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Archimedes

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Arquimedes de Siracusa
(Em grego: Ἀρχιμήδης)

Archimedes pensativo por Fetti (1620)
Nascido c. 287 aC
Siracusa, Sicília
Magna Grécia
Morreu c. 212 BC (com idade em torno de 75)
Syracuse
Residência Siracusa, Sicília
Campos Matemática
Física
Engenharia
Astronomia
Invenção
Conhecido por Princípio de Arquimedes
Parafuso de Arquimedes
hidrostática
alavancas
infinitesimais

Arquimedes de Siracusa ( grego : . Ἀρχιμήδης;. C 287 aC - 212 aC c) foi um Matemático grego, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo. Embora poucos detalhes de sua vida são conhecidos, ele é considerado como um dos principais cientistas antiguidade clássica. Entre seus avanços na física são as fundações de hidrostática, estática e uma explicação do princípio da alavanca. Ele é creditado com o projeto inovador máquinas, incluindo motores do cerco ea bomba de parafuso que carrega seu nome. As experiências modernas testaram reivindicações que Archimedes projetados máquinas capazes de levantar navios de ataque fora da água e de ajustar navios no fogo usando uma disposição de espelhos.

Archimedes é geralmente considerado como o maior matemático da antiguidade e um dos maiores de todos os tempos. Ele usou o método de exaustão para calcular a área sob o arco de com a parábola soma de uma série infinita, e deu uma aproximação notavelmente precisas de pi . Ele também definiu o espiral que leva seu nome, fórmulas para os volumes de superfícies de revolução e um sistema engenhoso para expressar números muito grandes.

Archimedes morreu durante o Cerco de Siracusa quando foi morto por um Soldado romano apesar das ordens que não deve ser prejudicado. Cicero descreve visitar o túmulo de Archimedes, que foi superado por uma esfera inscrito dentro de um cilindro. Archimedes tinha provado que a esfera tem dois terços do volume e área de superfície do cilindro (incluindo as bases do último) o, e considerou esta como o grande de suas realizações matemáticas.

Ao contrário de suas invenções, as escritas matemáticas de Archimedes foram pouco conhecido na antiguidade. Os matemáticos de Alexandria ler e citou-o, mas a primeira compilação abrangente não foi feito até c. 530 dC por Isidoro de Mileto, enquanto comentários sobre as obras de Archimedes escritos por Eutocius no século VI dC a abri-los para maior número de leitores pela primeira vez. As relativamente poucas cópias do trabalho escrito de Archimedes que sobreviveram através dos Idade Média eram uma fonte influente de ideias para cientistas durante o Renascimento , quando a descoberta em 1906 de trabalhos previamente desconhecidos por Archimedes no Archimedes Palimpsest forneceu novos insights sobre como obteve resultados matemáticos.

Biografia

Esta estátua de bronze de Arquimedes está no Archenhold Observatório em Berlim . Foi esculpida por Gerhard Thieme e revelado em 1972.

Arquimedes nasceu c. 287 aC na cidade portuária de Siracusa, Sicília, na época uma auto-governo colônia em Magna Grécia. A data de nascimento é baseada em uma declaração do Historiador grego bizantino John Tzetzes que Arquimedes viveu por 75 anos. Em The Sand Reckoner, Archimedes dá o nome de seu pai como Fídias, uma astrônomo sobre os quais nada se sabe. Plutarco escreveu em seu Vidas Paralelas que Arquimedes foi relacionadas ao rei Hiero II, o governante de Syracuse. A biografia de Archimedes foi escrito por seu amigo Heracleides mas este trabalho foi perdido, deixando os detalhes de sua vida obscura. Não se sabe, por exemplo, se ele nunca se casou ou teve filhos. Durante sua juventude, Arquimedes pode ter estudado em Alexandria , Egito , onde Conon de Samos e Eratóstenes de Cirene eram contemporâneos. Ele se referiu a Conon de Samos como seu amigo, enquanto dois de seus trabalhos ( O Método de teoremas mecânicos e do Gado problema) tem apresentações dirigidas a Eratóstenes.

Archimedes morreu c. 212 aC, durante o Segunda Guerra Púnica, quando Roman forças sob Geral Marcus Claudius Marcellus capturaram a cidade de Siracusa após um período de dois anos de duração cerco . De acordo com o relato popular dada pelo Plutarco, Arquimedes estava contemplando um diagrama de matemática quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou-lhe para vir e conhecer Marcellus Gerais, mas ele se recusou, dizendo que ele tinha que terminar de trabalhar sobre o problema. O soldado ficou enfurecido com isso, e matou Arquimedes com sua espada. Plutarco também dá um relato menos conhecido da morte de Arquimedes que sugere que ele pode ter sido morto durante a tentativa de se render a um soldado romano. De acordo com esta história, Arquimedes estava transportando instrumentos matemáticos, e foi morto porque o soldado pensou que eles eram itens valiosos. Geral Marcellus teria sido irritado com a morte de Arquimedes, como ele o considerava um ativo valioso científica e ordenou que ele não seja prejudicado.

A esfera tem 2/3 do volume e área de superfície do seu cilindro circunscrevendo. Uma esfera e cilindros foram colocados no túmulo de Arquimedes, a seu pedido.

As últimas palavras atribuídas a Archimedes são "Não perturbe meus círculos" ( grego : μή μου τοὺς κύκλους τάραττε), uma referência para os círculos no desenho matemático que ele supostamente estava estudando quando perturbado pelo soldado romano. Esta citação é frequentemente administrada em latim como " Noli turbare circulos meos ", mas não há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes proferiu estas palavras e eles não aparecem na conta dada por Plutarco.

O túmulo de Arquimedes realizada uma escultura ilustrando sua prova matemática favorito, que consiste em uma esfera e um cilindro de a mesma altura e diâmetro. Archimedes tinha provado que o volume ea superfície da esfera a que são dois terços do cilindro incluindo suas bases. Em 75 aC, 137 anos após sua morte, o romano orador Cícero estava servindo como questor em Sicília. Ele tinha ouvido histórias sobre o túmulo de Arquimedes, mas nenhum dos moradores foi capaz de dar-lhe a localização. Eventualmente, ele encontrou a tumba perto do portão Agrigentine em Siracusa, em uma condição negligenciada e coberta de arbustos. Cicero teve o túmulo limpo, e foi capaz de ver a escultura e ler alguns dos versos que haviam sido acrescentados como uma inscrição. Um túmulo descoberto em um pátio hotel em Syracuse, no início dos anos 1960 foi reivindicada a ser o de Arquimedes, mas a sua localização atual é desconhecida.

As versões padrão da vida de Arquimedes foram escritos muito depois de sua morte pelos historiadores da Roma Antiga. A conta do cerco de Siracusa dada pelo Políbio em sua História Universal foi escrito por volta de 70 anos depois da morte de Arquimedes, e foi usado posteriormente como fonte por Plutarco e Tito Lívio. Ela lança pouca luz sobre Archimedes como uma pessoa, e centra-se nas máquinas de guerra que ele se diz ter construído a fim de defender a cidade.

Descobertas e invenções

Princípio de Arquimedes

Arquimedes pode ter usado o seu princípio de flutuabilidade para determinar se a coroa de ouro era menos denso do que o ouro sólido.

A mais conhecida anedota sobre Archimedes conta como ele inventou um método para determinar o volume de um objeto com uma forma irregular. Conforme Vitruvius, um coroa votiva de um templo havia sido feita para o rei Hiero II, que havia fornecido o puro ouro para ser usado, e Arquimedes foi pedido para determinar se alguma prata tinha sido substituído pelo ourives desonestos. Archimedes tinha que resolver o problema sem danificar a coroa, para que ele não poderia derreter-lo em um corpo em forma regular, a fim de calcular a sua densidade . Enquanto tomar um banho, ele notou que o nível da água na banheira aumentou quando ele entrou, e percebi que esse efeito poderia ser usado para determinar o volume de da coroa. Para efeitos práticos, a água é incompressível, de modo que a coroa submersa iria deslocar uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Ao dividir a massa da coroa por o volume de água deslocado, a densidade da coroa poderia ser obtida. Esta densidade seria menor do que a de ouro se metais mais baratos e menos densas tinha sido adicionado. Arquimedes então tomaram as ruas nuas, tão animado com sua descoberta de que ele tinha esquecido de vestir, chorando " Eureka! "( grego : "εὕρηκα", significando "Eu encontrei-o"!) O teste foi realizado com sucesso, provando que a prata tinha realmente sido misturado..

A história da coroa de ouro não aparece nas obras conhecidas de Arquimedes. Além disso, a praticidade do método descrita foi posta em causa, devido à precisão extrema com que a pessoa teria que medir o deslocamento de água. Arquimedes pode ter, em vez buscou uma solução que aplicou o princípio conhecido em hidrostática como Princípio de Arquimedes, que ele descreve em seu tratado Sobre os Corpos Flutuantes. Este princípio estabelece que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca. Utilizando este princípio, que teria sido possível comparar a densidade da coroa de ouro ao de ouro maciço, equilibrando a coroa em uma escala com uma amostra de referência de ouro, imergindo depois o aparelho na água. A diferença de densidade entre as duas amostras causaria a escala de ponta em conformidade. Galileu considerou "provável que este método é o mesmo que Arquimedes seguida, uma vez que, além de ser muito preciso, que se baseia em manifestações encontrados pelo próprio Arquimedes". Em um texto do século 12 intitulado Mappae clavícula há instruções sobre como realizar as pesagens na água, a fim de calcular a percentagem de prata utilizada, e, portanto, resolver o problema. O poema Latina Carmen de ponderibus et mensuris do quarto ou quinto século descreve a utilização de uma balança hidrostática para resolver o problema da coroa, e atribui o método de Arquimedes.

Parafuso de Arquimedes

O Parafuso de Arquimedes pode elevar a água de forma eficiente.

Uma grande parte do trabalho de Arquimedes em engenharia surgiu de cumprir as necessidades de sua casa na cidade de Syracuse. O escritor grego Ateneu de Naucratis descrito como o rei Hiero II encomendou Archimedes para projetar um navio enorme, o Siracusia, que poderia ser usado para viagens de luxo, transportando suprimentos, e como um navio de guerra naval. O siracusia se diz ter sido o maior navio construído na antiguidade clássica. De acordo com o Ateneu, era capaz de transportar 600 pessoas e inclui decorações de jardim, um ginásio e um templo dedicado à deusa Afrodite entre suas instalações. Uma vez que um navio desse tamanho vazar uma quantidade considerável de água através do casco, o Parafuso de Arquimedes foi supostamente desenvolvido, a fim de remover a água de esgoto. Máquina de Arquimedes era um dispositivo com uma lâmina em forma de parafuso rotativo no interior de um cilindro. Foi transformado com a mão, e poderia também ser usado para transferir a água de um corpo de água menor que encontra-se em canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes ainda está em uso hoje para bombear líquidos e sólidos granulados, tais como carvão e grãos. O parafuso de Arquimedes descrito no tempo dos romanos por Vitruvius pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usado para irrigar o Jardins Suspensos da Babilônia. Primeiro de mar do mundo navio a vapor com uma hélice em parafuso foi o SS Archimedes, que foi lançado em 1839 e nomeado em honra de Arquimedes e seu trabalho sobre o parafuso.

Garra de Archimedes

O Garra de Archimedes é uma arma que ele se diz ter concebido a fim de defender a cidade de Syracuse. Também conhecido como "agitador navio," a garra consistiu de um braço do guindaste-como a partir do qual um grande gancho de metal de luta foi suspensa. Quando a garra foi solto em um navio de atacar o braço iria balançar para cima, levantando o navio para fora da água e, possivelmente, afundando-o. Houve experimentos modernos para testar a viabilidade da garra, e em 2005 um documentário de televisão intitulado Superarmas do Mundo Antigo construiu uma versão da garra e concluiu que era um dispositivo viável.

Raio de calor

Arquimedes pode ter usado espelhos agindo coletivamente como uma refletor parabólico para queimar navios atacando Syracuse.

O AD autor do século 2 Lucian escreveu que, durante o Cerco de Syracuse (c. 214-212 aC), Arquimedes destruído navios inimigos com fogo. Séculos mais tarde, Anthemius de Tralles menciona queimando-óculos como arma de Arquimedes. O dispositivo, chamado às vezes o "Archimedes raio de calor", foi usada para concentrar a luz solar em navios que se aproximam, levando-os a pegar fogo.

Esta arma suposta tem sido objecto de debate em curso sobre a sua credibilidade desde o Renascimento. René Descartes rejeitou-a como falsa, enquanto pesquisadores modernos tentaram recriar o efeito, utilizando apenas os meios que teria sido disponíveis para Arquimedes. Tem sido sugerido que uma grande variedade de altamente polido bronze ou cobre escudos na qualidade de espelhos poderiam ter sido utilizados para concentrar a luz solar para um navio. Isto teria utilizado o princípio da reflector parabólico de um modo semelhante a um forno solar.

Um teste do raio de calor Archimedes foi realizado em 1973 pelo cientista grego Ioannis Sakkas. O experimento teve lugar no Skaramagas base naval fora de Atenas . Nesta ocasião, foram usadas 70 espelhos, cada um com um revestimento de cobre e um tamanho de cerca de cinco por três pés (1,5 m) por um. Os espelhos foram apontados em um contraplacado mock-up de um navio de guerra romano a uma distância de cerca de 160 pés (50 m). Quando os espelhos foram focalizados com precisão, o navio pegou fogo dentro de alguns segundos. O navio de contraplacado tinha um revestimento de pintura de alcatrão, o que pode ter ajudado a combustão. Um revestimento de alcatrão teria sido comuns em navios na era clássica.

Em outubro de 2005, um grupo de estudantes da Massachusetts Institute of Technology realizado um experimento com 127 de um pé (30 cm) telhas do espelho quadrado, com foco em um navio de madeira mock-up em uma faixa de cerca de 100 pés (30 m). As chamas irromperam em um remendo do navio, mas só depois de o céu tinha sido sem nuvens eo navio tinha ficado parado por cerca de dez minutos. Concluiu-se que o aparelho era uma arma viável sob estas condições. O grupo do MIT repetiu a experiência para o programa de televisão MythBusters, usando um barco de pesca de madeira em San Francisco como o alvo. Novamente alguns carbonização ocorreu, juntamente com uma pequena quantidade de chama. A fim de pegar fogo, madeira precisa para chegar ao seu Temperatura de auto-ignição, que é de cerca de 300 ° C (570 ° F).

Quando MythBusters transmitir o resultado da experiência San Francisco em janeiro de 2006, o pedido foi colocado na categoria de "preso" (ou não) por causa do período de tempo e as condições climáticas ideais necessários para a combustão para ocorrer. Também foi apontado que desde Syracuse virado para o mar para o leste, a frota romana teria de atacar durante a manhã para reunir ideal de luz pelos espelhos. MythBusters também apontou que o armamento convencional, como flechas flamejantes ou parafusos de uma catapulta, teria sido uma maneira muito mais fácil de configurar um navio em chamas em distâncias curtas.

Em dezembro de 2010, MythBusters novamente olhou para a história raio de calor em uma edição especial caracteriza Barack Obama , Desafio, intitulada do presidente. Vários experimentos foram realizados, incluindo um teste de grande escala com 500 crianças em idade escolar com o objetivo espelhos em um mock-up de um veleiro Roman 400 pés (120 m) de distância. Em todas as experiências, a vela não conseguiram chegar a 210 ° C (410 ° F) necessários para pegar fogo, e o veredicto foi novamente "preso". O show concluiu que um efeito mais provável dos espelhos teriam sido ofuscante, deslumbrante, ou distrair a tripulação do navio.

Outras descobertas e invenções

Enquanto Archimedes não inventou o alavanca, ele deu uma explicação do princípio envolvido em seu trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos. As descrições anteriores da alavanca são encontrados no Escola peripatética dos seguidores de Aristóteles , e às vezes são atribuídas a Archytas. Conforme Pappus de Alexandria, o trabalho de Arquimedes sobre alavancas levou a observação: "Dê-me um ponto de apoio e eu moverei a Terra". ( grego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω) Plutarco descreve como Archimedes projetou bloqueio e enfrentar sistemas de roldanas, permitindo que os marinheiros de usar o princípio da alavanca para levantar objetos que teriam sido demasiado pesado para se mover. Archimedes também foi creditado com a melhoria da potência e precisão do catapulta, e com a invenção do odômetro durante o Primeira Guerra Púnica. O odômetro foi descrito como um carrinho com um mecanismo de engrenagem que deixou cair uma bola em um recipiente depois de cada milha percorrida.

Cícero (106-43 aC) menciona brevemente em seu Archimedes diálogo De re publica, que retrata uma conversa fictícia ocorrendo em 129 aC. 212 aC, o general após a captura de Syracuse c. Marcus Claudius Marcellus disse ter levado de volta a Roma dois mecanismos, construído por Arquimedes e utilizadas como coadjuvantes na astronomia, que mostrou o movimento do Sol, da Lua e cinco planetas. Cícero menciona mecanismos semelhantes personalizados por Tales de Mileto e Eudoxo de Cnido. O diálogo diz que Marcellus manteve um dos dispositivos como o seu único saque pessoal de Siracusa, e doou o outro para o Temple of Virtue em Roma. Foi demonstrado mecanismo Marcellus ", de acordo com Cícero, por Caio Sulpício para Gallus Lucius Furius Philus, que descreveu-o assim:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus em aere illo quot diebus em ipso caelo succederet, ex quo et em caelo Sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum em eam metam quae ESSET umbra terrae, cum sol e regione . - Quando Gallus mudou o mundo, aconteceu que a Lua seguido do Sol pelo maior número de voltas sobre esse artifício bronze como no próprio céu, a partir da qual também no céu globo da Sun tornou-se ter o mesmo eclipse, e da Lua veio em seguida, a essa posição que foi sua sombra sobre a Terra, quando o Sol estava em linha.

Esta é a descrição de um planetário ou planetário. Pappus de Alexandria afirma que Arquimedes tinha escrito um manuscrito (agora perdido) sobre a construção de esses mecanismos de direito Em Sphere-Making. A pesquisa moderna nesta área tem sido focada na Mecanismo de Antikythera, um outro dispositivo da Antiguidade clássica que, provavelmente, foi projetado para o mesmo fim. A construção de mecanismos deste tipo teria exigido um conhecimento sofisticado de engrenagem diferencial. Este já foi pensado para ter sido além do alcance da tecnologia disponível, nos tempos antigos, mas a descoberta do mecanismo de Antikythera em 1902 confirmou que os dispositivos deste tipo eram conhecidos dos antigos gregos.

Matemática

Enquanto ele é frequentemente considerado como um designer de dispositivos mecânicos, Archimedes também fez contribuições para o campo da matemática. Plutarco escreveu: "Ele colocou toda a sua afeição e ambição nessas especulações mais puras, onde não pode haver referência às necessidades vulgares da vida."

Arquimedes utilizado Teorema de Pitágoras para calcular o lado do 12-gon da do hexágono para cada duplicação e posterior dos lados do polígono regular.

Arquimedes foi capaz de usar infinitesimais de uma forma que é semelhante ao moderno cálculo integral . Através de prova por contradição ( reductio ad absurdum), ele poderia dar respostas para os problemas a um grau de precisão arbitrária, enquanto especificando os limites dentro dos quais a resposta leigos. Esta técnica é conhecida como a método da exaustão, e ele empregava para aproximar o valor de π. Em Medição de um círculo que ele fez isso através da elaboração de uma maior hexágono regular fora de um círculo e um hexágono regular menor dentro do círculo, e dobrando progressivamente o número de lados de cada polígono regular, calculando o comprimento de um lado de cada polígono em cada passo. À medida que o número de lados aumenta, torna-se uma aproximação mais precisa de um círculo. Depois de quatro tais medidas, quando os polígonos tiveram 96 cada lados, ele foi capaz de determinar que o valor de π ficava entre 3 1/7 (aproximadamente 3,1429) e 3 10/71 (aproximadamente 3,1408), de acordo com o seu valor real de aproximadamente 3,1416. Ele também provou que a área de um círculo era igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo (πr 2). Em Sobre a Esfera eo Cilindro, Archimedes postula que qualquer magnitude, quando adicionado a si mesmo bastante vezes será superior a uma determinada magnitude. Isto é o Arquimedes propriedade de números reais.

Em Medida do Círculo, Archimedes dá o valor da raiz quadrada de 3 como situada entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) e 1351/780 (aproximadamente 1,7320512). O valor real é de aproximadamente 1.7320508, tornando esta uma estimativa muito preciso. Ele introduziu este resultado sem oferecer qualquer explicação de como ele havia obtido. Este aspecto do trabalho de Arquimedes causado John Wallis a observação de que ele era: "como se fosse de propósito conjunto de ter encoberto os traços de sua investigação, como se tivesse ressentiram posteridade o segredo de seu método de investigação, enquanto ele queria extorquir-los concordar com os resultados." É possível que ele utilizado um processo iterativo para calcular esses valores.

Como provado por Arquimedes, a área da segmento parabólico na figura superior é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na figura inferior.

Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha recta é 4/3 vezes a área de um inscrito correspondente triângulo como mostrado na figura à direita. Ele expressa a solução para o problema de como um infinito série geométrica com o rácio comum quarto:

\ Sum_ {n = 0} ^ \ infty 4 ^ {- n} = 1 + 4 ^ {- 1} + 4 ^ {- 2} + 4 ^ {- 3} + \ cdots = {4} \ over 3. \;

Se o primeiro termo nesta série é a área do triângulo, em seguida, a segunda é a soma das áreas dos dois triângulos cujas bases são os dois menor linhas secantes, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que resume a 1/3.

Em The Sand Reckoner, Archimedes estabelecido para calcular o número de grãos de areia que o universo poderia conter. Ao fazer isso, ele desafiou a noção de que o número de grãos de areia era muito grande para ser contado. Ele escreveu: "Há alguns, Rei Gelo (Gelo II, filho de Hiero II), que pensam que o número de areia é infinito; e eu quero dizer com a areia não só o que existe em Siracusa e no resto da Sicília, mas também o que é encontrado em todas as regiões se habitada ou desabitada. "Para resolver o problema, Arquimedes concebeu um sistema de contagem com base no miríade. A palavra é do Murias μυριάς grego, para o número 10.000. Ele propôs um sistema de número usando poderes de miríades de miríades (100 milhões) e concluiu que o número de grãos de areia necessários para encher o universo seria 8 vigintillion, 8 × 10 ou 63.

Escritos

As obras de Arquimedes foram escritos em Dórico grego, o dialeto do antigo Syracuse. O trabalho escrito de Archimedes não sobreviveu, bem como a de Euclides , e sete dos seus tratados são conhecidos por ter existido apenas através de referências feitas a eles por outros autores. Pappus de Alexandria menciona Em Sphere-Making e outro trabalho sobre poliedros , enquanto Theon de Alexandria cita uma observação sobre refracção do Catoptrica agora perdidos. Durante sua vida, Arquimedes fez o seu trabalho conhecido por meio de correspondência com os matemáticos em Alexandria . Os escritos de Arquimedes foram coletados pelo bizantino arquiteto Isidoro de Mileto (c. 530 dC), enquanto comentários sobre as obras de Archimedes escritos por Eutocius no século VI dC ajudou a trazer o seu trabalho a um público mais vasto. Trabalho de Arquimedes foi traduzido para o árabe por Thabit ibn Qurra (836-901 AD), e latim por Gerard de Cremona (c. 1114-1187 dC). Durante o Renascimento , o Editio Princeps (First Edition) foi publicado em Basileia em 1544 por Johann Herwagen com as obras de Arquimedes em grego e latim. Por volta do ano 1586 Galileo Galilei inventou uma balança hidrostática para pesar metais no ar e na água depois de aparentemente ter sido inspirado pelo trabalho de Arquimedes.

Sobrevivendo obras

Archimedes é dito ter comentou da alavanca: Dê-me um ponto de apoio, e eu moverei a Terra.
  • Sobre o Equilíbrio dos Planos (dois volumes)
O primeiro livro é em quinze proposições com sete postula, enquanto o segundo livro é em dez proposições. Neste trabalho Arquimedes explica o Lei da Alavanca, afirmando: "Grandezas estão em equilíbrio em distâncias reciprocamente proporcionais ao seu peso."
Archimedes utiliza os princípios derivados para calcular as áreas e centros de gravidade de várias figuras geométricas, incluindo triângulos , paralelogramos e parábolas.
  • Na Medida do Círculo
Este é um pequeno trabalho que consiste em três proposições. Ele é escrito na forma de uma correspondência com Dositheus de Pelusa, que era um estudante de Conon de Samos. Em Proposição II, Archimedes dá uma aproximação do valor de pi (π), mostrando que é superior a 223/71 e inferior a 22/7.
  • Em Espirais
Este trabalho de 28 proposições também é dirigida a Dositheus. O tratado define o que hoje é chamado de Espiral de Arquimedes. É o lugar geométrico dos pontos que correspondem aos locais ao longo do tempo de um ponto que se move de distância a partir de um ponto fixo com uma velocidade constante ao longo de uma linha que roda com uma constante de velocidade angular . De modo equivalente, em coordenadas polares (r, θ) que pode ser descrito pela equação
\, R = a + b \ teta
com números reais a e b. Este é um exemplo precoce de uma curva de mecânica (a curva traçada por um movimento ponto) considerado por um matemático grego.
  • Sobre a Esfera eo Cilindro (dois volumes)
Neste tratado os destinatários Dositheus, Arquimedes obtém o resultado de que ele era o mais orgulhoso, ou seja, a relação entre uma esfera e um circunscrito cilindro de a mesma altura e diâmetro . O volume é de 4/3 π R 3 para a esfera, e 2 π R 3 para o cilindro. A área de superfície é 4 π R 2 para a esfera, e 6 π R 2 para o cilindro (incluindo as suas duas bases), onde r é o raio da esfera e do cilindro. A esfera tem um volume de dois terços que do cilindro circunscrito. Da mesma forma, a esfera tem uma área de dois terços da do cilindro (incluindo as bases). Uma esfera esculpido e cilindro foram colocadas no túmulo de Arquimedes, a seu pedido.
  • Em Conoids e Spheroids
Este é um trabalho em 32 proposições endereçadas a Dositheus. Neste tratado Archimedes calcula as áreas e volumes de secções cones, esferas e parabolóides.
  • Sobre os Corpos Flutuantes (dois volumes)
Na primeira parte deste tratado, Archimedes enuncia a lei da equilíbrio de fluidos, e mostra que a água vai adoptar uma forma esférica em torno de um centro de gravidade. Este pode ter sido uma tentativa de explicar a teoria de astrônomos gregos contemporâneos, tais como Eratóstenes de que a Terra é redonda. Os fluidos descritos por Arquimedes não são auto-gravitacionais, desde que ele assume a existência de um ponto para o qual todas as coisas cair, a fim de obter a forma esférica.
Na segunda parte, ele calcula as posições de equilíbrio de seções de parabolóides. Esta foi provavelmente uma idealização das formas de cascos de navios. Algumas de suas seções flutuar com a base debaixo de água e a cúpula acima da água, similar à maneira que icebergs flutuam. Princípio de Arquimedes do empuxo é dada no trabalho, afirmou o seguinte:
Qualquer corpo total ou parcialmente imerso em um fluido sofre um impulso para cima igual a, mas opostas em sentido, o peso do líquido deslocado.
  • A quadratura da parábola
Neste trabalho de 24 proposições endereçadas a Dositheus, Archimedes prova por dois métodos que a área delimitada por uma parábola e uma linha recta é multiplicado por 4/3 da área de um triângulo com igual base e altura. Ele consegue isso calculando o valor de um série geométrica que resume ao infinito com a razão 1/4.
  • (O) Stomachion
Isto é um quebra-cabeça semelhante a uma dissecção Tangram, eo tratado descrevendo verificou-se na forma mais completa no Archimedes Palimpsest. Arquimedes calcula as zonas das partes 14 que podem ser montadas para formar um quadrado . Pesquisa publicada pelo Dr. Reviel Netz de Universidade de Stanford em 2003 argumentou que Arquimedes estava tentando determinar quantas maneiras as peças podem ser montadas em forma de um quadrado. Netz calcula que as peças podem ser feitas em uma praça 17.152 maneiras. O número de acordos é 536 quando as soluções que são equivalentes por rotação e reflexão foram excluídos. O quebra-cabeça representa um exemplo de um problema no início combinatória .
A origem do nome do quebra-cabeça não é clara, e tem sido sugerido que ele é retirado do grego antigo palavra para a garganta ou esófago, stomachos (στόμαχος). Ausónio refere-se ao quebra-cabeça como stomachion, uma palavra grega composta formada a partir das raízes de ὀστέον (osteon, osso) e μάχη (Mache - luta). O quebra-cabeça é também conhecido como o lóculo de Arquimedes ou caixa de Arquimedes.
  • Arquimedes problema gado
Este trabalho foi descoberto por Gotthold Ephraim Lessing em um manuscrito grego que consiste em um poema de 44 linhas, na Biblioteca Herzog em agosto Wolfenbüttel, Alemanha em 1773. É dirigido a Eratóstenes e os matemáticos em Alexandria. Archimedes desafia-os a contar os números de gado no rebanho do Sol, resolvendo uma série de simultânea Equações diofantinas. Existe uma versão mais difícil do problema em que algumas das respostas são obrigados a ser números de quadrados. Esta versão do problema foi resolvido pela primeira vez por A. Amthor em 1880, ea resposta é um número muito grande, cerca de 7,760271 × 10 206544.
  • The Sand Reckoner
Neste tratado, Archimedes conta o número de grãos de areia que se encaixam dentro do universo. Este livro menciona o heliocêntrico teoria do sistema solar proposto por Aristarco de Samos, bem como idéias contemporâneas sobre o tamanho da Terra ea distância entre vários corpos celestes. Ao utilizar um sistema de números com base em poderes do infinidade, Archimedes conclui que o número de grãos de areia necessária para encher o universo é de 8 × 10 63 em notação moderna. A carta de apresentação afirma que o pai de Arquimedes foi um astrônomo chamado Phidias. The Sand Reckoner ou Psammites é o único trabalho sobreviver em que Arquimedes discute seus pontos de vista sobre astronomia.
  • O Método de Teoremas Mecânicos
Este tratado foi pensado perdido até a descoberta da Archimedes Palimpsest em 1906. Neste trabalho Archimedes utiliza infinitesimais, e mostra como que quebram-se uma figura num número infinito de infinitamente pequenas peças pode ser utilizado para determinar a sua área ou volume. Arquimedes pode ter considerado este método falta de rigor formal, para que ele também usou o método de exaustão para derivar os resultados. Como com o problema do gado, o método de Mecânica Teoremas foi escrito na forma de uma carta para Eratóstenes em Alexandria .

Obras apócrifas

Arquimedes ' Livro de Lemas ou Liber Assumptorum é um tratado com quinze proposições sobre a natureza dos círculos. A cópia mais antiga conhecida do texto está em ?rabe . Os estudiosos TL Heath e Marshall Clagett argumentou que não pode ter sido escrito por Arquimedes na sua forma actual, uma vez que cita Archimedes, sugerindo modificação por outro autor. O Lemas pode basear-se num trabalho anterior de Arquimedes que agora é perdida.

Também foi alegado que Fórmula de Heron para calcular a área de um triângulo do comprimento dos seus lados era conhecido por Arquimedes.No entanto, a primeira referência confiável para a fórmula é dada porHeron de Alexandria, no século 1 dC.

Archimedes Palimpsest

Stomachioné umquebra-cabeça dissecção noArchimedes Palimpsest.

O documento principal que contém o trabalho de Arquimedes é o Archimedes Palimpsest. Em 1906, o professor dinamarquês Johan Ludvig Heiberg visitou Constantinopla e examinou a pele de cabra 174 páginas de pergaminho de orações escritas no século 13. Ele descobriu que era um palimpsesto, um documento com o texto que tinha sido escrito sobre um trabalho mais antigo apagado. Palimpsestos foram criados por raspagem da tinta das obras existentes e reutilizando-os, o que era uma prática comum na Idade Média como velino era caro. As obras mais antigas do palimpsesto foram identificados por estudiosos como 10 cópias século AD de tratados previamente desconhecidos por Archimedes. O pergaminho gastou centenas de anos em uma biblioteca do mosteiro em Constantinopla antes de ser vendido para um colecionador particular em 1920. Em 29 de outubro de 1998, foi vendido em um leilão para um comprador anônimo por US $ 2 milhões em Christie, em Nova Iorque . O palimpsesto detém sete tratados, incluindo a cópia único sobrevivente de nos corpos flutuantes no original grego. É a única fonte conhecida de O Método de Mecânica Teoremas , referido por Suidas e pensado para ter sido perdido para sempre. Stomachion também foi descoberto no palimpsesto, com uma análise mais completa do quebra-cabeça que tinha sido encontrada em textos anteriores. O palimpsesto está agora armazenado no Museu de Arte Walters, em Baltimore, Maryland, onde foi submetido a uma série de testes modernos, incluindo o uso de ultravioleta e raios-x luz para ler o texto substituído.

Os tratados no Archimedes Palimpsest são:Sobre o Equilíbrio dos Planos, em espirais, Medida do Círculo, Sobre a Esfera eo Cilindro, Sobre os Corpos Flutuantes, o método de Teoremas MecânicoseStomachion.

Legado

O Medalha Fields traz um retrato de Arquimedes.
  • Existe um cratera naLuanomeadoArchimedes (29,7 ° N, 4,0 ° W) em sua honra, assim como uma gama lunar montanha, oMontes Archimedes (25,3 ° N, 4,6 ° W).
  • Oasteróide 3600 Archimedes é nomeado após ele.
  • O Medalha Fields para a realização proeminente em matemática traz um retrato de Arquimedes, juntamente com uma escultura que ilustra sua prova sobre a esfera eo cilindro. A inscrição ao redor da cabeça de Archimedes é uma citação atribuída a ele, que lê em latim: "transire suum pectus mundoque potiri" (Eleve-se acima de si mesmo e compreender o mundo).
  • Arquimedes apareceu em selos postais emitidos pelaAlemanha Oriental (1973),a Grécia(1983),Itália(1983),Nicarágua(1971),San Marino(1982) eEspanha(1963).
  • A exclamação de Eureka! atribuída a Arquimedes é a divisa do estado de Califórnia . Neste caso a palavra refere-se à descoberta de ouro perto de moinho de Sutter, em 1848, o que provocou o California Gold Rush.
  • Um movimento de engajamento cívico objetivando o acesso universal aos cuidados de saúde no Estado americano deOregon, foi nomeado o "Archimedes Movimento", liderada pelo ex-governador OregonJohn Kitzhaber.

Os trabalhos de Archimedeson-line

  • Texto em grego clássico:scans PDF da edição de Heiberg das obras de Arquimedes, agora no domínio público
  • Na tradução Inglês: Os trabalhos de Arquimedes , trans. TL Heath; complementadas por O Método de Mecânica Teoremas , trans. LG Robinson
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