à des espaces de toute dimension. Pour tout entier naturel n, un n -sphere, souvent écrit S n, est l'ensemble des points dans (n 1) l'espace euclidien de dimension qui sont à une distance r fixe à partir d'un point central de cet espace, où r est , comme précédemment, un nombre réel positif. En particulier:

  • une 0-sphère est une paire de points d'extrémité d'un intervalle (- r, r) de la ligne réelle
  • une sphère 1 est un cercle de rayon r
  • 2-sphère est une sphère ordinaire
  • une 3-sphère est une sphère dans l'espace euclidien à 4 dimensions.

Sphères pour n> 2 sont parfois appelés hypersphères.

Le n -sphere de rayon unité centré à l'origine est notée S n et est souvent désigné comme «le» n -sphere. Notez que la sphère ordinaire 2-sphère, car ce est une surface deux dimensions.

La surface de la (n-1) -sphere de rayon 1 est

2 \ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}

où Γ (z) est d'Euler Fonction Gamma.

Une autre formule de surface est

\ Begin {cas} \ displaystyle \ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n-1}} {2 \ cdot 4 \ cdots (n-2)}, et \ text {if } n \ text {} est encore; \\ \\ \ Displaystyle \ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (n-2)}, et \ text {if} n \ text {} est impair. \ end {} cas

et le volume est en dehors des heures de surface {R \ over n} ou

\ Begin {cas} \ displaystyle \ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ n} {2 \ cdot 4 \ cdots n}, et \ text {if} n \ text {} est encore ; \\ \\ \ Displaystyle \ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ n} {1 \ cdot 3 \ cdots n}, et \ text {if} n \ text {} est étrange. \ end {} cas

Généralisation aux espaces métriques

Plus généralement, dans un espace métrique (E, D), la sphère de centre et de rayon x

est l'ensemble des points y tels que d (x, y) = r.

Si le centre est un point distingué considéré comme origine de E, comme dans un espace normé, il ne est pas mentionné dans la définition et la notation. Il en va de même pour le rayon se il est pris égal à un, comme dans le cas d'un sphère unité.

Contrairement à un boule, une sphère peut être un ensemble vide, même pour un grand rayon. Par exemple, dans Z n avec Métrique euclidienne, une sphère de rayon r est non vide seulement si R 2 peut se écrire comme somme des carrés de nombres entiers n.

Topologie

En topologie , un n -sphere est défini comme un espace homéomorphe à la limite d'une (N + 1) -boule; Ainsi, il est homéomorphe à l'euclidien n -sphere, mais peut-être dépourvu de son métrique.

  • une 0-sphère est une paire de points avec le topologie discrète
  • une sphère 1 est un cercle ( jusqu'à homéomorphisme ); Ainsi, par exemple, (de l'image) toute noeud est une sphère 1
  • 2-sphère est une sphère ordinaire ( jusqu'à homéomorphisme ); Ainsi, par exemple, toute sphéroïde est une sphère de dimension 2

Le n -sphere est notée S n. Il se agit d'un exemple d'un compact collecteur topologique sans limite. Une sphère ne doit pas être lisse ; si elle est lisse, il ne est pas nécessairement difféomorphe à la sphère euclidienne.

Le Heine-Borel théorème implique qu'un euclidien n -sphere est compact. La sphère est l'image inverse d'un d'un point fixé en vertu de la fonction continue || x ||. Par conséquent, la sphère est un fermé. S n est également délimitée. Par conséquent, il est compact.

Géométrie sphérique

Grand cercle sur une sphère

Les éléments de base de la géométrie plane sont points et lignes . Sur la sphère, les points sont définis dans le sens habituel, mais l'analogue de "ligne" peuvent ne pas se manifester immédiatement. Si l'on mesure par une longueur d'arc constate que la voie la plus courte reliant deux points situés entièrement dans la sphère est un segment de la grand cercle contenant les points; voir géodésique. Beaucoup de théorèmes de la géométrie classique vrai pour ceci géométrie sphérique ainsi, mais beaucoup ne (voient pas postulat des parallèles). En trigonométrie sphérique, angles sont définis entre les grands cercles. Ainsi trigonométrie sphérique est différent de l'ordinaire la trigonométrie à bien des égards. Par exemple, la somme des angles intérieurs d'un triangle sphérique dépasse 180 degrés. De plus, deux quelconques triangles sphériques similaires sont congruents.

Onze propriétés de la sphère

Dans leur géométrie du livre et l'imagination David Hilbert et Stephan Cohn-Vossen décrire onze propriétés de la sphère et de discuter si ces propriétés déterminent uniquement la sphère. Plusieurs propriétés détiennent pour le plan qui peut être considéré comme une sphère de rayon infini. Ces propriétés sont les suivantes:

  1. Les points de la sphère sont tous à la même distance d'un point fixe. En outre, le rapport de la distance de ses points à partir de deux points fixes est constante.
    La première partie est la définition usuelle de la sphère et il détermine de façon unique. La deuxième partie peut être déduit facilement et suit un même résultat de Apollonius de Perge pour le cercle . Cette seconde partie est aussi valable pour l' avion .
  2. Les sections de contours et de platanes de la sphère sont des cercles.
    Cette propriété définit la sphère unique.
  3. La sphère a une largeur constante et la circonférence constante.
    La largeur d'une surface est la distance entre les paires de plans parallèles tangents. Il existe de nombreuses autres surfaces convexes fermés qui ont une largeur constante, par exemple Le tétraèdre de Meissner. La circonférence d'une surface est la circonférence de la limite de sa projection orthogonale sur un plan. Il peut être prouvé que chacune de ces propriétés implique l'autre.
    Un vecteur normal à une sphère, un plan normal et sa section normale. La courbure de la courbe d'intersection est la courbure transversale. Pour chaque section de la sphère normale par un point donné sera un cercle de même rayon, le rayon de la sphère. Cela signifie que chaque point de la sphère sera un point ombilical.
  4. Tous les points d'une sphère sont ombilics.
    À tout moment sur une surface que nous pouvons trouver un direction normale qui est perpendiculaire à la surface, de la sphère sur ces lignes rayonnantes à partir du centre de la sphère. L'intersection d'un plan contenant la normale à la surface formera une courbe appelée une section normale et la courbure de cette courbe est la courbure transversale. Pour la plupart des points sur une surfaces différentes sections auront différentes courbures, les valeurs maximales et minimales de ceux-ci sont appelé courbures principales. Il peut être prouvé que ne importe quelle surface fermée aura au moins quatre points appelés Le secteur ombilical. A un ombilic toutes les courbures transversales sont égales, en particulier le courbure principaux de sont égaux. Les points ombilical peuvent être considérés comme les points où la surface est étroitement approchée par une sphère.
    Pour la sphère des courbures de toutes les sections normales sont égales, donc chaque point est un ombilic. La sphère et le plan sont les seules surfaces avec cette propriété.
  5. La sphère ne possède pas une surface de centres.
    Pour une section donnée, il existe normalement un cercle dont la courbure est la même que la courbure en coupe, est tangente à la surface et dont le centre le long de lignes sur la ligne normale. Prenez les deux centre correspondant à la coupe maximum et minimum courbures Ils sont appelés les points focaux, et l'ensemble de tous ces centres constitue la surface focale.
    Pour la plupart des surfaces la surface focale forme deux feuilles dont chacun représente une surface et qui viennent ensemble à des points ombilicaux. Il existe un certain nombre de cas particuliers. Pour canal surfaces une feuille forme une courbe et l'autre feuille est une surface; Pour cônes, cylindres, tores et cyclides les deux feuilles forment des courbes. Pour la sphère au centre de chaque cercle osculateur est au centre de la sphère et la surface focale forme un seul point. Ce est une propriété unique de la sphère.
  6. Tous les géodésiques de la sphère sont des courbes fermées.
    Géodésiques sont des courbes sur une surface qui donnent la plus courte distance entre deux points. Ils sont généralisation du concept d'une ligne droite dans le plan. Pour la sphère les géodésiques sont des grands cercles. Il ya beaucoup d'autres surfaces avec cette propriété.
  7. De tous les solides ayant un volume donné, la sphère est celui avec la plus petite aire de surface; de toutes les matières solides ayant une aire de surface donnée, la sphère est celle ayant le plus grand volume.
    Ces propriétés définissent la sphère unique. Ces propriétés peuvent être vus par l'observation des bulles de savon. Une bulle de savon se enfermer un volume fixe et en raison de la tension de surface il va essayer de minimiser sa surface. Par conséquent, une bulle de savon flottant libre sera approximativement une sphère, des facteurs comme la gravité entraînera une légère distorsion.
  8. La sphère a la plus petite courbure moyenne totale entre tous les solides convexes avec une aire de surface donnée.
    Le courbure moyenne est la moyenne des deux courbures principales et que ceux-ci sont constants à tous les points de la sphère est alors si la courbure moyenne.
  9. La sphère a courbure moyenne constante positive.
    La sphère est la seule surface sans bord ou singularités avec courbure moyenne constante positive. Il ya d'autres surfaces à courbure moyenne constante, le surfaces minimales ont zéro courbure moyenne.
  10. La sphère a courbure gaussienne constante positive.
    Courbure gaussienne est le produit des deux courbures principales. Ce est une propriété intrinsèque qui peut être déterminé en mesurant la longueur et les angles et ne dépend pas de la façon dont la surface est intégré dans l'espace. Par conséquent, le pliage d'une surface ne modifie pas la courbure gaussienne et d'autres surfaces avec une constante courbure gaussienne positive peut être obtenu en coupant une petite fente dans la sphère et le plier. Tous ces autres surfaces auraient frontières et la sphère est la seule surface sans limite avec courbure gaussienne constante positive. Le pseudosphère est un exemple d'une surface à courbure gaussienne négative constante.
  11. La sphère se transforme en elle-même par une famille à trois paramètres de mouvements rigides.
    Considérons un lieu de sphère unité à l'origine, une rotation autour de l'axe x, y ou z traceront la sphère sur lui-même, en effet toute rotation autour d'une ligne passant par l'origine peut être exprimée comme une combinaison de rotations autour des trois axes de coordonnées, voir Angles d'Euler. Ainsi, il ya une famille de trois des paramètres de rotations qui transforment la sphère sur lui-même, ce est le groupe de rotation, SO (3). L'avion est le seul autre surface avec une famille de trois paramètres de transformations (translation le long de l'axe et la rotation autour de l'origine x et y). Cylindres circulaires sont les seules surfaces avec deux familles de paramètres de mouvements rigides et la surfaces de révolution et hélicoïdes sont les seules surfaces avec une famille à un paramètre.
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