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Divisão (matemática)

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Informações de fundo

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Em matemática , especialmente em elementar aritmética , a divisão é uma operação aritmética, que é o inverso da multiplicação .

Especificamente, se vezes c b é igual a um, por escrito:

c \ times b = a \,

em que b é não nula , em seguida, dividida por uma b é igual a C, escrito:

\ frac ab = c

Por exemplo,

\ Frac 63 = 2

desde

2 \ times 3 = 6 \, .

Na expressão acima, um é chamado o dividendo, b e c o divisor do quociente.

Divisão por zero (ou seja, onde o divisor é zero) não é definida.

Notação

Divisão é mais frequentemente demonstrado colocando o dividendo por cima do divisor com uma linha horizontal, também chamado um vinculum, entre eles. Por exemplo, um dividido por b é escrito

\ Frac ab.

Isto pode ser lida em voz alta como "um dividido por b" ou "um sobre b". Uma maneira de expressar divisão em uma única linha é escrever o dividendo, então um slash, em seguida, o divisor, como este:

a / b. \,

Esta é a maneira usual para especificar divisão na maioria dos computador linguagens de programação , uma vez que pode ser facilmente digitada como uma sequência de caracteres simples.

Uma variação tipográfico, que está a meio caminho entre estas duas formas, uma usa solidus (fração de barra), mas eleva o dividendo, e reduz o divisor:

a / b.

Qualquer destas formas pode ser utilizada para exibir uma fracção . Uma fração é uma expressão de divisão, onde ambos os dividendos e divisor são números inteiros (embora normalmente chamados o numerador eo denominador), e não há nenhuma implicação de que a divisão precisa ser mais bem avaliada.

Uma forma menos comum para mostrar divisão é usar o Obelus (ou sinal de divisão) da seguinte maneira:

a b \ div.

Esta forma não é freqüente, exceto em aritmética elementar. O Obelus também é utilizado sozinho para representar a própria operação de divisão, como por exemplo, como uma etiqueta de uma tecla de um calculador .

Em alguns não- ingleses culturas -Falando ", um dividido por b" está escrito a: b. No entanto, no uso do Inglês cólon é restrito a expressar o conceito relacionado de rácios (em seguida "é um B").

Divisão de computação

Uma pessoa que sabe o tabuada pode dividir dois números inteiros usando lápis e papel e do método de divisão longa. Se o dividendo tem um fracionário parte (expresso como uma fração decimal ), podemos continuar o algoritmo passado os colocar tanto quanto desejar. Se o divisor tem uma parte fracionária, podemos reafirmar o problema movendo o decimal para a direita em ambos os números até que o divisor não apresenta uma fracção.

Os computadores modernos calcular divisão por métodos que são mais rápidas do que a divisão longa: veja Divisão (digital).

Uma pessoa pode calculute divisão com um ábaco , colocando repetidamente o dividendo no ábaco, e, em seguida, subtraindo-se o divisor o deslocamento de cada dígito do resultado, contando o número de divisões possíveis em cada deslocamento.

Em aritmética modular , alguns números têm um multiplicativo inverso em relação ao módulo. Podemos calcular divisão por multiplicação em tal caso. Esta abordagem é útil em computadores que não têm uma instrução de divisão rápida.

Algoritmo de divisão

O algoritmo de divisão é um teorema na matemática que expressa precisamente o resultado do processo normal de divisão de inteiros. Em particular, o teorema afirma que números inteiros chamado o quociente q e resto r sempre existem e que são determinadas exclusivamente pelo dividendo e um divisor d, com d ≠ 0. Formalmente, o teorema é demonstrada como segue: Não existem inteiros q e r única de tal modo que a = QD + r e 0 ≤ r <| d |, onde | d | denota o valor absoluto de d.

Divisão de inteiros

Divisão de inteiros não é fechadas. Além de divisão por zero sendo indefinido, o quociente não será um número inteiro, a menos que o dividendo é um múltiplo inteiro do divisor; por exemplo 26 não pode ser dividido por 10 para se obter um número inteiro. Em tal caso, existem quatro possíveis abordagens.

  1. Dizer que 26 não pode ser dividido por 10; torna-se uma divisão função parcial.
  2. Dar a resposta como uma fração decimal ou um número misto , de modo \ Frac {26} {10} = 2.6 ou 26/10 = 2 \ frac 35 . Esta é a abordagem geralmente tomada em matemática.
  3. Dar a resposta como um número inteiro e um quociente restante, por isso \ Frac {26} {10} = 2 6 restante.
  4. Dê o quociente inteiro como a resposta, então \ Frac {26} {10} = 2 . Isso às vezes é chamado de divisão inteira.

Um tem que ter cuidado ao realizar a divisão de inteiros em um programa de computador. Algumas linguagens de programação , como C , irá tratar divisão de inteiros, como no caso 4 acima, então a resposta será um inteiro. Outros idiomas, como o MATLAB, irá converter os inteiros para números reais, e em seguida, dar um número real como a resposta, como no caso 2 acima.

Os nomes e os símbolos utilizados para a divisão inteira incluir div, /, \, e%. As definições variam com relação à divisão de número inteiro quando o quociente é negativo: arredondamento pode ser em direção a zero ou para menos infinito .

Divisibilidade regras podem, por vezes, ser usados para determinar rapidamente se um inteiro divide exactamente para outro.

Divisão de números racionais

O resultado da divisão de dois números racionais é outro número racional quando o divisor não é 0. Podemos definir a divisão de dois números racionais p / q e r / s por

{P / q \ over / s r} = {p \ over q} \ times {s \ mais de r} = {ps \ over qr}.

Todas as quatro quantidades são inteiros, e só p pode ser 0. Esta definição garante que divisão é a operação inversa da multiplicação .

Divisão de números reais

Divisão de dois números reais resulta em outro número real quando o divisor não é 0. É definida como a / b = c, se e apenas se a = CB e b ≠ 0.

Divisão de números complexos

Dividir dois números complexos resulta em outro número complexo quando o divisor não é 0, definido assim:

{P + QI \ over r +} = {é qs + PR \ r sobre ^ 2 + s ^ 2} + i {qr - ps \ over r ^ 2 + s ^ 2}.

Todos os quatro quantidades são números reais. R e s não podem ser ambos 0.

Divisão de números complexos expressas na forma polar é mais simples do que a definição acima:

{{Pe ^ iq} \ over re ^ {é}} = {p \ over r} e ^ {i (q - s)}.

Mais uma vez todos os quatro quantidades são números reais. R não pode ser 0.

Divisão de polinômios

Pode-se definir a operação de divisão de polinômios . Em seguida, como no caso de números inteiros, tem um resto. Ver divisão polinomial.

Divisão de matrizes

Pode-se definir uma operação de divisão para matrizes. A maneira habitual para se fazer isso é definir A / B = AB -1, onde B indica a -1 inverso do B, mas é muito mais comum para escrever AB-1 (ou B -1 A) explicitamente para evitar confusão.

Esquerda e direita divisão

Porque a multiplicação de matrizes não é comutativa , também se pode definir uma divisão ou a chamada divisão de barra invertida esquerda como A \ B = A B -1. Para que isso seja bem definido, B -1 necessidade não existe, no entanto Um -1 não precisa existir. Para evitar confusão, divisão, tal como definido por A / B = AB-1 é, por vezes, chamado de divisão direita ou cortar-divisão neste contexto.

Note-se que com a divisão esquerda e direita definido deste modo, A / (BC) é, em geral, não é o mesmo que (A / B) / C e nem é (AB) \ C o mesmo que o A \ (B \ C), mas A / (BC) = (A / C) / B e (AB) \ C = B \ (A \ C).

Divisão Matrix e pseudoinverse

Para evitar problemas quando A-1 e / ou B -1 não existirem, divisão, também pode ser definida como a multiplicação com o pseudo-inversa, isto é, A / B = AB + e A \ B = A + B, em que A + e B + denotar o pseudo-inversa de A e B.

Divisão em álgebra abstrata

Em álgebras abstratas tais como matriz e álgebras álgebras quaternion, frações, tais como {A \ over b} são tipicamente definidos como a \ cdot {1 \ over b} ou um \ cdot b ^ {- 1} onde b Presume-se que seja um elemento invertível (ou seja, não existe um inverso multiplicativo b ^ {- 1} tal que bb ^ {- 1} = ^ b {-} 1 b = 1 onde 1 é a identidade multiplicativo). Numa domínio integral em que esses elementos podem não existir, a divisão ainda pode ser executada em equações da forma AB = AC ou ba ca = por cancelamento esquerda ou para a direita, respectivamente. Mais geralmente "divisão" no sentido de "Cancelamento" pode ser feito em qualquer tocar com as propriedades de cancelamento acima mencionados. Se um tal anel é finito, em seguida, por uma aplicação do classificar princípio, cada elemento diferente de zero do anel pode ser invertida, de modo que a divisão por qualquer elemento diferente de zero é possível, de um anel. Para saber mais sobre quando álgebras (no sentido técnico) têm uma operação de divisão, consulte a página no álgebras de divisão. Em particular Bott periodicidade pode ser utilizado para demonstrar que qualquer verdadeira normed álgebra divisão deve ser isomorphic, quer ao número de R real, o número complexo C, o quaternions H, ou a O octoniões.

Divisão e cálculo

O derivado do quociente de duas funções é dada pela regra do quociente:

{\ Left (\ frac fg \ right)} '= \ frac {f'g - fg'} {g ^ 2}.

Não há um método geral para integrar o quociente de duas funções.

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