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Fractal

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Informações de fundo

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O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de um fractal.
Uma visão mais próxima do grupo de Mandelbrot.

Um fractal é geralmente "um áspera ou fragmentada forma geométrica que pode ser subdividida em duas partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) uma cópia de tamanho reduzido de um modo geral, "uma propriedade chamada auto-similaridade. O termo foi cunhado por Benoît Mandelbrot em 1975 e foi derivado do latim fractus significado "quebrado" ou "fraturada".

Um fractal muitas vezes tem as seguintes características:

  • Tem uma estrutura muito bem em pequenas escalas arbitrariamente.
  • É muito irregulares para serem facilmente descrito no tradicional geométrico euclidiana língua.
  • É auto-semelhante (ou, pelo menos, aproximadamente estocástica).
  • Tem um Hausdorff dimensão que é maior do que a sua dimensão topológica (embora esta exigência não seja satisfeita por curvas de preenchimento de espaço, tais como a Curva de Hilbert).
  • Ele tem um simples e definição recursiva.

Porque eles parecem semelhantes em todos os níveis de ampliação, fractais são muitas vezes consideradas como infinitamente complexo (em termos informais). Os objetos naturais que fractais aproximados para um grau incluem nuvens, montanhas, relâmpagos, litorais, e flocos de neve. No entanto, nem todos os objetos auto-semelhantes são fractais, por exemplo, o linha real (uma linha reta Linha euclidiana) é formalmente auto-semelhantes, mas não tem outras características fractais.

História

Para criar um Curva de Koch, comece com um triângulo equilátero e substituir o terço médio de cada segmento de linha com um par de segmentos de linha que formam uma equilátero "colisão". Em seguida, executar a mesma substituição em cada segmento de linha da forma resultante, ad infinitum. Com cada iteração, o perímetro desta forma cresce por 1 / 3a. O floco de Koch é o resultado de um número infinito de estas iterações, e tem um comprimento infinito, enquanto que a sua área permanece finito. Por esta razão, o floco de neve e construções similares de Koch foram chamados às vezes "curvas de monstro."

Os matemática por trás fractais começou a tomar forma no século 17, quando o filósofo Leibniz considerado auto-similaridade recursiva (embora ele cometeu o erro de pensar que só a linha recta foi auto-similar neste sentido).

Demorou até 1872 antes de uma função cuja apareceu gráfico seria hoje considerado fractal, quando Karl Weierstrass deu uma exemplo de uma função com a não- propriedade intuitiva de estar em todos os lugares mas contínua em nenhuma parte diferenciável. Em 1904, Helge von Koch, insatisfeito com definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função semelhante, o que hoje é chamado de Curva de Koch. Em 1915, Waclaw Sierpinski construiu sua triângulo e, um ano mais tarde, o seu carpete. Originalmente estes fractais geométricos foram descritos como curvas, em vez de as formas 2D que eles são conhecidos como em suas construções modernas. A idéia de curvas auto-similar foi levada adiante por Paul Pierre Lévy, que, em seus 1.938 Plano de papel ou espaço de curvas e superfícies, constituídos por partes semelhantes ao Todo descrita uma nova curva fractal, o Lévy curva C.

Georg Cantor também deu exemplos de subconjuntos da linha real com propriedades incomuns estes- Conjuntos de Cantor também são agora reconhecidos como fractais.

Funções iteradas no plano complexo foram investigados no final dos anos 19 e início do século 20 por Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou e Gaston Julia. No entanto, sem o auxílio de modernos de computação gráfica, não tinham os meios para visualizar a beleza de muitos dos objetos que tinham descoberto.

Na década de 1960, Benoît Mandelbrot começou a investigar auto-similaridade em papéis como Quanto tempo a costa da Grã-Bretanha é? Estatística auto-similaridade e Fractional Dimension, que construiu em um trabalho anterior por Lewis Fry Richardson. Finalmente, em 1975 Mandelbrot inventou a palavra "fractal" para denotar um objeto cuja Dimensão de Hausdorff-Besicovitch é maior do que o seu dimensão topológica. Ele ilustrou esta definição matemática com impressionantes efeitos visuais construídas por computador. Estas imagens capturaram a imaginação popular; muitos deles foram baseados em recursão, conduzindo ao significado popular do termo "fractal".

Exemplos

A Julia definida, um fractal relacionado com o conjunto de Mandelbrot

A relativamente simples classe de exemplos é dado pela Cantor define, Triângulo de Sierpinski e carpete, Menger esponja, curva do dragão, curva de enchimento de espaço, e Curva de Koch. Outros exemplos de fractais incluir o Lyapunov fractal e os conjuntos limite de Grupos kleinianas. Fractais pode ser determinista (todos os acima) ou estocástica (isto é, não-determinístico). Por exemplo, as trajetórias do Movimento browniano no plano têm uma dimensão Hausdorff de 2.

Sistemas dinâmicos caóticos são associados às vezes com fractais. Objetos no espaço de uma fase sistema dinâmico pode ser fractais (ver atrator). Objetos no espaço de parâmetros para uma família de sistemas podem ser fractais bem. Um exemplo interessante é o conjunto de Mandelbrot . Este conjunto contém discos inteiros, por isso tem uma dimensão Hausdorff igual à sua dimensão topológica de 2-mas o que é realmente surpreendente é que o limite da Mandelbrot tem também uma dimensão de Hausdorff de 2 (enquanto a dimensão topológica de 1), um resultado provou por Mitsuhiro Shishikura em 1991. Um fractal estreitamente relacionado é o Julia definido.

Mesmo curvas suaves simples podem exibir a propriedade fractal de auto-similaridade. Por exemplo, a curva de potência-lei (também conhecido como um Distribuição de Pareto) produz formas semelhantes a diversas ampliações.

Geradoras de fractais

O conjunto de Mandelbrot
Mandelbrot ampliada 6x
Mandelbrot Zoomed 100x
Mandelbrot Zoomed 2000x Até 2000 vezes ampliações do grupo de Mandelbrot descobre detalhes finos que assemelha-se o conjunto completo.

Três técnicas comuns para gerar fractais são:

  • Fractais em tempo Fuga - Estes são definidos por um relação de recorrência em cada ponto no espaço (tal como o plano complexo ). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot , Julia definido, o Queimar fractal do navio ea Lyapunov fractal.
  • Sistemas de funções iteradas - Estes têm uma regra de substituição geométrica fixa. Cantor set, Tapete de Sierpinski, Junta Sierpinski, Curva de Peano, Curva de Koch, Harter-Heighway curva do dragão, T-Square, Menger esponja, são alguns exemplos de tais fractais.
  • Fractais Aleatórias - gerados por processos estocásticos, em vez de determinísticos, por exemplo, trajetórias do Movimento browniano, Voo Lévy, paisagens fractais e da ?rvore browniano. Os últimos assim chamados rendimentos fractais em massa ou dendríticas, por exemplo, agregação limitada por difusão ou clusters de agregação limitada de reação.

Classificação

Fractals também podem ser classificados de acordo com sua auto-similaridade. Existem três tipos de auto-similaridade encontrados em fractais:

  • Exata auto-similaridade - Este é o tipo mais forte de auto-similaridade; o fractal parece idêntico em diferentes escalas. Fractais definido pela sistemas de funções iteradas muitas vezes exibem exata auto-similaridade.
  • Quasi-auto-similaridade - Esta é uma forma solta de auto-similaridade; o fractal aparece aproximadamente (mas não exatamente) idêntica em diferentes escalas. Fractais quase auto-similares conter pequenas cópias de todo o fractal em formas distorcidas e degenerados. Fractais definido pela relações de recorrência são geralmente quase-auto-semelhantes, mas não exatamente auto-similares.
  • Estatística auto-similaridade - Este é o tipo mais fraco de auto-similaridade; o fractal possui medidas numéricos ou estatísticos que são preservados através de escalas. A maioria das definições razoáveis de "fractal" trivialmente implica alguma forma de auto-similaridade estatística. (Ela própria dimensão do Fractal é uma medida numérica que é preservada através de escalas.) Fractais aleatórios são exemplos de fractais que são estatisticamente auto-semelhantes, mas nem exatamente nem quase auto-similar.

Natural

Um fractal que modela a superfície de uma montanha (animação)

Fractais aproximadas são facilmente encontrados na natureza. Esses objetos exibir estrutura auto-similar sobre, uma faixa de escala prolongada, mas finita. Exemplos incluem nuvens, flocos de neve , cristais , cadeias de montanhas , relâmpago, redes fluviais , couve-flor ou brócolos, e sistemas de e vasos sanguíneos vasos pulmonares. Litorais pode ser considerada frouxamente fractal na natureza.

Uma samambaia fractal calculado usando uma Sistema iterado da função

?rvores e samambaias são fractais na natureza e pode ser modelado em um computador usando um recursiva algoritmo . Esta natureza recursiva é óbvio nestes exemplos - um ramo de uma árvore ou uma fronda de uma samambaia é uma réplica em miniatura do todo: não idênticos, mas de natureza semelhante.

Em 1999, determinada auto formas semelhantes fractal foram mostrados para ter uma propriedade de "invariância frequência" - as mesmas propriedades eletromagnéticas não importa o que a frequência - a partir de equações de Maxwell (veja antena fractal).

Fractal pentagrama desenhado com um vetor programa de iteração


Em trabalhos criativos

Padrões fractais foram encontrados nas pinturas de artista americano Jackson Pollock . Enquanto pinturas de Pollock parecem ser composto por gotejamento caótico e projecção, análise de computador descobriu padrões fractais em seu trabalho.

Decalcomania, uma técnica usada por artistas como Max Ernst, pode produzir padrões fractal-like. Trata-se de pressionar pintura entre duas superfícies e separá-las.

Fractals também são predominantes em Africano arte e arquitetura. Casas circulares aparecem em círculos de círculos, casas retangulares em retângulos de retângulos, e assim por diante. Tais padrões de escala também podem ser encontradas nos tecidos africanos, esculturas e até mesmo penteados cornrow.

Aplicações

Tal como descrito acima, fractais aleatórios pode ser utilizado para descrever muitos objectos do mundo real altamente irregulares. Outras aplicações de fractais incluem:

  • A classificação de lâminas de histopatologia em medicina
  • Paisagem Fractal ou Complexidade Litoral
  • Enzima / enzimologia ( Cinética de Michaelis-Menten)
  • Geração de novas músicas
  • Geração de diferentes arte formas
  • Sinais e compressão de imagem
  • Sismologia
  • Fractal em Mecânica dos Solos
  • Computador e vídeo game design, especialmente computação gráfica para orgânicos ambientes e como parte de geração processual
  • Fractografia e mecânica da fratura
  • Antenas fractais - antenas de tamanho pequeno usando formas fractais
  • Pequeno teoria de espalhamento ângulo de sistemas fractally ásperos
  • Neo-hippies t-shirt e outros moda
  • Geração de padrões para camuflagem, como MARPAT
  • Relógio digital
  • Geração de preço Series
  • Democracia Fractal
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