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Divisor

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Em matemática , um divisor de um número inteiro n, também chamada um factor de n, é um número inteiro que divide uniformemente n sem deixar restante.

Explicação

Por exemplo, 7 é um divisor de 42 porque 42/7 = 6. Nós também dizem 42 é divisível por 7 ou 42 é um múltiplo de sete ou sete divisões 42 ou 7 é um fator de 42 e nós geralmente escrever 7 | 42. Por exemplo, os divisores positivos de 42 são 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Em geral, dizemos m | n (leia: m divide n) para inteiros não nulos m e n sse existe um número inteiro k tal que n = km. Assim, divisores pode ser negativo , bem como positivo, embora muitas vezes nós restringimos nossa atenção para divisores positivos. (Por exemplo, há seis divisores de quatro, 1, 2, 4, -1, -2, -4, mas geralmente gostaria de mencionar apenas os positivos, 1, 2 e 4.)

1 e -1 divisão (são divisores de) todo inteiro, cada inteiro (e sua negação) é um divisor de si mesmo, e cada número inteiro é um divisor de 0, exceto por convenção em si 0 (ver também divisão por zero). Números divisíveis por 2 são chamados e até mesmo números não divisíveis por 2 são chamados ímpar.

Um divisor de que n não é 1, -1, ou N - N (que são divisores triviais) é conhecido como um divisor não trivial; números com divisores não-triviais são conhecidos como números compostos, enquanto números primos não têm divisores não-triviais.

O nome vem da aritmética operação de divisão : se a / b = c, então, um é o dividendo , o divisor b, c e do quociente.

Tem propriedades que permitem que se reconhecem certos divisores de um número de dígitos do número.

Outras noções e fatos

O Wikibook O Livro de Provas matemáticas tem uma página sobre o tema de: As provas de propriedades de divisibilidade

Algumas regras elementares:

  • Se a | b e um | c, em seguida, um | (b + c), na verdade, a | (MB + nc) para todos os inteiros m, n.
  • Se a | b e b | c, então a | c. ( transitivo relação)
  • Se a | b e b | a, então a = b ou a = - b.

A propriedade a seguir é importante:

  • Se a | bc, e mdc (a, b) = 1, então a | c. ( Lema de Euclides)

Um divisor de n positiva que é diferente a partir de n é chamado um divisor adequada (ou alíquota parte) do n. (Um número que não uniformemente dividir n, mas deixa um resto, é chamado de uma parte aliquanta de n.)

Um número inteiro n> 1, cujo único divisor adequada é um é chamado um número primo . Equivalentemente, se poderia dizer que um número primo é aquele que tem exatamente dois fatores: 1 e ele próprio.

Qualquer divisor positiva de n é um produto de divisores primos de n levantou a alguma potência. Esta é uma consequência do teorema fundamental da aritmética .

Se um número é igual à soma dos seus divisores apropriados, que se diz ser um número perfeito . Números menos do que a soma dos seus divisores apropriados são referidos como sendo abundante; enquanto que números maiores do que soma seriam deficiente.

O número total de divisores positivos de n é um função multiplicativa d (n) (por exemplo, d (42) = 8 = 2 × 2 × 2 = d (2) × d (3) × d (7)). A soma dos divisores positivos de n é outra função σ multiplicativa (n) (por exemplo, σ (42) = 96 = 3 × 4 × 8 = σ (2) × σ (3) × σ (7)). Ambas as funções são exemplos de funções divisor.

Se o fatoração em primos de n é dada por

n = p_1 ^ {\ nu_1} \, p_2 ^ {\ nu_2} \ cdots p_k ^ {\ nu_k}

em seguida, o número de divisores positivos de n é

d (n) = (\ nu_1 + 1) (\ nu_2 + 1) \ cdots (\ nu_k + 1),

e cada um dos divisores tem a forma

p_1 ^ {\ mu_1} \, p_2 ^ {\ mu_2} \ cdots p_k ^ {\ mu_k}

onde 0 \ le \ mu_i \ le \ nu_i para cada 0 \ le i \ le k .

Pode-se mostrar que

d (1) d + (2) + \ cdots + d (n) = N \ LN N + (2 \ -1 gama) n + S (\ sqrt {n}).

Uma interpretação desse resultado é que um número inteiro positivo escolhidos aleatoriamente n tem um número esperado de divisores de cerca de \ N ln .

Divisibilidade de números

A relação de divisibilidade transforma o conjunto N de não-negativos inteiros em um parcialmente ordenado conjunto, de fato em um completar estrutura distributiva. O maior elemento desta estrutura é 0 eo menor deles é 1. A operação se encontram ^ é dada pelo máximo divisor comum e juntar-se a operação v pela mínimo múltiplo comum. Esta estrutura é isomorfo ao dual do estrutura de subgrupos do infinito grupo cíclico Z .

Generalização

Pode-se falar sobre o conceito de divisibilidade em qualquer domínio integral. Por favor, veja esse artigo para as definições dessa configuração.

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