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Equação diferencial

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Uma equação diferencial é uma matemática equação para um desconhecido função de um ou vários variáveis que relaciona os valores da função em si e de seus derivados de várias ordens. Equações diferenciais desempenhar um papel de destaque na engenharia , física , economia e outras disciplinas.

A visualização do fluxo de ar numa conduta modelado usando as equações de Navier-Stokes , um conjunto de equações diferenciais parciais.

Introdução

Equações diferenciais surgem em muitas áreas da ciência e tecnologia; sempre que uma relação determinística envolvendo algumas quantidades continuamente em mudança (modelados por funções) e suas taxas de variação (expressos em derivados) é conhecida ou postulada. Isto é bem ilustrado pela mecânica clássica , onde o movimento de um corpo é descrita por sua posição e velocidade que o tempo varia. Leis de Newton permitem que se referem à posição, velocidade, aceleração e várias forças que actuam sobre o corpo e estado esta relação tão uma equação diferencial para a posição desconhecido do corpo como uma função do tempo. Em muitos casos, esta equação diferencial pode ser resolvido explicitamente, obtendo-se a lei de movimento.

Equações diferenciais são matematicamente estudada a partir de várias perspectivas diferentes, principalmente preocupadas com suas soluções, funções que tornam a equação verdadeira. Somente as equações diferenciais simples admitir soluções dadas por fórmulas explícitas. Muitas propriedades de soluções de uma determinada equação diferencial pode ser determinada sem encontrar sua forma exata. Se uma fórmula auto-contido para a solução não está disponível, a solução pode ser numericamente aproximadas utilizando computadores. A teoria da sistemas dinâmicos coloca a ênfase na análise qualitativa dos sistemas descritos por equações diferenciais, enquanto muitos métodos numéricos foram desenvolvidos para determinar soluções com um determinado grau de precisão.

Direções de estudo

O estudo de equações diferenciais é um vasto campo em pura, matemática aplicada , física e engenharia . Todas essas disciplinas estão preocupados com as propriedades de equações diferenciais de vários tipos. A matemática pura incide sobre a existência e unicidade de soluções, enquanto a matemática aplicada enfatiza a justificação rigorosa dos métodos de aproximação soluções. Equações diferenciais desempenhar um papel importante na modelagem de praticamente todos os processos físicos, técnicos, ou biológico, de movimento celeste para projeto da ponte, a interações entre os neurônios. Equações diferenciais, tais como aqueles usados para resolver problemas da vida real pode não ser necessariamente diretamente solucionável, ou seja, não têm soluções de forma fechada. Em vez disso, as soluções podem ser aproximadas utilizando Métodos Numéricos.

Os matemáticos também estudar soluções fracas (contando com derivados fracos), que são os tipos de soluções que não têm de ser diferenciável em todos os lugares. Esta extensão é muitas vezes necessário para a existência de soluções, e isso também resulta em mais fisicamente propriedades razoáveis de soluções, como possível presença de choques de equações do tipo hiperbólica.

O estudo da estabilidade de soluções de equações diferenciais é conhecido como teoria de estabilidade.

Tipos de equações diferenciais

  • Uma equação diferencial ordinária (ODE) é uma equação diferencial na qual a função é uma função desconhecida de uma única variável independente.
  • A equação diferencial parcial (PDE) é uma equação diferencial na qual a função é uma função desconhecida de múltiplas variáveis independentes e os seus derivadas parciais.
  • A equação diferencial de atraso (DDE) é uma equação diferencial no qual a derivada da função desconhecida de um certo tempo é dada em termos dos valores da função em momentos anteriores.
  • A equação diferencial estocástica (SDE) é uma equação diferencial em que uma ou mais das condições é uma processo estocástico, resultando, assim, em uma solução que é em si um processo estocástico.
  • A equação algébrica diferencial (DAE) é uma equação diferencial compreendendo diferencial e termos algébricos, dada de forma implícita.

Cada uma dessas categorias é dividida em subcategorias lineares e não lineares. A equação diferencial é linear, se a variável dependente e todos os seus derivados parecem o poder 1 e não existem produtos ou funções da variável dependente. Caso contrário, a equação diferencial é não-linear. Assim, se u ' indica a primeira derivada da função u , Então a equação

u '= u

é linear, enquanto que a equação

u 'u ^ 2 =

é não-linear. Soluções de uma equação linear, em que a função desconhecida ou o seu derivado ou derivados aparecem em cada termo (equações lineares homogéneos) podem ser adicionados em conjunto ou multiplicados por uma constante arbitrária, a fim de obter soluções adicionais de que a equação, mas não há nenhuma maneira geral obter as famílias de soluções de equações não-lineares, exceto quando eles exibem simetrias; veja simetrias e invariantes. Equações lineares freqüentemente aparecem como aproximações de equações não-lineares, e essas aproximações são válidas somente sob condições restritas.

Outra característica importante de uma equação diferencial é a sua ordem, que é a ordem mais alta do derivado (de uma variável dependente) constantes na equação. Por exemplo, uma equação diferencial de primeira ordem contém apenas primeiras derivadas, como os dois exemplos acima.

A conexão com equações de diferenças

A teoria das equações diferenciais está intimamente relacionado com a teoria da equações diferenciais em que as coordenadas assumir apenas valores discretos, ea relação envolve valores da função desconhecida ou funções e valores nas coordenadas nas proximidades. Muitos métodos para calcular soluções numéricas de equações diferenciais ou estudar as propriedades de equações diferenciais envolvem aproximação da solução de uma equação diferencial pela solução de uma equação diferença correspondente. Veja também: Cálculo escala de tempo.

Universalidade da descrição matemática

Um grande número de leis fundamentais da física e da química pode ser formulado como equações diferenciais. Em biologia e economia equações diferenciais são utilizados para modelar o comportamento de sistemas complexos. A teoria matemática de equações diferenciais de primeira desenvolvido em conjunto com as ciências em que as equações tinham originado e onde os resultados encontrados aplicação. No entanto, diversos problemas, às vezes originários de áreas científicas bem distintas, podem dar origem a equações diferenciais idênticos. Sempre que isso acontece, teoria matemática por trás das equações pode ser visto como um princípio unificador por trás de fenômenos diversos. Como um exemplo, considere propagação da luz e som na atmosfera, e das ondas na superfície de um lago. Todos eles podem ser descritas pela mesma ordem segundo a equação diferencial parcial , o equação de onda, o que nos permite pensar em luz e som como formas de ondas, bem como familiares ondas na água. Condução de calor, cuja teoria foi brilhantemente desenvolvido pela Joseph Fourier, é regulada por outra equação diferencial parcial de segunda ordem, o equação do calor. Descobriu-se que muitos processos de difusão, enquanto aparentemente diferentes, são descritos pela mesma equação; Equação de Black-Scholes em finanças é, por exemplo, relacionado com a equação do calor.

Equações diferenciais famosos

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