Plano complexo

Representação geométrica de e seu conjugado no plano complexo. A distância ao longo da linha de luz azul a partir da origem para o ponto Z é o módulo ou valor absoluto de z. O ângulo φ é o argumento de z.

Em matemática , o plano z complexo ou -plane é uma representação geométrica dos números complexos definidos pelo eixo real e imaginária do eixo ortogonal. Ele pode ser pensado como uma modificado plano cartesiano , com a parte real de um número complexo representado por um deslocamento ao longo do eixo x, e a parte imaginária de um deslocamento ao longo do eixo y.

O plano complexo é às vezes chamado o plano de Argand porque ele é usado em diagramas de Argand. Estes são nomeados após Jean-Robert Argand (1768-1822), apesar de terem sido descrita pela primeira vez pelo agrimensor norueguês-dinamarquês e matemático Caspar Wessel (1745-1818). Diagramas Argand são freqüentemente usados para traçar as posições do pólos e zeros de uma função no plano complexo.

O conceito do plano complexo permite uma interpretação geométrica de números complexos . Sob disso , acrescentam como vetores . A multiplicação de dois números complexos pode ser expressa mais facilmente em coordenadas polares - a magnitude ou o módulo do produto é o produto dos dois valores absolutos , ou módulos, e o ângulo ou o argumento do produto é a soma dos dois ângulos, ou argumentos. Em particular, a multiplicação por um número complexo de módulo 1 actua como uma rotação.

As convenções de notação

Em análise complexa dos números complexos são usualmente representado pelo símbolo Z, que pode ser separado nos seus real (x) e (y) partes imaginárias, como este:

por exemplo: Z = 4 + 5 I,

em que x e y são números reais, e i é a unidade imaginária . Nesta notação habitual o número complexo z corresponde ao ponto (x, y) no plano cartesiano .

No plano cartesiano o ponto (x, y) pode também ser representado em coordenadas polares como

No plano cartesiano, pode ser assumido que o arctangent toma valores de - π / 2 a π / 2 (em radianos ), e alguns cuidados devem ser tomados para definir a verdadeira função arco tangente por pontos (x, y) quando x 0. ≤ no plano complexo estas coordenadas polares tomar a forma

onde

Aqui | z | é o valor absoluto ou módulo do número complexo z, θ, o argumento de z, é geralmente tomada no intervalo 0 ≤ θ <2 π; e a última igualdade (para | z | e ^iθ) é tomada a partir de A fórmula de Euler. Observe que o argumento de z é multi-valorizados, porque a função exponencial complexa é periódica, com período de 2 πi. Assim, se θ é um valor de arg (z), os outros valores são dados por arg (z) = θ + nn 2, onde n é um número inteiro qualquer ≠ 0.

A teoria da integração de contorno compreende uma parte importante da análise complexa. Neste contexto, a direcção de deslocação em torno de uma curva fechada é importante - a inversão da direcção em que a curva é atravessado multiplica o valor do integral por -1. Por convenção, a direção positiva é anti-horário. Por exemplo, a círculo unitário é percorrido em sentido positivo quando começamos no ponto z = 1, em seguida, viajar para cima e para a esquerda através do ponto z = i, em seguida, para baixo e para a esquerda através -1, em seguida, para baixo e para a direita através - i, e, finalmente, para cima e para a direita para z = 1, onde começamos.

Quase todos análise complexa está preocupado com funções complexas - isto é, com as funções que mapeiam um subconjunto do plano complexo em algum outro subconjunto (possivelmente sobrepostas, ou mesmo idêntica) do plano complexo. Aqui é costume falar da domínio de f (z) como deitado na -plane z, ao se referir ao gama ou imagem de F (z) na forma de um conjunto de pontos na -plane w. Em símbolos que escrevemos

e muitas vezes pensam da função f como uma transformação da -plane z (com coordenadas (x, y)) na -plane w (com coordenadas (u, v)).

Projeções estereográfica

Pode ser útil pensar no plano complexo, como se ocuparam a superfície de uma esfera. Dada uma esfera de raio unitário, colocar o plano complexo bem no meio da mesma, de modo que o centro da esfera, coincide com a origem z = 0 do plano complexo, e o equador da esfera coincide com o círculo unitário no plano .

Podemos estabelecer um um-para-um entre os pontos sobre a superfície da esfera e os pontos do plano complexo, como se segue. Dado um ponto no plano, desenhar uma linha reta ligando-o com o pólo norte da esfera. A linha que vai intersectar a superfície da esfera em exactamente um outro ponto. O ponto z = 0 será projetado no pólo sul da esfera. Uma vez que o interior do círculo unitário encontra-se no interior da esfera, que a região inteira (| z | <1) vai ser mapeados para o hemisfério sul. O próprio círculo unitário (| z | = 1) será mapeado sobre o equador, e o exterior do círculo unitário (| z |> 1) será mapeado para o hemisfério norte. É evidente que este procedimento é reversível - dado qualquer ponto sobre a superfície da esfera que não é o pólo norte, podemos traçar uma linha recta que liga esse ponto até ao pólo norte e que intersecta o plano de apartamento em exatamente um ponto.

Sob essa projeção estereográfica há apenas um ponto do próprio pólo norte - que não está associado a qualquer ponto no plano complexo. Nós aperfeiçoar a correspondência de um-para-um, adicionando mais um ponto para o plano complexo - a chamada ponto no infinito -e associando-a com o pólo norte da esfera. Este espaço topológico, o plano complexo além do ponto no infinito, é conhecido como o alargado plano complexo. E é por isso que os matemáticos falam de um único "ponto no infinito" quando se discute a análise complexa. Há dois pontos no infinito (positivo, negativo e) na linha de número real, mas há apenas um ponto no infinito (pólo norte) no plano complexo estendido.

Imagine por um momento que vai acontecer com as linhas de latitude e longitude, quando eles são projetados a partir da esfera sobre a superfície plana. As linhas de latitude são todas paralelas ao equador, por isso, eles se tornarão círculos perfeitos centradas na origem z = 0. E as linhas de longitude se tornará linhas retas passando pela origem (e também através do "ponto no infinito", uma vez que eles passam por ambos os pólos norte e sul da esfera).

Esta não é a única possível situação stereographic ainda plausível da projecção de uma esfera para um plano que consiste em dois ou mais valores. Por exemplo, o pólo norte da esfera pode ser colocada em cima da origem z = -1-se num plano que é tangente ao círculo. Os detalhes não importam realmente. Qualquer projeção estereográfica de uma esfera sobre um plano irá produzir um "ponto no infinito", e vai mapear as linhas de latitude e longitude sobre a esfera em círculos e linhas retas, respectivamente, no avião.

Cortando o avião

Ao discutir as funções de uma variável complexa muitas vezes é conveniente pensar de um corte no plano complexo. Esta ideia surge naturalmente em vários contextos diferentes.

Relacionamentos e pontos de ramificação com valores múltiplos

Considere o simples relacionamento de dois valores

Antes de podermos tratar esta relação como um valor único função , a escala do valor resultante deve ser restringido de alguma forma. Ao lidar com as raízes quadradas de números reais não negativos isso é facilmente feito. Por exemplo, nós podemos apenas definir

ser a não-negativo número real y tal que y = x ^2. Esta ideia não funciona tão bem no plano complexo bidimensional. Para ver porque, vamos pensar sobre a forma como o valor de f (z) varia como o ponto z se move em torno do círculo unitário. Podemos escrever

Evidentemente, como z move todo o caminho ao redor do círculo, w única traça a metade do círculo. Então um movimento contínuo no plano complexo transformou a praça positivo raiz e ⁰ = 1 para a raiz quadrada negativa e ^iπ = -1.

Este problema surge porque o ponto z = 0 tem apenas uma raiz quadrada, enquanto todos os outros número complexo z ≠ 0 tem exatamente duas raízes quadradas. Na linha de número real que pode contornar este problema, construindo uma "barreira" no ponto único x = 0. Uma barreira maior é necessária no plano complexo, para impedir qualquer contorno fechado que rodeia a partir completamente ponto de ramificação z = 0. Isto é feito geralmente através da introdução de um corte sucursal; neste caso, o "corte" pode estender-se desde o ponto z = 0 no eixo real positivo para o ponto no infinito, de modo que o argumento da variável z no plano de corte é limitada ao intervalo entre 0 ≤ arg (z) < 2 π.

Nós podemos agora dar uma descrição completa do w = z ^½. Para fazer isso precisamos de duas cópias do -plane z, cada um deles cortados ao longo do eixo real. Em uma cópia que definem a raiz quadrada de 1 a ser ⁰ e = 1, e por outro que definem a raiz quadrada de um ser e ^iπ = -1. Nós chamamos essas duas cópias das fichas de plano de corte completos. Ao fazer um argumento continuidade vemos que a função (agora de valor único) w z = ^½ mapeia a primeira folha na metade superior do -plane w, onde 0 ≤ arg (w) <π, enquanto o mapeamento da segunda folha em a metade inferior do w -plane (onde π ≤ arg (w) <π 2).

O corte filial neste exemplo não tem que mentir ao longo do eixo real. Ele nem sequer tem que ser uma linha reta. Qualquer curva contínua que liga a origem z = 0 com o ponto no infinito iria funcionar. Em alguns casos, o corte ramo não tem sequer a passar através do ponto no infinito. Por exemplo, considerar a relação

Aqui, o z polinomial ^2-1 desaparece quando z = ± 1, então G tem, evidentemente, dois pontos de ramificação. Nós podemos "cortar" o plano ao longo do eixo real, de -1 a 1, e obter uma folha na qual g (z) é uma função de valor único. Alternativamente, o corte pode ser executado a partir de z = 1 ao longo do eixo real positivo através do ponto no infinito, então continue "para cima" o eixo real negativo para o outro ponto de ramificação, z = -1.

Esta situação é mais facilmente visualizada usando a projecção stereographic descrito acima . Na esfera um desses cortes corre longitudinalmente através do hemisfério sul, que liga o ponto no equador (z = -1) com outro ponto no equador (z = 1), e que passa através do pólo sul (a origem, z = 0) no caminho. A segunda versão do corte corre longitudinalmente através do hemisfério norte e se conecta os mesmos dois pontos equatoriais, passando pelo pólo norte (isto é, o ponto no infinito).

Restringindo o domínio de funções meromorfas

A meromorfa função é uma função complexa que é holomórfica e, por conseguinte, analítica em toda parte no seu domínio, exceto em um finito, ou infinito contável, número de pontos. Os pontos em que uma tal função não podem ser definidos são chamados a pólos da função meromorfa. Às vezes, todos esses pólos encontram-se em uma linha reta. Nesse caso, os matemáticos podem dizer que a função é "holomorfa sobre o plano de corte". Aqui está um exemplo simples.

O função gama, definida por

onde γ é a Euler-Mascheroni constante, e tem pólos simples a 0, -1, -2, -3, ... porque exactamente um no denominador produto infinito desaparece quando z é zero ou um número inteiro negativo. Uma vez que todos os seus pólos encontram-se no eixo real negativa, a partir de z = 0 até ao ponto no infinito, esta função pode ser descrito como

"Holomórfica sobre o plano de corte, o corte que se prolonga ao longo do eixo real negativa, a partir de 0 (inclusive) para o ponto no infinito."

Alternativamente, Γ (z) pode ser descrito como

"Holomorfa no plano de corte com - π <arg (z) <π e excluindo o ponto z = 0."

Observe que este corte é um pouco diferente do corte ramo que já encontrou, porque ele realmente exclui o eixo real negativo do plano de corte. O corte ramo esquerdo do eixo real conectado com o plano de corte num dos lados (0 ≤ θ), mas ele cortado a partir do plano de corte ao longo do outro lado (θ <2 π).

Naturalmente, não é realmente necessário excluir todo o segmento de linha de z = 0 a -∞ para construir um domínio em que Γ (z) é holomórfica. Tudo o que temos a fazer é perfurar o avião em um conjunto infinito contável de pontos {0, -1, -2, -3, ...}. Mas um contorno fechado no plano perfurado pode rodear um ou mais dos pólos de Γ (z), dando um integrante contorno que não é necessariamente zero, pela teorema resíduo. Ao cortar o plano complexo que garantir não só que Γ (z) é holomorfa neste domínio restrito - nós também garantir que o contorno integrante do Γ sobre qualquer curva fechada que encontra-se no plano de corte é identicamente igual a zero. E isso pode ser importante, em alguns argumentos matemáticos.

Especificando regiões de convergência

Muitas funções complexas são definidos pela infinita série, ou por frações contínuas. Uma consideração fundamental na análise destas expressões infinitamente longo é a identificação da porção do plano complexo no qual eles convergem para um valor finito. Um corte no plano pode facilitar esse processo, como os exemplos a seguir mostram.

Considere a função definida pela série infinita

Desde z ² = (- z) ² para cada número complexo z, é claro que f (z) é uma mesmo função de z, de modo que a análise pode ser restrita a um meio do plano complexo. E desde que a série é indefinido quando

faz sentido para cortar o plano ao longo de todo o eixo imaginário e estabelecer a convergência desta série, onde a parte real de z não é zero antes de empreender a mais árdua tarefa de examinar f (z) quando z é um número imaginário puro.

Neste exemplo, o corte é uma mera conveniência, porque os pontos em que a soma infinita está indefinida são isolados, e o plano de corte pode ser substituído com um plano adequadamente perfurado. Em alguns contextos o corte é necessário, e não apenas conveniente. Considere a fracção contínua periódica infinita

Ele Pode ser mostrado que F (z) converge para um valor finito se e somente se Z não é um número real negativa de tal forma que Z <-¼. Em outras palavras, a região de convergência para esta fracção contínua é o plano de corte, em que o corte se estende ao longo do eixo real negativa, a partir de -¼ para o ponto no infinito.

Colando o plano de corte de volta juntos

Temos visto já como o relacionamento

pode ser feita em um único valor de função, dividindo o domínio de f em duas folhas desconectados. É também possível a "cola" essas duas folhas para trás em conjunto para formar uma única superfície de Riemann em que F (z) = ^1/2 z pode ser definida como uma função holomórfica cuja imagem é o inteiro w -plane (excepto para o ponto w = 0). Aqui está como isso funciona.

Imagine duas cópias do plano complexo cortar, os cortes que se estendem ao longo do eixo real positivo de z = 0 até ao ponto no infinito. Em uma folha definem 0 ≤ arg (z) <2 π, de modo a que um ^1/2 = ⁰ e = 1, por definição. Na segunda folha definem duas π ≤ arg (z) <4 π, de modo a que um ^1/2 = E = ^iπ -1, novamente por definição. Agora virar a segunda folha de cabeça para baixo, de modo que os pontos de eixo imaginário no sentido oposto do eixo imaginário sobre a primeira folha, com ambos os eixos reais que apontam na mesma direcção, e "cola" as duas folhas em conjunto (de modo que a borda sobre a primeira folha rotulado "θ = 0" está ligada à aresta marcado "θ <4 π" sobre a segunda folha, e a vantagem sobre a segunda folha rotulado "θ = 2 π" está ligada à aresta marcado "θ <2 π "na primeira folha). O resultado é o domínio de superfície de Riemann em que F (z) = ^1/2 z é um único valor e holomórfica (excepto quando z = 0).

Para entender por que f é de valor único neste domínio, imagine um circuito em torno do círculo unitário, começando com z = 1 na primeira folha. Quando 0 ≤ θ <2 π ainda estamos na primeira folha. Quando θ = 2 π temos atravessado na segunda folha, e são obrigados a fazer uma segunda volta completa ao ponto de ramificação z = 0 antes de retornar ao ponto de partida, onde θ = 4 π é equivalente a θ = 0, porque da forma como as duas folhas coladas em conjunto. Em outras palavras, como a variável z faz duas voltas completas em torno do ponto de ramificação, a imagem do z no w -plane traça apenas um círculo completo.

Diferenciação formal mostra que

a partir do qual podemos concluir que a derivada de f existe e é finita em todos os lugares na superfície da Riemann, exceto quando z = 0 (isto é, f é holomorfa, exceto quando z = 0).

Como pode a superfície de Riemann para a função

também discutiu acima , ser construída? Mais uma vez começamos com duas cópias do -plane z, mas desta vez cada um é cortado ao longo do segmento de recta real que se estende desde z = -1 para z = 1 - estes são os dois pontos de ramificação de g (z). Nós virar uma delas cabeça para baixo, de modo que os dois eixos imaginários apontam em sentidos opostos, e colar as bordas correspondentes das duas folhas cortadas em conjunto. Podemos verificar que g é uma função de valor único nesta superfície, traçando um circuito em torno de um círculo de raio unitário centrado em z = 1. Com início no ponto z = 2 na primeira folha voltamos a meio caminho ao redor do círculo antes de encontrar a corte em z = 0. As forças de corte nos para a segunda folha, de modo que quando o símbolo z tem traçada uma volta completa em torno do ponto de ramificação z = 1, W tomou apenas metade de uma volta completa, o sinal de W possui foi revertida (desde e ^iπ = -1), e nosso caminho nos levou ao ponto z = 2 na segunda folha da superfície. Prosseguindo através de mais meia volta, encontramos o outro lado do corte, em que z = 0, e, finalmente, atingir o nosso ponto de partida (z = 2 na primeira folha), depois de duas voltas completas em torno do ponto de ramificação.

A forma natural para rotular θ = arg (z), neste exemplo, é a criação - π <θ ≤ π na primeira folha, com π <θ ≤ 3 π no segundo. Os eixos imaginários sobre as duas folhas apontar em direcções opostas, de modo que o sentido anti-horário de rotação positivo é preservado como um contorno fechado move-se a partir de uma folha para o outro (lembrar, a segunda folha é de cabeça para baixo). Imagine essa superfície incorporado num espaço tridimensional, com ambas as folhas paralelas ao -plane xy. Em seguida, parece haver um furo vertical na superfície, em que os dois cortes são unidas entre si. O que se o corte é feito de z = -1 para baixo o eixo real para o ponto no infinito, e de z = 1, o eixo real até o corte encontra-se? . Novamente uma superfície de Riemann pode ser construída, mas desta vez o "buraco" é horizontal Topologicamente falando , ambas as versões desta superfície de Riemann são equivalentes - são superfícies bidimensionais de orientáveis um gênero.

Uso do plano complexo, em teoria, o controle

Na teoria de controle , um uso do plano complexo é conhecido como o 's-plano ». É usado para visualizar as raízes da equação que descreve o comportamento de um sistema (a equação característica) graficamente. A equação é normalmente expresso como um polinómio no parâmetro «s» do Laplace, daí o nome 's' avião.

Outro uso relacionado do plano complexo é com o Critério de estabilidade de Nyquist. Este é um princípio geométrico que permite a estabilidade de um sistema de controle a ser determinado com a inspeção de um Nyquist enredo de sua resposta de fase frequência (ou função de transferência) no plano complexo.

O 'z-plano "é uma versão de tempo discreto do plano s, onde transformadas z são utilizados em vez da transformação de Laplace.

Outros significados de "plano complexo"

As secções anteriores deste artigo lidar com o plano complexo como o análogo geométrica dos números complexos. Embora este uso do termo "plano complexo" tem uma história longa e rica matematicamente, é de nenhuma maneira o único conceito matemático que pode ser caracterizado como "o plano complexo". Existem pelo menos três possibilidades adicionais.

1. 1 + 1-dimensional Minkowski espaço, também conhecido como o plano de divisão-complexo, é um "plano complexo" no sentido de que o algébrico números de divisão do complexo pode ser separado em dois componentes reais que são facilmente associados com o ponto (x, y) no plano cartesiano.
2. O conjunto de dupla ao longo dos números reais também podem ser colocados em correspondência de um-para-um com os pontos (x, y) do plano cartesiano, e representam um outro exemplo de um "plano complexo".
3. O espaço vetorial C × C, o Produto cartesiano dos números complexos com eles mesmos, é também um "plano complexo" no sentido de que ele é um vetor de espaço bidimensional cujas coordenadas são números complexos.