David Hilbert

David Hilbert
David Hilbert (1912)
Nascido	(1862/01/23) 23 de janeiro de 1862 Königsberg ou Wehlau, Província da Prússia (hoje Znamensk, Kaliningrad Oblast, Rússia )
Morreu	14 de fevereiro de 1943 (1943/02/14) (de 81 anos) Göttingen, Alemanha
Residência	Alemanha
Nacionalidade	Alemão
Campos	Matemático e Filósofo
Instituições	Universidade de Königsberg Universidade de Göttingen
Alma mater	Universidade de Königsberg
Conselheiro doutoral	Ferdinand von Lindemann
Os estudantes de doutorado	Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Werner Boy Richard Courant Haskell Curry Max Dehn Paul Funk Kurt Grelling Alfréd Haar Erich Hecke Earle Hedrick Ernst Hellinger Wallie Hurwitz Oliver Kellogg Hellmuth Kneser Robert König Emanuel Lasker Charles Max Mason Erhard Schmidt Andreas Speiser Hugo Steinhaus Gabriel Sudão Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Conhecido por	Base teorema de Hilbert Axiomas de Hilbert Problemas de Hilbert Programa de Hilbert Ação de Einstein-Hilbert Espaço de Hilbert
Influências	Immanuel Kant
Prêmios Notáveis	ForMemRS

David Hilbert, ForMemRS (alemão: [Daːvɪt hɪlbɐt]; 23 de janeiro de 1862 - 14 de fevereiro de 1943) foi um alemão matemático . Ele é reconhecido como um dos matemáticos mais influentes e universais dos séculos 20 e início dos anos 19. Hilbert descobriu e desenvolveu uma ampla gama de idéias fundamentais em muitas áreas, incluindo teoria dos invariantes eo axiomatization de geometria. Ele também formulou a teoria da Espaços de Hilbert, um dos fundamentos da análise funcional.

Hilbert adotado e defendeu calorosamente Georg Cantor teoria dos conjuntos 's e números transfinitos. Um exemplo famoso de sua liderança em matemática é a sua apresentação de 1900 um coleção de problemas que definir o rumo para a maior parte da pesquisa matemática do século 20.

Hilbert e seus alunos contribuíram significativamente para estabelecer rigor e desenvolveu importantes ferramentas utilizadas na física matemática moderna. Hilbert é conhecido como um dos fundadores do teoria da prova e lógica matemática, bem como por ser um dos primeiros a distinguir entre a matemática ea metamathematics.

Vida

Hilbert, o primeiro dos dois filhos de Otto e Maria Teresa (Erdtmann) Hilbert, nasceu no Province of Prussia - quer em Königsberg (de acordo com a própria declaração de Hilbert) ou em Wehlau (conhecido desde 1946 como Znamensk) perto de Königsberg, onde seu pai trabalhava na época de seu nascimento. No outono de 1872, ele entrou para o Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium Fridericianum, a mesma escola que Immanuel Kant tinha assistido a 140 anos antes), mas depois de um período infeliz ele se transferiu para (fall 1879) e graduou-se (Primavera de 1880) o mais orientada para ciência Wilhelm Gymnasium. Após a formatura, ele se matriculou (Outono de 1880) no Universidade de Königsberg, o "Albertina". Na primavera de 1882, Hermann Minkowski (dois anos mais jovem do que Hilbert e também um nativo de Königsberg mas tão talentoso que ele tinha se formado no início de seu ginásio e ido a Berlim para três semestres), retornou a Königsberg e entrou na universidade. "Hilbert sabia que sua sorte quando ele viu. Apesar da desaprovação de seu pai, ele logo se tornou amigos com o tímido, talentoso Minkowski." Em 1884, Adolf Hurwitz chegou de Göttingen como um Extraordinarius, ou seja, um professor associado. Uma troca científica intensa e frutuosa entre os três começaram, e Minkowski e Hilbert especialmente iria exercer uma influência recíproca uns sobre os outros em vários momentos de suas carreiras científicas. Hilbert obteve seu doutorado em 1885, com uma dissertação, escrita sob Ferdinand von Lindemann, intitulado spezieller Über invariante Eigenschaften binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre as propriedades invariantes de especial binário, em particular as funções harmônicas esféricas ").

Hilbert permaneceram na Universidade de Königsberg como um Privatdozent (conferencista sênior) de 1886 a 1895. Em 1892, casou-se com Käthe Jerosch Hilbert (1864-1945) ", a filha de um comerciante Konigsberg, um jovem franco com uma independência de espírito que combinava com seu próprio ". Enquanto em Königsberg tiveram seu um filho, Franz Hilbert (1893-1969). Em 1895, como resultado da intervenção em seu nome por Felix Klein, obteve a posição de Professor de Matemática na Universidade de Göttingen, na época o melhor centro de pesquisa para a matemática no mundo. Ele permaneceu ali pelo resto de sua vida.

Seu filho Franz sofreu ao longo de sua vida a partir de uma doença mental não diagnosticada: seu intelecto inferior foi uma terrível decepção para seu pai e este infortúnio era uma questão de angústia para os matemáticos e estudantes em Göttingen. Minkowski - Hilbert de "melhor e mais verdadeiro amigo" - morreu prematuramente de um apêndice rompido em 1909.

O Instituto de Matemática em Göttingen. Seu novo edifício, construído com recursos do Fundação Rockefeller, foi aberta por Hilbert e Courant em 1930.

A escola Göttingen

Entre os alunos de Hilbert foram Hermann Weyl, campeão de xadrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann era seu assistente. Na Universidade de Göttingen, Hilbert foi cercado por um círculo social de alguns dos matemáticos mais importantes do século 20, como o Emmy Noether e Alonzo Church.

Entre seus 69 Ph.D. estudantes em Göttingen eram muitos os que mais tarde se tornou matemáticos famosos, incluindo (com data de tese): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), e Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 e 1939 Hilbert foi editor do Mathematische Annalen, o principal jornal matemático do tempo.

"Bom, ele não tinha imaginação suficiente para se tornar um matemático".

A resposta de -Hilbert ao ouvir que um de seus alunos tinham desistido de estudar poesia.

Anos mais tarde

Hilbert viveu para ver os nazistas purgar muitos dos membros do corpo docente de destaque na Universidade de Göttingen em 1933. Aqueles forçado a sair incluído Hermann Weyl (que tinham tomado a cadeira de Hilbert quando ele se aposentou em 1930), Emmy Noether e Edmund Landau. Aquele que teve que deixar a Alemanha, Paul Bernays, havia colaborado com Hilbert em lógica matemática, e co-autoria com ele o livro importante Grundlagen der Mathematik (que eventualmente apareceu em dois volumes, em 1934 e 1939). Esta foi uma sequela do Hilbert- Ackermann livro Princípios da Lógica Matemática de 1928.

Cerca de um ano depois, Hilbert participou de um banquete e estava sentado ao lado do novo ministro da Educação, Bernhard Rust. Rust perguntou: "Como é matemática em Göttingen, agora que ele foi libertado da influência judaica?" Hilbert respondeu: "Matemática em Göttingen? Não há realmente nada mais."

O túmulo de Hilbert:
Wissen müssen Wir
Wir werden wissen

Até o momento Hilbert morreu em 1943, os nazistas haviam restaffed quase completamente a universidade, na medida em que muitos dos ex-professores ou tinham sido judaica ou casado a judeus. O funeral de Hilbert foi assistido por menos de uma dúzia de pessoas, dos quais apenas dois eram colegas acadêmicos, entre eles Arnold Sommerfeld, um físico teórico e também um nativo de Königsberg. A notícia de sua morte só se tornou conhecido para o resto do mundo, seis meses após ele havia morrido.

Em seus pontos de vista religiosos, ele era um agnóstico. Ele também argumentou que a verdade matemática foi independente da existência de Deus ou outras suposições apriorísticas.

O epitáfio em sua lápide em Göttingen consiste das linhas famosas que ele falou na conclusão do seu discurso de aposentadoria para a Sociedade Alemã de Cientistas e médicos, no outono de 1930. As palavras foram dadas em resposta à máxima latina: " Ignoramus et ignorabimus "ou" Nós não sabemos, não saberemos ":

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

Em Inglês:

Devemos saber.

Nós saberemos.

Um dia antes de Hilbert pronunciou estas frases na reunião anual da Sociedade Alemã de Cientistas e médicos 1930, Kurt Gödel em uma mesa redonda durante a Conferência de Epistemologia realizada em conjunto com a sociedade reuniões de tentativamente anunciou a primeira expressão do seu teorema da incompletude.

Hilbert resolve o problema de Gordan

O primeiro trabalho de Hilbert em funções invariantes levou-o à demonstração em 1888 do seu famoso teorema de finitude. Vinte anos antes, Paul Gordan havia demonstrado o teorema da finitude dos geradores para binário usando uma abordagem computacional complexo. As tentativas de generalizar seu método de funções com mais de duas variáveis falharam por causa da enorme dificuldade dos cálculos envolvidos. A fim de resolver o que ficou conhecido em alguns círculos como Problema de Gordan, Hilbert percebeu que era necessário tomar um caminho completamente diferente. Como resultado, ele demonstrou Base teorema de Hilbert, mostrando a existência de um conjunto finito de geradores, para os invariantes de quantics em qualquer número de variáveis, mas em uma forma abstrata. Isto é, ao mesmo tempo que demonstra a existência de um tal conjunto, que não era uma prova construtiva - não apresentar "um objeto" -, mas sim, foi uma prova e contou com uso de existência Lei de Exclusão Médio em uma extensão infinita.

Hilbert enviou seus resultados ao Mathematische Annalen. Gordan, o especialista casa na teoria de invariantes para Mathematische Annalen o, não podia apreciar a natureza revolucionária do teorema de Hilbert e rejeitou o artigo, criticando a exposição porque não era suficientemente abrangente. Seu comentário foi:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

(Isto não é Matemática. Este é Teologia.)

Klein, por outro lado, reconheceu a importância do trabalho, e garantiu que ele seria publicado sem alterações. Incentivado por Klein, Hilbert em um segundo artigo estendeu seu método, fornecendo estimativas sobre o grau máximo do conjunto mínimo de geradores, e ele enviou-lo mais uma vez para o Annalen. Depois de ter lido o manuscrito, Klein escreveu-lhe, dizendo:

Sem dúvida, esta é a mais importante obra sobre álgebra geral de que o Annalen já publicado.

Mais tarde, após a utilidade do método de Hilbert foi universalmente reconhecido, o próprio Gordan diria:

Eu me convenci de que até mesmo a teologia tem seus méritos.

Para todos os seus sucessos, a natureza da sua prova suscitou mais problemas do que Hilbert poderia ter imaginado no momento. Apesar de Kronecker havia concedido, Hilbert viria a responder a críticas similares de outras pessoas que "muitas construções diferentes são reunidos sob uma ideia fundamental" - em outras palavras (para citar Reid): "Através de uma prova da existência, Hilbert tinha sido capaz de obter um construção "; "A prova" (ou seja, os símbolos na página) era "o objeto". Nem todos estavam convencidos. Enquanto Kronecker morreria logo em seguida, o seu filosofia construtivista continuaria com os jovens Brouwer e seu desenvolvimento intuitionist "escola", para grande tormento de Hilbert em seus últimos anos. Na verdade Hilbert perderia seu "aluno talentoso" Weyl para intuitionism - "Hilbert foi perturbado por fascínio de seu ex-aluno com as idéias de Brouwer, que despertou em Hilbert a memória de Kronecker". Brouwer o intuitivo, em particular, se opôs ao uso da lei do terceiro excluído sobre conjuntos infinitos (como Hilbert tinha usado). Hilbert responderia:

Tomando o princípio do terceiro excluído do matemático ... é o mesmo que ... proibindo o boxer o uso de seus punhos.

Axiomatização de geometria

O texto Geometrie der Grundlagen (tr .: Foundations of Geometry) publicados por Hilbert em 1899 propõe um conjunto formal, a Axiomas de Hilbert, substituindo os tradicionais axiomas de Euclides . Eles evitar deficiências identificadas nas de Euclides , cujas obras na época ainda eram usados livro-fashion. De forma independente e contemporaneamente, um estudante americano de 19 anos de idade chamado Robert Lee Moore publicou um conjunto equivalente de axiomas. Alguns dos axiomas coincidem, enquanto alguns dos axiomas em sistema de Moore são teoremas em Hilbert e vice-versa.

A abordagem de Hilbert sinalizou a mudança para o moderno método axiomático. Neste, de Hilbert foi antecipada por O trabalho de Peano de 1889. Axiomas não são tomados como verdades auto-evidentes. Geometria pode tratar as coisas, sobre as quais temos intuições poderosas, mas não é necessário atribuir qualquer significado explícito aos conceitos indefinidos. Os elementos, tais como ponto, linha , plano , e outros, pode ser substituído, como diz Hilbert, por mesas, cadeiras, copos de cerveja e outras tais objetos. É suas relações definidas que são discutidos.

Hilbert primeiro enumera os conceitos indefinidos: ponto, linha, plano, encontra-se em (a relação entre os pontos e aviões), intermediação, a congruência de pares de pontos, e congruência dos ângulos . Os axiomas unificar tanto a geometria plana e geometria sólida de Euclides em um único sistema.

Os 23 Problemas

Hilbert de apresentar uma lista mais influente de 23 problemas por resolver no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900. Esta é geralmente contada a compilação mais bem sucedido e profundamente considerado de problemas abertos sempre a ser produzidos por um matemático individual.

Depois de re-trabalhar os fundamentos da geometria clássica, Hilbert poderia ter extrapolado para o resto da matemática. Sua abordagem diferente, no entanto, a partir da tarde 'fundamentalista' Russell-Whitehead ou "enciclopedista" Nicolas Bourbaki, e de seu contemporâneo Giuseppe Peano. A comunidade matemática como um todo poderia se inscrever em problemas, que ele tinha identificado como aspectos cruciais das áreas de matemática, ele levou para ser a chave.

O conjunto de problemas foi lançado como uma conversa "Os Problemas de Matemática", apresentado durante o curso do II Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Paris. Aqui é a introdução do discurso que Hilbert deu:

Quem entre nós não seria feliz para levantar o véu por trás da qual está escondido o futuro; a olhar para os próximos desenvolvimentos da nossa ciência e aos segredos de seu desenvolvimento nos séculos vindouros? Quais serão os fins para os quais o espírito das futuras gerações de matemáticos tenderão? Que métodos, o que os novos factos vai revelar o novo século no vasto e rico campo de pensamento matemático?

Ele apresentou menos da metade dos problemas do Congresso, que foram publicados nos atos do Congresso. Em uma publicação posterior, ele estendeu o panorama, e chegou à formulação dos agora canônicos 23 Problemas de Hilbert. O texto integral é importante, uma vez que a exegese das questões ainda pode ser uma questão de debate inevitável, sempre que for solicitado quantos foram resolvidos.

Alguns destes foram resolvidos num curto espaço de tempo. Outros foram discutidos ao longo do século 20, com alguns agora levado para ser inadequadamente em aberto para vir até o encerramento. Alguns até continuam até hoje a ser um desafio para os matemáticos.

Formalismo

Em uma conta que tinha se tornado padrão pelo meados do século, conjunto problema de Hilbert também foi uma espécie de manifesto, que abriu o caminho para o desenvolvimento do escola formalista, uma das três principais escolas de matemática do século 20. De acordo com o formalista, a matemática é manipulação de símbolos de acordo com regras acordadas formais. É, portanto, uma atividade autônoma do pensamento. Há, no entanto, espaço para duvidar de que seus pontos de vista de Hilbert foram simplista formalista neste sentido.

Programa de Hilbert

Em 1920, ele propôs explicitamente um projeto de pesquisa (em metamathematics, como era então chamado), que se tornou conhecido como Programa de Hilbert. Ele queria que a matemática a ser formulado em uma fundação lógica sólida e completa. Ele acreditava que, em princípio, isso poderia ser feito, mostrando que:

1. toda a matemática Resulta de um sistema finito corretamente escolhido de axiomas; e
2. que alguns tal sistema axioma é comprovadamente consistente através de alguns meios, tais como o cálculo epsilon.

Ele parece ter tido razões técnicas e filosóficas para a formulação desta proposta. Ele afirmou sua antipatia de que havia se tornado conhecido como o ignorabimus, ainda um problema ativo em seu tempo no pensamento alemão, e rastreada em que a formulação de Emil du Bois-Reymond.

Este programa ainda é reconhecível no mais popular filosofia da matemática, onde é normalmente chamado de formalismo. Por exemplo, a Grupo Bourbaki aprovou uma aguada e versão seletivo nisso como adequada aos requisitos de seus projetos individuais de (a) a escrever obras fundamentais enciclopédicas, e (b) o apoio à método axiomático como ferramenta de pesquisa. Esta abordagem tem sido bem sucedida e influente em relação com o trabalho de Hilbert em álgebra e análise funcional, mas não conseguiu exercer a mesma forma com os seus interesses em física e lógica.

Hilbert escreveu em 1919:

Não estamos falando aqui de arbitrariedade em qualquer sentido. Matemática não é como um jogo cujas tarefas são determinadas pelas regras estipuladas arbitrariamente. Em vez disso, é um sistema conceptual possuindo necessidade interna que só pode ser assim e de maneira nenhuma outra forma.

Hilbert publicou seus pontos de vista sobre os fundamentos da matemática na obra 2 volume Grundlagen der Mathematik.

O trabalho de Gödel

Hilbert e os matemáticos que trabalharam com ele em sua empresa estavam comprometidos com o projeto. Sua tentativa de apoiar matemática axiomatizada com princípios definitivos, o que poderia banir as incertezas teóricas, no entanto, foi a terminar em fracasso.

Gödel demonstrou que qualquer sistema formal não-contraditória, que era suficientemente abrangente para incluir, pelo menos, aritmética, não podem demonstrar a sua integridade por meio de seus próprios axiomas. Em 1931, o incompletude teorema mostrou que o grande plano de Hilbert era impossível como indicado. O segundo ponto não podem, de qualquer forma razoável ser combinado com o primeiro ponto, desde que o sistema de axioma é verdadeiramente finitária.

Não obstante, as conquistas subsequentes de teoria da prova na consistência muito menos esclarecido no que se refere às teorias de preocupação central para os matemáticos. O trabalho de Hilbert tinha começado lógica sobre este curso de esclarecimento; a necessidade de compreender o trabalho de Gödel seguida, levou ao desenvolvimento de teoria da recursão e, em seguida, lógica matemática como uma disciplina autónoma nos anos 1930. A base para posterior ciência da computação teórica, em Alonzo Church e Alan Turing também cresceu diretamente fora deste "debate".

Análise funcional

Por volta de 1909, Hilbert dedicou-se ao estudo do diferencial e equações integrais; seu trabalho teve consequências directas para partes importantes da análise funcional moderna. A fim de realizar esses estudos, Hilbert introduziu o conceito de uma dimensão infinita espaço euclidiano , mais tarde chamado Espaço de Hilbert. Sua obra nesta parte da análise serviu de base para importantes contribuições para a matemática da física nas próximas duas décadas, embora a partir de uma direção inesperada. Mais tarde, Stefan Banach ampliar o conceito, definindo Espaços de Banach. Espaços de Hilbert são uma importante classe de objectos na área de análise funcional, particularmente do teoria espectral de operadores lineares auto-adjuntos, que cresceu em torno dele durante o século 20.

Física

Até 1912, Hilbert era quase exclusivamente um matemático "puro". Ao planejar uma visita de Bonn, onde ele estava imerso em estudar física, seu companheiro e amigo matemático Hermann Minkowski brincou ele teve que passar 10 dias em quarentena antes de ser capaz de visitar Hilbert. Na verdade, Minkowski parece responsável pela maior parte das investigações de física de Hilbert antes de 1912, incluindo o seu seminário conjunto no assunto em 1905.

Em 1912, três anos após a morte de seu amigo, Hilbert virou seu foco para o assunto quase que exclusivamente. Ele providenciado para um "tutor física" para si mesmo. Ele começou a estudar teoria cinética do gás e mudou-se para elementar teoria da radiação e da teoria molecular da matéria. Mesmo depois que a guerra começou em 1914, ele continuou seminários e aulas onde os trabalhos de Albert Einstein e outros foram seguidas de perto.

Em 1907, Einstein tinha enquadrado os fundamentos da teoria da gravidade, mas, em seguida, lutou por quase 8 anos com um problema de confusão de colocar a teoria em sua forma final. Ao início do verão de 1915, o interesse de Hilbert em física tinha focado em relatividade geral , e ele convidou Einstein para Göttingen para oferecer uma semana de palestras sobre o assunto. Einstein recebeu uma recepção entusiástica em Göttingen. Durante o verão Einstein descobriu que Hilbert estava trabalhando também nas equações de campo e redobrou seus próprios esforços. Durante novembro 1915 Einstein publicou vários trabalhos que culminaram na "o campo Equações de Gravitation" (veja Einstein equações de campo). Quase simultaneamente David Hilbert publicou "Os Fundamentos da Física", uma derivação axiomática das equações de campo (ver Ação de Einstein-Hilbert). Hilbert creditado totalmente Einstein como o criador da teoria, e nenhuma disputa de prioridade público relacionadas com as equações de campo jamais surgiu entre os dois homens durante suas vidas. Veja mais na prioridade.

Além disso, o trabalho de Hilbert antecipada e assistida vários avanços no formulação matemática da mecânica quântica. Seu trabalho foi um aspecto chave da Hermann Weyl e John von Neumann trabalho 's sobre a equivalência matemática de Werner Heisenberg mecânica matricial e Erwin Schrödinger de equação de onda e seu xará Espaço de Hilbert desempenha um papel importante na teoria quântica. Em 1926 von Neumann mostrou que, se estados atômicos foram entendidas como vetores no espaço de Hilbert, então eles corresponderia tanto com a teoria da função de onda de Schrödinger e matrizes de Heisenberg.

Ao longo desta imersão em física, Hilbert trabalhou em colocar rigor nas matemáticas da física. Embora altamente dependente de matemática avançada, os físicos tendiam a ser "desleixado" com ele. Para um matemático "puro" como Hilbert, este era ao mesmo tempo "feio" e difícil de entender. Quando ele começou a entender a física e como os físicos estavam usando a matemática, ele desenvolveu uma teoria matemática coerente para o que encontrou, o mais importante na área de equações integrais. Quando seu colega Richard Courant escreveu o agora clássico Métodos de Física Matemática, incluindo algumas das idéias de Hilbert, acrescentou o nome de Hilbert como autor, apesar de Hilbert não tinha contribuído diretamente para a escrita. Hilbert disse: "A física é muito difícil para os físicos", o que implica que a matemática necessária era, geralmente, fora delas; o livro Courant-Hilbert tornou mais fácil para eles.

Teoria dos números

Hilbert unificou o campo de teoria dos números algébricos com seu tratado 1897 Zahlbericht (literalmente "relatório sobre números"). Ele também resolveu um número significativo teoria- problema formulado por Waring em 1770. Tal como acontece com o teorema de finitude, ele usou uma prova de existência que mostra que deve haver soluções para o problema, em vez de fornecer um mecanismo para produzir as respostas. Em seguida, ele tinha pouco mais para publicar sobre o assunto; mas o surgimento de Formas modulares de Hilbert na dissertação de um estudante significa seu nome é mais ligado a uma grande área.

Ele fez uma série de conjecturas sobre teoria do campo de classe. Os conceitos foram muito influentes, e sua própria contribuição vive em os nomes do Campo de classe Hilbert e do Símbolo de Hilbert teoria do campo de classe local. Os resultados foram principalmente provou em 1930, após o trabalho por Teiji Takagi.

Hilbert não funcionou nas áreas centrais de teoria analítica dos números, mas o seu nome se tornou conhecido para o Hilbert-Pólya conjectura, por razões que são anedóticas.

Cotações

• Não estamos falando aqui de arbitrariedade em qualquer sentido. Matemática não é como um jogo cujas tarefas são determinadas pelas regras estipuladas arbitrariamente. Em vez disso, é um sistema conceptual possuindo necessidade interna que só pode ser assim e de maneira nenhuma outra forma.