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Curva

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A parábola, um exemplo simples de uma curva

Em matemática , uma curva (também chamado de uma linha curva em textos antigos) é, de um modo geral, um objecto semelhante a uma linha , mas que não é necessário que seja Em linha reta. Isto implica que uma linha é um caso especial da curva, isto é, uma curva com nula curvatura. Muitas vezes, as curvas em bidimensional ( curvas planas) ou tridimensionais (curvas espaciais) espaço euclidiano são de interesse.

Várias disciplinas dentro da matemática deram o termo significados diferentes dependendo da área de estudo, de modo que o significado preciso depende do contexto. No entanto, muitos destes significados são instâncias especiais da definição que se segue. Uma curva é um espaço topológico que é localmente homeomorphic a uma linha. Em linguagem corrente, isso significa que uma curva é um conjunto de pontos que, perto de cada um dos seus pontos, parece que uma linha, até a uma deformação. Um exemplo simples de uma curva é a parábola, mostrada no lado direito. A grande número de outras curvas foram estudados em vários campos matemáticas.

A curva termo tem vários significados na linguagem não-matemática também. Por exemplo, pode ser quase sinónimo de função matemática (como em curva de aprendizagem), ou gráfico de uma função (tal como no Curva de Phillips).

Um segmento de arco ou de uma curva é uma parte de uma curva que é delimitada por dois pontos finais distintos e contém todos os pontos da curva entre os pontos finais. Dependendo de como o arco é definido, qualquer um dos dois pontos finais pode ou não ser parte do mesmo. Quando o arco é em linha reta, ele normalmente é chamado de segmento de linha.

História

Arte megalítico de Newgrange mostrando um interesse precoce em curvas

Fascínio com curvas começou muito antes de serem objecto de estudo matemático. Isto pode ser visto em vários exemplos de seu uso decorativo em arte e em objetos cotidianos que remonta aos tempos pré-históricos. Curves, ou pelo menos as suas representações gráficas, são simples de criar, por exemplo, um pedaço de pau na areia em uma praia.

Historicamente, o termo "linha" foi usado em lugar do termo "curva" mais moderna. Por isso foram utilizadas as frases "linha reta" e "linha direita" para distinguir o que hoje são chamados de linhas "linhas curvas". Por exemplo, no Livro I de Elementos de Euclides , uma linha é definido como um "comprimento breadthless" (Def. 2), enquanto que uma linha reta é definida como "uma linha que se encontra uniformemente com os pontos em si mesma" (Def. 4) . Idéia de Euclides de uma linha é talvez esclarecido pela declaração "As extremidades de uma linha são pontos", (Def. 3). Mais tarde comentadores linhas classificadas ainda de acordo com vários esquemas. Por exemplo:

  • Linhas compostas (linhas formando um ângulo)
  • Linhas Incomposite
    • Determinados (linhas que não se estendem indefinidamente, como o círculo)
    • Indeterminados (linhas que se estendem indefinidamente, como a linha reta ea parábola)
As curvas criadas por corte de um cone ( secções cónicas ) estavam entre as curvas estudadas na Grécia antiga.

O grego geometers tinha estudado muitos outros tipos de curvas. Um dos motivos foi o seu interesse na resolução de problemas geométricos que não poderiam ser resolvidos usando o padrão régua e compasso construção. Estas curvas incluem:

  • As seções cônicas , profundamente estudada por Apolônio de Perga
  • O cissoid de Diocles, estudada por Diocles e usar um método para dobrar o cubo.
  • O concóide de Nicomedes, estudada por Nicomedes como um método para tanto o dobro do cubo e trissecar um ângulo.
  • O Espiral de Arquimedes, estudada por Arquimedes como um método para um ângulo e trissecar quadratura do círculo.
  • O spiric seções, seções de tori estudada por Perseus como seções de cones tinha sido estudada por Apolônio.
Curvas geometria permitidos analíticas, tais como a Folium de Descartes, a ser definido por meio de equações em vez de construção geométrica.

Um avanço fundamental na teoria das curvas foi o advento da geometria analítica no século XVII. Isto permitiu uma curva a ser descrita utilizando uma equação, em vez de uma construção geométrica elaborada. Isto não só permitiu novas curvas a ser definido e estudado, mas permitiu uma distinção formal a ser feita entre as curvas que podem ser definidos usando equações algébricas, curvas algébricas, e aqueles que não podem, curvas transcendentais. Anteriormente, as curvas foram descritos como "geometria" ou "mecânica" de acordo com a forma como eles foram, ou poderiam supostamente ser, gerado.

Cónicas foram aplicados em astronomia por Kepler . Newton também trabalhou em um exemplo no início do cálculo das variações . As soluções para os problemas variacional, como o braquistócrona e perguntas tautochrone, propriedades introduzidas de curvas de novas maneiras (neste caso, o cycloid). O catenária recebe o seu nome como a solução para o problema de uma cadeia de suspensão, o tipo de pergunta que se tornou rotina acessível por meio de cálculo diferencial.

No século XVIII, vieram os primórdios da teoria das curvas algébricas avião, em geral. Newton tinha estudado o cúbicas, na descrição geral dos pontos reais em '' ovais. A declaração de Teorema de Bézout mostrou um número de aspectos que não foram directamente acessíveis à geometria do tempo, para fazer com pontos singulares e soluções complexas.

Desde o século XIX não há uma teoria curva separada, mas em vez da aparência das curvas como o aspecto unidimensional de geometria projetiva, e geometria diferencial ; e depois topologia , por exemplo, quando o Jordan curva teorema foi entendido que mentir bastante profundo, bem como sendo necessária análise complexa. A era do curvas espaço-enchimento finalmente provocou as definições modernas de curva.

Topologia

Limites de componentes hiperbólicas de Mandelbrot curvas fechadas como

Na topologia , uma curva é definido como se segue. Deixar EU ser um intervalo de números reais (isto é, uma não-vazia ligado subconjunto de \ Mathbb {R} ). Em seguida, uma curva \! \, \ Gamma é um contínuo cartografia ! \, \ \ Gamma: I \ rightarrow X , Onde X é um espaço topológico.

  • A curva \! \, \ Gamma Diz-se ser simples, ou de um arco de Jordan, se for injective, ou seja, se para todos x , y em EU , Temos \, \! \ Gamma (x) = \ gama (y) implica x = y . Se EU é um intervalo limitado fechada \, \! [A, b] , Nós também permitir a possibilidade \, \! \ Gamma (a) = \ gama (b) (Esta convenção torna possível falar de curvas simples "fechadas", veja abaixo).

Em outras palavras, esta curva "não cruzar-se e não tem pontos em falta".

  • Se \ Gamma (x) = \ gama (y) para alguns x \ ne y (Excepto nas extremidades de EU ), Então \ Gamma (x) é chamado de um ponto da curva dupla (ou múltipla).
  • Uma curva \! \, \ Gamma é dito para ser fechada ou se um loop \, \! I = [a, b] e se \! \, \ Gamma (a) = \ gama (b) . Uma curva fechada é, assim, um mapeamento contínua do círculo S ^ 1 ; uma curva fechada simples também é chamado de curva de Jordan. O Jordan curva teorema afirma que tais curvas dividem o plano em um "interior" e um "exterior".

A curva plana é uma curva para o qual X é o plano euclidiano essas são os exemplos encontrado pela primeira vez, ou em alguns casos, a plano projetivo. Uma curva de espaço é uma curva para o qual X é de três dimensões, geralmente espaço euclidiano ; uma curva de inclinação é uma curva que se encontra no espaço não plano. Essas definições também se aplicam a curvas algébricas (ver abaixo). No entanto, no caso de curvas algébricas é muito comum considerar sistemas de número mais geral do que os reais.

Esta definição de curva capta a nossa noção intuitiva de uma curva como uma figura geométrica conectado, contínuo que é "como" uma linha, sem espessura e empatou sem interrupção, embora também inclui números que dificilmente podem ser chamadas curvas de uso comum. Por exemplo, a imagem de uma curva pode cobrir um quadrado no plano ( curva de enchimento de espaço). A imagem de simples curva plana pode ter Dimensão Hausdorff maior do que um (ver Curva de Koch) e até mesmo positivo Lebesgue (o último exemplo pode ser obtido por pequena variação do Construção curva Peano). O curva de dragão é um outro exemplo incomum.

Convenções e Terminologia

A distinção entre uma curva e sua imagem é importante. Duas curvas distintos podem ter a mesma imagem. Por exemplo, uma segmento de linha pode ser traçada para fora a velocidades diferentes, ou um círculo pode ser percorrido um número diferente de vezes. Muitas vezes, no entanto, estamos apenas interessados na imagem da curva. É importante prestar atenção ao contexto e à convenção na leitura.

Terminologia também não é uniforme. Muitas vezes, topologists usar o termo " caminho "para o que estamos chamando de uma curva, e" curva "para o que estamos chamando a imagem de uma curva. O termo" curva "é mais comum em cálculo vetorial e geometria diferencial .

Comprimentos de curvas

Se X é um espaço métrico com métrica d , Então podemos definir a duração de uma curva ! \ \, \ Gamma: [a, b] \ rightarrow X por

\ Text {comprimento} (\ gamma) = \ sup \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ nd (\ gamma (t_i), \ gamma (t_ {i-1})): n \ in \ mathbb { N} \ text {e} a = t_0 <t_1 <\ cdots <t_n = b \ right \}.

onde o sup está acima de tudo n e todas as partições t_0 <t_1 <\ cdots <t_n de [A, b] .

Uma curva retificável é uma curva com comprimento finito. A parametrização de \! \, \ Gamma é chamado (velocidade ou unidade ou parametrizado por comprimento de arco) natural, se por qualquer t_1 , T_2 em [A, b] , Temos

\ Text {comprimento} (\ gamma | _ {[t_1, T_2]}) = | T_2-t_1 |.

Se \! \, \ Gamma é um Função Lipschitz contínua, então é automaticamente sanável. Além disso, neste caso, pode-se definir a velocidade (ou derivado métrica) de \! \, \ Gamma em t_0 como

\ Text {velocidade} (t_0) = \ limsup_ {t \ a t_0} {d (\ gamma (t), \ gamma (t_0)) \ over | t-t_0 |}

e depois

\ Text {comprimento} (\ gamma) = \ int_a ^ b \ text {velocidade} (t) \, dt.

Em particular, se X = \ mathbb {R} ^ n é um espaço euclidiano e \ Gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n é diferenciável em seguida,

\ Text {comprimento} (\ gamma) = \ int_a ^ b | \ gamma '(t) | \, dt.

Geometria diferencial

Enquanto os primeiros exemplos de curvas que são atendidas são na sua maioria curvas planas (isto é, nas palavras do cotidiano, linhas curvas no espaço bidimensional), há exemplos óbvios, tais como o hélice que existem naturalmente em três dimensões. As necessidades da geometria, e também, por exemplo, mecânica clássica são para ter uma noção da curva no espaço de qualquer número de dimensões. Na relatividade geral , uma linha de mundo é uma curva em espaço-tempo.

Se X é um variedade diferenciável, então podemos definir a noção de curva diferenciável em X . Esta idéia geral é suficiente para cobrir muitas das aplicações de curvas em matemática. De um ponto de vista local pode-se tomar X para ser espaço euclidiano . Por outro lado, é útil para ser mais geral, em que (por exemplo) é possível definir o vetores tangentes a X por meio desta noção de curva.

Se X é um variedade suave, uma curva suave em X é um mapa suave

! \ \, \ Gamma: I \ rightarrow X.

Este é um conceito de base. Existem idéias menos e mais restritos, também. Se X é um C ^ k colector (ou seja, um colector cuja Gráficos são k vezes continuamente diferenciável), em seguida, uma C ^ k em curva X é uma curva que só é assumido como sendo C ^ k (Ou seja k vezes continuamente diferenciável). Se X é um colector analítico (isto é infinitamente diferenciável e gráficos são exprimível como séries de potência ), e \ Gamma é um mapa analítico, em seguida, \ Gamma Diz-se ser uma curva analítica.

Uma curva diferenciável é dito para ser regular, se o seu derivado não desaparece. (Em outras palavras, uma curva normal não retarda a uma parada ou recua sobre si mesmo.) Dois C ^ k curvas diferenciáveis

! \ \, \ Gamma_1: I \ rightarrow X e
! \ \, \ Gamma_2: J \ rightarrow X

são referidos como sendo equivalente se não houver um bijective C ^ k mapa

\ \, P: J \ rightarrow I

de tal modo que o mapa inverso

! \ \, P ^ {- 1}: I \ rightarrow J

é também C ^ k E

\! \, \ Gamma_ {2} (t) = \ gamma_ {1} (p (t))

para todos t . O mapa \ Gamma_2 é chamado de uma reparametrisation \ Gamma_1 ; e isso faz com que uma relação de equivalência no conjunto de todos C ^ k curvas diferenciáveis em X . A C ^ k é um arco classe de equivalência C ^ k curvas sob a relação de reparametrisation.

Curva algébrica

Curvas algébricas são as curvas consideradas em geometria algébrica. Uma curva plana algébrico é o lugar geométrico dos pontos de coordenadas x, y tais que f (x, y) = 0, em que f é um polinómio em duas variáveis definidas sobre algum campo F. Geometria Algébrica normalmente não olha apenas em pontos com coordenadas em F, mas sobre todos os pontos com coordenadas em um K corpo algebricamente fechado. Se C é uma curva definida por um f polinomial com coeficientes em F, a curva é dito sobre F definida. Os pontos da curva C com coordenadas em um campo G são disse racional durante G e pode ser denotada C (L)); assim, a curva completa C = C (K).

Curvas algébricos também podem ser curvas espaciais, ou curvas no mesmo maior dimensão, obtido como a intersecção (conjunto solução comum) de mais de uma equação polinomial em mais de duas variáveis. Ao eliminar variáveis (por qualquer ferramenta de teoria eliminação), uma curva algébrica pode ser projetada em uma curva plana algébrica, que no entanto podem introduzir singularidades como cúspides ou o dobro de pontos.

Uma curva plana pode também pode também ser completada em uma curva no plano projectiva: se uma curva é definida por um f polinomial de grau total de d, então w d f (L / w, v / w) simplifica para uma homogénea polinómio g (u, v, w) de grau d. Os valores de u, v, w tal que g (u, v, w) = 0 são as coordenadas homogéneas dos pontos da conclusão da curva no plano projectiva e os pontos da curva inicial, são aqueles que, W não é zero. Um exemplo é a Fermat curva de u + v n n w = n, que tem uma forma afim x n + y n = 1. Um processo similar de homogeneização pode ser definido para as curvas em espaços de dimensões superiores

Exemplos importantes de curvas algébricas são as cônicas , que são curvas não singulares de grau dois e gênero zero, e elípticas curvas , que são curvas não singulares de um gênero estudado em teoria dos números e que têm importantes aplicações para a criptografia . Porque curvas algébricas em domínios de característica zero são mais freqüentemente estudados ao longo dos números complexos , curvas algébricas em geometria algébrica pode ser considerado como verdadeiras superfícies. Em particular, as curvas algébricas projectiva complexos não-singulares são chamadas superfícies de Riemann .

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