Distribuição qui-quadrado
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Função densidade de probabilidade | |
Função de distribuição cumulativa | |
Parâmetros | graus de liberdade |
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Apoio | |
CDF | |
Significar | |
Mediano | aproximadamente |
Modo | se |
Variação | |
Assimetria | |
Ex. curtose | |
Entropy | |
MGF | para |
CF |
Em teoria da probabilidade e estatística , a distribuição qui-quadrado (também qui-quadrado ou distribuição) é um dos mais amplamente utilizados teóricas distribuições de probabilidades em estatística inferencial, por exemplo, em testes de significância estatística. Ele é útil porque, sob suposições razoáveis, quantidades facilmente calculados pode ser provado ter distribuições que aproximados para a distribuição qui-quadrado, se o hipótese nula é verdadeira.
Se são k , independentes normalmente distribuídas variáveis aleatórias com média 0 e variância 1, então a variável aleatória
é distribuído de acordo com a distribuição qui-quadrado. Isso geralmente é escrito
A distribuição qui-quadrado tem um parâmetro: - Um número inteiro positivo, que especifica o número de graus de liberdade (isto é, o número de )
A distribuição do Qui-quadrado é um caso especial do distribuição gama.
As situações mais conhecidos em que a distribuição qui-quadrado são usados são o comum testes qui-quadrado para bondade de ajuste de uma distribuição observada para uma teórica, e do independência dos dois critérios de classificação de dados qualitativos. No entanto, muitos outros testes estatísticos levar a uma utilização desta distribuição. Um exemplo é Análise de Friedman de variância por postos.
Características
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade da distribuição qui-quadrado é
onde indica o Função Gamma, que leva valores particulares nas meias-inteiros.
Função de distribuição cumulativa
Sua função de distribuição cumulativa é:
onde é o baixa função Gamma incompleta e é o função Gamma regularizada.
Tabelas dessa distribuição - geralmente na sua forma cumulativa - estão amplamente disponíveis ea função é incluído em muitos planilhas e tudo pacotes estatísticos.
Função característica
O função característica da distribuição qui-quadrado é
Propriedades
A distribuição qui-quadrado tem inúmeras aplicações em inferencial estatísticas , por exemplo em testes qui-quadrado e para a estimativa desvios . Entra o problema de calcular a média de uma população normalmente distribuídos e o problema de estimar a inclinação de uma regressão linha através do seu papel na distribuição t de Student . Ele entra tudo A análise de variância problemas através do seu papel na F-distribuição, que é a distribuição da relação de dois qui-quadrado independentes variáveis aleatórias divididos pelos seus respectivos graus de liberdade.
Aproximação normal
Se , Em seguida, como tende para o infinito, a distribuição de tende a normalidade. No entanto, a tendência é lento (a assimetria é eo excesso de curtose é ) E duas transformações são normalmente considerados, cada uma das quais se aproxima de normalidade mais rápido do que si:
Fisher mostrou empiricamente que é aproximadamente normalmente distribuído com média e uma unidade de desvio. É possível chegar ao mesmo resultado aproximação normal usando momento correspondente. Para ver isto, considere a média ea variância de uma variável aleatória Chi-distribuídos , Que são dadas por e , Onde é a função Gama. A proporção particular de as funções Gamma em tem a seguinte série de expansão :
Quando , Esta proporção pode ser estimado da seguinte forma:
Então, momento simples resultado de acordo no seguinte aproximação das : , A partir do qual se segue que .
Wilson e Hilferty mostrou em 1931 que é aproximadamente normalmente distribuído com média e variância .
O valor esperado de uma variável aleatória de distribuição qui-quadrado com graus de liberdade é ea variância é . A mediana é dada aproximadamente por
Note-se que dois graus de liberdade de chumbo para uma distribuição exponencial .
Informações entropia
O entropia da informação é dada pela
onde é o Digamma função.
Distribuições relacionados
- é uma distribuição exponencial se (Com dois graus de liberdade).
- é uma distribuição qui-quadrado se para independente, que são normalmente distribuídos .
- Se o têm meios diferentes de zero, em seguida, é desenhado a partir de um distribuição qui-quadrado não central.
- A distribuição qui-quadrado é um caso especial do distribuição gama, em que .
- é um F-distribuição se onde e são independentes com os respectivos graus de liberdade.
- é uma distribuição qui-quadrado se onde são independentes e .
- se é distribuído qui-quadrado, em seguida, é chi distribuído.
- em particular, se (Qui-quadrado com 2 graus de liberdade), em seguida, é Rayleigh distribuído.
- se são iid variáveis aleatórias , em seguida, onde .
- se , Então
Nome | Estatística |
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distribuição qui-quadrado | |
qui-quadrado não central de distribuição | |
distribuição chi | |
distribuição chi não central |