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Espaço euclidiano

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Informações de fundo

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Em torno de 300 aC , o grego matemático Euclides realizou um estudo sobre as relações entre as distâncias e ângulos , pela primeira vez em um avião (uma superfície plana idealizada) e depois no espaço. Um exemplo de uma tal relação é que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180 graus. Hoje, essas relações são conhecidos como dois e três dimensional geometria euclidiana .

Na moderna matemático língua, a distância e ângulo pode ser facilmente generalizado para espaços 4-dimensionais, 5-dimensional, e ainda mais dimensões. Um espaço n-dimensional com noções de distância e ângulo que obedecem as relações euclidianas é chamado de um espaço euclidiano n-dimensional. A maior parte deste artigo é dedicado ao desenvolvimento da linguagem moderna necessária para o salto conceitual para dimensões maiores.

Uma propriedade essencial de um espaço euclidiano é a sua planicidade. Outros espaços existem em geometria euclidiana que não são. Por exemplo, a superfície de uma esfera não é; um triângulo em uma esfera (adequadamente definido) terá ângulos que resumem a algo maior que 180 graus. Na verdade, não é essencialmente apenas um espaço euclidiano de cada dimensão, embora existam muitos espaços não-euclidianas de cada dimensão. Muitas vezes, estes espaços são construídos por deformação sistemática espaço euclidiano.

Visão geral intuitiva

Uma maneira de pensar do plano euclidiano é como um conjunto de aponta que respondem a certos relacionamentos, expressivos em termos de distância e ângulo. Por exemplo, há duas operações fundamentais no plano. Um é tradução, o que significa que um deslocamento do plano de modo que cada ponto é deslocado no mesmo sentido e pela mesma distância. A outra é a rotação em torno de um ponto fixo no plano, em que cada ponto no plano gira sobre esse ponto fixo através do mesmo ângulo. Um dos princípios básicos da geometria euclidiana é que duas figuras (ou seja, subconjuntos ) do plano deve ser considerado equivalente ( congruente) se pode ser transformada na outra por uma sequência de translações e rotações. (Ver Grupo euclidiano.)

A fim de fazer tudo isso matematicamente preciso, deve-se definir claramente as noções de distância, ângulo, tradução e rotação. A maneira padrão de fazer isso, como realizado no restante deste artigo, é definir o plano euclidiano como um bidimensional verdadeiro espaço vetorial equipado com um produto interno. Pois então:

  • o vectores no espaço vectorial correspondem aos pontos do plano euclidiano,
  • a adição operação no espaço vectorial corresponde à tradução, e
  • o produto interno implica noções de ângulo e distância, que podem ser utilizados para definir a rotação.

Uma vez que o plano euclidiano foi descrito nesta língua, é realmente uma questão simples de estender o seu conceito para dimensões arbitrárias. Para a maior parte, o vocabulário, fórmulas e cálculos não são feitas mais difícil pela presença de mais dimensões. (No entanto, as rotações são mais sutis em dimensões elevadas, e visualizar espaços alto-dimensional continua a ser difícil, mesmo para os matemáticos experientes.)

Uma ruga final é que o espaço euclidiano não é tecnicamente um espaço vetorial, mas sim uma espaço afim, em que um espaço vectorial actua. Intuitivamente, a distinção apenas diz que não há nenhuma escolha canônica de onde o origem deve ir para o espaço, uma vez que pode ser traduzido em qualquer lugar. Neste artigo, essa tecnicidade largamente ignorado.

Real espaço de coordenadas

Seja R denotam o campo de números reais . Para qualquer não negativo inteiro n, o espaço de tudo n - tuplas de números reais constitui um espaço n -dimensional vector mais de R, que é denotado R n e às vezes chamado de cota real espaço. Um elemento de R n é escrito

\ Mathbf {x} = (x_1, x_2, \ ldots, x_n),

onde cada x i é um número real. As operações espaciais vector sobre R n são definidos por

\ Mathbf {x} + \ mathbf {y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ ldots, x_n + Y_n),
a \, \ mathbf {x} = (a x_1, x_2 um, \ ldots, x_n um).

O espaço vetorial R n vem com um base padrão:

\ Mathbf {e} _1 = (1, 0, 0, \ ldots),
\ Mathbf {e} _2 = (0, 1, 0, \ ldots),
\ vdots
\ mathbf {E} _n = (0, 0, \ ldots, 1).

Um vector arbitrário em R n pode então ser escrito sob a forma

\ Mathbf {x} = \ sum_ {i = 1} ^ n x_i \ mathbf {e} _i.

R n é o exemplo prototípico de um espaço vetor de reais n-dimensional. Na verdade, cada real n -dimensional espaço vetorial V é isomorfo a R n. Este não é isomorfismo canônico, no entanto. Uma escolha de isomorfismo é equivalente a uma escolha de base para V (por olhar para a imagem de base padrão para R n em V). O motivo para se trabalhar com espaços vector arbitrárias em vez de R n é que muitas vezes é preferível trabalhar de uma forma coordenada livre (isto é, sem a escolha de uma base preferida).

Estrutura euclidiana

Espaço euclidiano é mais do que apenas coordenar um verdadeiro espaço. A fim de aplicar geometria euclidiana é preciso ser capaz de falar sobre as distâncias entre os pontos e os ângulos entre linhas ou vetores. A forma natural para obter estas quantidades é através da introdução e utilizando o produto interno padrão (também conhecido como o produto do ponto) em R n. O produto interno de quaisquer dois vectores de x e y é definido pela

\ Mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ sum_ {i = 1} ^ n = x_iy_i x_1y_1 + x_2y_2 + \ cdots + x_ny_n.

O resultado é sempre um número real. Além disso, o produto interno de x com si é sempre não negativos. Este produto permite-nos definir o "tamanho" de um vetor x como

\ | \ Mathbf {x} \ | = \ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}} = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} (x_i) ^ 2}.

Esta função comprimento satisfaz as propriedades requeridas para um norma e é chamado a norma Euclidiana em R n.

A (não-obtusa) θ ângulo (0 ° ≤ θ ≤ 180 °) entre X e Y é então dado por:

\ Theta = \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}} {\ | \ mathbf {x} \ | \ | \ mathbf {y} \ |} \ à direita)

onde cos -1 é a função arco cosseno.

Finalmente, pode-se usar a norma para definir um métrica (ou função de distância) em R n por

d (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n (x_i - y_i) ^ 2 }.

Esta função é chamada a distância Euclidiana métrica. Pode ser visto como uma forma de o teorema de Pitágoras .

Real espaço de coordenadas em conjunto com esta estrutura euclidiana é chamado espaço euclidiano e muitas vezes denotado E n. (Muitos autores referem-se a R n-se como o espaço euclidiano, com a estrutura euclidiana sendo entendido). A estrutura euclidiano faz E n um espaço interior do produto (na realidade, um Hilbert espaço), uma espaço vectorial normalizado, e um espaço métrico.

Rotações do espaço euclidiano são, então, definido como de preservação da orientação Transformações Lineares T que preservam ângulos e comprimentos:

T \ mathbf {x} \ cdot T \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y},
| T \ mathbf {x} | = | \ mathbf {x} |.

Na linguagem de matrizes , as rotações são ortogonais matrizes especiais.

Topologia de espaço euclidiano

Desde que o espaço euclidiano é um espaço métrico que é também um espaço topológico com o natural topologia induzida pela métrica. A topologia métrica em E n é chamado a topologia euclidiano. Um conjunto é aberto na topologia euclidiano se e somente se ele contém um bola aberta em torno de cada um dos seus pontos. A topologia euclidiana acaba por ser equivalente ao topologia produto em R n considerado como um produto de n cópias da verdadeira linha R (com a sua topologia padrão).

Um resultado importante sobre a topologia de R n, que está longe de ser superficial, é Brouwer de invariância de domínio. Qualquer subconjunto de R n (com a sua topologia subespaço) que é homeomorfo a outro subconjunto aberto de R n é em si aberta. Uma conseqüência imediata disso é que R m não é homeomorfo a R n se mn - um resultado intuitivamente "óbvio" que não deixa de ser difícil de provar.

Generalizações

Na matemática moderna, espaços euclidianos formam os protótipos para outros objectos geométricos, mais complicadas. Por exemplo, uma variedade suave é um Hausdorff espaço topológica que é localmente difeomórfico de espaço euclidiano. Não difeomorfismo não respeitar a distância e ângulo, assim que estes conceitos fundamentais da geometria euclidiana são perdidos em uma variedade suave. No entanto, se, adicionalmente, prescreve um produto interno varia suavemente no colector de espaços tangentes, então o resultado é o que se chama um Variedade de Riemann. Dito de outro modo, uma variedade de Riemann é um espaço construído deformando e remendar espaços euclidianos. Tal espaço goza de noções de distância e ângulo, mas eles se comportam em um forma curva, não-euclidiana. O mais simples variedade de Riemann, que consiste em R n com um produto interno constante, é essencialmente idêntico ao euclidiano n -Espaço em si.

Se uma altera um espaço euclidiano de modo que o seu interior do produto torna-se negativa em uma ou mais direcções, em seguida, o resultado é um espaço pseudo-euclidiana. Variedades suaves construídas a partir de tais espaços são chamados manifolds pseudo-Riemanniana. Talvez a sua aplicação mais famosa é a teoria da relatividade , onde vazio espaço-tempo sem matéria é representado pelo espaço pseudo-euclidiana plana chamada Espaço de Minkowski, espaços-tempos com a matéria neles formar outras variedades pseudo-Riemanniana e gravidade corresponde à curvatura de tal manifold.

Nosso universo, estando sujeito à relatividade, não é euclidiano. Isto torna-se significativo em considerações teóricas de astronomia e cosmologia , e também em alguns problemas práticos, tais como posicionamento global e avião navegação. No entanto, um modelo do universo euclidiano ainda pode ser usado para resolver muitos outros problemas práticos com suficiente precisão.

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