Sistema de coordenadas cartesianas

Figo. 1 - sistema de coordenadas cartesianas. Quatro pontos são marcados: (2,3) em verde, (-3,1) em vermelho, (-1,5, -2,5) em azul e (0,0), a origem, em amarelo.

Figo. 2 - sistema de coordenadas cartesianas com o círculo de raio 2 centrado na origem marcados em vermelho. A equação do círculo é x ² + y ² = 4.

Em matemática , o sistema de coordenadas cartesiano (também chamado sistema de coordenadas rectangulares) é usado para determinar cada apontar exclusivamente em um avião por meio de dois números , geralmente chamado de coordenada x ou abscissa ea coordenada y ou ordenada do ponto. Para definir as coordenadas, dois perpendicular linhas dirigidas (o eixo-x, e o eixo-y), são especificados, bem como a unidade de comprimento, que é marcada em ambos os eixos (ver Figura 1). Sistemas de coordenadas cartesianas também são utilizados em espaço (onde são usados três coordenadas) e em dimensões superiores.

Usando o sistema de coordenadas cartesianas, geométricas formas (como curvas ) pode ser descrito por algébricas equações , ou seja, equações satisfeitas pelas coordenadas dos pontos encontram-se na forma. Por exemplo, o círculo de raio de 2 pode ser descrito pela equação x ² + y ² = 4 (ver Figura 2).

História

Meios cartesianas relativas à Francês matemático e filósofo René Descartes (em latim: Cartesius), que, entre outras coisas, trabalhou para mesclar álgebra e geometria euclidiana . Este trabalho foi influente no desenvolvimento da geometria analítica , cálculo , e cartografia.

A idéia deste sistema foi desenvolvido em 1637 em dois textos de Descartes e de forma independente por Pierre de Fermat , embora Fermat não publicou a descoberta. Na segunda parte de seu Discurso do Método, Descartes apresenta a nova ideia de especificar a posição de um ponto ou objeto em uma superfície, usando dois eixos que se cruzam como guias de medição. Em La Géométrie, ele explora ainda mais os conceitos acima mencionados.

Bidimensional sistema de coordenadas

Figo. 3 - Os quatro quadrantes de um sistema de coordenadas cartesianas. As setas nos eixos indicam que eles estendem para sempre em suas respectivas direções (ou seja infinitamente).

Um cartesiano sistema de coordenadas em duas dimensões é geralmente definida por dois eixos, em ângulos rectos entre si, formando um plano (um -plane xy). O eixo horizontal é normalmente marcado com x, ea eixo vertical é normalmente rotulado y. Em um sistema de coordenadas tridimensional, um outro eixo, z normalmente rotulado, é adicionada, proporcionando uma terceira dimensão de medição de espaço. Os eixos são comumente definida como mutuamente ortogonais entre si (cada um em ângulo recto para o outro). (Os primeiros sistemas permitidos eixos "oblíquas", isto é, os eixos que não se encontram em ângulos retos, e tais sistemas são usados ocasionalmente hoje, embora em sua maioria como exercícios teóricos.) Todos os pontos em um sistema de coordenadas cartesianas, em conjunto, formam uma so- chamado plano cartesiano. Equações que utilizam o sistema de coordenadas cartesianas são chamadas equações cartesianas.

O ponto de intersecção, em que os eixos se encontram, é chamado a origem normalmente marcado com S. A eixos x e y definem um plano que é referido como o plano xy. Dada cada eixo, escolha uma unidade de comprimento, e marcar cada unidade ao longo do eixo, formando uma grade. Para especificar um ponto particular de um sistema de coordenadas bidimensional, indicar a primeira unidade x (abcissa), seguido pela unidade de y (ordenada) na forma (x, y), um par ordenado.

A escolha de cartas vem de uma convenção, para utilizar a última parte do alfabeto para indicar valores desconhecidos. Em contraste, a primeira parte do alfabeto foi usada para designar os valores conhecidos.

Um exemplo de um ponto P sobre o sistema é indicado na Figura 3, usando a coordenada (3,5).

A intersecção dos dois eixos cria quatro regiões, chamados quadrantes, indicadas pelos numerais romanos I (+, +), II (-, +), III (-, -), e IV (+, -). Convencionalmente, os quadrantes são etiquetados anti-horário a partir do canto superior direito ("nordeste") quadrante. No primeiro quadrante, ambas as coordenadas são positivas, no segundo quadrante x -coordena são negativos e y -coordena positivo, no terceiro quadrante ambas as coordenadas são negativos e, no quarto quadrante, -coordena x são positivos e y -coordena negativa ( veja a tabela abaixo.)

Sistema tridimensional de coordenadas

Figo. 4 - tridimensional sistema de coordenadas cartesianas com eixo y apontando para longe do observador.

Figo. 5 - tridimensional sistema de coordenadas cartesianas com o eixo dos x a apontar para o observador.

O coordenar superfícies das coordenadas cartesianas (x, y, z). O -axis z é vertical eo eixo x é destaque em verde. Assim, o vermelho plano mostra os pontos com x = 1, o azul plano mostra os pontos com z = 1, e o plano amarelo mostra os pontos de y = -1. Os três superfícies intersectam no ponto P (mostrado como uma esfera negra) com as coordenadas cartesianas (1,0, -1,0, 1,0).

O dimensional sistema de coordenadas cartesianas três fornece as três dimensões físicas do espaço - comprimento, largura e altura. As Figuras 4 e 5 mostram duas formas mais comuns de representar isso.

Os três eixos cartesianos que definem o sistema são perpendiculares uns aos outros. As coordenadas relevantes são da forma (x, y, z). Como exemplo, a figura 4 mostra dois pontos plotados em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional: P (3,0,5) e Q (-5, -5,7). Os eixos são retratados em uma "coordenadas mundo" orientação com o z -axis apontando para cima.

As x -, y - e Z -coordena de um ponto também pode ser tomado como as distâncias do -plane yz, xz -plane, e -plane xy respectivamente. A Figura 5 mostra as distâncias de ponto P a partir de aviões.

O xy -, yz -, e -planes xz dividem o espaço tridimensional em oito subdivisões conhecidas como octantes, semelhantes aos quadrantes do espaço 2D. Enquanto foram estabelecidas convenções para a rotulagem dos quatro quadrantes do x - y avião, apenas o primeiro octant de espaço tridimensional é rotulado. Contém todos os pontos cujo x, y, e z são coordenadas positivo.

A coordenada x z também é chamado applicate.

Orientação e lateralidade

Em duas dimensões

O regra da mão direita.

A fixação ou a escolha do eixo x determina o eixo y até direção. Ou seja, o eixo y é necessariamente o perpendicular ao eixo x através do ponto marcado 0 sobre o eixo x. Mas existe uma escolha de qual das duas meias linhas na perpendicular para designar como positiva e que, como negativo. Cada uma destas duas escolhas determina uma orientação diferente (também chamado lateralidade) do plano cartesiano.

A maneira usual de orientar os eixos, com o x positivo -axis apontando para a direita eo y positivo -axis apontando para cima (eo eixo x ser o "primeiro" eo eixo y o "segundo" eixo) é considerado o positivo ou orientação padrão, também chamado de orientação destro.

Uma mnemônica comumente usado para definir a orientação positiva é a regra da mão direita. Colocar a mão direita um pouco fechado no avião com o polegar apontando para cima, os dedos apontam a partir do eixo x para o eixo y, em um sistema orientado positivamente coordenadas.

A outra maneira de orientar os eixos está seguindo a regra da mão esquerda, colocando a mão esquerda no avião com o polegar apontando para cima.

Independentemente da regra utilizada para orientar os eixos, rotação do sistema de coordenadas irá preservar a orientação. Mudar o papel de X e Y irá inverter a orientação.

Em três dimensões

Figo. 7 - A orientação à esquerda é mostrado no lado esquerdo, e o direito entregou-à direita.

Figo. 8 - O destro sistema de coordenadas cartesianas indicando os planos coordenados.

Uma vez que o x - e y -axes são especificados, eles determinam a linha ao longo da qual as -axis z deve mentir, mas há duas possíveis direções nesta linha. Os dois possíveis sistemas de coordenadas que resultam são chamados de "destro" e "canhoto". A orientação normal, onde o -plane xy é horizontal e a z -axis aponta para cima (e o x - e o eixo y formam um sistema bi-dimensional de coordenadas orientado positivamente no -plane xy se observado a partir de cima a -plane xy ) é chamado destro ou positivo.

O nome deriva do regra da mão direita. Se o dedo indicador da mão direita está apontado para a frente, o dedo médio dobrado para dentro em um ângulo direito a ela, ea polegar colocado em um ângulo direito para tanto, os três dedos indicam as instruções relativas do x -, y - e -axes z em um sistema destro. O polegar indica o eixo x, o dedo indicador da -axis y eo dedo médio da z -axis. Por outro lado, se o mesmo é feito com a mão esquerda, os resultados do sistema de canhotos.

A Figura 7 é uma tentativa de que descreve um esquerdo e um sistema de coordenadas destro. Uma vez que um objecto tridimensional é representado no resultado ecrã bidimensional, a distorção e ambiguidade. O eixo que aponta para baixo (e para a direita) também se destina a apontar em direcção ao observador, enquanto que o eixo "média" é utilizado para apontar para longe do observador. O círculo vermelho é paralelo ao xy -plane horizontal e indica a rotação do eixo x -axis ao y (em ambos os casos). Daí a seta vermelha passa em frente do -axis z.

A Figura 8 é uma outra tentativa de descrever um sistema de coordenadas destro. Mais uma vez, existe uma ambiguidade provocada por projecta o sistema de coordenadas tridimensional para dentro do plano. Muitos observadores veja a Figura 8 como "lançando dentro e fora" entre um cubo convexa e uma côncava "corner". Isto corresponde às duas possíveis orientações do sistema de coordenadas. Vendo a figura como convexo dá um sistema de coordenadas da mão esquerda. Assim, a maneira "correta" para ver a Figura 8 é imaginar o eixo x como apontando para o observador e, portanto, de ver um canto côncavo.

Representando um vetor na base padrão

Um ponto no espaço num sistema de coordenadas cartesiano pode também ser representado por um vector, que pode ser pensado como uma seta que aponta a partir da origem do sistema de coordenadas para o ponto. Se as coordenadas representam posições espaciais (deslocamentos) é comum para representar o vetor da origem até o ponto de interesse, . Em três dimensões, o vector desde a origem até ao ponto com coordenadas cartesianas é por vezes escrito como:

onde , E são vetores unitários que apontam na mesma direção que o , E eixos, respectivamente. Isto é o quaternion representação do vector, e foi introduzido por Sir William Rowan Hamilton. Os vectores unitários , E são chamados os versors do sistema de coordenadas, e são os vectores do base padrão em três dimensões.

Aplicações

Coordenadas cartesianas são muitas vezes utilizadas para representar duas ou três dimensões do espaço, mas que também pode ser utilizado para representar muitos outros (por exemplo, quantidades de massa, o tempo, força, etc.). Em tais casos, os eixos de coordenadas irá tipicamente ser marcados com outras letras (tais como a M, T, F, etc), em vez de x, y, e z. Cada eixo pode também ter diferente unidades de medida associados (tais como quilogramas, segundo, libras, etc.). É também possível definir sistemas de coordenadas com mais de três dimensões para representar relações entre mais do que três quantidades. Apesar de espaços de quatro e mais dimensões são de difícil visualização, a álgebra de coordenadas cartesianas pode ser estendida de forma relativamente fácil para quatro ou mais variáveis, de modo que certos cálculos que envolvem muitas variáveis pode ser feito. (Este tipo de extensão algébrico é o que é usado para definir a geometria dos espaços de dimensões superiores, o que pode tornar-se bastante complicado.) Por outro lado, muitas vezes é útil usar a geometria de coordenadas cartesianas em duas ou três dimensões para visualizar relações entre algébricas dois ou três (talvez duas ou três das muitas) variáveis não-espaciais.