Coeficiente binomial

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Em matemática , particularmente na análise combinatória , um coeficiente binomial é um coeficiente de qualquer um dos termos na expansão do binomial (x + y) ^n. Coloquialmente dado, dizer existem n coberturas de pizza para escolher, se se quiser assar uma pizza com k exatamente coberturas diferentes, então o coeficiente binomial expressa como são possíveis muitos tipos diferentes de tais k pizzas -topping.

Definição

Dado um número inteiro não negativo n e um inteiro k, o coeficiente binomial é definido como sendo o número natural

${N \ escolher k} = \ frac {n \ cdot (n-1) \ cdots (n-k + 1)} {k \ cdot (k-1) \ cdots 1} = \ frac {n!} {K ! (nk)!} \ quad \ mbox {if} \ n \ geq k \ geq 0 \ qquad (1)$

${N \ escolher k} = 0 \ quad \ mbox {if} k <0 \ mbox {} ou k> n$

em que n! denota o fatorial de n.

Conforme Nicholas J. Higham, o ${N \ escolher k}$ notação foi introduzido por Albert von Ettinghausen em 1826 , embora esses números já eram conhecidas séculos antes que (veja o triângulo de Pascal ). Notações alternativos incluem C (n, k), _k ou _n C $C ^ {k} _ {n}$ , Em todos os quais o C significa combinação ou escolher. De fato, um outro nome para o coeficiente binomial é escolher a função, eo coeficiente binomial de n e k é muitas vezes lido como "n escolha k".

Os coeficientes binomial são o coeficientes da expansão do binómio (x + y) ⁿ (daí o nome):

$(X + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ escolher k} {x ^ nk} y ^ k. \ Qquad (2)$

Este é generalizada pela teorema binário, o que permite que o expoente n para ser negativo ou um número não inteiro. Veja o artigo sobre combinação.

Interpretação combinatória

A importância do coeficiente binomial (e a motivação para o nome alternativo "escolher") reside no fato de que ${\ N k} tbinom$ é o número de maneiras que k objetos podem ser escolhidos de entre n objectos, independentemente da ordem. Mais formalmente,

${\ N k} tbinom$ é o número de subconjuntos k -element de um conjunto de n -element. $\ Qquad (1a)$

Na verdade, esta propriedade é muitas vezes escolhido como uma definição alternativa do coeficiente binomial, já que a partir de (1a) pode-se derivar (1) como um corolário de uma simples prova combinatória. Para uma demonstração coloquial, note que na fórmula

${N \ escolher k} = \ frac {n \ cdot (n-1) \ cdots (n-k + 1)} {k \ cdot (k-1) \ cdots 1},$

o numerador dá o número de maneiras para preencher as ranhuras K utilizando as opções de n, em que as ranhuras são distinguíveis um do outro. Assim, uma pizza com cogumelos adicionados antes da galinha é considerado para ser diferente de uma pizza com galinha adicionado antes cogumelos. O denominador elimina essas repetições, porque se os slots k são indistinguíveis, em seguida, todos os k! formas de organizá-las são considerados idênticos.

No contexto da ciência da computação, ele também ajuda a ver ${\ N k} tbinom$ como o número de cordas que consistem em zeros e uns com os k e n - k zeros. Para cada subconjunto k -element, K, de um conjunto de n -element, N, a função indicadora, 1 _K: N -> {0,1}, em que 1 _K (x) = 1 x sempre em K e 0, caso contrário, produz uma sequência de bits de comprimento n com exatamente k aqueles alimentando 1 _K com o n elementos em uma ordem específica.

Exemplo

${7 \ escolher 3} = \ frac {7!} {3! (7-3)!} = \ Frac {7 \ cdot 6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} {(3 \ cdot 2 \ cdot 1) (4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1)} = \ frac {7 \ cdot 6 \ cdot 5} {3 \ cdot 2 \ cdot 1} = 35.$

O cálculo do coeficiente binomial é convenientemente dispostos da seguinte forma: ((((5/1) · 6) / 2) · 7) / 3, alternadamente dividindo e multiplicando com números inteiros crescentes. Cada divisão produz um resultado inteiro que é em si um coeficiente binomial.

Derivação de expansão binomial

Para um expoente, (x + y) é ^um x + y. Para expoente 2, (x + y) é ² (x + y) (x + y), que forma termos do seguinte modo. O primeiro fator suprimentos quer um X ou um Y; da mesma forma para o segundo fator. Assim, para formar x ^2, a única possibilidade é escolher x de ambos os fatores; do mesmo modo para y ^2. No entanto, o termo xy pode ser formado por X a partir do primeiro e y do segundo factor, ou Y a partir do primeiro e x a partir do segundo elemento; assim, ela adquire um coeficiente de 2. Procedimento para expoente de 3, (x + y) ³ reduz a (x + y) ² (x + y), onde já sabemos que (x + y) = ² x ² 2 xy + y ^2, dando uma expansão inicial de (x + y) ⁽² x 2 + y xy ^2). Mais uma vez os extremos, x ³ e ³ y surgem de uma forma única. No entanto, o termo x ² y é 2 vezes xy x ou x ² vezes y, por um coeficiente de 3; Da mesma forma xy ² surge de duas maneiras, somando os coeficientes 1 e 2 para dar 3.

Isto sugere uma indução. Assim, para expoente n, cada termo tem grau total (soma dos expoentes) n, com n - k fatores de x e k fatores de y. Se k é 0 ou n, o termo surge em apenas um caminho, e nós recebemos os termos x ⁿ y e ^n. Se k não é nem 0 nem N, então surge a prazo de duas maneiras, a partir de ^{X-NK 1} y ^k x x x e de y ^{k NK-1} × y. Por exemplo, X ² Y ² representa ambas as xy ² vezes x e x ² vezes y y, portanto, o seu coeficiente é de 3 (o coeficiente de xy ²⁾ + 3 (o coeficiente de x ² y). Esta é a origem do triângulo de Pascal, discutido abaixo.

Outra perspectiva é que para formar x ^{n - k} y ^k de n fatores de (x + y), devemos escolher y de k dos fatores e x do resto. Para contar as possibilidades, considere todos os n! permutações dos fatores. Represente cada permutação como uma lista embaralhadas dos números de 1 a n. Selecione um x a partir do primeiro n - k fatores listados, e um y de fatores k restantes; deste modo cada permutação contribui para o prazo x ^{n - k} y ^k. Por exemplo, a lista de <4,1, 2,3> seleciona x de fatores 4 e 1, e seleciona y de fatores 2 e 3, como uma maneira de formar o termo x ² y ^2.

(X + y ¹⁾ (x + y ²⁾ (x + y ³⁾ (x + y ⁴⁾

Mas a lista distinta <1,4, 3,2> faz exatamente a mesma seleção; a fórmula de coeficiente binomial deve remover essa redundância. O n - k fatores para ter x (n - k)! permutações e os fatores k y para ter k! permutações. Portanto n /! (N - k) k! é o número de formas verdadeiramente distintas para formar o termo x ^{n - k} y ^k.

A explicação mais simples seguinte: Pode-se escolher um elemento aleatório de $n$ exactamente $n$ maneiras, um segundo elemento aleatório em $(N-1)$ maneiras, e assim por diante. Assim, $k$ elementos podem ser escolhido de n em $n \ cdot (n-1) \ cdot \ ldots \ cdot (n-k + 1)$ maneiras. Neste cálculo, no entanto, ocorre cada seleção independente de ordem $k!$ vezes, como uma lista de $k$ elementos podem ser permutados, de muitas formas. Assim eq. (1) é obtido.

Triângulo de Pascal

Regra de Pascal é o importante relação de recorrência

${N \ escolher k} + {n \ escolher k + 1} = {n + 1 \ escolher k + 1}, \ qquad (3)$

que decorre diretamente da definição:

$\ Begin {align} {n \ escolher k} + {n \ escolher k + 1} e {} = \ frac {n!} {K! (Nk)!} + \ Frac {n!} {(K + 1 )! (n- (k + 1))! \\} & {} = \ left (\ frac {n! (k + 1)} {k! (nk)! (k + 1)} + \ frac { n! (NK)} {(k + 1)! (N- (k + 1))! (NK)} \ direita) & {\\} = \ left (\ frac {n! (k + 1 + NK )} {(k + 1) (NK)} \ direita) & {\\} = \ frac {(n + 1)} {(k + 1) ((n + 1) -!!!! (K + 1))! \\} & {} = {n + 1 \ escolher k + 1} \ end {align}$

A relação de recorrência apenas provou pode ser usado para provar por indução matemática que C (n, k), é um número natural para todos os n e k, um facto que não é imediatamente evidente a partir da definição.

Regra de Pascal também dá origem a triângulo de Pascal :

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

O número de linha n contém os números C (n, k) para k = 0, ..., n. Ele é construído começando com aqueles no lado de fora e, em seguida, sempre a adição de dois números adjacentes e escrevendo a soma directamente por baixo. Este método permite o cálculo de coeficientes binomial rápida sem a necessidade de fracções ou multiplicações. Por exemplo, ao olhar para número da linha 5 do triângulo, pode-se ler rapidamente off que

(X + y) = 1 ⁵ x ⁵ + 5 x ⁴ x 10 y + y ² + ³ 10 x ² y ³ + 5 + ⁴ x y 1 y ^5.

As diferenças entre os elementos diagonais em outros são os elementos na diagonal anterior, como uma consequência da relação de recorrência (3) acima.

No tratado 1303 AD Precioso Espelho dos Quatro Elementos, Zhu Shijie mencionado o triângulo como um antigo método para avaliar os coeficientes binomial, indicando que o método era conhecido Matemáticos chineses cinco séculos antes de Pascal .

Combinatória e estatísticas

Coeficientes binomial são de importância em combinatória , porque eles fornecem fórmulas prontas para determinados problemas de contagem frequente:

Cada conjunto com n elementos tem $\ Mathrm {C} (n, k)$ subconjuntos diferentes com k elementos cada (estes são chamados k -conjuntos compostos).
O número de cadeias de comprimento n contendo k uns e zeros n - k é $\ Mathrm {C} (n, k).$
Tem $\ Mathrm {C} (n + 1, k)$ cordas constituídos por k queridos e n zeros tais que não há dois queridos são adjacentes.
O número de sequências que consiste em n números naturais cuja soma é igual a k é $\ Mathrm {C} (n + k-1, k)$ ; este é também o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n se repetições são permitidos.
O Números catalães têm uma fórmula fácil que envolve coeficientes binomial; que pode ser usada para contar várias estruturas, tais como árvores e expressões entre parênteses.

Os coeficientes binomial também ocorrer na fórmula para a distribuição binomial em estatísticas e na fórmula para uma Curva de Bézier.

Fórmulas que envolvem coeficientes binomial

Um tem que

${N \ escolher k} = {n \ n escolher-k}, \ qquad \ qquad (4)$

Isso segue imediatamente a partir da definição ou pode ser visto a partir de expansão (2) usando (x + y) ⁿ = (y + x) ^n, e se reflete na "simetria" numérica de triângulo de Pascal .

Outra fórmula é

$\ Sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ escolher k} = 2 ^ n, \ qquad \ qquad (5)$

É obtido a partir de expansão (2) usando x = y = 1. Isto é equivalente a dizer que os elementos em uma linha do triângulo de Pascal sempre somam dois elevado a uma potência inteira. Uma prova combinatória deste facto é dado pela contagem subconjuntos de tamanho 0, tamanho 1, tamanho 2, e assim por diante até o tamanho n de um conjunto S de n elementos. Uma vez que contar o número de subconjuntos de tamanho i para 0 ≤ i ≤ n, esta soma deve ser igual ao número de subconjuntos de S, que é conhecido por ser 2 ^n.

A fórmula

$\ Sum_ {k = 1} ^ {n} {k} {n \ escolher k} = {n} {2 ^ n-1} \ qquad (6)$

Resulta de expansão (2), após a diferenciação com respeito a ambos os x ou y e, em seguida, substituindo x = y = 1.

A identidade de Vandermonde

$\ Sum_ {j} {m \ escolher j} {{nm} \ escolha {kj}} = {n \ escolher k} \ qquad (7a)$

é encontrado através da expansão (1+ X) ^m (1+ x) ^nm = (1+ X) ⁿ com (2). Como C (n, k) é igual a zero se k> n, a soma é finito para o inteiro n e m. A equação (7a) generaliza a equação (3). Ele vale para arbitrária, de valor complexo $m$ e $n$ , O Identidade Chu-Vandermonde.

Uma fórmula é relacionada

$\ Sum_ {m} {m \ escolher j} {nm \ escolher kj} = {n + 1 \ escolher k + 1}. \ Qquad (7b)$

Enquanto a equação (7a) é verdade para todos os valores de m, a equação (7b) é verdade para todos os valores de j.

A partir de expansão (7-A) usando n = 2 m, k = m, e (4), encontra-

$\ Sum_ {j = 0} ^ {m} {m \ escolher j} ^ 2 = {{2m} \ escolher m}. \ Qquad (8)$

Denote por F (n + 1) os números de Fibonacci . Obtemos uma fórmula sobre as diagonais do triângulo de Pascal

$\ Sum_ {k = 0} ^ {n} {{nk} \ escolher k} = \ mathrm {F} (n + 1). \ Qquad (9)$

Isso pode ser comprovado por indução usando (3).

Também usando (3) e a indução, pode-se mostrar que

$\ Sum_ {j = k ^} {n} {j \ escolher k} = {{n + 1} \ escolha {k + 1}}. \ Qquad (10)$

Mais uma vez por (3) e a indução, pode-se mostrar que, para k = 0, ..., n - 1

$\ Sum_ {j = 0} ^ {k} (-1) ^ j {n \ escolher j} = (-1) ^ k {{n-1} \ escolher k} \ qquad (11)$

bem como

$\ Sum_ {j = 0} ^ {n} (-1) ^ j {n \ escolher j = 0} \ qquad (12)$

que é ele próprio um caso especial de o resultado que, para qualquer número inteiro um = 1, ..., n - 1,

$\ Sum_ {j = 0} ^ {n} (-1) ^ j {n \ escolher j} j ^ a = 0.$

que pode ser mostrado através da diferenciação (2) vezes e configuração x = -1 e Y = 1.

Identidades combinatórios envolvendo coeficientes binomial

Nós apresentamos algumas identidades que têm provas combinatória. Temos, por exemplo,

$\ Sum_ {k = q} ^ {n} {n \ escolher k} {k \ escolher q} = 2 ^ {nq} {n \ escolher q}. \ Qquad (13)$

para ${N} \ geq {q}.$ A prova combinatória é o seguinte: o lado esquerdo conta o número de maneiras de seleccionar um subconjunto de $[N]$ de, pelo menos, elementos q, e marcam elementos q entre os selecionados. O lado direito tem o mesmo peso parâmetro, porque há $\ Mathrm {C} (n, q)$ maneiras de escolher um conjunto de marcas de q e que ocorrem em todos os subconjuntos que contêm adicionalmente um subconjunto dos restantes elementos, dos quais existem $2 ^ {n-q}.$ Isto reduz a (6) quando $q = 1.$

A identidade (8) também tem uma prova combinatória. A identidade lê

$\ Sum_ {k = 0} ^ n {n \ escolher k ^ 2} = {2n \ escolher n}.$

Suponha que você tenha $2n$ quadrados vazios dispostos em uma linha e que pretende marcar (selecionar) n deles. Tem $C (2n, n)$ maneiras de fazer isso. Por outro lado, você pode selecionar seu n quadrados selecionando k quadrados de entre o primeiro e n $n-k$ praças das restantes praças n. Isto dá

$\ Sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ escolher k} {n \ escolher nk} = {{2n} \ escolher n}.$

Agora aplique (4) para obter o resultado.

Funções geradoras

Se nós não sabia sobre coeficientes binomial que poderia derivar-los usando o caso com a identificação do Teorema Fundamental da Combinatória enumeração. Isto é feito através da definição $C (n, k)$ para ser o número de formas de particionamento $[N]$ em dois sub-grupos, o primeiro dos quais tem tamanho k. Estas partições formam uma classe combinatória com a especificação

$\ Mathfrak {S} _2 (\ mathfrak {P} (\ mathcal {Z})) = \ mathfrak {P} (\ mathcal {Z}) \ mathfrak {P} (\ mathcal {Z}).$

Daí a exponencial função geradora B da função soma dos coeficientes binomial é dada pela

$B (z) = \ exp {z} \ exp {z} = \ exp (2z) \ ,.$

Obteve-se imediatamente

$\ Sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ escolher k} = n! [Z ^ n] \ exp (2z) = 2 ^ n,$

como esperado. Nós marcamos o primeiro subconjunto com $\ Mathcal {U}$ de modo a obter-se os coeficientes binomial, dando

$\ Mathfrak {P} (\ mathcal {U} \; \ mathcal {Z}) \ mathfrak {P} (\ mathcal {Z}).$

Isso produz a função geradora bivariada

$B (z, u) = \ exp uz \ exp z \ ,.$

Extraindo coeficientes, descobrimos que

${N \ escolher k} = n! [U ^ k] [z ^ n] \ exp uz \ exp z = n! [Z ^ n] \ frac {z ^} {k k!} \ Exp z$

$\ Frac {n!} {K!} [Z ^ {n-k}] \ exp z = \ frac {n!} {K! \, (N-k)!},$

novamente como esperado. Esta derivação é incluído aqui porque estreitamente paralelo ao do Stirling números do primeiro e do segundo tipo, e, por conseguinte, dá apoio à notação de estilo binomial que é usado para esses números.

Divisores de coeficientes binomial

Os principais divisores de C (n, k) pode ser interpretada da seguinte forma: se o símbolo p representa um número primo e p ^r é o mais alto poder de p que divide C (n, k), então r é igual ao número de números naturais j de tal modo que o parte fracionária de k / p ^j é maior do que a parte fracionária de n / p ^j. Em particular, C (n, k) é sempre divisível por n / GCD (n, k).

Um resultado algo surpreendente por David Singmaster (1974) é que qualquer divide inteiros quase todos os coeficientes binomial. Mais precisamente, fixar um número inteiro d e seja f (N) denotam o número de coeficientes binomial C (n, k) com n <N tal que d divide C (n, k). Em seguida

$\ Lim_ {N \ to \ infty} \ frac {f (N)} {N (N + 1) / 2} = 1.$

Uma vez que o número de coeficientes binomial C (n, k), com n <N N (N + 1) / 2, isto implica que a densidade de coeficientes binomial divisíveis por d vai para 1.

Bounds para coeficientes binomial

Os seguintes limites para C (n, k) realizar:

${N \ escolher k} \ le \ frac {n ^ k} {k!}$

${N \ escolher k} \ le \ left (\ frac {n \ cdot e} {k} \ right) ^ k$

${N \ escolher k} \ ge \ left (\ frac {n} {k} \ right) ^ k$

Generalizações

Generalização para multinomiais

Coeficientes binomial pode ser generalizada para coeficientes multinomiais. Eles são definidos como sendo o número:

${N \ escolher k_1, k_2, \ ldots, k_r} = \ frac {n!} {K_1! K_2! \ Cdots k_r!}$

onde

$\ Sum_ {i = 1} ^ = n rk_i$

Enquanto os coeficientes binomial representam os coeficientes de (x + y) ^n, os coeficientes multinominais representam os coeficientes do polinómio

(X ₁ + x ₂ + ... + x _R) ^n.

Ver teorema multinomial. O caso k = 2 dá coeficientes binomial:

${N \ escolher k_1, k_2} = {n \ escolher k_1, n-k_1} = {n \ escolher k_1} = {n \ escolher k_2}$

A interpretação combinatória de coeficientes multinominais é distribuição de n elementos distinguíveis mais de R recipientes (distinguíveis), cada uma contendo exactamente elementos k _i, onde i é o índice do recipiente.

Coeficientes multinomiais têm muitas propriedades semelhantes a estes de coeficientes binomial, por exemplo, a relação de recorrência:

${N \ escolher k_1, k_2, \ ldots, k_r} = {n-1 \ escolher k_1-1, k_2, \ ldots, k_r} + {n-1 \ escolher k_1, k_2-1, \ ldots, k_r} + \ ldots + {n-1 \ escolher k_1, k_2, \ ldots, k_r-1}$

e simetria:

${N \ escolher k_1, k_2, \ ldots, k_r} = {n \ escolher k _ {\ sigma_1}, k _ {\ sigma_2}, \ ldots, k _ {\ sigma_r}}$

onde $(\ Sigma_i)$ é uma permutação de (1,2, ..., r).

Generalização para inteiros negativos

Se $k \ geq 0$ , Então ${N \ escolher k} = \ frac {n (n-1) \ pontos (n-k + 1)} {1. 2 \ pontos k} = (-1) ^ k {-n + k-1 \ escolher k}$ estende-se a todos $n$ .

O coeficiente binomial estende-se a $k \ leq 0$ via

${N \ escolher k} = \ begin {cases} (-1) ^ {} {nk nk k-1 \ escolher} \ quad \ mbox {if} n \ geq k, \\ (-1) ^ {nk } {k-1 \ escolher -n-1} \ quad \ mbox {if} n \ leq -1. \ end {cases}$

Observe em particular, que

${N \ escolher k} = 0 \ quad \ mbox {} sse \ begin {cases} n geq 0 \ mbox {} e \ n <k, \\ n \ geq 0 \ mbox {} e k <0, \\ n <0 \ mbox {} e n <k <0. \ end {cases}$

Isto dá origem ao Pascal Hexagon ou Pascal Windmill.

Hilton, Holton e Pedersen (1997). Reflexões matemáticos. Springer. ISBN 0-387-94770-1.

Generalização ao argumento real e complexo

O coeficiente binomial ${Z \ escolher k}$ pode ser definida para qualquer número complexo z e qualquer número natural k como se segue:

${Z \ escolher k} = \ Prod_ {n = 1} ^ k} {{Z-k + n \ n sobre} = \ frac {z (z-1) \ cdots (Z-K (Z-2) + 1)} {k!}. \ Qquad (14)$

Esta generalização é conhecido como o coeficiente binomial generalizada e é utilizado na formulação da teorema binomial e propriedades satisfaz (3) e (7).

Para k fixo, a expressão $f (z) = {z \ escolher k}$ é um polinômio em z de grau k com racionais coeficientes.

F (z) é o único polinomial de grau k satisfazendo

F (0) = F (1) = ... = f (k - 1) = 0 e F (k) = 1.

Qualquer polinômio p (z) de grau d pode ser escrita na forma

$p (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {d} {a_k z \ escolher k}.$

Isto é importante na teoria de equações de diferenças e diferenças finitas, e pode ser visto como um análogo discreta de teorema de Taylor . Ele está intimamente relacionado com Polinômio de Newton. Alternando somas desta forma pode ser expresso como a Nørlund-arroz integral.

Em particular, pode-se expressar o produto de coeficientes binomial tais como uma combinação linear:

${X \ escolher m} {x \ escolher n} = \ sum_ {k = 0} ^ m {m + nk \ escolher k, mk, nk} {x \ escolher m + nk}$

onde os coeficientes de conexão são coeficientes multinomiais. Em termos de objectos combinatórias marcadas, os coeficientes de ligação representam o número de formas de atribuir M + nk rótulos a um par de objectos combinatórias marcadas peso de m e n, respectivamente, que tinham as suas etiquetas primeiro k identificados, ou coladas umas às outras, a fim para obter um novo objeto combinatória rotulado de peso m + nk. (Isto é, para separar as etiquetas em três porções a serem aplicadas para a parte colada, a parte descolado do primeiro objecto, e a parte descolado do segundo objecto.) A este respeito, são coeficientes binomial exponencial para gerar o que série fatoriais queda são a série de geração ordinária.

Série binómio de Newton

Newton série binomial, em homenagem a Sir Isaac Newton , é um dos mais simples Newton série:

$(1 + z) ^ {\ alpha} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {\ alpha \ escolher n} z ^ n = 1 + {\ alpha \ choose1} z + {\ alpha \ escolher 2} z ^ 2 + \ cdots.$

A identidade pode ser obtido, mostrando que ambos os lados satisfazer a equação diferencial (1+ Z) f (z) = α F (z).

O raio de convergência desta série é 1. Uma expressão alternativa é

$\ Frac {1} {(1-z) ^ {\ alpha + 1}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {n + \ alpha \ escolher n} z ^ n$

em que a identidade

${N \ escolher k} = (-1) ^ k {k-n-1 \ escolher k}$

é aplicado.

A fórmula para a série binomial foi gravado em lápide de Newton na Abadia de Westminster em 1727.

Generalização para série E q

O coeficiente binomial tem um generalização q-analógico conhecido como o Binomial Gaussiana.

Generalização de cardeais infinitos

A definição do coeficiente binomial pode ser generalizada para os cardeais infinitos , definindo:

${\ Alpha \ escolha \ beta} = | \ {B \ subseteq A: | B | = \ beta \} |$

onde A é um conjunto com cardinalidade $\ Alpha$ . Pode-se mostrar que o coeficiente binário generalizado é bem definido, no sentido de que não importa o que nós escolhemos para definir representam o número cardinal $\ Alpha$ , ${\ Alpha \ escolha \ beta}$ permanecerá o mesmo. Para cardeais finitos, esta definição coincide com a definição padrão do coeficiente binomial.

Assumindo que o Axiom of Choice, pode-se mostrar que ${\ Alpha \ escolha \ alpha} = 2 ^ {\ alpha}$ para qualquer cardinal infinito $\ Alpha$ .

Coeficiente binomial em linguagens de programação

A notação ${N \ escolher k}$ é conveniente na escrita, mas inconveniente para máquinas de escrever e terminais de computador. Muitas linguagens de programação não oferecem um padrão sub-rotina para calcular o coeficiente binomial, mas, por exemplo, a Linguagem de programação J usa o ponto de exclamação: k! n.

Implementações ingênuas, tais como o seguinte trecho em C :

 int escolher (int n, int k) {
     retornar fatorial (n) / (fatorial (k) * fatorial (n - k));
 }

são propensas a erros transbordar, restringindo severamente a gama de valores de entrada. A execução directa da primeira definição funciona bem:

 unsigned long long escolher (n não assinado, não assinado k) {
     se (k> N)
         retornar 0;

     se (K> N / 2)
         k = NK;  // Mais rápido

     duplo accum longo = 1;
     for (não assinado i = 0; i ++ <k;)
          acum = acum * (n-k + i) / i;

     retorno accum + 0,5;  // Evitar erro de arredondamento
 }

Uso Regra de Pascal ${N \ escolher k} = {n-1 \ escolher k-1} + {n-1 \ escolher k}$ , O algoritmo para o coeficiente binomial pode ser escrita em forma recursiva:

     função de escolher (n: integer, k: integer): integer
         se K = 0 ou K = n então
             escolher = 1
         mais
             escolher = escolher (n-1, k-1) + escolher (n-1, k)
         fim se
     função de final

Retirado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomial_coefficient&oldid=205936848 "

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