Determinante

Em álgebra , um determinante é uma função dependente de ne que associa um escalar, det (A), para cada n × n matriz quadrada A. O significado geométrico fundamental de um determinante é que o factor de escala para o volume quando A é considerada como um transformação linear. Determinantes são importantes tanto no cálculo , onde eles entram na regra de substituição para diversas variáveis, e em álgebra multilinear.

Para um número inteiro positivo n fixo, não é uma função única para o determinante N × n matrizes sobre qualquer anel conmutativo R. Em especial, existe esta função, quando R é a campo de reais ou números complexos .

Notação de barra vertical

O determinante de uma matriz A também é por vezes designado por | A |. Esta notação pode ser ambíguos uma vez que também é utilizada para certas normas da matriz e para o valor absoluto . No entanto, muitas vezes a norma matriz será denotado com barras verticais duplas (por exemplo, ‖ ‖ A) e pode transportar um subscrito também. Assim, a notação de barra vertical para determinante é freqüentemente utilizado (por exemplo, Regra de Cramer e menores). Por exemplo, para a matriz

o determinante pode ser indicado pela ou mais explicitamente como

Isto é, as cintas em torno das matrizes quadrados são substituídas por barras verticais alongados.

Determinantes de matrizes 2-por-2

A área do paralelogramo é a determinante da matriz formada por os vectores que representam os lados do paralelogramo.

A matriz 2 x 2

tem determinante

A interpretação quando a matriz tiver entradas de números reais é que este dá a área orientada do paralelogramo com os vértices (0,0), (a, b), (a + c, b + d), e (c, d). A área orientada é o mesmo que o habitual área , excepto que é negativo quando os vértices são listados na ordem dos ponteiros do relógio.

Supõe-se aqui que a transformação linear é aplicado à linha vectores como o produto do vetor-matriz , Onde é um vector de coluna. O paralelogramo na figura é obtida multiplicando os vetores linha e , Definindo os vértices do quadrado unitário. Com o produto matriz-vetor mais comum paralelogramo tem vértices em e (Note que ).

Uma fórmula para matrizes maiores serão dadas a seguir.

Determinantes de matrizes 3-por-3

O volume desta Paralelepípedo é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelas linhas R1, R2, e R3.

A matriz de 3 x 3:

Usando o expansão cofator na primeira linha da matriz temos:

O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculada por suas diagonais.

que pode ser lembrada como a soma dos produtos de três diagonal noroeste de linhas sudeste de elementos da matriz, menos a soma dos produtos dos três diagonal sudoeste de linhas nordeste de elementos quando as cópias da primeira duas colunas da matriz são escritos ao lado como a seguir:

Note que este mnemônico não transitar em dimensões superiores.

Aplicações

Determinantes são usados para caracterizar matrizes invertíveis (ou seja, exatamente essas matrizes com determinantes não-zero), e para descrever explicitamente a solução para um sistema de equações lineares com Regra de Cramer. Eles podem ser utilizados para encontrar os valores próprios da matriz através de polinômio característico

onde I é a matriz de identidade da mesma dimensão como A.

Um muitas vezes pensa do determinante como a atribuição de um número para cada seqüência de em vectores , Usando a matriz quadrada cujas colunas são os vetores dados. Com esse entendimento, o sinal do determinante de uma base pode ser usada para definir a noção de orientação em espaços euclidianos . O determinante de um conjunto de vetores é positivo se os vetores formam um destro sistema de coordenadas, e negativo se canhoto.

Determinantes são usadas para calcular os volumes de cálculo vectorial : o valor absoluto do determinante dos vectores reais é igual ao volume do paralelepípedo gerado por esses vetores. Em consequência, se o mapa linear é representado pela matriz E é qualquer mensurável subconjunto de , Então o volume de é dado pela . De modo mais geral, se o mapa linear é representado pela -by- matriz E é mensurável qualquer subconjunto de , Então o - o volume de dimensões é dado pela . Ao calcular o volume do tetraedro delimitada por quatro pontos, que podem ser usadas para identificar retas reversas.

O volume de qualquer tetraedro , dado seus vértices a, b, c, e d, é (1/6) · | det (a - b, b - c, c - d) |, ou qualquer outra combinação de pares de vértices que formam um simplesmente conexa grafo.

Definição geral e computação

A definição do determinante vem do seguinte teorema.

Teorema. Deixe-M _n (K) denotar o conjunto de todos matrizes sobre o campo K. Não existe exatamente uma função

com as duas propriedades:

• é alterno multilinear no que diz respeito a colunas;
• .

Pode-se então definir o determinante como a função original com as propriedades acima.

Ao provar o teorema acima, também se obtém o Leibniz fórmula:

Aqui a soma é calculado sobre todas as permutações dos números {1,2, ..., n} e indica o assinatura da permutação : 1 se é um mesmo permutação e -1 se é ímpar.

Esta fórmula inclui ( factorial ) summands, e é, por conseguinte, a usá-lo impraticável para calcular determinantes para grande .

Para matrizes pequenas, obtém-se as seguintes fórmulas:

• se é uma matriz de um-por-um, então

• se é uma matriz de duas-a-duas, então

• para uma matriz de 3 por 3- , A fórmula é mais complicado:

que toma a forma do esquema Sarrus ' .

Em geral, os determinantes pode ser calculado utilizando a eliminação de Gauss utilizando as seguintes regras:

• Se é um matriz triangular, ou seja sempre que ou, alternativamente, quando , Então (O produto dos elementos da diagonal de ).
• Se Resultados de através da troca de duas linhas ou colunas, em seguida,
• Se Resultados de multiplicando uma linha ou coluna com o número , Então
• Se Resultados de por adição de um múltiplo de uma fila para outra linha, ou um múltiplo de uma coluna para outra coluna, seguida

Explicitamente, iniciando-se com alguma matriz, use os últimos três regras para convertê-lo em uma matriz triangular, em seguida, usar a primeira regra para calcular o seu determinante.

É também possível expandir um determinante ao longo de uma linha ou coluna usando Fórmula de Laplace, que é eficiente relativamente pequenos matrizes. Para fazer isso ao longo linha , Por exemplo, nós escrevemos

onde o representar a matriz cofactores, ou seja é vezes o menor , Que é o determinante da matriz que resulta removendo o linha -th eo -th coluna.

Exemplo

Suponha que queremos calcular o determinante de

Podemos ir em frente e utilizar a fórmula Leibniz diretamente:

Alternativamente, podemos usar Fórmula de Laplace para expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna. É melhor escolher uma linha ou coluna com muitos zeros, então vamos expandir ao longo da segunda coluna:

Uma terceira forma (e o método de escolha para matrizes maiores) envolveria o algoritmo de Gauss. Ao fazer cálculos à mão, pode-se muitas vezes encurtar as coisas de forma dramática por inteligentemente acrescentando múltiplos de colunas ou linhas para outras colunas ou linhas; esta não muda o valor do determinante, mas podem criar entradas de zero o que simplifica os cálculos subsequentes. Neste exemplo, a adição da segunda coluna para a primeira é especialmente útil:

e esse determinante pode ser rapidamente expandido ao longo da primeira coluna:

Propriedades

O determinante é um mapa multiplicativo no sentido de que

para todo n -by- n matrizes e .

Este é generalizada pela Cauchy-Binet fórmula para produtos de matrizes não-quadrados.

É fácil ver que e assim

para todos -by- matrizes e tudo escalares .

Uma matriz sobre um anel comutativo R é inversível se e somente se seu determinante é um unidade em R. Em particular, se A é uma matriz ao longo de um campo, tais como os verdadeiros ou números complexos , então A é invertível se, e apenas se det (A) não é igual a zero. Neste caso, temos

Dito de outro modo: os vetores v _1, ..., v _n em R ⁿ formar um base, se e somente se det (v _1, ..., v _n) é diferente de zero.

Uma matriz e sua transpor têm o mesmo determinante:

Os determinantes de uma matriz complexa e de sua transposta conjugada são conjugado:

(Note-se a transposta conjugada é idêntico para a transposta para uma matriz real)

O determinante de uma matriz exibe as seguintes propriedades sob transformações de matrizes elementares de :

1. Trocar linhas ou colunas multiplica o determinante por -1.
2. A multiplicação de uma linha ou coluna multiplica o determinante por .
3. A adição de um múltiplo de uma linha ou coluna para outro deixa inalterado o determinante.

Isso decorre da propriedade multiplicativa e os determinantes da matrizes de transformação matriz elementares.

Se e são semelhante, ou seja, se existe uma matriz invertível tal que = , Seguida pela propriedade multiplicativa,

Isto significa que o determinante é um similaridade invariante. Devido a isso, o determinante de alguma transformação linear T: V → V para alguns finito dimensional espaço vectorial V é independente da base de V. A relação é de um só sentido, no entanto: existem matrizes que têm o mesmo determinante, mas não são semelhantes.

Se é um quadrado -by- matriz com reais ou complexos entradas e se λ _1, ..., λ _n são os (complexos) valores próprios de listados de acordo com suas multiplicidades algébricas, em seguida,

Isso decorre do fato de que é sempre semelhante ao seu Jordan forma normal, uma matriz triangular superior com os valores próprios na diagonal principal.

Identidades úteis

Para m -by- n matriz A e m -by- n matriz B, que detém

A conseqüência dessas igualdades para o caso de (coluna) vetores x e y

E uma versão generalizada desta identidade

As provas podem ser encontrados em .

Matrizes do Bloco

Suponha-se, são matrizes respectivamente. Em seguida

Isto pode ser (muito) facilmente visto a partir de por exemplo, a Fórmula Leibniz. Empregando-se o seguinte identidade

leva a

Identidade semelhante com fora consignado pode ser derivado de forma análoga. Estas identidades foram tomadas a partir de .

Se são matrizes diagonais, então

Este é um caso especial do teorema publicado em .

Relação com traço

A partir desta ligação entre o determinante e os valores próprios, pode-se derivar uma ligação entre o função de rastreamento, a função exponencial, e o determinante:

Realizando a substituição nos rendimentos equação acima

que está intimamente relacionado com o Determinante Fredholm. Da mesma forma,

Para n -by- matrizes n existem as relações:

Caso n = 1:

Caso n = 2:

Caso n = 3:

Caso n = 4:

que estão intimamente relacionados com Identidades de Newton.

Derivado

O determinante de matrizes quadradas reais é uma função polinomial de para , E como tal está em toda parte diferenciável . Seu derivado pode ser expressa usando A fórmula de Jacobi:

onde adj (A) indica o adjugate de A. Em particular, se A é invertível, temos

Na forma de componente, estes são

Quando é um pequeno número estes são equivalentes às

O caso especial onde é igual à matriz identidade rendimentos

Uma propriedade útil no caso de matrizes de 3 X 3 é o seguinte:

A pode ser escrito como onde , , Os vectores são, em seguida, o gradiente ao longo de um dos três vectores pode ser escrita como o produto cruzado dos outros dois:

Formulação abstrata

Um N × n matriz quadrada A pode ser considerado como a representação de uma coordenada transformação linear de um n-dimensional espaço vetorial V. Dado qualquer transformação linear

podemos definir o determinante de A como o determinante de qualquer representação de matriz A. Isto é um noção bem definido (isto é, independente da escolha de um base) desde o determinante é invariante sob transformações de similaridade.

Como se poderia esperar, é possível definir o determinante de uma transformação linear de uma forma coordenada livre. Se V é um espaço n -dimensional vector, em seguida, pode-se construir seu topo exterior poder Λ ⁿ V. Este é um espaço vectorial unidimensional cujos elementos são escritos

onde cada v _i é um vector em V e o ∧ produto cunha é anti-simétrica (ie, u ∧ u = 0). Qualquer transformação linear A: V → V induz uma transformação linear de Λ ⁿ V da seguinte forma:

Desde Λ ⁿ V é unidimensional esta operação é apenas multiplicação por alguns escalar que depende de uma. Isso é chamado de escalar o determinante de A. Ou seja, nós definimos det (A) pela equação

Pode-se verificar que essa definição está de acordo com a definição coordenada dependente dado acima.

Implementação algorítmica

• O método ingênuo da implementação de um algoritmo para calcular o determinante é usar a fórmula de Laplace para a expansão de cofatores. Esta abordagem é extremamente ineficiente, em geral, no entanto, como é de ordem n! (N factorial ) para uma matriz n × n M.
• Uma melhoria de ordem n ³ pode ser conseguido através da utilização LU decomposição de escrever M = LU para triangular matrizes L e U. Agora, det M = det LU = det L det U, e uma vez que L e U são triangular o determinante de cada um é simplesmente o produto de seus elementos diagonais. Em alternativa, é possível realizar o Cholesky decomposição se possível, ou a QR decomposição e encontrar o determinante de uma forma semelhante.
• Desde a definição do determinante não precisa divisões, surge uma questão: será que existem algoritmos rápidos que não necessitam de divisões? Isto é especialmente interessante para matrizes mais anéis. Na verdade algoritmos com tempo de execução proporcional ao n ⁴ existir. Um algoritmo de Mahajan e Vinay, e baseia-se na Berkowitz caminhadas encomendados fechados (curto clow). Ele calcula mais produtos que requer a definição determinante, mas alguns desses produtos e cancelar a soma destes produtos pode ser calculado de forma mais eficiente. O algoritmo final se parece muito com um produto iterado de matrizes triangulares.
• O que não é frequentemente discutido é o chamado "complexidade bits" do problema, isto é, quantos bits de precisão é necessário armazenar para valores intermédios. Por exemplo, usando a eliminação de Gauss , você pode reduzir a matriz de forma triangular, em seguida, multiplicar a diagonal principal para obter o determinante (este é essencialmente um caso especial da decomposição LU como acima), mas um cálculo rápido mostra que o bit tamanho dos valores intermediários poderia potencialmente se tornar exponencial. Pode-se falar sobre quando é apropriado para arredondar os valores intermédios, mas uma maneira elegante de calcular o determinante usa o Bareiss Algorithm, um método exato-divisão com base em Identidade de Sylvester para dar um tempo de execução de ordem n ³ e complexidade pouco mais ou menos do tamanho das entradas originais nos tempos matriz n bits.

História

Historicamente, determinantes foram consideradas antes de matrizes. Originalmente, um determinante foi definido como uma propriedade de um sistema de equações lineares . O determinante "determina" se o sistema tem uma solução única (o que ocorre precisamente quando o determinante é diferente de zero). Neste sentido, foram determinantes usado pela primeira vez no livro de matemática BC chinês do século 3 Os Nove Capítulos da Arte Matemática. Na Europa, dois dois-por-determinantes foram consideradas pela Cardano no final do século 16 e as maiores por Leibniz e, no Japão, por Seki cerca de 100 anos mais tarde. Cramer (1750) adicionado à teoria, tratando o assunto em relação a conjuntos de equações. A lei recorrente foi anunciado pela primeira vez por Bézout (1764).

Era Vandermonde (1771) que foi o primeiro determinantes reconhecidos como funções independentes. Laplace (1772) deu o método geral de expansão de um determinante em termos da sua complementar menores: Vandermonde já tinha dado um caso especial. Imediatamente após, Lagrange (1773) tratados determinantes da segunda e terceira ordem. Lagrange foi o primeiro a aplicar determinantes para perguntas teoria eliminação; ele provou muitos casos especiais de identidades gerais.

Gauss (1801) fez a seguinte antecedência. Como Lagrange, ele fez muito uso de determinantes na teoria dos números . Ele introduziu a palavra determinantes (Laplace tinha usado resultante), embora não no presente significação, mas sim como aplicado ao discriminante de um quântico. Gauss também chegou à noção de (inversas) determinantes recíprocas, e chegou muito perto do teorema de multiplicação.

O próximo colaborador de importância é Binet (1811, 1812), que declarou formalmente o teorema relativo ao produto de duas matrizes de m colunas e n linhas, o que para o caso especial de m = n reduz com o teorema de multiplicação. No mesmo dia ( 30 de novembro de 1812 ), que Binet apresentou seu papel para a Academia, Cauchy também apresentou uma sobre o assunto. (Ver Fórmula de Cauchy-Binet.) Neste ele usou a palavra determinante em seu sentido atual, resumidas e simplificado que era então conhecido sobre o assunto, melhorou a notação, e deu o teorema de multiplicação com uma prova mais satisfatória do que Binet de. Com ele começa a teoria em sua generalidade.

A próxima figura importante foi Jacobi (de 1827). Muito cedo ele usou o determinante funcional que mais tarde chamado de Sylvester Jacobian, e em suas memórias em Crelle para 1841 especialmente trata este assunto, bem como a classe de funções que Sylvester chamou alternants alternada. Sobre o tempo dos últimos memórias de Jacobi, Sylvester (1839) e Cayley começou seu trabalho.

O estudo de formas especiais de determinantes tem sido o resultado natural da conclusão da teoria geral. Axissimétricos determinantes têm sido estudados por Lebesgue, Hesse, e Sylvester; determinantes persymmetric por Sylvester e Hankel; circulants por Catalão, Spottiswoode, Glaisher, e Scott; determinantes de inclinação e Pfaffianas, em conexão com a teoria da transformação ortogonal, por Cayley; continuants por Sylvester; Wronskians (assim chamado por Muir) pela Christoffel e Frobenius; determinantes compostos por Sylvester, Reiss, e Picquet; Jacobianos e Hessians por Sylvester; e simétricas determinantes gauche por Trudi. Dos livros-texto sobre o assunto Spottiswoode foi a primeira. Na América, Hanus (1886), Weld (1893), e Muir / Metzler (1933) publicaram tratados.