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Ângulo

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"∠", o símbolo ângulo.

Em geometria e trigonometria , um ângulo (na íntegra, ângulo plano) é a figura formada por dois raios compartilhando um comum endpoint, o chamado vértice do ângulo. O valor deste ângulo é a "quantidade de rotação" que separa os dois raios, e pode ser medido com o comprimento de arco circular varrido para fora, quando um raio é rodado em torno do vértice de modo a coincidir com o outro (ver "ângulos de medição" , abaixo). Sempre que não exista possibilidade de confusão, o termo "ângulo" é utilizado de forma intercambiável para tanto a própria configuração geométrica e para a sua magnitude angular (que é simplesmente uma quantidade numérica).

O ângulo palavra vem do latim palavra angulus, que significa "um canto". A palavra angulus é um diminutivo, de que a forma primitiva, angus, não ocorre em latim. Palavras cognatas são o angere latim, que significa "para compactar em uma curva" ou "estrangular", eo grego ἀγκύλος (ankylοs), significando "torto, curvado"; ambos estão ligados com o PIE raiz * ank-, que significa "dobrar" ou "arco".

História

Euclides define um plano que o ângulo de inclinação entre si, num plano, de duas linhas que se encontram, e não se encontram em frente em relação um ao outro. Conforme Proclus ângulo deve ser uma qualidade ou uma quantidade, ou um relacionamento. O primeiro conceito foi usado por Eudemus, que considerava um ângulo como um desvio de uma linha reta ; o segundo por Carpo de Antioquia, que considerou como o intervalo ou espaço entre as linhas de interseção; Euclid adoptou o terceiro conceito, embora suas definições de ângulos retos, agudos e obtusos são certamente quantitativa.

Medindo ângulos

O ângulo θ é o quociente entre s e r.

Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhada, por exemplo, com um par de bússolas. O comprimento do arco S é então dividido pelo raio do círculo r e, possivelmente, multiplicado por uma constante k de escala (que depende das unidades de medição que são escolhidos):

\ Theta = \ frac {s} {r} (k)

O valor de θ assim definido é independente do tamanho do círculo: se o comprimento do raio é alterado, em seguida, as mudanças de comprimento de arco, na mesma proporção, de modo que a relação S / R é inalterado.

Em muitas situações geométricas, ângulos que diferem por um múltiplo exato de um círculo completo são efetivamente equivalente (não faz diferença quantas vezes uma linha é girada através de um círculo completo, porque ele sempre acaba no mesmo lugar). No entanto, isto nem sempre é o caso. Por exemplo, quando o rastreio de uma curva, tal como um espiral usando coordenadas polares , um turno extra completo dá origem a um ponto bastante diferente na curva.

Unidades

Os ângulos são considerados adimensional, uma vez que eles são definidos como a razão de comprimentos. Existem, no entanto, várias unidades utilizadas para medir os ângulos, dependendo da escolha da constante k na fórmula acima. Destas unidades, tratados em maior detalhe abaixo, o grau e o radiano são de longe a mais comum.

Com a notável exceção do radiano, são definidos a maioria das unidades de medição angular de tal modo que um círculo completo (ou seja, uma só volta) é igual an unidades, para algum número inteiro n. Por exemplo, no caso de graus,

Um círculo completo de n unidades é obtido através da criação

na fórmula acima. (Proof. A fórmula acima pode ser reescrita como

Um círculo completo, para o qual

unidades, corresponde a um arco de comprimento igual ao círculo de circunferência, que é 2π r, então

. Substituindo N para θ e 2π r para s na fórmula, os resultados em

)

  • O grau , indicado por um pequeno círculo sobrescrito (°) é 1/360 de um círculo completo, portanto, um círculo completo é de 360 °. Uma vantagem desta idade subunidade sexagesimal é que muitos ângulos comuns em geometria simples são medidos como um número inteiro de graus. (O problema de ter todos os ângulos "interessantes" medidas como números inteiros é, naturalmente insolúvel.) Frações de um grau podem ser escritos em notação decimal normal (por exemplo, 3,5 ° graus para três anos e meio), mas as seguintes subunidades da sexagesimais "grau-minuto-segundo" sistema também estão em uso, especialmente para coordenadas geográficas e em astronomia e balística:
    • O minuto de arco (ou MOA, arcminute, ou apenas minutos) é 1/60 de um grau. Isso é indicado por um único plica ('). Por exemplo, 3 ° 30 'é igual a 3 + 30/60 graus, ou 3,5 graus. Um formato misturado com frações decimais também é usado às vezes, por exemplo, 3 ° 5.72 '= 3 + 5,72 / 60 graus. A milha náutica foi historicamente definido como um minuto de arco ao longo de um grande círculo da Terra.
    • O segundo de arco (ou segundo de arco, ou apenas segundo) é 1/60 de um minuto de arco e 1/3600 de um grau. Ele é indicado por um primo duplas ("). Por exemplo, 3 ° 7 '30 "é igual a 3 + 7/60 + 30/3600 graus, ou de 3,125 graus.
θ = s / r rad = 1 rad.
  • O radiano é o ângulo subtendido por um arco de um círculo que tem o mesmo comprimento que o raio (k = 1 na fórmula dada anteriormente) do círculo. Um círculo completo é de 2 π radianos e um radiano é de 180 / π graus, ou cerca de 57,2958 graus. O radiano é abreviado rad, embora este símbolo é muitas vezes omitido em textos de matemática, onde radianos são assumidas salvo indicação em contrário. O radiano é usado em praticamente todo o trabalho matemático além de geometria prática simples, devido, por exemplo, para o agradável e propriedades "naturais" que as funções trigonométricas mostrar quando seus argumentos são em radianos. O radiano é o (derivada) da unidade de medição angular na Sistema SI.
  • O mil é aproximadamente igual a um miliradiano . Existem várias definições.
  • O círculo completo (ou revolução, rotação, cheio transformar ou ciclo) é uma revolução completa. A revolução ea rotação são abreviados rev e podridão, respectivamente, mas apenas em r rpm (rotações por minuto). 1 completa círculo rad = 360 ° = 2 π = 400 = gon quatro ângulos retos.
  • O ângulo direito é 1/4 de um círculo completo. É a unidade utilizada em Elementos de Euclides . 1 ângulo direito = 90 ° = π / 2 rad = 100 grados.
  • O ângulo do triângulo equilátero é 1/6 de um círculo completo. Era a unidade usada pelos babilônios , e é especialmente fácil de construir com régua e compasso. O grau, minuto de arco e segundo de arco são subunidades sexagésimais da unidade babilônico. 1 unidade babilônico = 60 ° = π / 3 rad ≈ 1,047197551 rad.
  • O grad, também chamado grau, gradianos ou gon é 1/400 de um círculo completo, portanto, um círculo completo é de 400 graduados e um ângulo direito é de 100 grados. É uma subunidade decimal do ângulo direito. A km foi historicamente definida como um centi-gon do arco ao longo de um grande círculo da Terra, de modo que o quilômetro é o análogo decimal para a milha náutica sexagesimal. O governo da Nigéria é usado principalmente em triangulação.
  • O ponto, usados em navegação, é 1/32 de um círculo completo. É uma subunidade de binário do círculo completo. Nomeação de todos os 32 pontos em um Compass Rose é chamado " boxe a bússola ". 1 ponto = 1/8 de um ângulo reto = 11,25 ° = 12,5 gon.
  • O astronômico ângulo hora é 1/24 de um círculo completo. As subunidades sexagesimais foram chamados minutos de tempo e de segundo do tempo (embora eles são unidades de ângulo). 1 hora = 15 ° = π / 12 rad = 1/6 ângulo direito ≈ 16.667 gon.
  • O grau binário, também conhecido como o radiano binário (ou Brad), é 1/256 de um círculo completo. O grau binário é usado na computação, de modo que um ângulo pode ser eficientemente representado num único byte.
  • O grau de um declive ou inclinação, não é realmente uma medida do ângulo (a menos que seja explicitamente dadas em graus, como é ocasionalmente o caso). Em vez disso, é igual à tangente do ângulo, ou, por vezes, o seno. Os gradientes são muitas vezes expressa como uma percentagem. Para os pequenos valores usuais encontradas (menos do que 5%), o grau de inclinação é uma medida de aproximadamente a um ângulo em radianos.

Ângulos positivos e negativos

Uma convenção universalmente adotada na escrita matemática é que os ângulos são dadas um sinal ângulos positivos se medido sentido anti-horário, e ângulos negativos se medido no sentido horário, a partir de uma dada linha. Se nenhuma linha for especificado, pode ser assumido como sendo o eixo x no plano cartesiano . Em muitas situações geométricas um ângulo negativo de - θ é efectivamente equivalente a um ângulo positivo de "uma rotação completa menos θ". Por exemplo, uma rotação no sentido horário de 45 ° (isto é, um ângulo de -45 °) é muitas vezes eficaz equivalente a uma rotação anti-horária de 360 ° - 45 ° (isto é, um ângulo de 315 °).

Em três geometria tridimensional, "dos ponteiros do relógio", e "esquerda" não têm significado absoluto, de modo que a direcção dos ângulos positivos e negativos deve ser definido em relação a uma referência, o qual é tipicamente um vector que passa através do vértice do ângulo e é perpendicular ao plano no qual os raios do mentira ângulo.

Em navegação, rolamentos são medidos a partir do Norte, o aumento dos ponteiros do relógio, de modo que um rolamento de 45 graus é o norte-leste. Rolamentos negativos não são utilizados na navegação, por isso Noroeste é de 315 graus.

Aproximações

  • 1 ° é aproximadamente a largura de um dedo mínimo no comprimento do braço
  • 10 ° é aproximadamente a largura de um punho fechado no comprimento do braço.
  • 20 ° é aproximadamente a largura de um palmo no comprimento do braço.

Identificar ângulos

Em expressões matemáticas, é comum a utilização de letras gregas (α, β, γ, θ, φ, ...) para servir como variáveis em pé para o tamanho de algum ângulo. (Para evitar confusão com os seus outros significados, o símbolo π não é utilizado para este fim.) minúsculas letras romanas (a, b, c, ...) são também utilizados. Veja as figuras neste artigo para obter exemplos.

Nas figuras geométricas, ângulos também pode ser identificado pelos marcadores ligados aos três pontos que as definem. Por exemplo, o ângulo no vértice A delimitada pelos raios AB e AC (ou seja, as linhas do ponto A ao ponto B e ponto A ao ponto C) é denotado ∠BAC ou BAC. Às vezes, onde não existe qualquer risco de confusão, o ângulo pode ser referido simplesmente pelo seu vértice ("ângulo A").

Potencialmente, um ângulo indicado, por exemplo, ∠BAC pode referir-se a qualquer um dos quatro ângulos: o ângulo no sentido horário a partir de B para C, o ângulo a esquerda de B para C, o ângulo no sentido horário a partir de C e B, ou o ângulo no sentido contrário a partir de C e B , em que a direcção na qual o ângulo é medido determina o seu sinal (ver ângulos positivos e negativos ). No entanto, em muitas situações geométricas é óbvio a partir do contexto que o ângulo positivo inferior ou igual a 180 ° graus entende-se, e nenhuma ambiguidade resultante. Caso contrário, uma convenção pode ser adotado para que ∠BAC sempre se refere ao sentido anti-horário ângulo (positivo) de B para C, e ∠CAB para o sentido anti-horário ângulo (positivo) de C para B.

Tipos de ângulos

Ângulo certo.
Aguda (a), obtuso (b) e (c) ângulos retos. Aqui, a e b são ângulos complementares.
Ângulo de reflexo.
O complementar ângulos a e b (b é o complemento de um, e a é o complemento de b).
  • Um ângulo de 90 ° ( π / 2 radianos, ou um quarto do círculo completo) é chamado um ângulo direito.
    Duas linhas que formam um ângulo recto são referidos como sendo perpendicular ou ortogonal.
  • Ângulos menores do que um ângulo reto (inferior a 90 °) são chamados ângulos agudos ("aguda", que significa "sharp").
  • Ângulos maiores do que um ângulo reto e menor que dois ângulos retos (entre 90 ° e 180 °) são chamados ângulos obtusos ("obtuso", que significa "blunt").
  • Ângulos iguais a dois ângulos retos (180 °) são chamados ângulos retos.
  • Ângulos maiores do que dois ângulos retos, mas menos de um círculo completo (entre 180 ° e 360 °) são chamados ângulos reflexas.
  • Ângulos que têm a mesma medida seriam congruentes.
  • Dois ângulos opostos um ao outro, formado por dois interseção linhas retas que formam um "X" como forma, são chamados ângulos verticais ou ângulos opostos. Estes ângulos são congruentes.
  • Ângulos que compartilham um vértice e aresta comum, mas não compartilham quaisquer pontos interiores são chamados ângulos adjacentes.
  • Dois ângulos que resumem a um ângulo reto (90 °) são chamados ângulos complementares.
    A diferença entre um ângulo um ângulo recto e é denominado o complemento do ângulo.
  • Dois ângulos que resumem a um ângulo reto (180 °) são chamados ângulos complementares.
    A diferença entre um ângulo e um ângulo reto é denominado o suplemento do ângulo.
  • Dois ângulos que resumem a um círculo completo (360 °) são chamados ângulos explementary ou ângulos conjugados.
  • Um ângulo que faz parte de um polígono simples é chamado de ângulo interno se encontra no interior do que o polígono simples. Note-se que em um polígono simples que é côncava, pelo menos, um ângulo interno for superior a 180 °.
    Na geometria euclidiana , as medidas dos ângulos internos de um triângulo somam radianos π, ou 180 °; as medidas dos ângulos internos de um simples quadrilátero adicionar até 2 π radianos, ou 360 °. Em geral, as medidas dos ângulos internos de um polígono simples com n lados adicionar até [(n - 2) × π] radianos ou [(n - 2) × 180] °.
  • O ângulo complementar ao ângulo interno é o chamado ângulo exterior. Ele mede a quantidade de "turn" é preciso fazer neste vértice para traçar o polígono. Se o ângulo interno correspondente excede 180 °, o ângulo externo deve ser considerada negativo. Mesmo num polígono não-simples, pode ser possível para definir o ângulo externo, mas terá uma para escolher um orientação do avião (ou superfície) para decidir o sinal da medida do ângulo exterior.
    Na geometria euclidiana, a soma dos ângulos exteriores de um polígono simples será de 360 °, uma volta completa.
  • Alguns autores usam o ângulo externo nome de um polígono simples para significar simplesmente a explementary (não completem!) Do ângulo interior . Isso entra em conflito com a utilização acima.
  • O ângulo entre dois planos (tais como duas faces adjacentes de um poliedro ) é chamado um diedro. Pode ser definido como o ângulo agudo entre duas linhas normais aos planos.
  • O ângulo entre um plano e uma linha recta que intersecta é igual a noventa graus menos o ângulo entre a linha de intersecção e a linha que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular ao plano.
  • Se uma linha reta linha transversal intercepta dois linhas paralelas, o que corresponde (suplentes) ângulos nos dois pontos de intersecção são congruentes; ângulos adjacentes são complementar (isto é, as suas medidas para adicionar π radianos, ou de 180 °).

A definição formal

Usando funções trigonométricas

Um ângulo euclidiana é completamente determinado pelo triângulo direito correspondente. Em particular, se \ Theta é um ângulo euclidiana, é verdade que

\ Cos \ theta = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}

e

\ Sin \ theta = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}

por dois números x e y . Assim, um ângulo com o plano euclidiana pode ser legitimamente determinado por dois números x e y .

Para o rácio \ Frac {y} {x} não correspondem dois ângulos na gama geométrico 0 <\ theta <2 \ pi , Desde

\ Frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} = \ frac {y} {x} = \ frac {-y} {- x} = \ frac {\ sin (\ theta + \ pi)} {\ cos (\ theta + \ pi )}.

Usando rotações

Suponha que temos dois vetores unitários \ Vec {u} e \ Vec {v} no plano euclidiano \ Mathbb {R} ^ 2 . Então existe um positivo isometría (uma rotação), e apenas uma, a partir de \ Mathbb {R} ^ 2 para \ Mathbb {R} ^ 2 que mapas u para v . Seja r tal rotação. Em seguida, a relação \ Vec {a} \ mathcal {R} \ vec {b} definido pela \ Vec {b} = r (\ vec {a}) é uma relação de equivalência e que chamamos de ângulo de rotação de r a classe de equivalência \ Mathbb {T} / \ mathcal {R} , Onde \ Mathbb {T} denota o círculo unitário de \ Mathbb {R} ^ 2 . O ângulo entre dois vectores será simplesmente o ângulo da rotação que mapeia um para o outro. Nós não temos nenhuma maneira numérica de determinar um ângulo ainda. Para fazer isso, nós escolhemos o vector (1,0) , Em seguida, para qualquer ponto M em \ Mathbb {T} a distância \ Theta de (1,0) (Na circunferência), deixar \ Vec {u} = \ overrightarrow {OM} . Se chamarmos r_ \ theta a rotação que transforma (1,0) em \ Vec {u} , Então \ Left [r_ \ theta \ right] \ mapsto \ theta é uma bijeção, o que significa que podemos identificar qualquer ângulo com um número entre 0 e 2 \ pi .

Os ângulos entre as curvas

O ângulo entre as duas curvas é definido como o ângulo entre as tangentes A e B em P

O ângulo entre uma linha e uma curva (ângulo misto) ou entre duas curvas de intersecção (ângulo curvilínea) é definido como sendo o ângulo entre as tangentes no ponto de intersecção. Vários nomes (agora raramente, ou nunca, usado) ter sido dada a casos particulares: - amphicyrtic (Gr ἀμφί, em ambos os lados, κυρτόσ, convexas.) Ou cissoidal (Gr κισσόσ, hera.), Biconvexas; xystroidal ou sistroidal (Gr . ξυστρίσ, uma ferramenta para raspar), côncavo-convexo;. amphicoelic (Gr κοίλη, um oco) ou lunularis Angulus, biconcave.

O produto escalar e generalização

No plano euclidiano , o ângulo θ entre dois vetores u e v está relacionada à sua produto escalar e os seus comprimentos de fórmula

\ Mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ cos (\ theta) \ \ | \ mathbf {u} \ | \ \ | \ mathbf {v} \ |.

Isto permite a definição de ângulos em qualquer verdadeira espaço com produto interno, substituindo o produto euclidiana dot · pela Hilbert espaço com produto interno <·, ·>.

Ângulos da geometria de Riemann

Em Geometria de Riemann, a tensor métrico é usado para definir o ângulo entre duas tangentes . Onde U e V são vetores tangentes e g ij são as componentes do tensor métrico G,

\ Cos \ theta = \ frac {g_ {ij} U ^ iV ^ j} {\ sqrt {\ left | g_ {ij} U ^ ^ iU j \ right | \ left | g_ {ij} V ^ iV ^ j \ right |}}.

Ângulos em geografia e astronomia

Em geografia que especificar a localização de qualquer ponto da Terra usando um Sistema de coordenadas geográficas. Este sistema especifica a latitude e longitude de qualquer local, em termos de ângulos subtendidos no centro da terra, utilizando o equador e (normalmente) a Meridiano de Greenwich como referência.

Em astronomia , nós semelhante especificar um determinado ponto na esfera celeste usando qualquer um dos vários Coordenar Astronomical sistemas, onde as referências variam de acordo com o sistema particular.

Os astrônomos também pode medir o ângulo que separa duas estrelas imaginando duas linhas através do centro da Terra , cada interseção uma das estrelas. O ângulo entre as linhas pode ser medido, e é a separação angular entre as duas estrelas.

Os astrônomos também medir o tamanho aparente de objectos. Por exemplo, a lua cheia tem uma medição angular de aproximadamente 0,5 °, quando vistos da Terra. Pode-se dizer, "A Lua subtende um ângulo de meio grau." O fórmula de pequeno ângulo pode ser usado para converter um tal medição angular em uma proporção distância / tamanho.

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