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Adição

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3 + 2 = 5 com maçãs , uma escolha popular em livros didáticos

A adição é um operação matemática que representa a quantidade total de objetos juntos em uma coleção. Ele é representado pela sinal de mais (+). Por exemplo, na imagem à direita, há 3 + 2 maçãs-intencionados três maçãs e duas maçãs juntos, o que é um total de cinco maçãs. Portanto, 3 + 2 = 5. Além de contar frutas, além também pode representar combinando outras grandezas físicas e abstratas utilizando diferentes tipos de números: os números negativos , frações , números irracionais , vetores , decimais e muito mais.

Além segue vários padrões importantes. É comutativa , o que significa que a ordem não importa, e é associativa , o que significa que quando se adiciona mais de dois números, ordem em que disso é realizado não importa (ver Soma). Adição repetida de 1 é o mesmo que contando; adição de 0 não muda um número. Além também obedece a regras previsíveis relativas às operações conexas, como subtração e multiplicação . Todas estas regras pode ser comprovada , começando com a adição de números naturais e generalizar-se através dos números reais e além. Geral operações binárias que continuam esses padrões são estudadas em álgebra abstrata .

Execução de adição é um dos mais simples tarefas numéricas. Além de números muito pequenos é acessível a crianças; a tarefa mais básica, 1 + 1, pode ser realizada por crianças tão novas como cinco meses e mesmo alguns animais. Na educação primária , os alunos são ensinados a acrescentar números na decimal sistema, começando com um dígito e combater progressivamente os problemas mais difíceis. Auxílios mecânicos vão desde o antigo ábaco para o moderno computador , onde a investigação sobre as implementações mais eficientes de adição continua até hoje.

Notação e terminologia

Além é escrito usando o mais o sinal "+" entre os termos; isto é, em notação infix. O resultado é expresso com um sinal de igual. Por exemplo,

1 + 1 = 2 (Verbalmente, "um mais um é igual a dois")
2 + 2 = 4 (Verbalmente, "dois mais dois são quatro")
3 + 3 = 6 (Verbalmente, "três mais três é igual a seis")
5 + 4 + 2 = 11 (Ver "associatividade" abaixo )
3 + 3 + 3 + 3 = 12 (Ver "multiplicação" abaixo )

Há também situações em que a adição é "entendido", embora nenhum símbolo aparece:

Além colunar:
5 + 12 = 17
  • Uma coluna de números, com o último número na coluna sublinhada, geralmente indica que os números da coluna devem ser adicionados, com a soma escrito abaixo do número sublinhado.
  • Um número inteiro imediatamente seguido por uma fracção indica a soma dos dois, chamado um número misto. Por exemplo,
    3½ = 3 + ½ = 3,5.
    Esta notação pode causar confusão, já que na maioria dos outros contextos justaposição indica a multiplicação em vez disso.

A soma de um série de números relacionados pode ser expressa através notação sigma capital, o que indica a iteração de forma compacta. Por exemplo,

\ Sum_ {k = 1} ^ 5 k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 = 55.

Os números ou os objectos a serem adicionados em adição geral são chamados os termos, adendos, ou os summands; esta terminologia é transferida para o somatório de vários termos. Isto é para ser distinguido de factores, que são multiplicados . Alguns autores chamam o primeiro adendo a augend. Na verdade, durante o Renascimento , muitos autores não consideram o primeiro adendo um "adendo" em tudo. Hoje em dia, devido à propriedade comunicativa de adição, "augend" é usado raramente, e os dois termos são geralmente chamados adendos.

Tudo isso terminologia deriva do latim . " Além "e" adicionar "são Inglês palavras derivadas do latim addere verbo, que é por sua vez um composto de anúncio "para" e ousar "para dar", a partir do Proto-indo-europeu * deh₃- raiz "para dar"; assim, a ser adicionada é a dar a. Usando o gerundivo sufixo -nd resultado em "adendo", "coisa a ser acrescentado". Da mesma forma a partir augere "para aumentar", obtém-se "augend", "coisa de ser aumentada".

Ilustração Redesenhado de The Art of Nombryng, um dos primeiros textos aritméticas em inglês, no século 15

"Soma" e "summand" deriva do latim substantivo summa "o mais alto, o topo" e summare verbo associado. Isto é apropriado, não só porque a soma de dois números positivos é maior do que qualquer um, mas porque era uma vez comum adicionar para cima, ao contrário da prática moderna de adição para baixo, de modo que a soma era literalmente mais elevado do que os adendos Addere e summare. remontam pelo menos a Boécio, não se a anteriores escritores romanos tais como Vitruvius e Frontino; Boécio também usou vários outros termos para a operação de adição. A posterior Termos Médio Inglês "Adden" e "adição" foram popularizadas por Chaucer .

Interpretações

Além é usado para modelar inúmeros processos físicos. Mesmo para o caso simples de adição de números naturais , há muitas interpretações possíveis e até mesmo representações mais visuais.

Combinando conjuntos

AdditionShapes.svg

Possivelmente, a interpretação mais fundamental de adição encontra-se na combinação de conjuntos:

  • Quando dois ou mais conjuntos disjuntos são combinadas em uma única coleção, o número de objetos na coleção única é a soma do número de objetos nas coleções originais.

Esta interpretação é fácil de visualizar, com pouco risco de ambiguidade. Também é útil em matemática superior; para o definição rigorosa que inspira, ver números naturais abaixo. No entanto, não é óbvio como se deve estender esta versão do além para incluir números fracionários ou números negativos.

Uma solução possível é a de considerar colecções de objectos que podem ser facilmente divididas, tais como tortas ou, ainda melhor, segmentado hastes. Ao invés de apenas combinar coleções de segmentos, as hastes podem ser unidos end-to-end, que ilustra uma outra concepção de adição: acrescentar não as varas, mas os comprimentos das hastes.

Estendendo um comprimento

Uma segunda interpretação da adição vem de estender um comprimento inicial por um determinado comprimento:

  • Quando um comprimento original é estendido por uma dada quantidade, o comprimento final é a soma do comprimento original e o comprimento da extensão.
Um número de linha de visualização da adição algébrica 2 + 4 = 6. Uma tradução por 2, seguido de tradução por 4 é o mesmo que uma tradução de 6.
A visualização número de linha da adição unary 2 + 4 = 6. A tradução por 4 é equivalente a quatro traduções por 1.

A soma a + b pode ser interpretado como um operação de binário que combina a e b, em um sentido algébrico, ou pode ser interpretado como a adição de b mais unidades para um. De acordo com a última interpretação, as partes de uma soma a + b desempenham papéis assimétricos, e a operação de a + b é visto como a aplicação operação unário + b para a. Em vez de chamar tanto a e b adendos, é mais apropriado chamar um a augend neste caso, uma vez que desempenha um papel passivo. A vista unária também é útil quando se discute subtracção , uma vez que cada operação de adição unária tem uma operação de subtracção unária inversa, e vice-versa.

Propriedades

Comutatividade

4 + 2 = 2 + 4 com blocos

A adição é comutativa , o que significa que pode-se reverter os termos de uma soma da esquerda para a direita, e o resultado é o mesmo que o último. Simbolicamente, se a e b são dois números quaisquer, então

a + b = b + a.

O fato de que a adição é comutativa é conhecido como a "lei comutativa da adição". Esta frase sugere que existem outras leis conmutativos: por exemplo, existe uma lei conmutativo de multiplicação. No entanto, muitos operações binárias não são comutativos, como subtração e divisão, por isso é enganoso falar de uma "lei comutativa" inqualificável.

Associatividade

2+ (1 + 3) = (2 + 1) com três hastes segmentadas

Uma propriedade de um pouco mais sutil de adição é associatividade , que surge quando se tenta definir adição repetida. Caso a expressão

"A + b + c"

ser definido como significando (a + b) + c + ou um (b + c)? Essa adição é associativa nos diz que a escolha de definição é irrelevante. Para todos os três números a, b, e c, é verdade que

(A + b) + c = a + (b + c).

Por exemplo, (1 + 2) + = 3 3 + 3 = 6 = 1 = 1 + 5 + (2 + 3). Nem todas as operações são associativas, assim, em expressões com outras operações, como subtração, é importante especificar o ordem de operações.

Elemento de identidade

5 + 0 = 5 com sacos de pontos

Quando a adição de zero para um número qualquer, a quantidade não é alterada; zero é a elemento de identidade para além disso, também conhecido como o identidade aditivo. Em símbolos, para qualquer um,

a + 0 = 0 + a = a.

Esta lei foi identificado pela primeira vez em Brahmagupta de Brahmasphutasiddhanta em 628 dC, embora ele escreveu como três leis distintas, dependendo se um é negativo, positivo, ou zero em si, e ele usou palavras, em vez de símbolos algébricos. Mais tarde Matemáticos indianos refinou o conceito; por volta do ano 830, Mahavira escreveu, de "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondente à declaração unary 0 + a = a. No século 12, Bhaskara escreveu: "Em adição de cifra, ou subtração de que, a quantidade, positivo ou negativo, permanece a mesma", correspondente à declaração de um unário + 0 = a.

Sucessor

No contexto de números inteiros, a adição de um desempenha também um papel especial: para qualquer número inteiro um, o número inteiro (a + 1) é o mínimo número inteiro maior que um, também conhecido como o sucessor de um. Devido a esta sucessão, o valor de alguns a + b também pode ser visto como o b ^ {} th sucessor de um, fazendo disso sucessão reiterou.

Unidades

Para adicionar numericamente quantidades físicas com unidades, eles devem primeiro ser expresso com unidades comuns. Por exemplo, se uma medida de 5 pés é prorrogado por 2 polegadas, a soma é de 62 polegadas, uma vez que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, é geralmente inútil tentar adicionar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparáveis; esse tipo de consideração é fundamental na análise dimensional.

Realizando além

Habilidade inata

Estudos sobre o desenvolvimento matemático a partir da década de 1980 em torno têm explorado o fenômeno da habituação: bebês olham mais para situações que são inesperados. Um experimento seminal por Karen Wynn, em 1992, envolvendo de Mickey Mouse bonecos manipulados por trás de uma tela demonstrado que crianças de cinco meses de idade, esperar 1 + 1 para ser 2, e eles são comparativamente surpreso quando uma situação física parece implicar que 1 + 1 é 1 ou 3. Este achado tem sido desde afirmado por uma variedade de laboratórios que utilizam metodologias diferentes. Outra experiência com os mais velhos 1992 crianças, entre 18 a 35 meses, explorou o seu desenvolvimento do controle motor, permitindo-lhes recuperar de pingue-pongue bolas de uma caixa; o mais jovem respondeu bem para pequenos números, enquanto indivíduos mais velhos foram capazes de calcular resume a 5.

Até mesmo alguns animais não-humanos mostram uma capacidade limitada para adicionar, particularmente primatas. Em um experimento de 1995 imitando 1992 resultado de Wynn (mas usando berinjelas em vez de bonecas), e macacos rhesus micos cottontop obteve resultados semelhantes aos bebês humanos. Mais dramaticamente, depois de ter sido ensinado os significados dos números arábicos de 0 a 4, uma chimpanzé foi capaz de calcular a soma dos dois algarismos sem mais treinamento.

Descobrindo disso como crianças

Normalmente, as crianças primeiro dominar contando. Quando dado um problema que requer que dois itens e três itens ser combinado, as crianças modelar a situação com objetos físicos, muitas vezes os dedos ou um desenho, e, em seguida, contar o total. Como eles ganham experiência, eles aprendem ou descobrir a estratégia de "contando-on": pediu para encontrar dois mais três, as crianças contam 2:03, dizendo que "três, quatro, cinco" (geralmente assinalando fora de dedos), e chegar a cinco . Esta estratégia parece quase universal; as crianças podem facilmente buscá-lo a partir de colegas ou professores. A maioria descobri-lo de forma independente. Com experiência adicional, as crianças aprendem a adicionar mais rapidamente explorando a comutatividade da adição, contando-se a partir do número maior, neste caso começando com três e contando "quatro, cinco." Eventualmente, as crianças começam a recordar certos fatos de adição (" Número obrigações "), quer através de experiência ou memorização. Uma vez que alguns fatos são comprometidos com a memória, as crianças começam a derivar fatos desconhecidos de outros conhecidos. Por exemplo, uma criança pediu para adicionar seis e sete saibam que 6 + 6 = 12 e então a razão que 6 + 7 é mais um, ou 13. Tais fatos derivados pode ser encontrada muito rapidamente e estudante de escola mais elementar, eventualmente, contar com uma mistura de fatos memorizados e derivados para adicionar fluentemente.

Sistema decimal

O pré-requisito para além do decimal sistema é o recall fluente ou derivação dos 100 de um dígito "fatos de adição". Poderíamos memorizar todos os fatos por estratégias rote, mas baseadas em padrões são mais esclarecedor e, para a maioria das pessoas, mais eficiente:

  • Propriedade comutativa: mencionado acima, usando o padrão de a + b = b + a reduzir o número de "contas de somar" 100-55.
  • Um ou dois mais: Adicionando 1 ou 2 é uma tarefa de base, e pode ser realizado através de contagem em ou, em última análise, intuição.
  • Zero: Desde zero é a identidade aditivo, acrescentando zero é trivial. No entanto, no ensino de aritmética, alguns alunos são introduzidos para além como um processo que sempre aumenta os adendos; problemas de palavras pode ajudar a racionalizar a "exceção" de zero.
  • Duplas: Adicionar um número a si mesma está relacionada com a contagem por dois e de multiplicação . Duplas fatos formar uma espinha dorsal para muitos fatos relacionados, e os estudantes encontrá-los relativamente fácil de entender.
  • Quase-duplos: somas como 6 + 7 = 13 pode ser rapidamente derivado do fato de duplas 6 + 6 = 12 pela adição de mais um, ou a partir de 7 + 7 = 14, mas subtraindo um.
  • Cinco e dez: Verbas do formulário de 5 x + e 10 + x geralmente são memorizados cedo e pode ser utilizada para obter outros fatos. Por exemplo, 6 + 7 = 13 pode ser derivada a partir de 5 + 7 = 12 através da adição de mais uma.
  • Fazer dez: uma estratégia avançada usa 10 como um intermediário para somas envolvendo 8 ou 9; por exemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 + 4 = 10 = 14.

Como estudantes envelhecem, eles cometem mais fatos à memória, e aprender a derivar outros fatos de forma rápida e fluente. Muitos estudantes nunca cometer todos os fatos na memória, mas ainda pode encontrar qualquer fato básico rapidamente.

O algoritmo de padrão para a adição de números Multidigit é alinhar os adendos verticalmente e adicionar as colunas, a partir da coluna aqueles no lado direito. Se uma coluna excede dez, o dígito extra é " realizada "na próxima coluna Uma estratégia alternativa começa adição do dígito mais significativo à esquerda;.. essa rota torna o transporte um pouco desajeitado, mas é mais rápido no sentido de conseguir uma estimativa aproximada da soma Há muitos outros métodos alternativos.

Informática

Além com um op-amp. Ver Somando amplificador para mais detalhes.

Computadores analógicos trabalhar diretamente com quantidades físicas, de modo que os seus mecanismos de adição dependem da forma de adendos. Um adicionador mecânica pode representar dois adendos como as posições dos blocos deslizantes, caso em que eles podem ser adicionados com um cálculo da média alavanca. Se os adendos são as velocidades de rotação dos dois veios, que pode ser adicionado com um diferencial. A víbora hidráulico pode adicionar o pressões em duas câmaras, explorando a segunda lei de Newton para equilibrar as forças em uma assembléia de pistões. A situação mais comum para um computador de uso geral analógico é adicionar dois voltagens (com referência a solo); isto pode ser conseguido com cerca de um resistência rede, mas um projeto melhor explora uma amplificador operacional.

A adição é também fundamental para a operação de computadores digitais , onde a eficiência de adição, em particular o realizar mecanismo, é uma limitação importante para o desempenho global.

Parte de Charles Babbage de Difference Engine incluindo a adição e levar mecanismos

Adicionar máquinas, calculadoras mecânicas, cuja função primária era disso, foram os primeiros computadores automáticos, digitais. 1623 Cálculo Relógio de Wilhelm Schickard poderia somar e subtrair, mas foi severamente limitada por um mecanismo de transporte estranho. Queimado durante a sua construção em 1624 e desconhecida para o mundo por mais de três séculos, foi redescoberto em 1957 e, portanto, não teve impacto sobre o desenvolvimento de calculadoras mecânicas. Blaise Pascal inventou a calculadora mecânica em 1642 com um mecanismo engenhoso carry assistida por gravidade . La Pascaline foi limitado pelo seu mecanismo de transporte num sentido diferente: suas rodas virou apenas um caminho, para que ele pudesse adicionar mas não subtrair, exceto pelo método de complementos. Por 1674 Gottfried Leibniz fez o primeiro multiplicador mecânico; ele ainda era alimentado, se motivado não, por adição.

" Adicionador "circuito completo lógica que adiciona dois dígitos binários, A e B, juntamente com uma entrada de transporte em C, produzindo o bit de soma, S, e uma saída de transporte, para C.

Adders executar além inteiro em computadores eletrônicos digitais, geralmente usando aritmética binária . A arquitectura mais simples é o somador carry por ondulação, que segue o algoritmo padrão de vários dígitos. Uma ligeira melhoria é a transportar projeto salto, novamente seguindo a intuição humana; um não executa todo o carrega no cálculo 999 + 1, mas ignora o grupo de 9s e salta para a resposta.

Desde que calcular um dígitos de cada vez, os métodos acima são muito lento para a maioria dos fins modernas. Em computadores digitais modernos, além inteiro é tipicamente a instrução aritmética mais rápido, mas tem o maior impacto sobre o desempenho, uma vez que está subjacente a toda a operações de ponto flutuante, bem como tais tarefas básicas como abordar geração durante acesso à memória e buscar instruções durante ramificação. Para aumentar a velocidade, projetos modernos calcular dígitos em paralelo; estes regimes vão por nomes como transportar seleto, carry lookahead, eo Ling pseudocarry. Quase todas as implementações modernas são, de fato, os híbridos destes três últimos projetos.

Ao contrário disso em papel, além de um computador, muitas vezes altera os adendos. No antigo ábaco e acrescentando bordo, adendos ambos são destruídos, deixando apenas a soma. A influência do ábaco em pensamento matemático foi forte o suficiente que os primeiros latino textos muitas vezes alegou que, no processo de adição de "um número para um número", ambos os números desaparecem. Nos tempos modernos, a instrução ADD de um microprocessador substitui o augend com a soma, mas preserva o adendo. Em um linguagem de programação de alto nível, avaliando a + b não muda a ou b; se o objetivo é substituir um com a soma isto deve ser explicitamente solicitado, normalmente com a instrução a = a + b. Algumas linguagens, como C ou C ++ permitem que isso seja abreviado como a + b =.

Além dos números naturais e reais

Para provar as propriedades usuais de adição, é preciso primeiro definir adição para o contexto em questão. Além é primeiramente definida nos números naturais . Na teoria dos conjuntos , além é então estendido para conjuntos progressivamente maiores, que incluem os números naturais: os números inteiros , os números racionais e os números reais . (Em educação matemática, frações positivas são adicionados antes de números negativos são ainda considerados; este é também o percurso histórico)

Números naturais

Existem duas formas populares para definir a soma de dois números naturais a e b. Se alguém define números naturais a ser os cardinalities de conjuntos finitos, (a cardinalidade de um conjunto é o número de elementos no conjunto), então é apropriado para definir sua soma da seguinte forma:

  • Deixe-N (S) ser a cardinalidade de um conjunto S. Aqui dois conjuntos disjuntos A e B, com N (A) = A e N (B) = b. Em seguida, a b + é definido como N (A \ cup B) .

Aqui, A U B é a união de A e B. Uma versão alternativa desta definição permite que A e B, possivelmente, se sobrepõem e, em seguida, leva o seu união disjunta, um mecanismo que permite que os elementos comuns que devem ser separados e, portanto, contadas duas vezes.

A outra definição popular é recursiva:

  • Seja n + o seja sucessor de n, que é o número n no seguinte os números naturais, de modo + 0 = 1, 1 + = 2. Definir a + 0 = a. Definir a soma geral de forma recursiva por a + (b +) = (a + b) +. Daí 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2.

Novamente, existem pequenas variações sobre esta definição na literatura. Tomado literalmente, a definição anterior é uma aplicação do Teorema de recursão na poset N2. Por outro lado, algumas fontes preferem usar um Teorema de recursão restrita que só se aplica ao conjunto dos números naturais. Uma então considera um ser temporariamente "fixo", aplica-se a recursividade no b para definir uma função "a +", e pastas essas operações unários para todos um para formar a operação binária completa.

Esta formulação recursiva de adição foi desenvolvido por Dedekind tão cedo quanto 1854, e ele iria expandir sobre ele nas décadas seguintes. Ele provou as propriedades associativas e comutativas, entre outros, através de indução matemática; Para exemplos de tais provas indutivas, ver Adição de números naturais .

Inteiros

Definindo (-2) + 1 utilizando apenas a adição de números positivos: (2-4) + (3-2) = 5-6.

A concepção mais simples de um número inteiro que é que consiste de um valor absoluto (que é um número natural) e uma assinar (em geral, quer positivo ou negativo ). O número inteiro zero é um terceiro caso especial, não sendo nem positivo nem negativo. A definição correspondente da adição deve proceder por casos:

  • Para um inteiro n, vamos | n | o seu valor absoluto. Deixe-a e b ser inteiros. Se a ou b é zero, tratá-la como uma identidade. Se a e b são ambos positivos, definir a + b = | a | + | b |. Se a e b são ambos negativos, definir a + b = - (| a | + | b |). Se a e b têm diferentes sinais, definir a b + seja a diferença entre | a | e | b |, com o sinal do termo de valor absoluto é maior.

Embora essa definição pode ser útil para problemas concretos, é muito complicado para produzir elegantes provas gerais; há demasiados casos a considerar.

Uma concepção muito mais conveniente dos inteiros é a Construção Grothendieck grupo. A observação é essencial que todo o inteiro pode ser expresso (não exclusivamente) como a diferença entre dois números naturais, por isso, pode também definir um número inteiro como a diferença entre dois números naturais. A adição é, então, definida como sendo compatível com subtracção:

  • Dado dois inteiros a - b e c - d, onde a, b, c, e d são números naturais, define (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d).

Números racionais (fracções)

A adição de números racionais pode ser calculado usando o menos denominador comum, mas uma definição conceitualmente mais simples envolve a adição inteiro somente e multiplicação:

  • Definir \ Frac ab + \ frac cd = \ frac {ad + bc} {} bd.

A comutatividade e associatividade da adição racional é uma consequência fácil de as leis da aritmética inteira. Para uma discussão mais rigorosa e geral, veja campo de fracções.

Números reais

Adicionando π 2/6 e e usando cortes de Dedekind rationals

Uma construção comum do conjunto dos números reais é a conclusão de Dedekind o conjunto dos números racionais. Um número real é definido como sendo um Dedekind corte de rationals: a conjunto não vazio de rationals que está fechado para baixo e não tem maior elemento. A soma de números reais a e b é definido elemento por elemento:

  • Definir a + b = \ {q + r \ meados q \ em um, r \ in b \}.

Esta definição foi publicada pela primeira vez, em uma forma ligeiramente modificada, por Richard Dedekind em 1872. O comutatividade e associatividade da adição real são imediatos; definição do número real 0 para o conjunto dos racionais negativos, é facilmente visto como a identidade aditiva. Provavelmente a parte mais complicada desta construção pertencente a adição é a definição de inversos aditivos.

Adicionando π 2/6 e e usando seqüências de Cauchy de rationals

Infelizmente, lidar com a multiplicação dos cortes de Dedekind é um pesadelo caso-a-caso similar à adição de inteiros assinados. Outra abordagem é a métrica conclusão dos números racionais. Um número real é essencialmente definido como o limite de um Seqüência de Cauchy de racionales, Lim um n. Além é definida termo a termo:

  • Definir \ Lim_na_n + \ lim_nb_n = \ lim_n (a_n + b_n).

Esta definição foi publicada pela primeira vez por Georg Cantor , também em 1872, embora o seu formalismo era um pouco diferente. É preciso provar que essa operação é bem definida, lidando com seqüências co-Cauchy. Uma vez que a tarefa é feito, todas as propriedades de verdadeiro disso segue-se imediatamente a partir das propriedades dos números racionais. Além disso, as outras operações aritméticas, incluindo multiplicação, têm, definições análogas simples.

Generalizações

Há muitas coisas que podem ser adicionados: números, vetores, matrizes, espaços, formas, conjuntos, funções, equações, cordas, correntes ... - Alexander Bogomolny

Há muitas operações binárias que podem ser vistos como generalizações do operação de adição sobre os números reais. O campo da álgebra abstrata é centralmente preocupados com essas operações generalizadas, e eles também aparecem na teoria dos conjuntos e teoria da categoria.

Além de álgebra abstrata

Em álgebra linear , um espaço vectorial é uma estrutura algébrica que permite a adição de quaisquer dois vectores e para a ampliação vetores. Um espaço vetorial familiares é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais; o par ordenado (a, b) é interpretado como um vetor a partir da origem no plano euclidiana para o ponto (a, b) no plano. A soma de dois vectores obtém-se adicionando suas coordenadas individuais:

(A, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Esta operação de adição é central para a mecânica clássica , em que são interpretados como vetores forças .

Em aritmética modular , o conjunto de inteiros módulo 12 tem doze elementos; ele herda uma operação de adição de números inteiros que é central para teoria dos conjuntos musical. O conjunto de inteiros módulo 2 tem apenas dois elementos; a operação de adição ele herda é conhecido na lógica booleana como o " exclusivo ou "função. Na geometria , a soma das duas medidas angulares é muitas vezes considerado como sendo a sua soma como números reais módulo 2π. Isso equivale a uma operação de adição no círculo , que por sua vez se generaliza para operações de adição em muitas dimensões tori .

A teoria geral da álgebra abstrata permite uma operação "adição" para ser qualquer associativa e comutativa operação em um conjunto. Básicos estruturas algébricas com tais uma operação de adição incluem monoids comutativos e grupos abelianos.

Além na teoria dos conjuntos e teoria da categoria

Uma generalização de longo alcance da adição de números naturais é a adição de números ordinais e cardinais números na teoria dos conjuntos. Estes dão duas generalizações diferentes de adição de números naturais ao transfinite. Ao contrário de a maioria das operações de adição, adição de números ordinais não é comutativa. A adição de números cardinais, no entanto, é uma operação conmutativo intimamente relacionado com o operação de união separado.

Em teoria da categoria, união disjunta é visto como um caso particular do operação co-produto, e co-produtos gerais são, talvez, a mais abstrata de todas as generalizações de adição. Alguns co-produtos, tais como Soma direta e Soma Wedge, são nomeados para evocar a sua ligação com adição.

Operações relacionadas

Aritmética

A subtracção pode ser pensado como um tipo de adição, isto é, a adição de um aditivo inversa. A subtração é em si uma espécie de inverso disso, em que a adição de x e subtraindo x são funções inversas .

Dado um conjunto com uma operação de adição, não se pode sempre definir uma operação de subtração correspondente no set; o conjunto dos números naturais é um exemplo simples. Por outro lado, uma operação de subtracção determina unicamente uma operação de adição, um aditivo operação inversa, e uma identidade aditivo; por esta razão, um grupo de aditivos pode ser descrito como um conjunto que é fechado sob subtracção.

A multiplicação pode ser pensado como adição repetida. Se um único termo x aparece em uma soma n vezes, então a soma é o produto de n e x. Se n não é um número natural , o produto ainda pode fazer sentido; por exemplo, por multiplicação -1 Produz o aditivo inversa de um número.

A régua de cálculo circular

Nos números reais e complexos, adição e multiplicação podem ser trocados pela função exponencial :

e a + b = e um e b.

Esta identidade permite a multiplicação para ser levada a cabo por uma consulta tabela de logaritmos e adição de computação à mão; isto também permite que uma multiplicação sobre deslize regra. A fórmula ainda é uma boa aproximação de primeira ordem no contexto mais amplo de Grupos de Lie, onde se refere a multiplicação de elementos infinitesimais de grupo com a adição de vetores na associado Deite álgebra.

Há ainda mais generalizações de multiplicação que a adição. Em geral, as operações de multiplicação sempre distribuir mais além; este requisito é formalizada na definição de uma anel. Em certos contextos, tais como os números inteiros, distribuitivamente sobre adição e a existência de uma identidade multiplicativo é suficiente para determinar unicamente a operação de multiplicação. A propriedade distributiva também fornece informações sobre adição; expandindo o produto (1 + 1) (a + b) em ambos os sentidos, conclui-se que a adição é forçado a ser conmutativo. Por esta razão, além do anel é conmutativo em geral.

Divisão é uma operação aritmética remotamente relacionadas com adição. Desde a / b = a (b-1), a divisão é distributiva direita em relação à adição: (a + b) / c = a / c + b / c. No entanto, a divisão não é deixado distributiva sobre a adição; 1 / (2 + 2) não é o mesmo que 1/2 + 1/2.

Ordenação

Log-log terreno de x + 1 e max (x, 1) de x = ,001-1000

A operação máxima "max (a, b)" é uma operação de binário semelhantes a adição. Na verdade, se dois números não negativos a e b são de diferente ordens de grandeza, em seguida, a sua soma é aproximadamente igual ao seu máximo. Esta aproximação é extremamente útil nas aplicações da matemática, por exemplo, em truncando série de Taylor . No entanto, apresenta uma dificuldade permanente em análise numérica, essencialmente, uma vez que "max" não pode ser invertida. Se b é muito maior do que um, então um cálculo simples de (a + b) - b pode acumular uma inaceitável erro de arredondamento, talvez até retornando zero. Veja também A perda de significado.

A aproximação se torna exato em uma espécie de limite infinito; se a ou b é um infinito número cardinal , cardeal sua soma é exatamente igual ao maior dos dois. Assim, não há nenhuma operação de subtração de cardeais infinitos.

Maximização é comutativo e associativo, como adição. Além disso, uma vez que além preserva a ordenação de números reais, além distribui através de "max", da mesma forma que a multiplicação distribui sobre a adição:

a + max (b, c) = max (a + b, a + c).

Por estas razões, em uma geometria tropical substitui multiplicação com adição e adição com maximização. Neste contexto, a adição é chamado "multiplicação tropicais", a maximização é chamado de "adição tropical", e o tropical "identidade aditivo" é infinito negativo. Alguns autores preferem substituir disso com minimização; em seguida, a identidade aditivo é infinidade positiva.

Amarrando estas observações em conjunto, além tropical é aproximadamente relacionada com a adição regular através do logaritmo :

log (a + b) ≈ max (log uma, ingresse b),

que se torna mais precisa como a base do logaritmo aumenta. A aproximação pode ser feita exatamente por extrair uma constante h , nomeado por analogia com a constante de Planck da mecânica quântica , e tendo o " limite clássico ", como h tende a zero:

\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

Neste sentido, a operação máximo é umadequantizedversão de adição.

Outras maneiras de adicionar

Incrementação, também conhecida como aoperação sucessor, é a adição de1a um número.

Soma descreve a adição de muitos números arbitrariamente, normalmente mais do que apenas dois. Ele inclui a ideia da soma de um número único, que é por si só, e a soma vazio, o que é de zero . Uma soma infinita é um procedimento delicado conhecida como uma série.

Contandoum conjunto finito é equivalente à soma 1 sobre o conjunto.

Integração é uma espécie de "soma" ao longo de um contínuo, ou mais precisamente e geralmente, ao longo de um diferenciável colector . A integração ao longo de um colector de dimensão zero reduz a soma.

Combinações lineares combinam multiplicação e soma; eles são somas em que cada termo tem um multiplicador, geralmente um verdadeiro ou complexo número. Combinações lineares são especialmente úteis em contextos em que a adição simples violaria alguma regra de normalização, como a mistura de estratégias em teoria dos jogos ou superposição de estados em mecânica quântica .

Convolution é usado para adicionar dois independentes variáveis aleatórias definidas por funções de distribuição . A sua definição usual combina integração, subtração, e multiplicação. Em geral, a convolução é útil como um tipo de adição do lado do domínio; Em contraste, a adição de vectores é uma espécie de adição do lado gama.

Na literatura

  • No capítulo 9 de Lewis Carroll do Through the Looking-Glass , a Rainha Branca pergunta a Alice, "E você faz Adição? ... O que é um e um e um e um e um e um e um e um e um e um?" Alice admite que ela perdeu a conta, ea Rainha Vermelha declara: "Ela não pode fazer Adição".
  • Em De George Orwell Nineteen Eighty-Four , o valor de 2 + 2 é questionada; o Estado alega que se declara 2 + 2 = 5, então é assim. Ver Dois mais dois são cinco para a história desta idéia.
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