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Elipse

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Informações de fundo

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A elipse e algumas das suas propriedades matemáticas.
Uma elipse obtida como a intersecção de uma cone com um plano .

Em matemática , uma elipse (do grego ἔλλειψις, literalmente ausência) é uma local de pontos num plano de tal modo que a soma das distâncias a dois pontos fixos é uma constante. Os dois pontos fixos são chamados de focos (plural de foco). Uma definição alternativa seria uma elipse que é o caminho traçado por um ponto cuja distância de um ponto fixo, chamado de foco, mantém uma relação constante de menos do que uma com a sua distância a partir de uma linha recta não passa através do foco, a chamada directriz.

Visão global

Uma elipse é um tipo de secção cónica : se um superfície cónica é cortado com um plano que não intersecta a base do cone, a intersecção do cone e plano é uma elipse. Para uma prova elementar aquém deste, ver Esferas Dandelin.

Algebricamente , uma elipse é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

A x ^ 2 + B + C xy y ^ 2 + D + x + y E F = 0 \,

tal que B ^ 2 <4 AC , Em que todos os coeficientes são reais, e em que mais do que uma solução, definindo um par de pontos (x, y) da elipse, existe.

Uma elipse pode ser desenhada com dois pinos, um laço de corda, e um lápis. Os pinos são colocados no focos e os pinos e lápis são colocados dentro da cadeia. O lápis é colocado no papel dentro da cadeia, assim que a corda está esticada. A corda vai formar um triângulo . Se o lápis é movimentado de modo a que a cadeia fica esticada, a soma das distâncias do lápis para os pinos permanecerá constante, que satisfaçam a definição de uma elipse.

O segmento de recta AB, que passa através do focos e termina na elipse, é chamado o eixo principal. O eixo principal é o segmento mais longo que pode ser obtido por junção de dois pontos na elipse. O CD segmento de recta, que passa através do centro (a meio caminho entre os focos), perpendicular ao eixo principal, e termina na elipse, é chamado o eixo menor. O semi-eixo maior (representado por A na figura) é uma metade do eixo maior: o segmento de linha a partir do centro, através de um foco, e para a borda da elipse. Da mesma forma, o semiminor eixo (indicado por b na figura) é uma metade do eixo menor.

Se os dois focos coincidam, em seguida, a elipse é um círculo ; em outras palavras, um círculo representa um caso especial de uma elipse, em que o um excentricidade é zero.

Uma elipse centrado na origem pode ser visto como a imagem do círculo unidade em um mapa linear associada a uma matriz simétrica Um PDP = ^ t , D Começar um matriz diagonal com os autovalores de A , Sendo que ambos são reais positiva, ao longo da diagonal principal, e P sendo um verdadeiro matriz unitária tendo como colunas os vectores próprios de A . Em seguida, os eixos da elipse se encontram ao longo dos vectores próprios de A , E o (raiz quadrada) dos valores próprios são os comprimentos dos eixos semi-principal e semiminor.

Uma elipse pode ser obtido multiplicando as coordenadas x de todos os pontos de um círculo por uma constante, sem alterar as coordenadas y. Isto é equivalente ao alongamento do círculo para fora na direcção x.

Excentricidade

A forma de uma elipse pode ser expressa por um número chamado excentricidade da elipse, convencionalmente indicada \, \ Varepsilon . A excentricidade é um número não-negativa inferior a 1 e superior ou igual a 0. É o valor da razão constante de a distância de um ponto sobre uma elipse a partir de um foco para que da directriz correspondente. Uma excentricidade de 0 implica que os dois focos ocupar o mesmo ponto e que a elipse é um círculo .

Para uma elipse com o eixo de um eixo semi-principal e semiminor b, a excentricidade é

\ Varepsilon = \ sqrt {1 - \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} = \ cos \ left (\ arcsin \ left (\ frac {b} {a} \ right) \ right)

Quanto maior a excentricidade é, quanto maior for o proporção de A para B, e, por conseguinte, a mais alongada a elipse.

Se C é igual à distância a partir do centro para ambos os foco, então

\ Varepsilon = \ frac {c} {a} .

A distância c é conhecida como a excentricidade linear da elipse. A distância entre os focos 2 é C ou 2 aε.

Além disso,

\ Varepsilon = \ sin \ esquerdo (o \! \ Varepsilon \, \! \ Right)

onde o \! \ varepsilon \, \! é o excentricidade angular.

Equações

Uma elipse com um eixo e um semimaior semiminor eixo b, centrado no ponto (H, k) e tendo o seu eixo maior paralelo ao eixo x pode ser especificado pela equação

\ Frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 .

Este elipse pode ser expressa parametricamente como

x = h + a \, \ cos t, \, \!
y = k + b \, \ sin t \, \!

onde t pode ser restringida ao intervalo - \ Pi \ leq t \ leq \ pi \, \! .

Paramétrico forma de uma elipse girada por um ângulo \, \ Phi :

x = h + a \, \ cos t \, \ cos \ phi - b \, \ sin t \, \ sin \ phi, \!
y = k + b \, \ sin t \, \ cos \ phi + a \, \ cos t \, \ sin \ phi, \!

A fórmula para as directrixes é

x = h \ pm \ frac {a ^ 2} {c} = h \ pm a \; \ S \ left (\ arcsin \ left (\ frac {b} {a} \ right) \ right) = h \ pm a \; \ S \ left (\ arccos \ left (\ varepsilon \ right) \ right) .

Se h = 0 e k = 0 (ou seja, se o centro é a origem (0,0)), então podemos expressar essa elipse em coordenadas polares pela equação

r = \ frac {ab} {\ sqrt {a ^ 2 \ pecado ^ 2 \ theta + b ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta}} = \ frac {b} {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ 2 \ cos ^ 2 \}} teta

onde \ Varepsilon é a excentricidade da elipse.

Com um foco na origem, a equação polar da elipse é

r = \ frac {a \ cdot (1- \ varepsilon ^ {2})} {1 + \ varepsilon \ cdot \ cos \ theta} .

A Forma Gauss-mapeada:

\left(\frac{a\cos\beta}{\sqrt{a^2\cos^2\beta+b^2\sin^2\beta}},\frac{b\sin\beta}{\sqrt{a^2\cos^2\beta+b^2\sin^2\beta}}\right)

tem o normal (\ Cos \ beta, \ sin \ beta) .

Recto Semi-latus e coordenadas polares

O reto semi-latus de uma elipse, geralmente denotado l \, \! ( L minúsculo), é a distância a partir de um foco da elipse para a própria elipse, medido ao longo de uma linha de perpendicular ao eixo principal. Ela está relacionada com a \, \! e b \, \! (Semi-eixos de elipse a) pela fórmula al = b ^ 2 \, \! ou, se utilizar a excentricidade, l = a \ cdot (1- \ varepsilon ^ 2) \, \! .

Ellipse, reto mostrando semi-latus

Em coordenadas polares , uma elipse com um foco na origem e o outro no eixo x negativo é dada pela equação

r \ cdot (1 + \ varepsilon \ cdot \ cos \ theta) = l \, \!

Uma elipse pode também ser pensado como uma projecção de um círculo: um círculo num plano em ângulo com a horizontal φ projectado verticalmente sobre um plano horizontal apresenta uma elipse de excentricidade φ pecados, fornecida φ não é de 90 °.

?rea e circunferência

O área delimitada por uma elipse é πab, onde (como anteriormente) a e b são os eixos semi-principal e semiminor da elipse.

O circunferência C de uma elipse é 4 a E (\ varepsilon) , Onde a função E é o completo integral elíptica do segundo tipo.

O exato série infinita é:

C = 2 \ pi um \ left [{1 - \ left ({1 \ over 2} \ right) ^ 2 \ varepsilon ^ 2 - \ left ({1 \ cdot 3 \ over 2 \ cdot 4} \ right) ^ 2 {\ varepsilon ^ 4 \ over 3} - \ left ({1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ over 2 \ cdot 4 \ cdot 6} \ right) ^ 2 {\ varepsilon ^ 6 \ over5} - \ dots} \ right] \! \,

Ou:

C = 2 \ pi a \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {\ \ lbrace esquerda - \ left [\ Prod_ {m = 1} ^ n \ left ({2m-1 \ over 2m} \ right) \ right ] ^ 2 {\ varepsilon ^ {2n} \ over 2n - 1} \ right \ rbrace}

Um bom aproximação é Ramanujan de:

C \ approx \ pi \ left [3 (a + b) - \ sqrt {(3-A + b) (a + 3b)} \ right]! \ \,

que também pode ser escrito como:

C \ approx \ pi um \ left [3 (1+ \ sqrt {1- \ varepsilon ^ 2}) - \ sqrt {(3 + \ sqrt {1- \ varepsilon ^ 2}) (1 + 3 \ sqrt {1 -! \ varepsilon ^ 2})} \ right] \ \,

Para o caso especial em que o eixo menor é a metade do eixo maior, temos:

C \ approx \ pi um! (9 - \ sqrt {35}) / 2 \ \,

ou C \ approx \ frac {a} {2} \ sqrt {93 + \ frac {1} {2} \ sqrt {3}} \! \, (Melhor aproximação).

Mais geralmente, o comprimento de arco de uma porção da circunferência, como uma função do ângulo subtendido, é dada por um incompleta elíptica integral. A função inversa , o ângulo subtendido como uma função do comprimento de arco, é dada pela funções elípticas.

Alongamento e projeção

Uma elipse pode ser esticado uniformemente ao longo de qualquer eixo, no ou fora do plano da elipse, e ainda vai ser uma elipse. A elipse alongada terá propriedades diferentes (talvez modificado excentricidade e semi-comprimento do eixo principal, por exemplo), mas irá ainda ser uma elipse (ou uma elipse degenerados: um círculo ou de uma linha). Da mesma forma, qualquer projeção oblíqua em um plano resulta em uma seção cônica. Se a projeção é de uma curva fechada no avião, então a curva é uma elipse ou uma elipse degenerada.

Propriedade reflexão

Suponha uma elíptica espelho com uma fonte de luz em um dos focos. Em seguida, todos os raios são reflectido para um ponto único - o segundo foco. Uma vez que nenhuma outra curva possui uma tal propriedade, pode ser utilizado como uma definição alternativa de uma elipse. Em um círculo, toda a luz seria refletida de volta para o centro uma vez que todos são tangentes ortogonal ao raio.

As ondas sonoras são refletidas de forma semelhante, por isso, uma grande sala elíptica uma pessoa de pé em um dos focos pode ouvir uma pessoa de pé no outro foco notavelmente bem. Tal ambiente é chamado de câmara de sussurro. Exemplos são o Coleção National Statuary Hall, no Capitólio dos EUA (onde John Quincy Adams disse ter usado essa propriedade para espionagem sobre questões políticas), em uma exposição em som no Museu de Ciência e Indústria de Chicago , em frente ao Universidade de Illinois em Urbana-Champaign Foellinger Auditorium, e também em uma câmara lateral do Palácio de Charles V, no Alhambra.

Reticências em física

No século 17 , Johannes Kepler explicou que o órbitas ao longo da qual os planetas viajam em torno do Sol são elipses em sua primeira lei do movimento planetário . Mais tarde, Isaac Newton explicou isso como um corolário da sua lei da gravitação universal.

Mais geralmente, no gravitacional problema de dois corpos, se os dois corpos são ligados um ao outro (isto é, a energia total é negativo), as suas órbitas são elipses semelhantes com o comum baricentro sendo um dos focos de cada elipse. O outro foco de qualquer elipse não tem conhecido significado físico. Curiosamente, a órbita de qualquer corpo no quadro de referência do outro, é também uma elipse, com o outro corpo para um foco.

A solução geral para um oscilador harmônico em dois ou mais dimensões é também uma elipse, mas desta vez com a origem da força situado no centro da elipse.

Em óptica, uma ?ndice elipsóide descreve o índice de refracção de um material como uma função da direcção através desse material. Isso só se aplica a materiais que são opticamente anisotrópica. Veja também birrefringência.

Reticências em computação gráfica

Desenhar uma elipse como um ilustrações primitivos é comum em bibliotecas de apresentação convencionais, tais como o Macintosh QuickDraw API, as janelas Graphics Device Interface (GDI) eo Windows Presentation Foundation (WPF). Muitas vezes, essas bibliotecas são limitados e só pode desenhar uma elipse ou com o eixo principal ou horizontal do eixo menor. Jack Bresenham na IBM é o mais famoso pela invenção do primitivas de desenho 2D, incluindo linhas e desenho de círculo, utilizando operações com números inteiros apenas rápido, como adição e filial em carry. Uma generalização eficiente para desenhar elipses foi inventado em 1984 por Jerry Van Aken (IEEE CG & A, setembro de 1984).

O seguinte exemplo é o código JavaScript usando a fórmula paramétrico para uma elipse para calcular um conjunto de pontos. A elipse pode ser então aproximado por os pontos de ligação com as linhas.

 / ** * Esta função retorna um array contendo 36 pontos para desenhar uma elipse *.  * *param X} {double coordenada X * @ Param {double y} coordenada Y * @ Param {um} semi-eixo duplo * @ Param {double b} Semiminor eixo * ângulo @ param {double} Ângulo da elipse */ function calculateEllipse ( x , y , a , b , angle , steps ) { if ( steps == null ) steps = 36 ; var points = [ ] ; var beta = - angle / 180 * Math . PI ; var sinbeta = Math . sin ( beta ) ; var cosbeta = Math . cos ( beta ) ; for ( var i = 0 ; i < 360 ; i += 360 / steps ) { var alpha = i / 180 * Math . PI ; var sinalpha = Math . sin ( alpha ) ; var cosalpha = Math . cos ( alpha ) ; var X = x + ( a * cosalpha * cosbeta - b * sinalpha * sinbeta ) ; var Y = y + ( a * cosalpha * sinbeta + b * sinalpha * cosbeta ) ; points. push ( new OpenLayers. Geometry . Point ( X , Y ) ) ; } return points ; } 

Uma consequência benéfica de utilizar a fórmula paramétrico é que a densidade de pontos é maior onde existe a maior curvatura. Assim, a mudança de inclinação entre cada ponto sucessivo é pequeno, a redução do "jagginess" aparente da aproximação.

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