Geometria euclidiana

Uma representação de Euclides da A Escola de Atenas por Raphael .

Geometria Euclidiana é um sistema matemático atribuído ao Grego matemático Euclides de Alexandria . Texto de Euclides Elements é a primeira discussão sistemática conhecida da geometria . Tem sido um dos livros mais influentes na história, tanto para o seu método como pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de intuitivamente atraente axiomas, e, em seguida, provar muitos outros proposições ( teoremas ) a partir desses axiomas. Embora muitos dos resultados de Euclides tinha sido afirmado por matemáticos gregos anteriores, Euclides foi o primeiro a mostrar como essas proposições poderiam ser se encaixam em uma abrangente e dedutivo sistema lógico.

Os elementos começar com geometria plana , ainda ensinado em escola secundária como o primeiro sistema axiomático e os primeiros exemplos de uma prova formal . O Elements prossegue o geometria sólida de três dimensões e geometria euclidiana foi posteriormente alargado a qualquer número finito de dimensões. Grande parte dos Elementos afirma resultados do que hoje é chamado de teoria dos números , mostrou-se usando métodos geométricos.

Por mais de dois mil anos, o adjetivo "euclidiana" era desnecessário porque nenhuma outra espécie de geometria tinha sido concebida. Axiomas de Euclides parecia tão intuitivamente óbvio que qualquer teorema provado deles foi considerado verdadeiro no sentido absoluto. Hoje, porém, muitos outros auto-consistente geometrias não-euclidianas são conhecidos, os primeiros terem sido descobertos no início do século 19. Também não é um dado adquirido que a geometria euclidiana descreve espaço físico. Uma implicação de Einstein teoria da 's relatividade geral é que a geometria euclidiana é apenas uma boa aproximação para as propriedades do espaço físico se o campo gravitacional não é muito forte.

Abordagem axiomática

Geometria euclidiana é um sistema axiomático, em que todos os teoremas ("afirmações verdadeiras") são derivadas de um número finito de axiomas. Perto do início do primeiro livro dos Elementos, Euclides dá cinco postulados (axiomas):

1. Quaisquer dois Os pontos podem ser unidos por uma linha reta .
2. Qualquer segmento de reta pode ser prorrogado indefinidamente em uma linha reta.
3. Dado qualquer segmento de linha reta, um círculo pode ser desenhado tendo o segmento como raio e um ponto de extremidade como centro.
4. Tudo ângulos retos são congruentes.
5. Postulado paralelo. Se duas linhas se cruzam um terço de tal maneira que a soma dos ângulos internos de um dos lados é inferior a dois ângulos rectos, em seguida, as duas linhas se cruzam, inevitavelmente, deve-se mutuamente sobre que lado se estendia muito suficiente.

Estes axiomas invocar os seguintes conceitos: ponto, segmento em linha reta e linha, lado de uma linha, círculo com raio e centro, ângulo direito, congruência, ângulos internos e direita, soma. Os seguintes verbos aparecem: junte-se, ampliar, desenhar, se cruzam. O círculo descrito no postulado 3 é tacitamente único. Postula 3 e 5 detêm apenas para geometria plana; em três dimensões, postulado 3 define uma esfera.

Uma prova de elementos de Euclides que, dado um segmento de linha, existe um triângulo equilátero que inclui o segmento como um de seus lados. A prova é de construção: um triângulo equilátero ΑΒΓ é feita por desenho círculos Δ Ε e centrados nos pontos Α e Β, e tendo uma intersecção dos círculos como o terceiro vértice do triângulo.

Postulado 5 conduz à mesma geometria como a seguinte declaração, conhecido como Axioma da Playfair, que também detém apenas no plano:

Através de um ponto de não numa dada linha recta, uma e apenas uma linha pode ser traçada que não satisfaz a linha dado.

Postula 1, 2, 3, 5 e afirmar a existência ea singularidade de certas figuras geométricas, e essas afirmações são de natureza construtiva, ou seja, não estamos apenas disse que certas coisas existem, mas também são dadas métodos para criá-los com não mais do que uma bússola e uma régua não marcado . Neste sentido, a geometria euclidiana é mais concreto do que muitos sistemas axiomáticos modernas, como a teoria dos conjuntos , que muitas vezes afirmam a existência de objetos sem dizer como construí-las, ou mesmo afirmar a existência de objetos que não podem ser construídos dentro da teoria.

Estritamente falando, as construções de linhas no papel etc são modelos dos objetos definidos dentro do sistema formal, ao invés de instâncias desses objetos. Por exemplo, uma linha reta Euclidiana não tem largura, mas qualquer verdadeira linha traçada vai.

O Elements também incluir os seguintes cinco "noções comuns":

1. Coisas que igualam a mesma coisa também iguais entre si.
2. Se iguais forem adicionados a iguais, então os todos são iguais.
3. Se iguais são subtraídos iguais, então os restantes são iguais.
4. O que coincidem um com o outro são iguais entre si.
5. O todo é maior do que a parte.

Euclides também invocou outras propriedades pertencentes a magnitudes. 1 é a única parte da lógica subjacente de que Euclides explicitamente articulada. 2 e 3 são "princípios aritméticos"; note que os significados de "adicionar" e "subtrair" neste contexto puramente geométrico são tomadas como dado. De 1 a 4 operacionalmente definir igualdade, que também pode ser tomado como parte da lógica subjacente ou como uma relação de equivalência que exige, como "coincidem", definição prévia cuidadosa. 5 é um princípio de mereologia. "Whole", "parte", e "resto" implorar por definições precisas.

No século 19, percebeu-se que de Euclides dez axiomas e noções comuns não são suficientes para provar todos os teoremas apresentados nas Elements. Por exemplo, Euclides assumiu implicitamente que qualquer linha contém, pelo menos, dois pontos, mas esta hipótese não pode ser provado a partir dos outros axiomas, e, portanto, precisa ser por si só um axioma. A primeira prova geométrico nos elementos, mostrados na figura do lado direito, é que qualquer segmento de linha faz parte de um triângulo; Euclides constrói esta na forma usual, desenhando círculos em torno de ambas as extremidades, e tendo a sua intersecção como o terceiro vértice. Seus axiomas, no entanto, não é possível garantir que os círculos, na verdade, se cruzam, porque eles são compatíveis com discreta, em vez de contínuo, espaço. Começando com Moritz Pasch, em 1882, foram propostos muitos sistemas axiomáticas melhorados para geometria, sendo as mais conhecidas as dos Hilbert, George Birkhoff, e Tarski.

Para ser justo com Euclides, o primeiro lógica formal capaz de suportar sua geometria era a de Frege 1879 Begriffsschrift, pouco lido até os anos 1950. Vemos agora que a geometria euclidiana deve ser incorporado na lógica de primeira ordem com de identidade, de um sistema formal estabelecido pela primeira vez em Hilbert e Wilhelm Ackermann de 1928 Princípios da lógica teórica. Formal mereologia começou apenas em 1916, com o trabalho de Lesniewski e AN Whitehead. Tarski e seus alunos fizeram um grande trabalho sobre o fundamentos da geometria elementar como recentemente, entre 1959 e sua morte em 1983.

O postulado paralelo

Para os antigos, o postulado paralelo parecia menos óbvia do que os outros; verificando-lo fisicamente nos obrigaria a inspecionar duas linhas para verificar se eles nunca se cruzaram, mesmo em algum ponto muito distante, e esta inspeção pode potencialmente levar uma quantidade infinita de tempo. O próprio Euclides parece ter considerado como sendo qualitativamente diferente dos outros, como evidenciado pela organização dos Elementos: os primeiros 28 proposições que ele apresenta são aquelas que podem ser provada sem ele.

Muitos geometers tentaram em vão provar o quinto postulado a partir do primeiro de quatro. Por volta de 1763, pelo menos 28 provas diferentes tinham sido publicadas, mas todos foram consideradas incorrectas. De fato, o postulado das paralelas não pode ser provado a partir dos outros quatro: este foi mostrado no século 19 pela construção de alternativa ( não-euclidiana) sistemas de geometria em que os outros axiomas ainda são verdadeiras, mas o postulado das paralelas é substituído por um axioma conflitantes. Um aspecto distintivo destes sistemas é que os três ângulos de um triângulo não adicionar a 180 °: em geometria hiperbólica a soma dos três ângulos é sempre inferior a 180 ° e pode aproximar-se de zero, enquanto que na geometria elíptica, é maior do que 180 °. Se o postulado das paralelas é retirado da lista de axiomas sem substituição, o resultado é a geometria mais geral chamada geometria absoluta.

O tratamento utilizando a geometria analítica

O desenvolvimento da geometria analítica proporcionou um método alternativo para formalizar geometria. Nesta abordagem, um ponto é representado pelo seu cartesiano (x, y) as coordenadas, uma linha é representado por uma equação de, e assim por diante. No século 20, este ajuste em David Hilbert programa de redução de toda a matemática para a aritmética, e, em seguida, provando a consistência da aritmética usando o raciocínio finitistic 's. Na abordagem original de Euclides, o teorema de Pitágoras segue dos axiomas de Euclides. Na abordagem cartesiana, os axiomas são os axiomas da álgebra, ea equação expressando o teorema de Pitágoras é, então, uma definição de um dos termos em axiomas de Euclides, que agora são considerados teoremas. A equação

definindo a distância entre dois pontos e é então conhecido como o euclidiana métrica e outras métricas definir geometrias não-euclidianas.

Como uma descrição da realidade física

A refutação da geometria euclidiana como uma descrição do espaço físico. Em um teste da teoria da relatividade geral de 1919, Stars (marcadas com linhas horizontais) foram fotografados durante uma energia solar eclipse. Os raios de luz das estrelas foram dobrados pela gravidade do Sol em seu caminho para a Terra. Isso é interpretado como evidência em favor da predição de Einstein de que a gravidade poderia causar desvios da geometria euclidiana.

Euclid acreditava que seus axiomas eram declarações auto-evidentes sobre a realidade física.

Isso levou a dificuldades filosóficas profundas em conciliar o estado de conhecimento a partir da observação em oposição ao conhecimento adquirida pela ação do pensamento e raciocínio. Uma grande investigação desta área foi conduzida por Immanuel Kant em A Crítica da Razão Pura.

No entanto, de Einstein teoria da relatividade geral mostra que a verdadeira geometria do espaço-tempo é geometria não-euclidiana. Por exemplo, se um triângulo é construído a partir de três raios de luz, em seguida, em geral, os ângulos internos não adicionar até 180 graus devido à gravidade. Um campo gravitacional relativamente fraco, como a da Terra ou o sol de, é representada por uma métrica que é aproximadamente, mas não exatamente, euclidiano. Até o século 20, não havia tecnologia capaz de detectar os desvios em relação a geometria euclidiana, mas Einstein previu que existiria tais desvios. Eles foram posteriormente verificada por meio de observações como a observação da ligeira curvatura da luz estelar pelo Sol durante um eclipse solar em 1919, e geometria não-euclidiana é agora, por exemplo, uma parte integrante do software que executa o Sistema GPS. É possível opor-se a interpretação não-euclidiana da relatividade geral com o fundamento de que os raios de luz possam ser modelos físicos impróprios de linhas de Euclides, ou que a relatividade poderia ser reformulada de modo a evitar as interpretações geométricas. No entanto, uma das consequências da teoria de Einstein é que não existe um teste físico possível que pode fazer melhor do que um feixe de luz como um modelo de geometria. Assim, as únicas possibilidades lógicas são a aceitar geometria não-euclidiana como fisicamente real, ou para rejeitar toda a noção de testes físicos dos axiomas da geometria, que podem então ser imaginado como um sistema formal sem qualquer significado intrínseco do mundo real.

Por causa da incompatibilidade do modelo padrão com a relatividade geral , e por causa de alguma evidência empírica recente contra o antigo, ambas as teorias estão agora sob escrutínio aumentado, e muitas teorias têm sido propostas para substituir o antigo e, em muitos casos, este último como bem. ( GUTs são o único exemplo de teorias pós-modelo padrão, que não ataca a relatividade geral.) As divergências entre as duas teorias vêm de suas reivindicações sobre tempo-espaço, e é agora aceite que a geometria física deve descrever o espaço-tempo ao invés de meramente espaço. Enquanto a geometria euclidiana, o Modelo Padrão e relatividade geral são compatíveis com qualquer número de dimensões espaciais e qualquer especificação quanto a qual deles se houver são compactadas (veja a teoria das cordas ), e enquanto todos bar geometria euclidiana (que não faz distinção de espaço tempo) insistem em exatamente uma dimensão temporal, alternativas propostas, nenhuma das quais são ainda parte de consenso científico, diferem significativamente em suas previsões ou a falta dela quanto a estes detalhes do espaço-tempo. As divergências entre as teorias preocupação física convencional se o espaço-tempo é euclidiana (desde teoria quântica de campos no modelo padrão é construído sobre o pressuposto de que é) e se é quantificado. Poucos se algum alternativas propostas negar que o espaço-tempo é quantificado, com o quanta de comprimento e são, respectivamente, o tempo E o comprimento de Planck Tempo de Planck. No entanto, qual a geometria de usar - euclidiana, Riemannian, de Stitter, anti de Stitter e alguns outros - é um importante ponto de demarcação entre eles. Muitos físicos esperar alguma teoria das cordas de Euclides para eventualmente tornar-se o Teoria de Tudo, mas sua visão não é de forma unânime, e em qualquer caso, o futuro desta questão é imprevisível. A respeito de como se em toda a geometria euclidiana será envolvido em física futuro, o que é incontroverso é que a definição de linhas retas ainda vai ser em termos de o caminho em um vácuo de radiação eletromagnética (incluindo luz) até que a gravidade é explicada com consistência matemática em termos de um fenômeno diferente curvatura do espaço-tempo, e que o teste de postulados geométricos euclidianos (ou não) vai mentir em estudar como esses caminhos são afetados por fenômenos. Por agora, a gravidade é o único conhecido fenômeno relevante, e seu efeito é incontroversa (veja lente gravitacional).

Cónicas e teoria gravitacional

Apolônio e outros geômetras gregos antigos fez um extenso estudo das seções cônicas - curvas criadas pela intersecção de um cone e um avião. Os (as) não degenerada são a elipse , a e a parábola hipérbole, que se distingue por ter zero, um ou dois cruzamentos com o infinito. Este acabou por facilitar o trabalho de Galileu , Kepler e Newton no século 17, como estas curvas modeladas com precisão o movimento dos organismos sob a influência da gravidade. Uso Lei da gravitação universal de Newton, a órbita de um cometa em torno do Sol é

• uma elipse, se ele se move muito lentamente para a sua posição (abaixo a velocidade de escape), caso em que ele acabará por regressar;
• uma parábola, se está se movendo com velocidade de escape exata (improvável), e nunca voltar porque a curva atinge até o infinito; ou
• uma hipérbole, se ele está se movendo rápido o suficiente (acima de velocidade de escape), e da mesma forma vai nunca mais voltar.

Em cada caso, o sol vai estar em contacto foco da cônica, eo movimento irá varrer áreas iguais em tempos iguais.

Galileu experimentado com queda de objectos pequenas distâncias na superfície da Terra, e determinada empiricamente que a distância percorrida era proporcional ao quadrado do tempo. Dado o seu aparelho de cronometragem e medição, este foi um excelente aproximação. Ao longo dessas pequenas distâncias que a aceleração da gravidade pode ser considerada constante, e ignorando os efeitos do ar (como em uma pena caindo) ea rotação da Terra , os trajetória de um projéctil será um caminho parabólico.

Cálculos posteriores destes caminhos para corpos em movimento sob gravidade seria realizada utilizando as técnicas de geometria analítica (usando coordenadas e álgebra) e cálculo diferencial, que fornecem provas diretas. É claro que essas técnicas não tinha sido inventado no momento em que Galileo investigou o movimento de queda dos corpos. Uma vez que ele descobriu que os corpos caem à terra com aceleração constante (com a precisão de seus métodos), ele provou que projéteis irá se mover em uma trajetória parabólica usando os procedimentos da geometria euclidiana.

Da mesma forma, Newton usou quase-euclidianas provas para demonstrar a derivação de movimentos orbitais keplerianos de suas leis do movimento e da gravitação.

Séculos mais tarde, uma das primeiras medidas experimentais para suportar Einstein 's teoria da relatividade geral , que postulava uma geometria não-euclidiana para o espaço, foi a órbita do planeta Mercúrio . Kepler descreveu a órbita como uma elipse perfeita. Teoria newtoniana previu que a influência gravitacional de outros corpos daria uma órbita mais complicado. Mas, eventualmente, todas essas correções newtoniana ficou aquém dos resultados experimentais; uma pequena perturbação permaneceu. Einstein postulou que a curvatura do espaço seria precisamente conta dessa perturbação.

Estado lógico

Geometria euclidiana é uma teoria de primeira ordem . Isto é, ela permite afirmações tais como aqueles que começam como "para todos os triângulos ...", mas que é incapaz de formar declarações tais como "para todos os conjuntos de triângulos ...". Demonstrações do último tipo são considerados como estando fora do âmbito da teoria.

Devemos muito de nossa compreensão atual das propriedades da lógica e metamatemática propriedades da geometria euclidiana ao trabalho de Alfred Tarski e seus alunos, começando na década de 1920. Tarski provou sua formulação axiomática da geometria euclidiana para ser concluída em um determinado sentido: existe um algoritmo que, para cada proposta, pode mostrá-la para ser verdadeira ou falsa. Teoremas da incompletude de Gödel mostrou a futilidade de programa de provar a consistência de toda a matemática usando raciocínio finitistic de Hilbert. Achados de Tarski não violam o teorema de Gödel, porque a geometria euclidiana não podem descrever uma quantidade suficiente de aritmética para o teorema de aplicar.

Embora completa no sentido formal usado na lógica moderna, há coisas que a geometria euclidiana não pode realizar. Por exemplo, o problema de triseccionar um ângulo com uma régua e compasso é aquela que ocorre naturalmente dentro da teoria, uma vez que os axiomas referem-se a operações construtivas que podem ser realizadas com essas ferramentas. No entanto, séculos de esforços não conseguiram encontrar uma solução para este problema, até Pierre Wantzel publicou uma prova em 1837 que tal construção era impossível.

Geometria absoluta, identificado pela primeira vez Bolyai, é a geometria euclidiana enfraquecido por omissão do quinto postulado, que linhas paralelas não se encontram. De força intermediária entre a geometria euclidiana são absoluta e geometrias derivadas de Euclides da por alterações do postulado paralelo que pode ser mostrado para ser coerente com a exibição de modelos de eles. Por exemplo, a geometria da superfície de uma esfera, é um modelo de geometria elíptica. Outra enfraquecimento da geometria euclidiana é geometria afim, identificado pela primeira vez por Euler , que mantém o quinto postulado não modificada enquanto enfraquecimento postula três e quatro de uma forma que elimina as noções de ângulo (daí triângulos retângulos se tornam sem sentido) e da igualdade de comprimento de segmentos de linha em geral (círculos donde se tornar sem sentido), mantendo as noções de paralelismo como uma relação de equivalência entre as linhas, ea igualdade de comprimento de segmentos de linha paralelos (para segmentos de linha continuam a ter um ponto médio).

Teoremas clássicos

• Teorema de Ceva
• A fórmula de Heron
• Nove pontos círculo
• Teorema de Pitágoras
• A fórmula de Tartaglia
• Teorema de Menelau
• Bissetriz teorema