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Aritmética

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Tabelas aritméticas para crianças, Lausanne, 1835

Aritmética ou aritmética (do grego palavra ἀριθμός, arithmos " Número ") é o ramo mais antigo e mais elementar de matemática , usado por quase todos, para tarefas que vão desde simples do dia-a-dia a contar para avançados de ciência e negócios cálculos. Trata-se o estudo da quantidade , especialmente como resultado de operações que combinam números. No uso comum, refere-se às propriedades mais simples quando se usa o tradicional operações de adição , subtração , multiplicação e divisão com menores valores de números. Profissionais matemáticos às vezes usam o termo aritmética (superior) quando se refere a resultados mais avançados relacionados com a teoria dos números , mas isso não deve ser confundido com aritmética elementar .

História

A pré-história da aritmética é limitada a um pequeno número de artefatos que podem indicar concepção de adição e subtração, o mais conhecido sendo o osso Ishango da ?frica Central , que data de algum lugar entre 20.000 e 18.000 aC, embora a sua interpretação é contestada.

Os primeiros registros escritos indicam a Egípcios e Babilônios usado todas as operações aritméticas elementares tão cedo quanto 2000 aC. Estes artefactos nem sempre revelar o processo específico utilizado para a resolução de problemas, mas as características do particular sistema de numeração influenciar fortemente a complexidade dos métodos. O sistema hieroglífica para Numerais egípcios, como os posteriores algarismos romanos , descendentes de marcas de registro usado para contagem. Em ambos os casos, esta origem resultou em valores que utilizaram um decimal de base, mas não inclui notação posicional. Cálculos complexos com algarismos romanos necessária a assistência de um contando bordo ou o ?baco Roman para obter os resultados.

Os primeiros sistemas numéricos que incluíram notação posicional não eram decimal, incluindo o sexagesimal (base 60) do sistema para Numerais babilônios e os vigesimal (20 base) sistema que definiu Numeração maia. Devido a este conceito de valor lugar, a capacidade de reutilizar os mesmos dígitos para valores diferentes contribuíram para métodos mais simples e mais eficientes de cálculo.

O desenvolvimento histórico contínuo de aritmética moderna começa com a Helenístico civilização da Grécia antiga, embora ela se originou muito mais tarde do que o babilônico e exemplos egípcios. Antes das obras de Euclides cerca de 300 aC, Estudos gregos em matemática sobreposto com convicções filosóficas e místicas. Por exemplo, Nicômaco resumiu o ponto de vista do anterior Abordagem de Pitágoras para números, e suas relações entre si, em seu Introdução à Aritmética.

Numerais gregos, derivadas do sistema egípcio hierático, também não dispunha notação posicional, e, portanto, imposta a mesma complexidade sobre as operações básicas de aritmética. Por exemplo, o antigo matemático Arquimedes dedicou toda a sua obra The Sand Reckoner meramente para inventar uma notação para um determinado número inteiro grande.

O desenvolvimento gradual de Algarismos hindu-arábicos elaborada de forma independente o conceito de valor local e notação posicional, que combinou os métodos mais simples para cálculos com uma base decimal eo uso de um dígito que representa de zero . Isto permitiu que o sistema para representar consistentemente grandes e pequenos números inteiros. Essa abordagem eventualmente substituído todos os outros sistemas. No início do século 6 dC, o matemático indiano Aryabhata incorporada uma versão existente deste sistema em seu trabalho, e experimentou com diferentes notações. No século 7, Brahmagupta estabelecida a utilização de zero como um número separado e determinado os resultados para multiplicação, divisão, adição e subtracção de zero e todos os outros números, excepto para o resultado de divisão por zero. Seu contemporâneo, o Bispo sírio Severus Sebokht descreveu a excelência deste sistema como "... métodos valiosos de cálculo que ultrapassam descrição". Os árabes também aprendeu este método novo e chamou-lhe hesab.

Leibniz Pisou Reckoner foi a primeira calculadora que poderia realizar todas as quatro operações aritméticas.

Apesar de Codex Vigilanus descrito uma forma primitiva de algarismos arábicos (omitindo zero) por 976 AD, Fibonacci foi o principal responsável por espalhar a sua utilização em toda a Europa após a publicação de seu livro Liber Abaci em 1202. Ele considerou o significado dessa representação "novo" de números, que ele denominou o "Método dos índios" (latim Modus Indorum), tão fundamental que todas relacionadas fundamentos matemáticos, incluindo os resultados de Pitágoras eo algorism descrevendo os métodos para a realização de cálculos reais, estavam "quase um erro" em comparação.

Nas idades médias , a aritmética era um dos sete artes liberais ministrados em universidades.

O florescimento da álgebra no medieval islâmico mundo e no Renascimento Europa era uma conseqüência da enorme simplificação dos computação através decimal notação.

Existem vários tipos de ferramentas para auxiliar nos cálculos numéricos. Exemplos incluem réguas de cálculo (por multiplicação, divisão e trigonometria) e nomogramas para além do eléctrica calculadora .

As operações aritméticas

As operações aritméticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, embora este assunto também inclui operações mais avançadas, tais como as manipulações de percentagens , raízes quadradas , a exponenciação e funções logarítmicas . Aritmética é realizada de acordo com um ordem de operações. Qualquer conjunto de objetos sobre os quais todas as quatro operações aritméticas (exceto a divisão por zero) pode ser realizada e, onde estas quatro operações obedecem às leis usuais, é chamado de campo.

Adição (+)

Além é o funcionamento básico da aritmética. Na sua forma mais simples, adição combina dois números, ou os adendos termos, para um número único, a soma dos números.

A adição de mais do que dois números podem ser vistos como adição repetida; este procedimento é conhecido como soma e inclui maneiras de adicionar infinitamente muitos números em uma infinita série; adição repetida o número de um , é a forma mais básica de contando.

Adição é comutativa e associativa por isso a ordem dos termos são adicionados em não importa. O elemento de identidade de adição (o identidade aditivo) é 0, isto é, a adição de 0 a qualquer número rendimentos que mesmo número. Além disso, o elemento inversa de adição (o aditivo inversa) é o oposto de qualquer número, isto é, adicionando o oposto de qualquer número de que o próprio número de identidade produz o aditivo, 0. Por exemplo, a oposta, de 7 -7 é, de modo 7 + (-7) = 0 .

Além pode ser dada geometricamente como no exemplo a seguir:

Se tivermos duas varas de comprimentos de 2 e 5, em seguida, se colocar as varas um após o outro, o comprimento da vara assim formado é 2 + 5 = 7.

A subtracção (-)

A subtração é o oposto de adição. Subtração encontra a diferença entre dois números, o minuendo menos o subtraendo. Se o minuendo é maior do que o subtraendo, a diferença for positiva; Se o minuendo é menor do que o subtraendo, a diferença é negativo; se forem iguais, a diferença é zero.

A subtração é nem comutativa nem associativa. Por essa razão, é muitas vezes útil para olhar para subtração como adição do diminuendo e o oposto do subtraendo, que é a - b = a + (- b). Quando escrito como uma soma, todas as propriedades de adição preensão.

Existem vários métodos para calcular os resultados, alguns dos quais são particularmente vantajoso para o cálculo da máquina. Por exemplo, computadores digitais empregar o método de complemento de dois. De grande importância é o método contando-se por que a mudança é feita. Suponha que uma quantidade P é dado a pagar o montante exigido Q, com P superior a Q. Em vez de executar a subtração P - Q e contando essa quantia em mudança, o dinheiro é contado a partir de Q e continuando até chegar a P. Embora o montante contado para fora deve ser igual ao resultado da subtração P - Q, a subtração nunca foi realmente feito e que o valor de P - Q pode ainda ser desconhecido para a mudança-maker.

Multiplicação (× ou · ou *)

A multiplicação é a segunda operação básica de aritmética. Multiplicação também combina dois números em um único número, o produto. Os dois números originais são chamados o multiplicador e multiplicando, às vezes chamado simplesmente de ambos os fatores.

Multiplicação é melhor visualizado como uma operação de escala. Se os números são imaginados como estando em linha, a multiplicação por um número, digamos x, maior do que 1 é o mesmo que o alongamento tudo de 0 uniformemente, de tal maneira que o próprio número 1 é esticada para onde X era. Da mesma forma, a multiplicação por um número menor do que 1 pode ser imaginado como espremendo direcção 0. (Mais uma vez, de tal maneira que 1 vai para o multiplicando).

A multiplicação é comutativa e associativa; é ainda mais distributivos sobre adição e subtração. A identidade multiplicativo é 1, isto é, multiplicação por um número qualquer rendimento que mesmo número. Além disso, o multiplicativo inverso é a recíproco de qualquer número (com excepção do zero; zero é o único sem um número multiplicativo inverso), que é, multiplicando o inverso de qualquer número ao número si produz a identidade multiplicativa.

O produto de a e b é escrito como uma × b ou umb. Quando a ou b são expressões escritas não simplesmente com dígitos, também é escrito por simples justaposição: ab. Em linguagens de programação de computadores e pacotes de software no qual só se pode usar caracteres normalmente encontrados em um teclado, muitas vezes é escrito com um asterisco: a * b.

Divisão (÷ ou /)

A divisão é essencialmente o contrário da multiplicação. Divisão encontra o quociente entre dois números, o dividendo dividido pelo divisor. Qualquer dividendo dividido por zero é indefinida. Para os números positivos, se o dividendo for maior do que o divisor, o quociente é maior do que um, caso contrário, é menos do que um (a regra semelhante aplica-se para números negativos). O quociente multiplicado pelo divisor sempre produz o dividendo.

Divisão não é nem comutativa nem associativa. Como é útil olhar para subtração como a adição, é útil olhar para a divisão como a multiplicação dos tempos de dividendos a recíproco do divisor, que é um ÷ b = a 1 × / b. Quando escrito como um produto, que obedece a todas as propriedades de multiplicação.

Aritmética decimal

Representação decimal se refere exclusivamente, no uso comum, para a escrita sistema numeral empregando algarismos árabes como os dígitos para um radix 10 ("decimal") notação posicional; no entanto, qualquer sistema numérico baseado em potências de 10, por exemplo, Grega, Cirílico, Roman , ou Chineses numerais pode conceitualmente ser descrito como "notação decimal" ou "representação decimal".

Os métodos modernos de quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) foram concebidos pela primeira vez por Brahmagupta da ?ndia. Este foi conhecido durante Europa medieval como "Modus Indoram" ou Método dos índios. Notação posicional (também conhecido como "valor anotação-place") refere-se à representação e codificação de números utilizando o mesmo símbolo para o diferente ordens de grandeza (por exemplo, o "lugar queridos", "dezenas lugar", "centenas lugar") e, com um ponto da raiz, usando os mesmos símbolos para representar frações (por exemplo, o "décimo lugar", "centésimos lugar"). Por exemplo, 507,36 denota cinco centenas (10 2), além de dezenas (0 10 1), além de sete unidades (10 0), além de 3/10 (10 -1), além de 6/100 (10 -2).

Zero como um número comparável com os outros dígitos básicos é um conceito que é essencial para esta notação, como é o conceito de utilização de zero de como um marcador de posição, e como é a definição de multiplicação e adição com zero. A utilização de zero como um marcador de posição e, por conseguinte, a utilização de uma notação posicional é primeiro atestadas pela Jain texto da ?ndia direito a Lokavibhâga, datado de 458 dC e foi só no início do século 13 que estes conceitos, transmitidos através da bolsa de estudos do mundo árabe, foram introduzidos na Europa por Fibonacci usando o Sistema de numeração hindu-arábico.

Algorism compreende todas as regras para a realização de cálculos aritméticos utilizando este tipo de numeral escrito. Por exemplo, a adição produz a soma de dois números arbitrários. O resultado é calculado através da adição repetida de um dígito de cada número que ocupa a mesma posição, procedendo a partir da direita para a esquerda. Uma mesa de adição com dez linhas e dez colunas exibe todos os valores possíveis para cada soma. Se um valor individual excede o valor de nove, o resultado é representado com dois dígitos. O dígito mais à direita é o valor para a posição actual, e o resultado para a adição subsequente dos dígitos para os aumentos deixadas pelo valor da segunda (mais à esquerda) dígitos, que é sempre um. Este ajuste é chamado de carry do valor um.

O processo para a multiplicação de dois números arbitrários é semelhante ao processo de adição. A tabela de multiplicação com dez linhas e dez colunas lista os resultados para cada par de dígitos. Se um produto individual de um par de dígitos superior a nove, o ajustamento de transporte aumenta o resultado de uma multiplicação subsequente de dígitos para a esquerda por um valor igual ao segundo (mais à esquerda) dígitos, que é qualquer valor de um a oito (9 × 9 = 81). Etapas adicionais definir o resultado final.

Existem técnicas similares para subtração e divisão.

A criação de um processo para a multiplicação correcta baseia-se na relação entre os valores de dígitos adjacentes. O valor para qualquer um dígito em um numeral depende de sua posição. Além disso, cada posição à esquerda representa um valor de dez vezes maior do que a posição para a direita. Em termos matemáticos, o expoente para o raiz (base) de dez aumenta por um (para a esquerda) ou diminui por um (para a direita). Portanto, o valor para qualquer dígito arbitrária é multiplicado por um valor de a forma 10 com n inteiro n. A lista de valores correspondentes a todas as posições possíveis para um único dígito é escrito como {..., 10 2, 10, 1, 10 -1, 10 -2, ...}.

Multiplicação repetida de qualquer valor nessa lista por dez produz outro valor na lista. Na terminologia matemático, esta característica é definida como fechamento, ea lista anterior é descrito como fechado sob multiplicação. É a base para encontrar correctamente os resultados de multiplicação usando a técnica anterior. Este resultado é um exemplo das utilizações da teoria dos números .

Composto unidade aritmética

Composto unidade aritmética é a aplicação das operações aritméticas de quantidades Radix mistos, como pés e polegadas, galões e pintas, libras xelins e pence, e assim por diante. Antes da utilização de sistemas decimais à base de dinheiro e unidades de medida, o uso de aritmética unidade composto formado uma parte significativa do comércio e da indústria.

Operações aritméticas básicas

As técnicas utilizadas para aritmética unidade composto foi desenvolvido ao longo de muitos séculos e estão bem documentadas em muitos livros didáticos em muitas línguas diferentes. Para além das funções básicas aritméticas encontradas em aritmética decimal, unidade aritmética composto emprega mais três funções:

  • Redução em que uma quantidade de composto é reduzido para uma quantidade única, por exemplo a conversão de uma distância expressa em jardas, pés e polegadas a uma expresso em polegadas.
  • Expansão, a função inversa à redução, é a conversão de uma quantidade que é expressa como uma única unidade de medida para uma unidade de composto, tal como a expansão para 24 oz £ 1, 8 onças
  • A normalização é a conversão de um conjunto de unidades compostas de um formulário padrão - por exemplo reescrevendo "um pé 13 em" como "2 pés 1 pol".

O conhecimento da relação entre as várias unidades de medida, seus múltiplos e submúltiplos seus constitui uma parte essencial da aritmética unidade composto.

Princípios da aritmética unidade composto

Existem duas abordagens básicas para compõem aritmética unidade:

  • Método de redução de expansão, onde todas as variáveis unitários composto são reduzidos a variáveis unitários individuais, o cálculo realizado eo resultado estendido de volta para unidades compostas. Esta abordagem adequada para cálculos automatizados. Um exemplo típico é a manipulação de tempo por Microsoft Excel onde todos os intervalos de tempo são processadas internamente como dias e frações decimais de um dia.
  • Em curso método de normalização, em que cada unidade é tratado separadamente e continuamente o problema é normalizada como a solução desenvolve. Esta abordagem, que é amplamente descritos em textos clássicos, é mais adequado para os cálculos manuais. Um exemplo do método de normalização em curso, tal como aplicado a adição é mostrada abaixo.
Reino Unido pré-decimal moeda
4 farthings (f) = 1 centavo
12 moedas de um centavo (d) = 1 shilling
20 shillings (s) = 1 £ (R $)
MixedUnitAddition.svg

A operação de adição é levada a cabo da direita para a esquerda; neste caso, pence são processados em primeiro lugar, seguindo-se, em seguida, trocos libras. Os números abaixo da "linha de resposta" são resultados intermediários.

O total da coluna pence é 25. Uma vez que existem 12 moedas de um centavo em um xelim, o número 24 é dividido por 12 para dar 2 com um resto de 1. O valor "1" é então escrito para a linha de resposta eo valor " 2 "transitaram para a coluna de xelins. Esta operação é repetida usando os valores na coluna trocos, com o passo adicional de adição ao valor que foi levada para a frente a partir da coluna de moedas. O total intermediário é dividido por 20 em vez de 12, como há 20 xelins em uma libra. A coluna libra é então processado, mas como libras são a maior unidade que está sendo considerado, não há valores são transportados a partir da coluna de libras.

Deve notar-se que, por razões de simplicidade, o exemplo escolhido não têm asses.

Operações em prática

A escala calibrada em unidades imperiais com um display custo associado.

Durante os séculos 19 e 20 diferentes ajudas foram desenvolvidos para auxiliar a manipulação de unidades compostas, principalmente em aplicações comerciais. Os aparelhos mais comuns eram lavra mecânicos que foram adaptados em países como o Reino Unido para acomodar libras, xelins, moedas de um centavo e farthings e "Pronto" - livros de cálculo das destinadas a comerciantes que catalogadas os resultados de vários cálculos de rotina, como os percentuais ou múltiplos de várias somas de dinheiro. Um livreto típico que correu para 150 páginas tabuladas múltiplos "1-10000 nos vários preços de um centavo para £ 1".

A complexidade da aritmética unidade composto tem sido reconhecida por muitos anos - em 1586, o matemático Flamengo Simon Stevin publicou um pequeno panfleto chamado De Thiende ("a décima"), no qual ele declarou que a introdução universal de decimais cunhagem, medidas e pesos de ser apenas uma questão de tempo, enquanto na era moderna, muitos programas de conversão, tal como que encaixado na calculadora fornecido como uma parte padrão das unidades compostas exibição do sistema operacional Microsoft Windows 7 em um formato decimal reduzida ao invés de usar um formato expandido (ou seja, "2,5 pés" é exibido em vez de "2 ft 6 in").

Teoria dos números

A aritmética termo também se refere à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com primality , divisibilidade , eo solução de equações em números inteiros, assim como a pesquisa moderna, que é uma conseqüência deste estudo. É neste contexto que se atravessa o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas. A Course in Arithmetic por Jean-Pierre Serre reflete esse uso, como fazer tais frases como aritmética de primeira ordem ou geometria algébrica aritmética. A teoria dos números é também referida como a média aritmética maior, como no título O livro de Harold Davenport sobre o assunto.

Aritmética na educação

A educação primária em matemática, muitas vezes coloca um forte foco em algoritmos para a aritmética dos números naturais , inteiros , frações e decimais (que utilizam o sistema de valor casa decimal). Este estudo é conhecida como algorism.

A dificuldade ea aparência desmotivado destes algoritmos têm liderado os educadores a questionar esse currículo, defendendo o ensino precoce das idéias mais centrais e intuitivas matemáticas. Um movimento notável neste sentido foi a New Math dos anos 1960 e 1970, que tentou ensinar aritmética no espírito do desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos, um eco da tendência dominante na matemática superior.

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