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Cálculo

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Informações de fundo

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Calculus ( Latina , cálculo, uma pequena pedra usado para contagem) é um ramo da matemática que inclui o estudo de limites , derivados , integrais , e infinita série, e constitui uma parte importante da educação universidade moderna. Historicamente, foi por vezes referido como "o cálculo", mas que a utilização raramente é vista hoje. Cálculo tem aplicações difundidas em ciência e engenharia e é usado para resolver problemas complicados para os quais álgebra si só é insuficiente. Cálculo baseia-se na álgebra , trigonometria e geometria analítica e inclui dois grandes ramos, cálculo diferencial e cálculo integral , que são relacionados pela teorema fundamental do cálculo . Em matemática mais avançada, o cálculo é normalmente chamado análise e é definido como o estudo de funções .

Mais geralmente, o cálculo pode referir-se a qualquer método ou sistema de cálculo.

História

Aryabhatta juntamente com outros matemáticos indianos ao longo dos séculos feitas contribuição importante para o campo de cálculo.
Sir Isaac Newton é um dos colaboradores mais famosos para o desenvolvimento de cálculo, com, entre outras coisas, o uso do cálculo de suas leis do movimento e da gravitação.

Desenvolvimento

A história do cálculo cai em vários períodos de tempo distintos, mais notavelmente o antigo , medieval , e períodos modernos. O período antigo introduziu algumas das idéias do cálculo integral, mas não parecem ter desenvolvido essas idéias de forma rigorosa ou sistemática. Calculando volumes e áreas, a função básica do cálculo integral, pode ser rastreada até a Egípcio Moscou papiro (c. 1800 aC), no qual um egípcio calculado com êxito o volume de de uma piramidal tronco. Da escola de Matemática grega, Eudoxus (c. 408-355 aC) usou o método da exaustão, que prefigura o conceito de limite, para calcular áreas e volumes enquanto Arquimedes (c. 287-212 aC), desenvolveu ainda mais esta idéia, inventando heurísticas que se assemelham cálculo integral . O método da exaustão foi usado mais tarde em China por Liu Hui no século 3 dC, a fim de encontrar a área de um círculo. Também foi usado por Zu Chongzhi no século 5 dC, que a usou para encontrar o volume de uma esfera .

Em AD 499 a indiana matemático Aryabhata usou a noção de infinitesimais e expressou um problema astronômico na forma de uma base equação diferencial . Essa equação acabou por conduzir Bhaskara II no século 12 para desenvolver um início derivado representando mudança infinitesimal, e ele descreveu uma forma primitiva de " Teorema de Rolle ". Por volta de 1000, o AD Matemático Islâmica Ibn al-Haytham (Alhazen) foi o primeiro a obter a fórmula para a soma do quarta poderes e usando indução matemática, ele desenvolveu um método que é facilmente generalizável para encontrar a fórmula para a soma de todos os integrantes poderes, o que foi fundamental para o desenvolvimento do cálculo integral. No século 12, o Persa matemático Sharaf al-Din al-Tusi descobriu o derivado de polinômios cúbicos, um resultado importante em cálculo diferencial. No século 14, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemático-astrônomos da Kerala escola de astronomia e matemática, descreveu casos especiais da série de Taylor , que são tratados no texto Yuktibhasa.

No período moderno, descobertas independentes no cálculo estavam sendo feitos no início do século 17 Japão, por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século 17 foi uma época de grande inovação. Cálculo fornecida uma nova oportunidade em física matemática para resolver problemas de longa data. Vários matemáticos contribuíram para essas descobertas, notadamente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory provou ser um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668 AD.

Gottfried Wilhelm Leibniz foi originalmente acusado de plágio de trabalhos inéditos de Sir Isaac Newton, mas é considerado agora como um inventor independente e contribuinte para o cálculo.

Leibniz e Newton tirou estas idéias juntos em um todo coerente e eles geralmente são creditados com a invenção independente e quase simultânea de cálculo. Newton foi o primeiro a aplicar para o cálculo geral física e Leibniz desenvolveu grande parte da notação usada no cálculo hoje; muitas vezes ele passava dias determinação símbolos adequados para os conceitos. O insight básico que Newton e Leibniz teve foi o teorema fundamental do cálculo .

Quando Newton e Leibniz publicado seus resultados, houve grande controvérsia sobre a qual matemático (e portanto que país) merecia crédito. Newton derivou seus resultados do primeiro, mas Leibniz publicado pela primeira vez. Newton afirmou Leibniz roubou idéias suas anotações não publicadas, o que Newton tinha compartilhado com alguns membros da Royal Society. Esta controvérsia dividiu os matemáticos de matemáticos continentais de fala Inglês por muitos anos, em detrimento da matemática inglesa. Um exame cuidadoso dos trabalhos de Leibniz e Newton mostra que eles chegaram a seus resultados de forma independente, com Leibniz primeira partida com a integração e Newton com a diferenciação. Hoje, Newton e Leibniz é dado crédito para o desenvolvimento de cálculo de forma independente. É Leibniz, no entanto, que deu nova disciplina seu nome. Newton chamou o seu cálculo " a ciência da fluxões ".

Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo. No século 19, o cálculo foi colocado em pé de muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann , e Weierstrass. Foi também durante este período que as idéias de cálculo foram generalizados para o espaço euclidiano eo plano complexo . Lebesgue generalizada ainda mais a noção de integral.

Cálculo é um tema onipresente na maioria dos colégios e universidades modernas e matemáticos de todo o mundo continuam a contribuir para o seu desenvolvimento.

Significado

Embora algumas das idéias de cálculo foram desenvolvidas antes, em Grécia, China, ?ndia , Iraque, Pérsia e Japão, o uso moderno do cálculo começou na Europa , durante o século 17, quando Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz construído sobre o trabalho de matemáticos anteriores para introduzir os princípios básicos de cálculo. Este trabalho teve um forte impacto no desenvolvimento da física .

Aplicações do cálculo diferencial incluem cálculos envolvendo velocidade e aceleração , os declive de uma curva, e otimização. Aplicações do cálculo integral incluem cálculos envolvendo a área , o volume , comprimento do arco, centro de massa , trabalho , e pressão. Aplicações mais avançadas incluem séries de potência e Série de Fourier. Cálculo pode ser usado para calcular a trajetória de um encaixe de transporte em uma estação espacial ou a quantidade de neve em uma garagem.

Cálculo também é usado para obter uma compreensão mais precisa da natureza do espaço, tempo, e movimento. Durante séculos, os matemáticos e filósofos lutou com paradoxos envolvendo divisão por zero ou somas de um número infinito de números. Estas questões surgem no estudo de movimento e área . O grego antigo filósofo Zeno deu vários exemplos famosos de tais paradoxos. Cálculo fornece ferramentas, especialmente o limite eo infinita série, que resolver os paradoxos.

Fundações

Em matemática, fundações refere-se ao desenvolvimento rigorosa de um assunto a partir de axiomas e definições precisas. Trabalhar para fora uma fundamentação rigorosa para cálculo ocupada matemáticos para grande parte do século seguinte Newton e Leibniz e ainda é, em certa medida uma área ativa de pesquisa hoje.

Existe mais do que uma abordagem rigorosa para a base de cálculo. A uma via usual é o conceito de limites definidos na continuum de números reais . Uma alternativa é análise fora do padrão, em que o sistema de número real é aumentada com infinitesimal e números infinitos. As bases de cálculo estão incluídas no campo de análise real, que contém definições e completos provas dos teoremas de cálculo, bem como generalizações, tais como teoria da medida e teoria da distribuição.

Princípios

Limites e Infinitesimais

Cálculo é normalmente desenvolvida pela manipulação muito pequenas quantidades. Historicamente, o primeiro método de o fazer foi de infinitesimais. Estes são objetos que podem ser tratadas como números, mas que são, em certo sentido, "infinitamente pequeno". Em uma linha de número, estes seriam os locais que não são zero, mas que têm de zero distância de zero. Sem número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positivo. Qualquer múltiplo de um infinitesimal ainda é infinitamente pequena, por outras palavras, infinitesimais não satisfazem a Propriedade de Arquimedes. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Este ponto de vista caiu em desuso no século 19 porque é difícil fazer a noção de uma precisão infinitesimal. No entanto, o conceito foi reavivado no século 20 com a introdução de análise não-padrão, o que proporcionou bases sólidas para a manipulação de infinitesimais.

No século 19, infinitesimais foram substituídas por limites . Limites descrevem o valor de uma função a uma certa entrada em termos de seus valores de entrada na próxima. Eles capturar o comportamento de pequena escala, assim como infinitesimais, mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas de manipulação de certos limites. Infinitesimais são substituídos por um número muito pequeno, eo infinitamente pequeno comportamento da função é encontrado tomando o comportamento limite para números cada vez menores. Limites são fáceis de colocar em fundações rigorosas, e por esta razão eles são a abordagem padrão para o cálculo.

Derivativos

Tangente em (x, f (x)). A derivada f '(x) de uma curva em um ponto é a inclinação (aumento em relação ao percurso) da linha tangente a essa curva naquele ponto.

Cálculo diferencial é o estudo dos definição, propriedades e aplicações do derivado ou declive do gráfico. O processo de encontrar o derivado é chamado diferenciação. Em linguagem técnica, o derivado é um operador linear, quais as entradas e saídas de uma função de uma segunda função, de modo que em cada ponto o valor da saída é a inclinação da entrada.

O conceito da derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Em álgebra, os alunos aprendem sobre as funções que inserir um número e saída de outro número. Por exemplo, se as entradas da função duplicação 3, então a saída será 6, enquanto que, se as entradas de função quadrática 3, ele produz 9. Mas os derivados entradas e saídas de uma função de uma outra função. Por exemplo, se as entradas derivados da função quadrática, em seguida, ele gera a função de duplicação, porque a função de duplicação dá a inclinação da função de quadratura em qualquer ponto dado.

Para entender o derivado, os alunos devem aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada de uma função é uma marca de apóstrofo, chamado prime. Assim, a derivada de f é f '(falado "f prime"). A última frase do parágrafo anterior, em notação matemática, seria escrito

\ Begin {align} f (x) & = x ^ 2 \\ f '(x) = & 2x. \ End {align}

Se a entrada é uma função de tempo, então o derivado de função que é a velocidade a que a função altera.

Se uma função for linear (isto é, se o gráfico da função é uma linha reta), em seguida, a função pode ser escrita y = mx + b, onde:

m = \ frac {\ mbox {origem}} {\ mbox {corrida}} = {\ mbox {} alterar em y \ over \ mbox {} mudar em x} = {\ Delta y \ over {\ Delta x}} .

Isto dá um valor exato para a inclinação de uma linha reta. Se a função não é uma linha recta, no entanto, a alteração em y dividida pela mudança em x varia, e que pode utilizar o cálculo para encontrar um valor exacto em um determinado ponto. (Note-se que y e f (x) representam a mesma coisa:. A saída da função) através de uma linha de dois pontos sobre uma curva é chamado de linha secante. A inclinação, ou aumento ao longo prazo, de uma linha secante pode ser expressa como

m = {f (x + h) - f (x) \ sobre {(x + H) - x}} = {f (x + h) - f (x) \ {h} sobre} \,

onde o coordenadas do primeiro ponto são (x, f (x)) e h é a distância horizontal entre os dois pontos.

Para determinar a inclinação da curva, usamos o limite:

\ Lim_ {h \ a 0} {f (x + h) - f (x) \ {h} sobre} .

Trabalhando a um caso particular, encontramos a inclinação da função quadrática no ponto onde a entrada é de 3 e 9 é a saída (isto é, f (x) = x 2, de modo que f (3) = 9).

\ Begin {align} f '(3) & = \ lim_ {h \ to 0} {(3 + h) ^ 2-9 \ over {h}} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} {9 + 6h + h ^ 2-9 \ over {h}} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} {6h + h ^ 2 \ over {h}} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} (6 + h) \\ & = 6 \ end {align}

A inclinação da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, ou seja, ele vai até seis vezes mais rapidamente que vai para a direita.

O processo acabado de descrever limite pode ser generalizada para qualquer ponto no gráfico de qualquer função. O procedimento pode ser visualizado como na figura a seguir.

Tangente como um limite de linhas secantes. O derivado de f (x) de uma curva num ponto é a inclinação da linha tangente a essa curva neste ponto. Esta inclinação é determinado considerando o valor limite das pistas de linhas secantes.

Aqui a função envolvida (desenhada em vermelho) é f (x) = x 3 - x. A linha tangente (em verde), que passa pelo ponto (-3/2, -15 / 8) tem uma inclinação de 23 quartos. Note-se que as escalas vertical e horizontal nesta imagem são diferentes.

Integrais

Cálculo integral é o estudo das definições, propriedades e aplicações dos dois conceitos relacionados, a integral indefinida e integral definida. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, cálculo integral estuda duas relacionadas operadores lineares.

O integral indefinida é a primitiva, a operação inversa à do derivado. F é um integral indefinida de f quando f é um derivado de F. (Este uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum no cálculo.)

As entradas integral definida uma função e gera um número, o que dá a área entre o gráfico da entrada e o eixo-x . A definição técnica da integral definida é o limite de uma soma de áreas de retângulos, chamado de Soma de Riemann.

Um exemplo é motivar as distâncias percorridas em um determinado momento.

\ Mathrm {Distância} = \ mathrm {Speed} \ cdot \ mathrm {Tempo}

Se a velocidade é constante, apenas a multiplicação é necessário, mas se as mudanças de velocidade, então precisamos de um método mais poderoso de encontrar a distância. Um tal método consiste em aproximar a distância percorrida pelo fraccionamento do tempo em diversos intervalos de tempo curtos, multiplicando em seguida o tempo decorrido em cada intervalo por uma das velocidades em que intervalo de tempo, e, em seguida, tendo a soma (a Soma de Riemann) da distância aproximada percorrida em cada intervalo. A idéia básica é que se apenas um curto período de tempo decorrido, em seguida, a velocidade vai ficar mais ou menos o mesmo. No entanto, uma soma de Riemann só dá uma aproximação da distância percorrida. Devemos tomar o limite de todas essas somas de Riemann para saber a distância exata percorrida.

A integração pode ser considerado como medição da área sob a curva, definida por: f (x), entre dois pontos (aqui a e b).

Se f (x) no diagrama à esquerda representa a velocidade, uma vez que varia com o tempo, a distância percorrida entre os tempos representados por A e b é a área da região sombreada s.

Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir-se a distância entre a e b em um número de segmentos iguais, o comprimento de cada segmento representado pelo símbolo Ax. Para cada segmento pequeno, podemos escolher um valor da função f (x). Chame esse valor h. Em seguida, a área do retângulo com base de Ax e altura h dá a distância (hora Ax multiplicado pela velocidade h) viajou nesse segmento. Associado com cada segmento é o valor médio da função acima, f (x) = h. A soma de todos esses rectângulos dá uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o que é uma aproximação da distância total percorrida. Um valor menor para Ax dará mais retângulos e na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta exata nós precisamos de tomar um limite como Ax se aproxima de zero.

O símbolo de integração é \ Int \, , Um S alongado (que significa "sum"). A integral definida é escrito como:

\ Int_a ^ b f (x) \, dx

e é lido "a integral de A a b de f -of- x em relação a x."

A integral indefinida, ou primitiva, está escrito:

\ Int f (x) \, dx .

Funções diferentes apenas por uma constante tem o mesmo derivado, e, por conseguinte, a primitiva de uma dada função é, na verdade, uma família de funções, diferindo apenas por uma constante. Uma vez que o derivado de a função y = + C, onde C é uma constante qualquer, é y '= x 2, o anti derivada desta última, é dada por:

\ Int 2x \, dx = x ^ 2 + C .

Uma constante indeterminado como C na primitiva é conhecido como um constante de integração.

Teorema fundamental

O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e integração são operações inversas. Mais precisamente, refere-se os valores de antiderivadas a integrais definidas. Porque é geralmente mais fácil de calcular uma antiderivada do que para aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental do cálculo fornece uma maneira prática de calcular integrais definidas. Ele também pode ser interpretado como uma indicação precisa do facto de diferenciação é a inversa da integração.

O teorema fundamental do cálculo afirma: Se uma função f é contínua no intervalo [a, b] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo (a, b), então

\ Int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx = F (b) - F (a).

Além disso, para cada X no intervalo (a, b),

\ Frac {d} {dx} \ int_a ^ x f (t) \, dt = f (x).

Essa constatação, feita por ambos Newton e Leibniz , que baseou seus resultados em trabalhos anteriores por Isaac Barrow, foi fundamental para a proliferação massiva de resultados analíticos após seu trabalho tornou-se conhecido. O teorema fundamental fornece um método de computação algébrica muitas integrais, sem limite definidos realizando processos de por encontrar fórmulas para antiderivadas. Também é um protótipo de uma solução de equações diferenciais . Equações diferenciais relacionar uma função desconhecida de seus derivados, e são onipresentes nas ciências.

Aplicações

O espiral logarítmica do Nautilus shell é uma imagem clássica usada para descrever o crescimento e as mudanças relacionadas ao cálculo

Cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas , em ciência da computação , estatística , engenharia , economia , negócios , medicina , e em outros campos onde quer que um problema pode ser modelados matematicamente e um solução óptima é desejada.

Física torna especial uso do cálculo; todos os conceitos na mecânica clássica são inter-relacionados através de cálculo. A massa de um objecto conhecido de densidade , o momento de inércia de objectos, bem como a energia total de um objecto dentro de um campo conservadora pode ser encontrado através da utilização do cálculo. Nos subcampos de eletricidade e magnetismo cálculo pode ser usado para encontrar o total de fluxo de campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórica do uso do cálculo na física é segunda lei do movimento de Newton , que expressamente utiliza a "taxa de variação" termo que se refere ao derivado de: A taxa de variação da quantidade de movimento de um corpo é igual à força que actua resultante sobre o corpo e é na mesma direcção. Mesmo a expressão comum da segunda lei de Newton como força = massa x aceleração envolve cálculo diferencial porque aceleração pode ser expressa como a derivada da velocidade. Teoria de Maxwell do eletromagnetismo e de Einstein teoria da relatividade geral também são expressos na linguagem do cálculo diferencial.

Cálculo pode ser utilizado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, ele pode ser usado com álgebra linear para encontrar o "melhor ajuste" aproximação linear por um conjunto de pontos num domínio.

No campo da medicina, o cálculo pode ser usado para calcular o ângulo de ramificação óptima de um vaso sanguíneo, de modo a maximizar o fluxo.

Em geometria analítica , o estudo de gráficos de funções, cálculo é usado para encontrar pontos altos e pontos baixos (máximos e mínimos), inclinação, concavidade e pontos de inflexão.

Na economia, o cálculo permite a determinação do lucro máximo, fornecendo uma maneira de calcular facilmente tanto custo marginal e A receita marginal.

Cálculo pode ser utilizado para encontrar soluções para as equações aproximadas, em métodos tais como o método de Newton , iteração de ponto fixo, e aproximação linear. Por exemplo, a sonda usar uma variação do Método Euler para aproximar cursos curvas dentro de ambientes de gravidade zero.

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