Determinante

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Em álgebra , um determinante é uma função dependente de ne que associa um escalar, det (A), para cada n × n matriz quadrada A. O significado geométrico fundamental de um determinante é que o factor de escala para o volume quando A é considerada como um transformação linear. Determinantes são importantes tanto no cálculo , onde eles entram na regra de substituição para diversas variáveis, e em álgebra multilinear.

Para um número inteiro positivo n fixo, não é uma função única para o determinante N × n matrizes sobre qualquer anel conmutativo R. Em especial, existe esta função, quando R é a campo de reais ou números complexos .

Notação de barra vertical

O determinante de uma matriz A também é por vezes designado por | A |. Esta notação pode ser ambíguos uma vez que também é utilizada para certas normas da matriz e para o valor absoluto . No entanto, muitas vezes a norma matriz será denotado com barras verticais duplas (por exemplo, ‖ ‖ A) e pode transportar um subscrito também. Assim, a notação de barra vertical para determinante é freqüentemente utilizado (por exemplo, Regra de Cramer e menores). Por exemplo, para a matriz

$A = \ begin {} bmatrix a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} \,$

o determinante $\ Det (A)$ pode ser indicado pela $| A |$ ou mais explicitamente como

$| A |. = \ Begin {} vmatrix a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} \,$

Isto é, as cintas em torno das matrizes quadrados são substituídas por barras verticais alongados.

Determinantes de matrizes 2-por-2

A área do paralelogramo é a determinante da matriz formada por os vectores que representam os lados do paralelogramo.

A matriz 2 x 2

$A = \ begin {} bmatrix a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \,$

tem determinante

$\ Det (A) = ad-bc. \,$

A interpretação quando a matriz tiver entradas de números reais é que este dá a área orientada do paralelogramo com os vértices (0,0), (a, b), (a + c, b + d), e (c, d). A área orientada é o mesmo que o habitual área , excepto que é negativo quando os vértices são listados na ordem dos ponteiros do relógio.

Supõe-se aqui que a transformação linear é aplicado à linha vectores como o produto do vetor-matriz $x ^ T A$ , Onde $x$ é um vector de coluna. O paralelogramo na figura é obtida multiplicando os vetores linha $\ Begin {} bmatrix 0 e 1 \ end {bmatrix}, \ begin {} bmatrix 1 & 0 \ end {bmatrix}$ e $\ Begin {} bmatrix 1 & 1 \ end {bmatrix}$ , Definindo os vértices do quadrado unitário. Com o produto matriz-vetor mais comum $Machado$ paralelogramo tem vértices em $\ Begin {} bmatrix 0 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ begin {} bmatrix um \\ c \ end {bmatrix}, \ begin {} bmatrix a + b \\ c + d \ end {bmatrix}$ e $\ Begin {} bmatrix b \\ d \ end {bmatrix}$ (Note que $Ax = (x ^ T ^ T A) ^ T$ ).

Uma fórmula para matrizes maiores serão dadas a seguir.

Determinantes de matrizes 3-por-3

O volume desta Paralelepípedo é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelas linhas R1, R2, e R3.

A matriz de 3 x 3:

$A = \ begin {} bmatrix a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {} bmatrix.$

Usando o expansão cofator na primeira linha da matriz temos:

$\ Begin {align} \ det (A) e = a \ begin {vmatrix} e & f \\ h & i \ end {vmatrix} -b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} \\ & = AEI-afh-bdi + bfg + CDH-CEG \\ & = (AEI + bfg + CDH) - (GEC + HFA + BID), \ end {align}$

O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculada por suas diagonais.

que pode ser lembrada como a soma dos produtos de três diagonal noroeste de linhas sudeste de elementos da matriz, menos a soma dos produtos dos três diagonal sudoeste de linhas nordeste de elementos quando as cópias da primeira duas colunas da matriz são escritos ao lado como a seguir:

$\ Begin {matrix} \ color {azul} a & cor {blue} b & \ color {azul} c & a & b \\ d & \ color {azul} e & \ color {azul} f & \ color {\ azul} d & e \\ g & h & \ color {azul} i & \ color {azul} g & \ color {azul} h \ end {matrix} \ quad - \ quad \ begin {matriz} a & b & \ color {vermelho} c & \ color {vermelho} a & cor vermelho {} \ b \\ d & \ color {vermelho} e & \ color {vermelho} f & \ color {vermelho} d & e \\ \ color {vermelho} g & \ color {vermelho} h & \ color {vermelho} i & g & h \ end {matrix}$

Note que este mnemônico não transitar em dimensões superiores.

Aplicações

Determinantes são usados para caracterizar matrizes invertíveis (ou seja, exatamente essas matrizes com determinantes não-zero), e para descrever explicitamente a solução para um sistema de equações lineares com Regra de Cramer. Eles podem ser utilizados para encontrar os valores próprios da matriz $A$ através de polinômio característico

$p (x) = \ det (XI - A) \,$

onde I é a matriz de identidade da mesma dimensão como A.

Um muitas vezes pensa do determinante como a atribuição de um número para cada seqüência de $n$ em vectores $\ Bbb {R} ^ n$ , Usando a matriz quadrada cujas colunas são os vetores dados. Com esse entendimento, o sinal do determinante de uma base pode ser usada para definir a noção de orientação em espaços euclidianos . O determinante de um conjunto de vetores é positivo se os vetores formam um destro sistema de coordenadas, e negativo se canhoto.

Determinantes são usadas para calcular os volumes de cálculo vectorial : o valor absoluto do determinante dos vectores reais é igual ao volume do paralelepípedo gerado por esses vetores. Em consequência, se o mapa linear $f: \ Bbb {R} ^ n \ rightarrow \ Bbb {R} ^ n$ é representado pela matriz $A$ E $S$ é qualquer mensurável subconjunto de $\ Bbb {R} ^ n$ , Então o volume de $f (S)$ é dado pela $\ Left | \ det (A) \ right | \ times \ operatorname {} de volume (S)$ . De modo mais geral, se o mapa linear $f: \ Bbb {R} ^ n \ rightarrow \ Bbb {R} ^ m$ é representado pela $m$ -by- $n$ matriz $A$ E $S$ é mensurável qualquer subconjunto de $\ Bbb {R} ^ {n}$ , Então o $n$ - o volume de dimensões $f (S)$ é dado pela $\ Sqrt {\ det (A ^ \ mathrm {T} A)} \ times \ operatorname {} de volume (S)$ . Ao calcular o volume do tetraedro delimitada por quatro pontos, que podem ser usadas para identificar retas reversas.

O volume de qualquer tetraedro , dado seus vértices a, b, c, e d, é (1/6) · | det (a - b, b - c, c - d) |, ou qualquer outra combinação de pares de vértices que formam um simplesmente conexa grafo.

Definição geral e computação

A definição do determinante vem do seguinte teorema.

Teorema. Deixe-M _n (K) denotar o conjunto de todos $n \ n vezes$ matrizes sobre o campo K. Não existe exatamente uma função

$F: M_n (K) \ K longrightarrow$

com as duas propriedades:

$F$ é alterno multilinear no que diz respeito a colunas;
$F (I) = 1$ .

Pode-se então definir o determinante como a função original com as propriedades acima.

Ao provar o teorema acima, também se obtém o Leibniz fórmula:

$\ Det (A) = \ sum _ {\ sigma \ in s_n} \ sgn (\ sigma) \ Prod_ {i = 1} ^ n A_ {i, \ sigma (i)}.$

Aqui a soma é calculado sobre todas as permutações $\ Sigma$ dos números {1,2, ..., n} e $\ Sgn (\ Sigma)$ indica o assinatura da permutação $\ Sigma$ : 1 se $\ Sigma$ é um mesmo permutação e -1 se é ímpar.

Esta fórmula inclui $n!$ ( factorial ) summands, e é, por conseguinte, a usá-lo impraticável para calcular determinantes para grande $n$ .

Para matrizes pequenas, obtém-se as seguintes fórmulas:

se $A$ é uma matriz de um-por-um, então $\ Det (A) = {1,1} A_. \,$

se $A$ é uma matriz de duas-a-duas, então $\ Det (A) = {1,1} A_ A_ {2,2} - A_ {2,1} A_ {1,2}. \,$

para uma matriz de 3 por 3- $A$ , A fórmula é mais complicado:

$\ Begin {matrix} \ det (A) & = & A_ {1,1} {2,2} A_ A_ {3,3} + A_ {1,3} {2,1} A_ A_ {3,2} + A_ {1,2} {2,3} A_ A_ {3,1} \\ & & - A_ {1,3} {2,2} A_ A_ {3,1} - A_ {1,1} A_ {2,3} {3,2} A_ - A_ {1,2} {2,1} A_ A_ {3,3}. \ End {matrix} \,$

que toma a forma do esquema Sarrus ' .

Em geral, os determinantes pode ser calculado utilizando a eliminação de Gauss utilizando as seguintes regras:

Se $A$ é um matriz triangular, ou seja $A_ {i, j = 0} \,$ sempre que $i> j$ ou, alternativamente, quando $i <j$ , Então $\ Det (A) = {1,1} A_ A_ {2,2} \ cdots A_ {n, n} \,$ (O produto dos elementos da diagonal de $A$ ).
Se $B$ Resultados de $A$ através da troca de duas linhas ou colunas, em seguida, $\ Det (B) = - \ det (A). \,$
Se $B$ Resultados de $A$ multiplicando uma linha ou coluna com o número $c$ , Então $\ Det (B) = C \, \ det (A). \,$
Se $B$ Resultados de $A$ por adição de um múltiplo de uma fila para outra linha, ou um múltiplo de uma coluna para outra coluna, seguida $\ Det (B) = \ det (A). \,$

Explicitamente, iniciando-se com alguma matriz, use os últimos três regras para convertê-lo em uma matriz triangular, em seguida, usar a primeira regra para calcular o seu determinante.

É também possível expandir um determinante ao longo de uma linha ou coluna usando Fórmula de Laplace, que é eficiente relativamente pequenos matrizes. Para fazer isso ao longo linha $eu$ , Por exemplo, nós escrevemos

$\ Det (a) = \ sum_ {j = 1} ^ n A_ {i, j} C_ {i, j} = \ sum_ {j = 1} ^ n A_ {i, j} (-1) ^ {i + j} M_ {i, j}$

onde o $C_ {i, j}$ representar a matriz cofactores, ou seja $C_ {i, j}$ é $(-1) ^ {I + j}$ vezes o menor $M_ {i, j}$ , Que é o determinante da matriz que resulta $A$ removendo o $eu$ linha -th eo $j$ -th coluna.

Exemplo

Suponha que queremos calcular o determinante de

$A = \ begin {} bmatrix -2 & 2 & -3 -1 \\ & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 \ end {} bmatrix.$

Podemos ir em frente e utilizar a fórmula Leibniz diretamente:

$\ Det (A) \,$	$= \,$	$(-2 \ Cdot 1 \ cdot -1) + (-3 \ cdot -1 \ cdot 0) + (2 \ cdot 3 \ cdot 2)$
		$- (-3 \ Cdot 1 \ cdot 2) - (-2 \ cdot 3 \ cdot 0) - (2 \ cdot -1 \ cdot -1)$
	$= \,$	$2 + 0 + 12 - (-6) - 0-2 = 18. \,$

Alternativamente, podemos usar Fórmula de Laplace para expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna. É melhor escolher uma linha ou coluna com muitos zeros, então vamos expandir ao longo da segunda coluna:

$\ Det (A) \,$	$= \,$	$(-1) ^ {1 + 2} \ cdot 2 \ cdot \ det \ begin {bmatrix} -1 e 3 \\ 2 e -1 \ end {bmatrix} + (-1) ^ {2 + 2} \ cdot 1 \ cdot \ det \ begin {} bmatrix -2 -3 \\ & 2 & -1 \ end {bmatrix}$
	$= \,$	$(-2) \ Cdot ((- 1) \ cdot (-1) -2 \ cdot3) 1 \ cdot ((- 2) \ cdot (-1) -2 \ cdot (-3))$
	$= \,$	$(-2) (- 5) 8 18. = \,$

Uma terceira forma (e o método de escolha para matrizes maiores) envolveria o algoritmo de Gauss. Ao fazer cálculos à mão, pode-se muitas vezes encurtar as coisas de forma dramática por inteligentemente acrescentando múltiplos de colunas ou linhas para outras colunas ou linhas; esta não muda o valor do determinante, mas podem criar entradas de zero o que simplifica os cálculos subsequentes. Neste exemplo, a adição da segunda coluna para a primeira é especialmente útil:

$\ Begin {bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}$

e esse determinante pode ser rapidamente expandido ao longo da primeira coluna:

$\ Det (A) \,$	$= \,$	$(-1) ^ {3 + 1} \ cdot 2 \ cdot \ det \ begin {} bmatrix 2 e -3 \\ 1 & 3 \ end {bmatrix}$
	$= \,$	$2 \ cdot (2 \ cdot3-1 \ cdot (-3)) = 2 \ cdot 9 = 18. \,$

Propriedades

O determinante é um mapa multiplicativo no sentido de que

$\ Det (AB) = \ det (A) \ det (B) \,$ para todo n -by- n matrizes $A$ e $B$ .

Este é generalizada pela Cauchy-Binet fórmula para produtos de matrizes não-quadrados.

É fácil ver que $\ Det (rI_n) = r ^ n \,$ e assim

$\ Det (RA) = \ det (rI_n \ cdot A) = r ^ n \ det (A) \,$ para todos $n$ -by- $n$ matrizes $A$ e tudo escalares $r$ .

Uma matriz sobre um anel comutativo R é inversível se e somente se seu determinante é um unidade em R. Em particular, se A é uma matriz ao longo de um campo, tais como os verdadeiros ou números complexos , então A é invertível se, e apenas se det (A) não é igual a zero. Neste caso, temos

$\ Det (A ^ {- 1}) = \ det (A) ^ {- 1}. \,$

Dito de outro modo: os vetores v _1, ..., v _n em R ⁿ formar um base, se e somente se det (v _1, ..., v _n) é diferente de zero.

Uma matriz e sua transpor têm o mesmo determinante:

$\ Det (A ^ \ mathrm {T}) = \ det (A). \,$

Os determinantes de uma matriz complexa e de sua transposta conjugada são conjugado:

$\ Det (A ^ *) = \ det (A) ^ *. \,$

(Note-se a transposta conjugada é idêntico para a transposta para uma matriz real)

O determinante de uma matriz $A$ exibe as seguintes propriedades sob transformações de matrizes elementares de $A$ :

Trocar linhas ou colunas multiplica o determinante por -1.
A multiplicação de uma linha ou coluna $m$ multiplica o determinante por $m$ .
A adição de um múltiplo de uma linha ou coluna para outro deixa inalterado o determinante.

Isso decorre da propriedade multiplicativa e os determinantes da matrizes de transformação matriz elementares.

Se $A$ e $B$ são semelhante, ou seja, se existe uma matriz invertível $X$ tal que $A$ = $X ^ {- 1} X B$ , Seguida pela propriedade multiplicativa,

$\ Det (a) = \ det (B). \,$

Isto significa que o determinante é um similaridade invariante. Devido a isso, o determinante de alguma transformação linear T: V → V para alguns finito dimensional espaço vectorial V é independente da base de V. A relação é de um só sentido, no entanto: existem matrizes que têm o mesmo determinante, mas não são semelhantes.

Se $A$ é um quadrado $n$ -by- $n$ matriz com reais ou complexos entradas e se λ _1, ..., λ _n são os (complexos) valores próprios de $A$ listados de acordo com suas multiplicidades algébricas, em seguida,

$\ Det (A) = \ lambda_ {1} \ lambda_ {2} \ cdots \ lambda_ {n}. \,$

Isso decorre do fato de que $A$ é sempre semelhante ao seu Jordan forma normal, uma matriz triangular superior com os valores próprios na diagonal principal.

Identidades úteis

Para m -by- n matriz A e m -by- n matriz B, que detém

$\ Det (i_n + A ^ TB) = \ det (AB + i_m ^ T) = \ det (i_n + B ^ TA) = \ det (i_m + BA ^ T).$

A conseqüência dessas igualdades para o caso de (coluna) vetores x e y

$\ Det (I + y x ^ T) = 1 + y ^ T x.$

E uma versão generalizada desta identidade

$\ Det (A + y x ^ T) = \ det (A) \ (1 + y ^ T A ^ {- 1} x).$

As provas podem ser encontrados em .

Matrizes do Bloco

Suponha-se, $A, B, C, D$ são $n \ n vezes, n \ times m, m \ times n, m \ times m$ matrizes respectivamente. Em seguida

$\ Det \ begin {pmatrix} A & 0 \\ C & D \ end {pmatrix} = \ det \ begin {pmatrix} A & B \\ 0 & D \ end {pmatrix} = \ det (A) \ det (D).$

Isto pode ser (muito) facilmente visto a partir de por exemplo, a Fórmula Leibniz. Empregando-se o seguinte identidade

$\ Begin {pmatrix} A & B \\ C & D \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} A & 0 \\ C & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & A ^ {- 1} B \\ 0 & D - CA ^ {- 1} B \ end {pmatrix}$

leva a

$\ Det \ begin {} pmatrix A & B \\ C & D \ end {pmatrix} = \ det (A) \ det (D - CA ^ {- 1} B).$

Identidade semelhante com $\ Det (D)$ fora consignado pode ser derivado de forma análoga. Estas identidades foram tomadas a partir de .

Se $d_ {ij}$ são matrizes diagonais, então

$\ Det \ begin {pmatrix} {11} d_ & \ ldots & d_ {1c} \\ \ vdots & & \ \\ vdots d_ {r1} & \ ldots & d_ {rc} \ end {pmatrix} = \ det \ begin {pmatrix} \ det (d_ {11}) e \ ldots & \ det (d_ {} 1c) \\ \ vdots & & \ vdots \\ \ det (d_ {r1}) e \ ldots & \ det (d_ {} rc) \ end {pmatrix}$

Este é um caso especial do teorema publicado em .

Relação com traço

A partir desta ligação entre o determinante e os valores próprios, pode-se derivar uma ligação entre o função de rastreamento, a função exponencial, e o determinante:

$\ Det (\ exp (A)) = \ exp (\ operatorname {tr} (A)).$

Realizando a substituição $\ Scriptstyle A \, \ mapsto \, \ log A$ nos rendimentos equação acima

$\ Det (A) = \ exp (\ operatorname {tr} (\ log A)), \$

que está intimamente relacionado com o Determinante Fredholm. Da mesma forma,

$\ Operatorname {tr} (A) = \ log (\ det (\ exp A)). \$

Para n -by- matrizes n existem as relações:

Caso n = 1: $\ Esquerda. \ Det (A) = \ operatorname {tr} (A) \ right.$

Caso n = 2: $\ Esquerda. \ Det (A) = \ frac {1} {2} \ left (\ operatorname {tr} (A) ^ 2 - \ operatorname {tr} (A ^ 2) \ right) \ right.$

Caso n = 3: $\ Esquerda. \ Det (A) = \ frac {1} {6} \ left (\ operatorname {tr} (A) ^ 3-3 \ operatorname {tr} (A) \ operatorname {tr} (A ^ 2) + 2 \ operatorname {tr} (A ^ 3) \ right) \ right.$

Caso n = 4: $\ Esquerda. \ Det (A) = \ frac {1} {24} \ left (\ operatorname {tr} (A) ^ 4-6 \ operatorname {tr} (A) ^ 2 \ operatorname {tr} (A ^ 2) + 3 \ operatorname {tr} (A ^ 2) ^ 2 + 8 \ operatorname {tr} (A) \ operatorname {tr} (A ^ 3) - 6 \ operatorname {tr} (A ^ 4) \ right) \ right .$

$\ ldots$

que estão intimamente relacionados com Identidades de Newton.

Derivado

O determinante de matrizes quadradas reais é uma função polinomial de $\ Bbb {R} ^ {n \ n vezes}$ para $\ Bbb {R}$ , E como tal está em toda parte diferenciável . Seu derivado pode ser expressa usando A fórmula de Jacobi:

$d \, \ det (A) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {adj} (A) \, dA)$

onde adj (A) indica o adjugate de A. Em particular, se A é invertível, temos

$d \, \ det (A) = \ det (A) \, \ operatorname {tr} (A ^ {- 1} \, dA).$

Na forma de componente, estes são

$\ Frac {\ \ det parcial (A)} {\ A_ parcial {ij}} = \ operatorname {adj} (A) _ {ji} = \ det (A) (A ^ {- 1}) _ {ji} .$

Quando $\ Epsilon$ é um pequeno número estes são equivalentes às

$\ Det (A + \ epsilon X) - \ det (a) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {adj} (A) X) \ epsilon + {O} (\ epsilon ^ 2) = \ det (A) \, \ operatorname {tr} (A ^ {- 1} X) \ epsilon + {O} (\ epsilon ^ 2).$

O caso especial onde $A$ é igual à matriz identidade $EU$ rendimentos

$\ Det (I + \ epsilon X) = 1 + \ operatorname {tr} (X) \ epsilon + O (\ epsilon ^ 2).$

Uma propriedade útil no caso de matrizes de 3 X 3 é o seguinte:

A pode ser escrito como $A = \ begin {bmatrix} \ bar {a} & \ bar {b} & \ bar {c} \ end {bmatrix}$ onde $\ Bar {a}$ , $\ Bar {b}$ , $\ Bar {c}$ Os vectores são, em seguida, o gradiente ao longo de um dos três vectores pode ser escrita como o produto cruzado dos outros dois:

$\ Nabla_ \ bar {a} \ det (A) = \ bar {b} \ times \ bar {c}$

$\ Nabla_ \ bar {b} \ det (A) = \ bar {c} \ times \ bar {a}$

$\ Nabla_ \ bar {c} \ det (A) = \ bar {a} \ times \ bar {b}$

Formulação abstrata

Um N × n matriz quadrada A pode ser considerado como a representação de uma coordenada transformação linear de um n-dimensional espaço vetorial V. Dado qualquer transformação linear

$A: V \ to V \,$

podemos definir o determinante de A como o determinante de qualquer representação de matriz A. Isto é um noção bem definido (isto é, independente da escolha de um base) desde o determinante é invariante sob transformações de similaridade.

Como se poderia esperar, é possível definir o determinante de uma transformação linear de uma forma coordenada livre. Se V é um espaço n -dimensional vector, em seguida, pode-se construir seu topo exterior poder Λ ⁿ V. Este é um espaço vectorial unidimensional cujos elementos são escritos

$v_1 \ cunha v_2 \ cunha \ cdots \ cunha v_n$

onde cada v _i é um vector em V e o ∧ produto cunha é anti-simétrica (ie, u ∧ u = 0). Qualquer transformação linear A: V → V induz uma transformação linear de Λ ⁿ V da seguinte forma:

$v_1 \ cunha v_2 \ cunha \ cdots \ cunha v_n \ mapsto Av_1 \ cunha Av_2 \ cunha \ cdots \ cunha Av_n.$

Desde Λ ⁿ V é unidimensional esta operação é apenas multiplicação por alguns escalar que depende de uma. Isso é chamado de escalar o determinante de A. Ou seja, nós definimos det (A) pela equação

$Av_1 \ cunha Av_2 \ cunha \ cdots \ cunha Av_n = (\ det A) \, v_1 \ cunha v_2 \ cunha \ cdots \ cunha v_n.$

Pode-se verificar que essa definição está de acordo com a definição coordenada dependente dado acima.

Implementação algorítmica

O método ingênuo da implementação de um algoritmo para calcular o determinante é usar a fórmula de Laplace para a expansão de cofatores. Esta abordagem é extremamente ineficiente, em geral, no entanto, como é de ordem n! (N factorial ) para uma matriz n × n M.
Uma melhoria de ordem n ³ pode ser conseguido através da utilização LU decomposição de escrever M = LU para triangular matrizes L e U. Agora, det M = det LU = det L det U, e uma vez que L e U são triangular o determinante de cada um é simplesmente o produto de seus elementos diagonais. Em alternativa, é possível realizar o Cholesky decomposição se possível, ou a QR decomposição e encontrar o determinante de uma forma semelhante.
Desde a definição do determinante não precisa divisões, surge uma questão: será que existem algoritmos rápidos que não necessitam de divisões? Isto é especialmente interessante para matrizes mais anéis. Na verdade algoritmos com tempo de execução proporcional ao n ⁴ existir. Um algoritmo de Mahajan e Vinay, e baseia-se na Berkowitz caminhadas encomendados fechados (curto clow). Ele calcula mais produtos que requer a definição determinante, mas alguns desses produtos e cancelar a soma destes produtos pode ser calculado de forma mais eficiente. O algoritmo final se parece muito com um produto iterado de matrizes triangulares.
O que não é frequentemente discutido é o chamado "complexidade bits" do problema, isto é, quantos bits de precisão é necessário armazenar para valores intermédios. Por exemplo, usando a eliminação de Gauss , você pode reduzir a matriz de forma triangular, em seguida, multiplicar a diagonal principal para obter o determinante (este é essencialmente um caso especial da decomposição LU como acima), mas um cálculo rápido mostra que o bit tamanho dos valores intermediários poderia potencialmente se tornar exponencial. Pode-se falar sobre quando é apropriado para arredondar os valores intermédios, mas uma maneira elegante de calcular o determinante usa o Bareiss Algorithm, um método exato-divisão com base em Identidade de Sylvester para dar um tempo de execução de ordem n ³ e complexidade pouco mais ou menos do tamanho das entradas originais nos tempos matriz n bits.

História

Historicamente, determinantes foram consideradas antes de matrizes. Originalmente, um determinante foi definido como uma propriedade de um sistema de equações lineares . O determinante "determina" se o sistema tem uma solução única (o que ocorre precisamente quando o determinante é diferente de zero). Neste sentido, foram determinantes usado pela primeira vez no livro de matemática BC chinês do século 3 Os Nove Capítulos da Arte Matemática. Na Europa, dois dois-por-determinantes foram consideradas pela Cardano no final do século 16 e as maiores por Leibniz e, no Japão, por Seki cerca de 100 anos mais tarde. Cramer (1750) adicionado à teoria, tratando o assunto em relação a conjuntos de equações. A lei recorrente foi anunciado pela primeira vez por Bézout (1764).

Era Vandermonde (1771) que foi o primeiro determinantes reconhecidos como funções independentes. Laplace (1772) deu o método geral de expansão de um determinante em termos da sua complementar menores: Vandermonde já tinha dado um caso especial. Imediatamente após, Lagrange (1773) tratados determinantes da segunda e terceira ordem. Lagrange foi o primeiro a aplicar determinantes para perguntas teoria eliminação; ele provou muitos casos especiais de identidades gerais.

Gauss (1801) fez a seguinte antecedência. Como Lagrange, ele fez muito uso de determinantes na teoria dos números . Ele introduziu a palavra determinantes (Laplace tinha usado resultante), embora não no presente significação, mas sim como aplicado ao discriminante de um quântico. Gauss também chegou à noção de (inversas) determinantes recíprocas, e chegou muito perto do teorema de multiplicação.

O próximo colaborador de importância é Binet (1811, 1812), que declarou formalmente o teorema relativo ao produto de duas matrizes de m colunas e n linhas, o que para o caso especial de m = n reduz com o teorema de multiplicação. No mesmo dia ( 30 de novembro de 1812 ), que Binet apresentou seu papel para a Academia, Cauchy também apresentou uma sobre o assunto. (Ver Fórmula de Cauchy-Binet.) Neste ele usou a palavra determinante em seu sentido atual, resumidas e simplificado que era então conhecido sobre o assunto, melhorou a notação, e deu o teorema de multiplicação com uma prova mais satisfatória do que Binet de. Com ele começa a teoria em sua generalidade.

A próxima figura importante foi Jacobi (de 1827). Muito cedo ele usou o determinante funcional que mais tarde chamado de Sylvester Jacobian, e em suas memórias em Crelle para 1841 especialmente trata este assunto, bem como a classe de funções que Sylvester chamou alternants alternada. Sobre o tempo dos últimos memórias de Jacobi, Sylvester (1839) e Cayley começou seu trabalho.

O estudo de formas especiais de determinantes tem sido o resultado natural da conclusão da teoria geral. Axissimétricos determinantes têm sido estudados por Lebesgue, Hesse, e Sylvester; determinantes persymmetric por Sylvester e Hankel; circulants por Catalão, Spottiswoode, Glaisher, e Scott; determinantes de inclinação e Pfaffianas, em conexão com a teoria da transformação ortogonal, por Cayley; continuants por Sylvester; Wronskians (assim chamado por Muir) pela Christoffel e Frobenius; determinantes compostos por Sylvester, Reiss, e Picquet; Jacobianos e Hessians por Sylvester; e simétricas determinantes gauche por Trudi. Dos livros-texto sobre o assunto Spottiswoode foi a primeira. Na América, Hanus (1886), Weld (1893), e Muir / Metzler (1933) publicaram tratados.

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