Anel comutativo

Em teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata , um anel comutativo é um anel em que a operação de multiplicação obedece à lei comutativa . Isto significa que, se a e b são os elementos do anel, então a × b = b x a.

O estudo dos anéis comutativos é chamado álgebra comutativa.

Exemplos

• O exemplo mais importante é o anel dos inteiros com as duas operações de adição e multiplicação. Multiplicação de números inteiros ordinária é comutativa. Este anel é geralmente denotada Z na literatura para significar a palavra alemã Zahlen (números).
• Os racionais , reais e complexos números formar anéis comutativos; na verdade, eles são mesmo campos.
• Mais em geral, cada campo é um anel conmutativo, portanto, a classe de campos é uma subclasse da classe de anéis comutativos.
• Um exemplo simples de um anel não-comutativa é a conjunto de todos os 2-por-2 matrizes cujas entradas são números reais. Por exemplo, a multiplicação de matrizes

não é igual ao produto realizado na ordem inversa:

• Se n é um inteiro positivo, então o conjunto de Z _n inteiros módulo n forma um anel comutativo com n elementos (ver aritmética modular ).
• Se R é um dado anel comutativo, então o conjunto de todos os polinômios na variável X cujos coeficientes estão em R forma um novo anel comutativo, denotado R [X].
• Da mesma forma, o conjunto de séries de potências formais R [[X _1, ..., X _n]] ao longo de um anel comutativo R é um anel comutativo. Se R é um campo, o anel formal de séries de potência é um tipo especial de anel comutativo, chamado de completo anel local.
• O conjunto de todos os números racionais comuns cujo denominador é formas ímpares um anel comutativo, na verdade, um anel local. Este anel contém o anel de números inteiros adequadamente, e é ela própria um subconjunto apropriado do campo racional.
• Se p é qualquer número primo , o conjunto de p inteiros -adic forma um anel comutativo.
• Um conjunto de matrizes que podem ser diagonalizado com a mesma transformação de similaridade forma um anel comutativo. Um exemplo é o conjunto de matrizes de diferenças divididas em relação a um conjunto fixo de nós.

A construção de anéis comutativos

Dado um anel comutativo, pode-se usá-lo para construir novos anéis, conforme descrito abaixo.

• Anel Factor: Dado um anel comutativo R e um ideal I de R, o anel factor R / I é o conjunto de classes laterais de I, em conjunto com as operações de (a + I) + (B + i) = (a + b) + I e (a + I) (b + I) = ab + I .
• Localização: Se S for um subconjunto multiplicativo de um anel comutativo R então podemos definir a localização de R em S, ou anel de frações com denominadores em S, geralmente denotado S ^-1 R. O exemplo acima é o penúltimo localização do anel de números inteiros no subconjunto multiplicativo de números inteiros impares. O campo de racionais é a localização do anel conmutativo de inteiros no conjunto multiplicativo de números inteiros diferentes de zero.
• Conclusão: Se eu é um ideal em um anel comutativo R, os poderes do eu formar bairros topológicas de 0 que permitem que R a ser visto como um anel topológico. Esta topologia é chamado a topologia -adic I. R pode, em seguida, ser completado com respeito a esta topologia. Formalmente, a conclusão -adic I é a limite inverso da anéis R / I ^n. Por exemplo, se k é um campo, k [[X]], o anel série de potências formal em uma variável ao longo do k, é a conclusão que eu -adic de k [X] onde eu é o principal ideal gerado por X. Analogamente, o anel de inteiros p -adic é a conclusão que eu -adic de Z onde é o principal ideal gerado por p.
• Se R é um dado anel comutativo, o conjunto de todos os polinômios R [X _1, ..., X _n] acima de R forma um novo anel comutativo, chamado de anel polinomial em n variáveis mais de R.
• Se R é um dado anel conmutativo, em seguida, o conjunto de todos séries de potências formais R [[X _1, ..., X _n]] ao longo de um anel comutativo R é um anel comutativo, chamado de anel série de potência em n variáveis mais de R.

Propriedades

• Tudo subanéis e anéis quociente de anéis comutativos são também comutativa.
• Se f: R → S é um injective homomorphism anel (isto é, uma monomorfismo) entre os anéis de R e S, e S é conmutativo se, então R deve também ser conmutativo, uma vez que f (a · b) = f (a) · f (b) = f (b) · f (a) = f (b · a).
• Do mesmo modo, se f: R → S é um homomorphism anel entre os anéis de R e S, e se R é conmutativo, o subanel f (R) de S é também conmutativo; em particular, se f está sobrejetivo (e, por conseguinte, uma epimorfismo), S deve ser comutativa.
• Cada finita anel de divisão é comutativa ( Teorema de Wedderburn). N. Jacobson tem mostrado que a seguinte condição é suficiente: se R é um anel de tal modo que para cada elemento de R x existe um inteiro n> 1 tais que x ⁿ = x, então R é conmutativo. Muito mais condições gerais que garantam comutatividade de um anel foram descobertos por IN Herstein e outros.

Discussão geral

A estrutura interna de um anel conmutativo é determinada considerando os seus ideais. Todos os ideais em um anel comutativo são dois lados, o que simplifica consideravelmente a situação.

A estrutura exterior de um anel conmutativo é determinada considerando álgebra linear sobre o anel, ou seja, por meio da investigação da sua teoria módulos. Este assunto é muito mais difícil quando o anel comutativo não é um campo e é geralmente chamado álgebra homológica. O conjunto de ideais dentro de um anel comutativo R pode ser caracterizado exatamente como o conjunto de -modules R que são submódulos de R.

Um elemento a de um anel comutativo (com identidade) é chamado de unidade se possuir um multiplicativo inverso, ou seja, se existe um outro elemento b do anel (com b não necessariamente distintas a partir de uma) de modo a que ab = 1. Cada elemento diferente de zero de um campo é uma unidade. Cada elemento de um anel local comutativa não contida no ideal maximal é uma unidade.

Um elemento diferente de zero um de um anel conmutativo é dito ser um divisor de zero se existe um elemento diferente de zero b do anel de tal modo que ab = 0 Um anel. comutativo com identidade, que não possui nenhuma divisores de zero é chamado um domínio integral, uma vez que se assemelha os inteiros em alguns aspectos.

Alguns tipos específicos de anéis comutativos são dadas com a seguinte cadeia de inclusões:

anéis comutativos ⊃ domínios integrais ⊃ domínios fatoração única ⊃ domínios de ideais principais ⊃ Domínios euclidianos ⊃ campos

Outra cadeia possível (que é mais geométrica) é a seguinte cadeia de inclusões:

Anéis Cohen-Macaulay ⊃ Gorenstein anéis ⊃ Anéis regulares ⊃ Anéis locais regulares