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Distribuição qui-quadrado

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qui-quadrado
Função densidade de probabilidade
DistributionPDF.png Qui-quadrado
Função de distribuição cumulativa
DistributionCDF.png Qui-quadrado
Parâmetros k> 0 \, graus de liberdade
Apoio x \ in [0; + \ Infty) \,
PDF \ Frac {(1/2) ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2) x ^} {k / 2 - 1} e ^ {- x / 2} \,
CDF \ Frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} \,
Significar k \,
Mediano aproximadamente k-2/3 \,
Modo k-2 \, se k \ geq 2 \,
Variação 2 \, k \,
Assimetria \ Sqrt {8 / k} \,
Ex. curtose 12 / k \,
Entropy \ Frac {k} {2} \ + \ \ ln (2 \ Gamma (k / 2)) \ + \ (1 \ -! \ K / 2)!!!! \ Psi (k / 2)
MGF (1-2 \, t) ^ {- k / 2} para 2 \, t <1 \,
CF (1-2 \, \ i, t) ^ {- k / 2} \,

Em teoria da probabilidade e estatística , a distribuição qui-quadrado (também qui-quadrado ou \ Chi ^ 2 distribuição) é um dos mais amplamente utilizados teóricas distribuições de probabilidades em estatística inferencial, por exemplo, em testes de significância estatística. Ele é útil porque, sob suposições razoáveis, quantidades facilmente calculados pode ser provado ter distribuições que aproximados para a distribuição qui-quadrado, se o hipótese nula é verdadeira.

Se X_i são k , independentes normalmente distribuídas variáveis aleatórias com média 0 e variância 1, então a variável aleatória

Q = \ sum_ {i = 1} ^ k ^ 2 x_i

é distribuído de acordo com a distribuição qui-quadrado. Isso geralmente é escrito

Q \ sim \ chi ^ 2_k. \,

A distribuição qui-quadrado tem um parâmetro: k - Um número inteiro positivo, que especifica o número de graus de liberdade (isto é, o número de X_i )

A distribuição do Qui-quadrado é um caso especial do distribuição gama.

As situações mais conhecidos em que a distribuição qui-quadrado são usados são o comum testes qui-quadrado para bondade de ajuste de uma distribuição observada para uma teórica, e do independência dos dois critérios de classificação de dados qualitativos. No entanto, muitos outros testes estatísticos levar a uma utilização desta distribuição. Um exemplo é Análise de Friedman de variância por postos.

Características

Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade da distribuição qui-quadrado é

f (x; k) = \ begin {cases} \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)} \, x ^ {(k / 2) - 1} e ^ {-x / 2} & \ texto {for} x> 0, \\ 0 & \ texto {for} x \ le0, \ end {cases}

onde \ Gamma indica o Função Gamma, que leva valores particulares nas meias-inteiros.

Função de distribuição cumulativa

Sua função de distribuição cumulativa é:

F (x; k) = \ frac {\ gama (k / 2, X / 2)} {\ Gama (k / 2)} = P (k / 2, X / 2)

onde \ Gama (k, z) é o baixa função Gamma incompleta e P (k, z) é o função Gamma regularizada.

Tabelas dessa distribuição - geralmente na sua forma cumulativa - estão amplamente disponíveis ea função é incluído em muitos planilhas e tudo pacotes estatísticos.

Função característica

O função característica da distribuição qui-quadrado é

\ Chi. (T; k) = (1-2it) ^ {- k / 2} \,

Propriedades

A distribuição qui-quadrado tem inúmeras aplicações em inferencial estatísticas , por exemplo em testes qui-quadrado e para a estimativa desvios . Entra o problema de calcular a média de uma população normalmente distribuídos e o problema de estimar a inclinação de uma regressão linha através do seu papel na distribuição t de Student . Ele entra tudo A análise de variância problemas através do seu papel na F-distribuição, que é a distribuição da relação de dois qui-quadrado independentes variáveis aleatórias divididos pelos seus respectivos graus de liberdade.

Aproximação normal

Se X \ sim \ chi ^ 2_k , Em seguida, como k tende para o infinito, a distribuição de X tende a normalidade. No entanto, a tendência é lento (a assimetria é \ Sqrt {8 / k} eo excesso de curtose é 12 / k ) E duas transformações são normalmente considerados, cada uma das quais se aproxima de normalidade mais rápido do que X si:

Fisher mostrou empiricamente que \ Sqrt {2X} é aproximadamente normalmente distribuído com média \ Sqrt {2k-1} e uma unidade de desvio. É possível chegar ao mesmo resultado aproximação normal usando momento correspondente. Para ver isto, considere a média ea variância de uma variável aleatória Chi-distribuídos z = \ sqrt {X} , Que são dadas por \ Mu_z = \ sqrt {2} \ frac {\ Gamma \ left (k / 2 + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (k / 2 \ right)} e \ Sigma_z ^ 2 = k- \ mu_z ^ 2 , Onde \ Gamma (\ cdot) é a função Gama. A proporção particular de as funções Gamma em \ Mu_z tem a seguinte série de expansão :

\ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \ right)} = \ sqrt {N} \ left (1- \ frac {1} {} 8N + \ frac {1} {2} ^ 128N + \ frac {5} {3} 1024N ^ - \ frac {21} {4} 32768N ^ + \ ldots \ direita). Quando N \ gg 1 , Esta proporção pode ser estimado da seguinte forma: \ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.

Então, momento simples resultado de acordo no seguinte aproximação das z : z \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {k-1/2}, \ frac {1} {2} \ right) , A partir do qual se segue que \ Sqrt {2X} \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {2k-1}, 1 \ right) .

Wilson e Hilferty mostrou em 1931 que \ Sqrt [3] {X / k} é aproximadamente normalmente distribuído com média 1-2 / (9k) e variância 2 / (9k) .

O valor esperado de uma variável aleatória de distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade é k ea variância é 2k . A mediana é dada aproximadamente por

k- \ frac {2} {3} + \ frac {4} {} 27k - \ frac {8} {2} ^ 729k.

Note-se que dois graus de liberdade de chumbo para uma distribuição exponencial .

Informações entropia

O entropia da informação é dada pela

H = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x; k) \ ln (f (x; k)) dx = \ frac {k} {2} + \ ln \ left (2 \ Gamma \ left ( \ frac {k} {2} \ right) \ right) + \ left (1 - \ frac {k} {2} \ right) \ psi (k / 2).

onde \ Psi (x) é o Digamma função.

Distribuições relacionados

  • X \ sim \ mathrm {} Exponencial (\ lambda = \ frac {1} {2}) é uma distribuição exponencial se X \ sim \ chi_2 ^ 2 (Com dois graus de liberdade).
  • Y \ sim \ chi_k ^ 2 é uma distribuição qui-quadrado se Y = \ sum_ {m = 1} ^ k ^ 2 x_m para X_i \ sim N (0,1) independente, que são normalmente distribuídos .
  • Se o X_i \ sim N (\ mu_i, 1) têm meios diferentes de zero, em seguida, Y = \ sum_ {m = 1} ^ k ^ 2 x_m é desenhado a partir de um distribuição qui-quadrado não central.
  • A distribuição qui-quadrado X \ sim \ chi ^ 2_ \ nu é um caso especial do distribuição gama, em que X \ sim \ textrm {Gamma} (\ tfrac {\ nu} {2}, 2) .
  • Y \ sim \ mathrm {F} (\ nu_1, \ nu_2) é um F-distribuição se Y = \ frac {X_1 / \ nu_1} {X_2 / \ nu_2} onde X_1 \ sim \ chi _ {\ nu_1} ^ 2 e X_2 \ sim \ chi _ {\ nu_2} ^ 2 são independentes com os respectivos graus de liberdade.
  • Y \ sim \ chi ^ 2 (\ bar {\ nu}) é uma distribuição qui-quadrado se Y = \ sum_ {m = 1} ^ N x_m onde X_m \ sim \ chi ^ 2 (\ nu_m) são independentes e \ Bar {\ nu} = \ sum_ {m = 1} ^ N \ nu_m .
  • se X é distribuído qui-quadrado, em seguida, \ Sqrt {X} é chi distribuído.
  • em particular, se X \ sim \ chi_2 ^ 2 (Qui-quadrado com 2 graus de liberdade), em seguida, \ Sqrt {X} é Rayleigh distribuído.
  • se X_1, \ pontos, X_n são iid N (\ mu, \ sigma ^ 2) variáveis aleatórias , em seguida, \ Sum_ {i = 1} ^ n (x_i - \ bar X) ^ 2 \ sim \ sigma ^ 2 \ chi ^ 2_ {n-1} onde \ Bar X = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i .
  • se X \ sim \ mathrm {SkewLogistic} (\ frac {1} {2}) \, , Então \ Mathrm {} log (1 + e ^ {- X}) \ sim \ chi_2 ^ 2 \,
Vários chi e distribuições qui-quadrado
Nome Estatística
distribuição qui-quadrado \ Sum_ {i = 1} ^ k \ frac {\ left (X_i- \ mu_i \ right) ^ 2} {\ sigma_i ^ 2}
qui-quadrado não central de distribuição \ Sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {x_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2
distribuição chi \ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}
distribuição chi não central \ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {x_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}
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