Cálculo das variações

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Cálculo das variações é um campo da matemática que lida com extremizing funcionais, ao contrário de ordinário cálculo que lida com funções . Um funcional geralmente é um mapeamento a partir de um conjunto de funções para os números reais. Funcionais são muitas vezes formados como integrais definidas que envolvem funções desconhecidas e seus derivados. O interesse é em funções que tornam o extremais funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou funções estacionárias - aquelas em que a taxa de variação do funcional é precisamente zero.

Talvez o exemplo mais simples de um tal problema é encontrar a curva de comprimento mais curto, ou geodésicas, que liga dois pontos. Se não há constrangimentos, a solução é, obviamente, uma linha recta entre os pontos. No entanto, se a curva é constrangidas a ficarem sobre uma superfície no espaço, em seguida, a solução é menos evidente, e, possivelmente, podem existir muitas soluções. Tais soluções são conhecidos como geodésicas. Um problema relacionado é representado por Princípio de Fermat: luz segue o caminho óptico de comprimento mais curto que liga dois pontos, em que o comprimento óptico depende do material do meio. Um correspondente no conceito mecânica é a princípio de ação mínima.

Muitos problemas importantes envolvem funções de várias variáveis. Soluções de problemas de valor de contorno para o Satisfazer a equação de Laplace Princípio de Dirichlet. O problema de encontrar planalto requer uma superfície de área mínima que se estende por um determinado contorno no espaço: a solução ou soluções podem ser encontrados por meio de imersão uma armação de arame em uma solução de água de sabão. Apesar de tais experiências são relativamente fáceis de realizar, a sua interpretação matemático está longe de ser simples: pode haver mais do que um local minimizando superfície, e podem ter topologia não trivial.

História

O cálculo das variações podem ser dito para começar com um problema de Johann Bernoulli de (1696). Ele imediatamente ocuparam a atenção de Jakob Bernoulli eo Marquês de l'Hôpital, mas Euler primeiro elaborado o assunto. Suas contribuições começou em 1733, e sua Elementa Cálculos Variationum deu à ciência seu nome. Lagrange contribuiu extensivamente com a teoria, e Legendre (1786) estabeleceu um método, não é inteiramente satisfatória, para a discriminação de máximos e mínimos. Newton e Leibniz também deu alguma atenção cedo para o assunto. Para esta discriminação Brunacci (1810), Gauss (1829), Poisson (1831), Ostrogradsky (1834), e Jacobi (1837) estão entre os contribuintes. Um trabalho geral importante é que de Sarrus (1842), que foi condensado e melhorada pela Cauchy (1844). Outros tratados valiosos e memórias foram escritas por Strauch (1849), Jellett (1850), Hesse (1857), Clebsch (1858), e Carll (1885), mas talvez a obra mais importante do século é o de Weierstrass. Seu curso célebre na teoria é época de decisão, e pode-se afirmar que ele foi o primeiro a colocá-lo em uma base firme e inquestionável. O 20 e 23 Problemas de Hilbert publicados em 1900 atraiu um maior desenvolvimento. No século 20, Hilbert , Noether, Tonelli, Lebesgue e HADAMARD entre outros fizeram contribuições significativas. Marston Morse aplicado cálculo das variações no que hoje é chamado A teoria de Morse. Pontryagin, Rockafellar e Clarke desenvolveu novas ferramentas matemáticas para teoria do controle ótimo, uma generalização do cálculo das variações.

Extrema fraca e forte

O norma suprema (também chamado norma infinito) para contínuos, funções reais, delimitadas em um espaço topológico $X$ é definido como

$\ | Y \ | _ {\ infty} = \ sup \ {| y (x) |: x \ in X \}$ .

Um funcional $J (y)$ definido em algum espaço apropriado de funções $V$ com a norma $\ | \ Cdot \ | _V$ Diz-se que um mínimo de fraco na função $y_0$ se existe algum $\ Delta> 0$ de tal modo que, para todas as funções com y $\ | Y - y_0 \ | _V <\ delta$ ,

$J (y_0) \ le J (y)$ .

Maxima fracos são definidos de forma semelhante, com a desigualdade na última equação inverteu. Na maior parte dos problemas, $V$ é o espaço de r -times funções continuamente diferenciáveis em um subconjunto compacto $E$ da linha real, com a sua norma dada por

$\ | Y \ | _V = \ sum ^ r_ {n = 0} \ sup \ {| y ^ {(n)} (x) |: x \ in E \} = \ sum ^ r_ {n = 0} \ | y ^ {(n)} (x) \ | _ {\ infty}$ .

Esta norma é apenas a soma das normas supremo de $y$ e seus derivados.

Um funcional $J$ Diz-se que um mínimo forte em $y_0$ se existe algum $\ Delta> 0$ de tal modo que, para todas as funções com y $\ | Y - y_0 \ | _ {\ infty} <\ delta$ , $J (y_0) <J (y)$ . Forte máximo é definido da mesma forma, mas com a desigualdade na última equação inverteu.

A diferença entre os extremos forte e fraco é que, para um extremo forte, $y_0$ é um extremo local em relação ao conjunto de $\ Delta$ -close funções com respeito à norma supremo. Em geral, este (supremo) norma é diferente da norma $\ | \ Cdot \ | _V$ V que foi dotado. Se $y_0$ é um forte extremo para $J$ então também é um extremo fraco, mas o inverso não pode segurar. Encontrar forte extrema é mais difícil do que encontrar extrema fraca e no que se segue será assumido que estamos à procura de extrema fraca.

A equação de Euler-Lagrange

Sob condições ideais, os valores máximos e mínimos de uma dada função pode ser localizado por encontrar os pontos onde o seu derivado desaparece. Por analogia, as soluções de problemas variacional lisas pode ser obtida através da resolução da Associated Equação de Euler-Lagrange.

Considere o funcional:

$A [f] = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} L (x, f, f ') \, dx. \,$

A função $f$ deve ter pelo menos um derivado, a fim de satisfazer os requisitos para aplicação válida da função; Além disso, se o funcional $A [f]$ atinge a sua mínimo local em $f_0$ e $\ Eta (x)$ é uma função arbitrária que tem pelo menos um derivado e desaparece nos extremos $x_1$ e $x_2$ , Então devemos ter

$A [f_0] \ le A [f_0 + \ epsilon \ eta]$

para qualquer número ε fechar a 0. Assim, o derivado de $A [f_0 + \ epsilon \ eta]$ com respeito a ε (a primeira variação de A) deve desaparecer em ε = 0.

$\ Begin {align} \ left \ frac {dA} {d \ epsilon} \ right |.. _ {\ Epsilon = 0} & = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ left \ frac {dL} {d \ epsilon} \ right | _ {\ epsilon = 0} dx \\ & = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ left (\ frac {\ L parcial} {\ f parcial} \ eta + \ frac {\ L parcial } {\ partial f '} \ eta' \ right) \, dx \\ & = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ left (\ frac {\ L parcial} {\ f parcial} \ eta - \ eta \ frac {d} {dx} \ frac {\ L parcial} {\ f parcial '}. \ right) \, dx + \ left \ frac {\ L parcial} {\ f parcial'} \ eta \ right | _ { x_1} ^ {} x_2 \\ & = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ eta \ left (\ frac {\ L parcial} {\ f parcial} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial L} {\ partial f '} \ right) \, dx \\ & = 0, \ end {align}$

onde temos utilizado a regra da cadeia na segunda linha e integração por partes no terceiro. O último termo na terceira linha desaparece porque $\ Eta \ equiv 0$ nos pontos finais. Finalmente, de acordo com o lema fundamental do cálculo das variações, descobrimos que $L$ irá satisfazer a equação de Euler-Lagrange

$\ Frac {\ part L} {\ part f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ part L} {\ part f '} = 0,$

Em geral, isso dá uma segunda ordem equações diferenciais ordinárias que pode ser resolvido para obter o extremal $f$ . A equação de Euler-Lagrange é um necessário, mas não suficiente, para uma extremal. Condições suficientes para um extremal são discutidos nas referências.

A fim de ilustrar este processo, considerar o problema de encontrar a curva mais curta no plano que liga dois pontos $(X_1, y_1)$ e $(X_2, y_2)$ . O comprimento do arco é dada pela

$A [f] = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ sqrt {1 + [f '(x)] ^ 2} \, dx,$

com

$f '(x) = \ frac {df} {dx}, \,$

e onde $y = f (x)$ , $f (x_1) = y_1$ E $f (x_2) = y_2$ .

$\ Int_ {} ^ {x_1 x_2} \ frac {f_0 '(x) \ eta' (x)} {\ sqrt {1 + [f_0 '(x)] ^ 2}} \, dx = 0, \,$

para qualquer escolha da função $\ Eta$ . Podemos interpretar esta condição como o desaparecimento de tudo derivadas direcionais de $Um [f_0]$ no espaço de funções diferenciáveis, e esta é formalizada, exigindo a Fréchet derivado de $A$ a desaparecer em $f_0$ . Se assumirmos que $f_0$ tem duas derivadas contínuas (ou se considerarmos derivados fracos), então podemos usar integração por partes:

$\ Int_a ^ bu (x) \ eta '(x) \, dx = \ left [u (x) \ eta (x) \ right] _ ^ {a} {b} - \ int_a ^ b u' (x) \ eta (x) \, dx$

com a substituição

$u (x) = \ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2}}$

então temos

$\ Left [u (x) \ eta (x) \ right] _ {} ^ {x_1 x_2} - \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ eta (x) \ frac {d} {dx} \ left [\ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2}} \ right] \, dx = 0,$

mas o primeiro termo é zero desde $v (x) = \ eta (x)$ foi escolhido para desaparecer em $x_1$ e $x_2$ onde é feita a avaliação. Portanto,

$\ Int_ {} ^ {x_1 x_2} \ eta (x) \ frac {d} {dx} \ left [\ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2} } \ right] \, dx = 0$

para qualquer função duas vezes diferenciável $\ Eta$ que desaparece nos extremos do intervalo.

Agora podemos aplicar o lema fundamental do cálculo das variações: Se

$I = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ eta (x) H (x) \, dx = 0 \,$

para qualquer função suficientemente diferenciável $\ Eta (x)$ dentro do intervalo de integração que desaparece nos extremos do intervalo, em seguida, segue-se que $H (x)$ é identicamente nula no seu domínio.

Portanto,

$\ Frac {d} {dx} \ left [\ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2}} \ right] = 0. \,$

Daqui resulta que a equação

$\ Frac {d ^ 2 f_0} {dx ^ 2} = 0,$

e, portanto, os extremais são linhas retas.

O Identity Beltrami

Frequentemente em problemas físicos, verifica-se que $\ Part L / \ part x = 0$ . Nesse caso, a equação de Euler-Lagrange pode ser simplificada utilizando a Beltrami identidade:

$L-f '\ frac {\ part L} {\ part f'} = C,$

onde $C$ é uma constante. O lado esquerdo é o Transformação de Legendre de L em relação ao f '.

teorema de du Bois Reymond

A discussão até aqui assume que possuem funções extremais dois derivados contínuos, embora a existência de uma integral requer apenas primeiras derivadas de funções de teste. A condição de que a primeira variação desaparecer a um de extremos pode ser considerado como uma forma fraca da equação de Euler-Lagrange. O teorema de du Bois Reymond afirma que esta forma fraca implica a forma forte. Se L tem contínuos primeira e segunda derivadas em relação a todos os seus argumentos, e se

$\ Frac {\ part ^ 2} {G (\ parte f ') ^ 2} \ ne 0,$

em seguida $f_0$ tem duas derivadas contínuas, e satisfaz a equação de Euler-Lagrange.

Funções de várias variáveis

Variacionais problemas que envolvem integrais múltiplas surgem em inúmeras aplicações. Por exemplo, se φ (x, y) indica o deslocamento de uma membrana acima do domínio D do x, y plano, então a sua energia potencial é proporcional à sua área de superfície:

$U [\ varphi] = \ iint_D \ sqrt {1 + \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi} dx \, dy. \,$

O problema do planalto consiste em encontrar uma função que minimiza a área da superfície, enquanto assumindo valores prescritos na fronteira de D; as soluções são chamadas superfícies mínimas. A equação de Euler-Lagrange para este problema é não-linear:

$\ Varphi_ {xx} (1 + \ varphi_y ^ 2) + \ varphi_ {} aa (1 + \ varphi_x ^ 2) - 2 \ varphi_x \ varphi_y \ varphi_ {xy} = 0. \,$

Veja Courant (1950) para mais detalhes.

Princípio de Dirichlet

É muitas vezes suficiente para considerar apenas pequenos deslocamentos da membrana, cuja diferença de energia não é aproximada por deslocamento

$V [\ varphi] = \ frac {1} {2} \ iint_D \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \, dx \, dy. \,$

O V funcional deve ser minimizado entre todas as funções experimentais φ que assumem valores prescritos na fronteira de D. Se L é a função de minimização e v é uma função suave arbitrária que desaparece no limite de D, em seguida, a primeira variação de $V [u + \ epsilon v]$ deve desaparecer:

$\ Frac {d} {d \ epsilon} V [u + \ epsilon v] | _ {\ epsilon = 0} = \ iint_D \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx \, dy = 0. \,$

Desde que u tem dois derivados, podemos aplicar o teorema da divergência para obter

$\ Iint_D \ nabla \ cdot (v \ nabla u) \, dx \, dy = \ iint_D \ nabla u \ cdot \ nabla v + v \ nabla \ cdot \ nabla u \, dx \, dy = \ int_C v \ frac {\ Part u} {\ n} ds parte, \,$

em que C é o limite de D, S é arclength C e ao longo $\ U parte / \ parte n$ é a derivada normal de u em C. Desde que v desaparecer em C e a primeira variação desaparece, o resultado é

$\ Iint_D v \ nabla \ cdot \ nabla u \, dx \, dy = 0 \,$

Para todas as funções v lisa que desaparecem no limite de D. A prova para o caso de uma integrais de dimensões podem ser adaptados a este processo para mostrar que

$\ Nabla \ cdot \ nabla u = 0 \,$ em D.

A dificuldade com esse raciocínio é a suposição de que a função de minimização u deve ter dois derivados. Riemann argumentou que a existência de uma função de minimização suave foi assegurado pela ligação com o problema físico:. Membranas de fato assumir configurações de energia com potencial mínimo de Riemann nomeado esta ideia princípio de Dirichlet em homenagem ao seu professor Dirichlet. No entanto Weierstrass deu um exemplo de um problema variacional sem solução: minimizar

$W [\ varphi] = \ int _ {- 1} ^ {1} (x \ varphi ') ^ 2 \, dx \,$

entre todas as funções φ que satisfaçam $\ Varphi (-1) = - 1$ e $\ Varphi (1) = 1.$ W pode ser feita arbitrariamente pequena, escolhendo funções lineares por partes que fazem a transição entre -1 e 1 em um pequeno bairro da origem. No entanto, não existe qualquer função que faz com que W = 0. A controvérsia resultante sobre a validade do princípio de Dirichlet é explicado http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Riemann.html. Eventualmente, foi mostrado que o princípio de Dirichlet é válida, mas exige uma aplicação sofisticada da teoria regularidade para equações diferenciais parciais elípticas; ver Jost e Li-Jost (1998).

Generalização para outros problemas de valor de contorno

A expressão mais geral para a energia potencial de uma membrana é

$V [\ varphi] = \ iint_D \ left [\ frac {1} {2} \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi + f (x, y) \ varphi \ right] \, dx \, dy \, + \ int_C \ left [\ frac {1} {2} \ sigma (s) \ varphi ^ 2 + g (s) \ varphi \ right] \, ds.$

Isto corresponde a uma densidade de força externa $f (x, y)$ em D, uma força externa $g (s)$ sobre a fronteira C, e as forças elásticas com módulo $\ Sigma (s)$ agindo sobre C. A função que minimize a energia potencial com nenhuma restrição sobre os seus valores de fronteira será denotado por u. Desde que f e g são contínuas, teoria regularidade implica que a função de minimização u vai ter dois derivados. Ao tomar a primeira variação, nenhuma condição de limite precisa ser imposto ao incremento v. A primeira variação do $V [u + \ epsilon v]$ é dado pela

$\ Iint_D \ left [\ nabla u \ cdot \ nabla v + fv \ right] \, dx \, dy + \ int_C \ left [\ sigma uv + gv \ right] \, ds = 0. \,$

Se aplicarmos o teorema da divergência, o resultado é

$\ Iint_D \ left [-v \ nabla \ cdot \ nabla u + vf \ right] \, dx \, dy + \ int_C v \ left [\ frac {\ part u} {\ n} parte + \ sigma u + g \ right] \, ds = 0. \,$

Se primeiro set v = 0 em C, a integral de contorno desaparece, e concluímos que, como antes

$- \ Nabla \ cdot \ nabla u + f = 0 \,$

em D. Então, se nós permitimos que v a assumir valores limites arbitrários, isto implica que u deve satisfazer a condição de contorno

$\ Frac {\ part u} {\ n} parte + \ sigma u + g = 0, \,$

em C. Note-se que esta condição de fronteira é uma consequência da propriedade minimizando de u: ele não é imposto de antemão. Tais condições são chamados de condições de contorno naturais.

O raciocínio anterior não é válida se $\ Sigma$ desaparece de forma idêntica em C. Em tal caso, pode permitir uma função de experimentação $\ Varphi \ equiv c$ , Onde c é uma constante. Para tal função julgamento,

$V [c] = c \ left [\ iint_D f \, dx \, dy + \ int_C g ds \ right].$

Por escolha apropriada do c, V pode assumir qualquer valor, a menos que a quantidade dentro dos colchetes desaparece. Portanto, o problema variacional é sem sentido a menos

$\ Iint_D f \, dx \, dy + \ int_C g \, ds = 0. \,$

Esta condição implica que as forças externas líquidas no sistema estão em equilíbrio. Se estas forças estão em equilíbrio, então o problema variacional tem uma solução, mas não é único, uma vez que uma constante arbitrária pode ser adicionado. Mais detalhes e exemplos estão em Courant e Hilbert (1953).

Problemas de valores próprios

Ambos os unidimensionais problemas de valores próprios e multi-dimensionais podem ser formulados como problemas variacional.

Problemas de Sturm-Liouville

O problema de valores próprios Sturm-Liouville envolve uma forma quadrática geral

$Q [\ varphi] = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ left [p (x) \ varphi '(x) ^ 2 + q (x) \ varphi (x) ^ 2 \ right] \, dx, \ ,$

onde φ é restrito a funções que satisfaçam as condições de contorno

$\ Varphi (x_1) = 0, \ quad \ varphi (x_2) = 0. \,$

Seja R uma normalização integrante

$R [\ varphi] = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} r (x) \ varphi (x) ^ 2 \, dx. \,$

As funções $p (x)$ e $r (x)$ são obrigados a estar em toda parte positiva e limitada a partir de zero. O problema variacional primário é o de minimizar a proporção de Q / R entre todos φ que satisfaça as condições de extremidade. Mostra-se abaixo que a equação de Euler-Lagrange para a minimização u é

$- (Pu ')' + q u - \ r u lambda = 0, \,$

onde λ é o quociente

$\ Lambda = \ frac {Q [u]} {R [u]}. \,$

Pode ser mostrado (ver Gelfand e Fomin 1963) que a minimização u tem dois derivados e satisfaz a equação de Euler-Lagrange. O λ associado será denotado por $\ Lambda_1$ ; é o menor valor próprio para esta equação e condições de contorno. A função de minimização associado será denotado por $u_1 (x)$ . Esta caracterização variacional de valores próprios conduz à Método de Rayleigh-Ritz: Escolha uma aproximação u como uma combinação linear de funções de base (por exemplo funções trigonométricas) e realizar uma minimização finito-dimensional entre tais combinações lineares. Este método é muitas vezes surpreendentemente precisas.

O lado menor valor próprio e autofunção pode ser obtido minimizando Q sob a restrição adicional

$\ Int_ {} ^ {x_1 x_2} r (x) u_1 (x) \ varphi (x) \, dx = 0. \,$

Este procedimento pode ser estendido para obter a sequência completa de valores e funções próprias para o problema.

O problema variacional também se aplica a condições de contorno mais gerais. Em vez de exigir que φ desaparecer nos pontos finais, não pode impor qualquer condição nos pontos finais, e definir

$Q [\ varphi] = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ left [p (x) \ varphi '(x) ^ 2 + q (x) \ varphi (x) ^ 2 \ right] \, dx + a_1 \ varphi (x_1) ^ 2 + a_2 \ varphi (x_2) ^ 2, \,$

onde $a_1$ e $a_2$ são arbitrárias. Se colocarmos $\ Varphi = u + \ epsilon v$ A primeira variação do rácio $Q / R$ é

$V_1 = \ frac {2} {R [u]} \ left (\ int_ {} ^ {x_1 x_2} \ left [p (x) u '(x) v' (x) + q (x) u (x ) v (x) - \ lambda u (x) v (x) \ right] \, dx + a_1 u (x_1) v (x_1) + a_2 u (x_2) v (x_2) \ right), \,$

onde λ é dada pela razão $Q [u] / R [u]$ como anteriormente. Depois de integração por partes,

$\ Frac {R [u]} {2} v_1 = \ int_ {} ^ {x_1 x_2} v (x) \ left [- (p u ')' + qu - \ lambda ru \ right] \, dx + v (x_1) [-p (x_1) u '(x_1) + a_1 u (x_1)] + v (x_2) [p (x_2 u' (x_2) + a_2 u (x_2). \,$

Se primeiro exigem que v desaparecer nos pontos finais, a primeira variação desaparecerá para todos tais v somente se

$- (P u ')' + qu - \ lambda ru = 0 \ quad \ hbox {for} \ quad x_1 <x <x_2 \,.$

Se u satisfaz esta condição, então a primeira variação desaparecerá para v arbitrária apenas se

$-p (x_1) u '(x_1) + a_1 u (x_1) = 0, \ quad \ hbox {e} \ quad p (x_2) u' (x_2) + a_2 u (x_2) = 0. \,$

Estas últimas condições são as condições de contorno naturais para este problema, uma vez que não são impostas sobre as funções experimentais para a minimização, mas são sim uma consequência da minimização.

Problemas de valores próprios em várias dimensões

Problemas de valores próprios em dimensões superiores são definidos por analogia com o caso unidimensional. Por exemplo, dado um domínio D com limite de B em três dimensões que definem pode

$Q [\ varphi] = \ iiint_D p (X) \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi + q (X) \ varphi ^ 2 \, dx \, dy \, dz + \ iint_B \ sigma (S) \ varphi ^ 2 \, DS, \,$

$R [\ varphi] = \ r iiint_D (X) \ varphi (X) ^ 2 \, dx \, dy \, dz. \,$

Seja u a função que minimiza o quociente $Q [\ varphi] / R [\ varphi],$ sem condição prevista na fronteira B. A equação de Euler-Lagrange satisfeito por u é

$- \ Nabla \ cdot (P (X) \ nabla L) + Q (X) L - \ lambda r (x) u = 0, \,$

onde

$\ Lambda = \ frac {Q [u]} {R [u]}. \,$

A minimização u também deve satisfazer a condição fronteira natural

$p (S) \ frac {\ part u} {\ n} parte + \ sigma (S) u = 0,$

no limite B. Este resultado depende da teoria regularidade para equações diferenciais parciais elípticas; ver Jost e Li-Jost (1998) para mais detalhes. Muitas extensões, incluindo resultados de integralidade, propriedades assintóticas dos valores e resultados relativos aos nós das funções próprias estão em Courant e Hilbert (1953).

Aplicações

Algumas aplicações do cálculo das variações incluem:

A derivação do Forma de catenária
O Problema Braquistócrona
Problemas isoperimétrica
Geodésicas em superfícies
Superfícies mínimas e O problema de Plateau
Controle Ótimo

Princípio de Fermat

Princípio afirma Fermat que a luz leva um caminho que (localmente) minimiza o comprimento óptico entre seus endpoints. Se a coordenada x x é escolhido como o parâmetro ao longo do caminho, e $y = f (x)$ ao longo do trajecto, em seguida, o comprimento óptico é dado pela

$A [f] = \ int_ {x = x_0} ^ {x_1} n (x, f (x)) \ sqrt {1 + f '(x) ^ 2} dx, \,$

onde o índice de refracção $n (x, y)$ depende do material. Se tentarmos $f (x) = f_0 (x) + \ f_1 epsilon (x)$ então o Uma primeira variação da (o derivado de A em relação a ε) é

$\ Delta A [f_0, f_1] = \ int_ {x = x_0} ^ {x_1} \ left [\ frac {n (x, f_0) f_0 '(x) f_1' (x)} {\ sqrt {1 + f_0 '(x) ^ 2}} + n_y (x, f_0) f_1 \ sqrt {1 + f_0' (x) ^ 2}] dx \ right.$

Após a integração por partes do primeiro termo entre colchetes, obtemos a equação de Euler-Lagrange

$- \ Frac {d} {dx} \ left [\ frac {n (x, f_0) f_0 '} {\ sqrt {1 + f_0' ^ 2}} \ right] + n_y (x, f_0) \ sqrt {1 + f_0 '(x) ^ 2} = 0. \,$

Os raios de luz podem ser determinadas integrando esta equação.

A lei de Snell

Há uma descontinuidade do índice de refracção da luz quando entra ou sai de uma lente. Deixar

$n (x, y) = n_- \ quad \ hbox {if} \ quad x <0, \,$

$n (x, y) = n_ + \ quad \ hbox {if} \ quad x> 0, \,$

onde $n_-$ e $n_ +$ são constantes. Em seguida, a equação de Euler-Lagrange tem como antes na região onde x <0 ou x> 0, e, de facto, o caminho é uma linha recta que, uma vez que o índice de refracção é constante. No x = 0, f deve ser contínua, mas f 'pode ser descontínua. Depois de integração por partes das regiões separadas e usando as equações de Euler-Lagrange, a primeira variação assume a forma

$\ Delta A [f_0, f_1] = f_1 (0) \ left [n _- \ frac {f_0 '(0 _-)} {\ sqrt {1 + f_0' (0 _-) ^ 2}} -n _ + \ frac { f_0 '(0 _ +)} {\ sqrt {1 + f_0' (0 _ +) ^ 2}} \ right]. \,$

O fator de multiplicação $n_-$ é o seno do ângulo do raio incidente com o eixo dos x, e o factor de multiplicação $n_ +$ é o seno do ângulo do raio refractado com o eixo x. A lei de Snell para a refração exige que estas condições sejam iguais. Como demonstra este cálculo, a lei de Snell é equivalente a fuga da primeira variação do comprimento do caminho óptico.

Princípio de Fermat em três dimensões

É conveniente usar a notação vetor: deixe $X = (x_1, x_2, x_3),$ Seja T um parâmetro, vamos $X (t)$ ser a representação paramétrica de uma curva C, e deixá- $\ Ponto X (t)$ ser o seu vector tangente. O comprimento da curva óptica é dada pela

$A [C] = \ int_ {t = t_0} ^ {} t_1 n (X) \ sqrt {\ dot X \ cdot \ dot X} dt. \,$

Note-se que esta integral é invariante no que diz respeito a mudanças na representação paramétrica de C. As equações de Euler-Lagrange para uma curva de minimizar têm a forma simétrica

$\ Frac {d} {dt} P = \ sqrt {\ dot X \ cdot \ dot X} \ nabla n, \,$

onde

$P = \ frac {n (X) \ dot X} {\ sqrt {\ dot X \ cdot \ dot X}}. \,$

Resulta da definição que satisfaz P

$P \ cdot P = N (X) ^ 2. \,$

Por conseguinte, o integral pode também ser escrito como

$A [C] = \ int_ {t = t_0} ^ {} P t_1 \ cdot \ dot X \, dt. \,$

Esta forma sugere que se nós podemos encontrar uma função ψ cujo gradiente é dada por P, então o A integral é dada pela diferença de ψ nos extremos do intervalo de integração. Assim, o problema de se estudar as curvas que formam a estacionário integral pode estar relacionado com o estudo das superfícies de nível de ψ. A fim de se encontrar essa função, nos voltamos para a equação de onda, que rege a propagação da luz.

Conexão com a equação de onda

O equação de onda para um meio não homogêneo é

$U_ {tt} = c ^ 2 \ nabla \ cdot \ nabla u, \,$

em que c é a velocidade, que depende geralmente X. Frentes de onda de luz são superfícies característicos para esta equação diferencial parcial: eles satisfazem

$\ Varphi_t ^ 2 = c (x) ^ 2 \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi. \,$

Podemos olhar para soluções sob a forma

$\ Varphi (t, x) = t - \ psi (X). \,$

Nesse caso, satisfaz ψ

$\ Nabla \ psi \ cdot \ nabla \ psi = n ^ 2, \,$

onde $n = 1 / c.$ De acordo com a teoria da equações diferenciais parciais de primeira ordem, se $P = \ nabla \ psi,$ em seguida, satisfaz P

$\ Frac {} {dP ds} = 2 n \ nabla n, \,$

ao longo de um sistema de curvas (os raios de luz) que são dadas por

$\ Frac {dx} {} = ds P. \,$

Essas equações para solução de uma equação diferencial parcial de primeira ordem são idênticas às equações de Euler-Lagrange se fazer a identificação

$\ Frac {} {ds dt} = \ frac {\ sqrt {\ dot X \ cdot \ dot X}} {n}. \,$

Conclui-se que a função ψ é o valor da minimização de uma integral como uma função do ponto de extremidade superior. Isto é, quando uma família de curvas minimizando é construída, os valores do comprimento óptico satisfazer a equação característica correspondente à equação da onda. Assim, resolvendo a equação diferencial parcial associado de primeira ordem é equivalente a encontrar famílias de soluções para o problema variacional. Este é o conteúdo essencial do Teoria Hamilton-Jacobi, que se aplica a mais problemas variacionais gerais.

O princípio de ação

A acção foi definido por Hamilton para ser o integral do tempo de Lagrange, G, que é definida como uma diferença de energias:

$L = T - L, \,$

em que T é a energia cinética de um sistema mecânico e U é a energia potencial. Princípio de Hamilton (ou princípio a ação) afirma que o movimento de um conservador holônomos (restrições integráveis) sistema mecânico é tal que a ação integral

$A [C] = \ int_ {t = t_0} ^ {} t_1 L (x, \ ponto x, t) dt \,$

é estacionária em relação às variações no caminho x (t). As equações de Euler-Lagrange para este sistema são conhecidas como equações de Lagrange:

$\ Frac {d} {dt} \ frac {\ part L} {\ part \ dot x} = \ frac {\ part L} {\ part x}, \,$

e eles são equivalentes às equações do movimento de Newton (para tais sistemas).

O conjugado momentos P são definidos por

$p = \ frac {\ part L} {\ part \ dot x}. \,$

Por exemplo, se

$T = \ frac {1} {2} m \ dot x ^ 2, \,$

em seguida

$p = m \ dot x. \,$

Mecânica hamiltoniana resultados se a momentos conjugados são introduzidos no lugar de $\ Dot x$ , E o L Lagrangeanos é substituído pelo hamiltoniano H definido pela

$H (x, p, t) = P \, \ ponto x - L (x, \ ponto x, t) \,$

O hamiltoniano é a energia total do sistema: H = T + L. Analogia com o princípio de Fermat sugere que as soluções de equações de Lagrange (as trajectórias das partículas) pode ser descrito em termos de superfícies de nível de alguma função de X. Esta função é uma solução do Equação de Hamilton-Jacobi:

$\ Frac {\ part \ psi} {\ part t} + H (x, \ frac {\ part \ psi} {\ part x}, t) = 0. \,$

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