Théorème de Taylor
Saviez-vous ...
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Dans le calcul , le théorème de Taylor donne une suite d'approximations d'un différentiable fonction près d'un point par donnée polynômes (les polynômes de Taylor de cette fonction) dont les coefficients dépendent uniquement sur les dérivées de la fonction à ce moment. Le théorème donne également des estimations précises sur la taille de l'erreur dans l'approximation. Le théorème est nommé d'après le mathématicien Brook Taylor, qui a déclaré en 1712, même si le résultat a été découvert 41 années plus tôt en 1671 par James Gregory.
Théorème de Taylor dans une variable
Un exemple simple du théorème de Taylor est le rapprochement de la fonction exponentielle près de x = 0:
La déclaration précise du théorème est le suivant: Si n ≥ 0 est un entier et f est une fonction qui est n fois continûment différentiable sur le intervalle fermé [a, X] et n + 1 fois dérivable sur la intervalle ouvert (a, x), puis nous avons
Ici, n! désigne la factorielle de n, R et n (x) est un terme de reste, indiquant la différence entre le polynôme de Taylor de degré n et la fonction d'origine. Le terme de reste R n (x) dépend de x et est faible si x est assez proche d'un. Plusieurs expressions sont disponibles pour cela.
Le Lagrange forme du terme de reste déclare qu'il existe un certain nombre ξ entre a et x tels que
Cette situation expose le théorème de Taylor comme une généralisation de la valeur moyenne théorème. En fait, le théorème de la valeur moyenne est utilisée pour démontrer le théorème de Taylor avec le terme de reste Lagrange.
Le Cauchy forme de la durée du reste indique qu'il existe un certain nombre ξ entre a et x tels que
Plus généralement, si G (t) est une fonction continue sur [a, x], qui est dérivable de dérivée non nulle sur (a, x), alors il existe un certain nombre ξ entre un et x tels que
Cette situation expose le théorème de Taylor comme une généralisation de la Cauchy valeur moyenne théorème.
Le intégrante forme du terme de reste est
à condition que, comme ce est souvent le cas, f (n) est absolument continue sur [a, x]. Cela montre le théorème d'être une généralisation du théorème fondamental du calcul .
Pour certaines fonctions f (x), on peut montrer que la R terme de reste n tend vers zéro lorsque n tend vers ∞; ces fonctions peuvent être exprimées comme une série de Taylor dans un voisinage du point A et sont appelés analytique.
Théorème de Taylor (avec la formulation intégrante de la durée du reste) est également valable si la fonction f a complexes valeurs ou vecteur des valeurs. En outre, il existe une version du théorème de Taylor de fonctions plusieurs variables.
Pour les fonctions complexes analytique dans une région contenant un cercle entourant un C et son intérieur, nous avons une expression intégrale de contour pour le reste
à l'intérieur du C valide.
Les estimations du solde
Une autre version commune du théorème de Taylor détient sur un intervalle (a - r, a + r) où la variable x est supposé prendre ses valeurs. Cette formulation du théorème présente l'avantage qu'il est souvent possible de contrôler explicitement la taille des termes restants, et ainsi arriver à une approximation d'une fonction valide en tout un intervalle avec des limites précises sur la qualité de l'approximation.
Une version précise du théorème de Taylor sous cette forme est la suivante. Supposons que f est une fonction qui est n fois continûment dérivable sur l'intervalle fermé [a - r, r a +] et n + 1 fois dérivable dans l'intervalle ouvert (a - r, a + r). Se il existe un réel positif constant M n tel que | f (n + 1) (x) | ≤ M n pour tout x ∈ (a - r, r + a), puis
où le reste fonction R n satisfait à l'inégalité (connu comme l'estimation de Cauchy):
pour tout x ∈ (a - r, a + r). Ceci est appelé un estimation uniforme de l'erreur dans le polynôme de Taylor centré à un, parce qu'il contient de manière uniforme pour tous les x dans l'intervalle.
Si, en plus, f est infiniment dérivable sur [a - r, a + r] et
- comme
alors f est analytique sur (a - r, a + r). En d'autres termes, une fonction analytique est le limite uniforme de sa Taylor polynômes sur un intervalle. Cela rend précise l'idée que les fonctions analytiques sont ceux qui sont égaux à leur série de Taylor.
Théorème de Taylor pour plusieurs variables
Théorème de Taylor peut être généralisée à plusieurs variables comme suit. Soit B un ballon dans R N centré en un point a, et f une fonction numérique définie sur la fermeture n ayant une dérivées partielles continues à chaque point. Théorème de Taylor affirme que pour tout ,
où la sommation se étend sur multi-indice α (cette formule utilise le Multi-indice).
Les termes de reste vérifient l'inégalité
pour tous α avec | α | = n 1. Comme ce fut le cas avec une variable, les termes restants peuvent être décrits explicitement. Voir la preuve pour plus de détails.
Preuve: théorème de Taylor dans une variable
Version intégrale
Nous prouvons premier théorème de Taylor avec le terme de reste intégral.
Le théorème fondamental du calcul indique que
qui peut être réarrangé à :
Maintenant, nous pouvons voir que l'application de Intégration par parties rendements:
(La première équation est arrivé à en laissant et ; la deuxième équation en notant que ; le troisième facteurs vient de sortir quelques termes courants.)
Un autre rendements d'application:
En répétant ce processus, nous pouvons déduire le théorème de Taylor pour des valeurs supérieures de n.
Ceci peut être formalisé par application de la technique de induction. Donc, supposons que le théorème de Taylor est titulaire d'un n particulier, qui est, supposons que
Nous pouvons réécrire l'intégrale en utilisant intégration par parties. Une primitive de (x - t) n en fonction de t est donné par - (x - t) n 1 / (n + 1), de sorte
En substituant ceci dans (*) prouve le théorème de Taylor pour n + 1, et donc pour tous les entiers positifs n.
Le terme de reste sous la forme de Lagrange peut être dérivée par le théorème de la valeur moyenne de la manière suivante:
La dernière intégrale peut être résolu immédiatement, ce qui conduit Ã
Théorème de la valeur moyenne
Une autre preuve, qui détient sous des hypothèses techniques plus douces sur la fonction f, peut être fourni en utilisant le Cauchy valeur moyenne théorème. Soit G une fonction numérique continue sur [a, x] et dérivable avec un dérivé non-nulle sur (a, x). Laisser
Par théorème de la valeur moyenne de Cauchy,
- (1)
pour certains de ξ ∈ (a, x). Notez que le numérateur F (x) - f (a) = R n est le reste de la polynôme de Taylor de f (x). D'autre part, le calcul de F '(t),
Mettre ces deux faits et en réarrangeant les termes de (1) rendements
qui devait être montré.
Notez que le formulaire Lagrange du reste vient de prendre G (t) = (t - a) n 1, et la forme donnée de Cauchy le reste vient de prendre G (t) = (t - a).
Preuve: plusieurs variables
Soit x = (x 1, ..., x N) se trouvent dans la boule B de centre a. Paramétrer le segment de ligne entre un et x par u (t) = a + t (xa). Nous appliquons la version à une variable du théorème de Taylor à la fonction f (u (t)):
Par le règle de la chaîne pour plusieurs variables,
où est le coefficient multinomial pour le α multi-index. Depuis , On a
Le terme de reste est donné par
Les termes de cette somme sont des formes explicites pour le R α dans la déclaration du théorème. Ceux-ci sont facilement visibles pour satisfaire l'estimation nécessaire.