Diagramme de Venn
Renseignements généraux
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Diagrammes de Venn sont illustrations utilisées dans la branche des mathématiques connues comme la théorie des ensembles . Inventé en 1881 par John Venn, ils montrent tous les possibles mathématiques ou logiques relations entre ensembles (groupes de choses). Ils se composent normalement de chevauchement des cercles . Par exemple, dans un jeu de deux diagramme de Venn, un cercle peut représenter tout ce qui est liquide à température ambiante, tandis qu'un autre cercle peut représenter l'ensemble de tous les éléments chimiques. La zone de chevauchement (intersection) représenterait alors des choses qui sont à la fois liquide à température et éléments ambiante, par exemple le mercure. D'autres formes peuvent être utilisés (voir ci-dessous), ce qui est nécessaire pour plus de trois ensembles.
Origines
Le Hull-né Colombie philosophe et mathématicien John Venn (1834-1923) a présenté le diagramme de Venn en 1881 .
Un vitrail dans Caius College, Cambridge , où Venn a étudié et a passé la plupart de sa vie, lui commémore et représente un diagramme de Venn.
Exemples
Le cercle orange ( ensemble A) peut représenter, par exemple, toutes les créatures vivantes qui sont à deux pattes. Le cercle bleu, (ensemble B) peut représenter des êtres vivants qui peuvent voler. La zone où les cercles bleus et orange chevauchent contient toutes les créatures vivantes qui peuvent voler et qui ont deux jambes - par exemple, des perroquets. (Imaginez chaque type de créature comme un point quelque part dans le schéma séparée.)
Les humains et les pingouins seraient dans le cercle orange, dans la partie qui ne chevauche pas avec le cercle bleu. Les moustiques ont six pattes, et voler, de sorte que le point de départ pour les moustiques seraient dans la partie du cercle bleu qui ne chevauche pas avec l'orange. Les choses qui ne sont pas deux jambes et ne peut pas voler (par exemple, les baleines et les araignées) seraient tous représentés par des points en dehors de deux cercles. Techniquement, le diagramme de Venn ci-dessus peut être interprété comme "les relations de séries A et B qui peuvent avoir certains éléments (mais pas tous) en commun".
La surface combinée des ensembles A et B est appelé le union de A et B, désignée par l'AUB. Le syndicat, dans ce cas contient toutes les choses qui ont soit deux jambes, ou qui volent, ou les deux.
La zone à la fois A et B, où les deux ensembles se chevauchent, est appelé le intersection de A et B, notée A ∩ B. L'intersection des deux ensembles ne est pas vide, parce que les cercles se chevauchent, ce est à dire il ya des créatures qui sont à la fois dans l'orange et cercles bleus.
Parfois, un rectangle appelé " Ensemble universel "est dessiné autour du diagramme de Venn pour montrer l'espace de toutes les choses possibles. Comme mentionné ci-dessus, une baleine serait représenté par un point qui ne est pas dans l'union, mais il est dans l'Univers (des êtres vivants, ou de tous les choses, selon la façon dont on a choisi de définir l'univers pour un schéma particulier).
Extensions à un plus grand nombre d'ensembles
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Diagrammes de Venn ont généralement trois sets. Venn a tenu à trouver des chiffres symétriques ... élégante à se représenter un plus grand nombre de jeux et il a conçu un schéma de jeu à l'aide de quatre ellipses . Il a également donné une construction de diagrammes de Venn avec un nombre quelconque de courbes, où chaque courbe successive est entrelacé avec des courbes précédentes, à commencer par le schéma 3-cercle.
Symétriques simples diagrammes de Venn
Henderson DW montré en 1963 que l'existence d'un schéma de -Venn n avec n -fois symétrie de rotation implique que n est premier . Il a également montré que ces diagrammes de Venn symétriques existent lorsque n est 5 ou 7. En 2002 Peter Hamburger trouvé diagrammes de Venn symétriques pour n = 11 et en 2003, Griggs, Killian et Savage ont montré que les diagrammes de Venn symétriques existent pour tous les autres nombres premiers. Ainsi diagrammes de Venn symétriques existent si et seulement si n est un nombre premier.
Diagrammes de Venn de Edwards
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AWF Edwards a donné une construction d'un plus grand nombre de jeux qui met en vedette certaines symétries. Sa construction est réalisé en projetant le diagramme de Venn sur une sphère . Trois ensembles peuvent être facilement représentés en prenant trois hémisphères à angle droit (x ≥0, y et z ≥0 ≥0). Un quatrième ensemble peut être représenté en prenant une courbe similaire à la couture sur une balle de tennis qui serpente de haut en bas autour de l'équateur. Les ensembles obtenues peuvent ensuite être projetées en arrière au plan pour donner diagrammes à crémaillère avec des nombres de dents croissante. Ces diagrammes ont été conçus lors de la conception d'un vitrail fenêtre in memoriam de Venn.
Autres diagrammes
Diagrammes de Venn d'Edwards sont topologiquement équivalents aux schémas conçu par Branko Grünbaum qui ont été basé autour d'intersection des polygones avec des nombres de côtés croissante. Ils sont aussi des représentations en 2 dimensions de hypercubes.
Smith a conçu des schémas semblables en utilisant n -Set sinusoïdes avec des équations y = sin (x) 2 i / 2 i, 0≤i≤ n -2.
Charles Lutwidge Dodgson (aka Lewis Carroll) a conçu un ensemble de cinq diagramme.
l'utilisation en salle de classe
Diagrammes de Venn sont souvent utilisés par les enseignants dans la salle de classe comme un mécanisme pour aider les élèves à comparer et contraster deux articles. Caractéristiques sont énumérées dans chaque section du diagramme, avec les caractéristiques communes énumérées dans la section de chevauchement.
