Georg Cantor
Informações de fundo
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| Georg Cantor | |
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| Nascido | Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 03 de março de 1845 São Petersburgo , Império Russo |
| Morreu | 06 de janeiro de 1918 (aos 72 anos) Halle, Província da Saxônia, Império Alemão |
| Residência | Império Russo (1845-1856), Império Alemão (1856-1918) |
| Nacionalidade | Alemão |
| Campos | Matemática |
| Instituições | Universidade de Halle |
| Alma mater | ETH Zurich, Universidade de Berlim |
| Conselheiro doutoral | Ernst Kummer Karl Weierstrass |
| Os estudantes de doutorado | Alfred Barneck |
| Conhecido por | Teoria de conjuntos |
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (pron .: / k æ n t ɔr / KAN-TOR; alemão: [Ɡeɔʁk fɛʁdinant luːtvɪç fɪlɪp kantɔʁ]; 03 de março [ OS 19 de fevereiro] 1845 - 06 de janeiro de 1918) foi um Alemão matemático , mais conhecido como o inventor da teoria dos conjuntos , que se tornou um teoria fundamental em matemática. Cantor estabeleceu a importância de um-para-um entre os membros de dois conjuntos, definidos infinito e conjuntos bem ordenada, e provou que os números reais são "mais numerosas" do que os números naturais . Na verdade, o método da prova deste teorema de Cantor implica a existência de uma " infinidade de infinidades ". Ele definiu o cardeal e ordinais números ea aritmética. O trabalho de Cantor é de grande interesse filosófico, um fato de que ele estava bem ciente.
Teoria de Cantor números transfinitos foi originalmente considerada tão contra-intuitivo - até mesmo chocante - que encontrou resistência dos contemporâneos matemáticos tais como Leopold Kronecker e Henri Poincaré e, posteriormente, a partir de Hermann Weyl e LEJ Brouwer, enquanto Ludwig Wittgenstein levantou objeções filosóficas. Alguns Teólogos cristãos (particularmente neo-escolásticos) viu o trabalho de Cantor como um desafio à singularidade da infinitude absoluta na natureza de Deus - em uma ocasião que equivale a teoria dos números transfinitos com panteísmo - uma proposição que Cantor vigorosamente rejeitadas. As objeções ao seu trabalho foram ocasionalmente feroz: Poincaré se refere a ideias de Cantor como uma "doença grave" infectar a disciplina de matemática , e oposição pública de Kronecker e ataques pessoais incluídos descrevendo Cantor como um "charlatão científica", um "renegado" e um " corruptor da juventude ". Kronecker mesmo opôs-se provas de Cantor que os números algébricos são contáveis, e que os números transcendentais são incontáveis, os resultados agora incluídos em um currículo de matemática padrão. Escrevendo décadas após a morte de Cantor, Wittgenstein lamentou que a matemática é "montado por completo com as expressões idiomáticas perniciosos da teoria dos conjuntos", que ele descartou como "completa besteira" que é "ridículo" e "errado". Crises recorrentes de Cantor de depressão de 1884 até o final de sua vida têm sido responsabilizados sobre a atitude hostil de muitos de seus contemporâneos, embora alguns tenham explicado esses episódios como manifestações prováveis de uma transtorno bipolar.
A dura crítica foi acompanhado por elogios posteriores. Em 1904, o Royal Society concedeu Cantor sua Medalha Sylvester, a mais alta honraria que pode conferir para o trabalho em matemática. Tem sido sugerido que Cantor acreditava que sua teoria dos números transfinitos tinha sido comunicada a ele por Deus. David Hilbert defendeu de seus críticos pela famosa declaração: "Ninguém pode expulsar-nos do paraíso que Cantor criou."
Vida
Juventude e estudos
Cantor nasceu em 1845 na colônia comerciante ocidental em São Petersburgo , Rússia , e cresceu na cidade até que ele tinha onze anos. Georg, o mais velho dos seis filhos, foi considerado como um excelente violinista . Seu avô Franz Böhm (1788-1846) (o violinista O irmão de Joseph Böhm) foi o conhecido músico e solista no império russo em uma orquestra imperial. O pai de Cantor tinha sido um membro da São Petersburgo bolsa de valores; quando ele ficou doente, a família se mudou para a Alemanha em 1856, primeiro a Wiesbaden, em seguida, para Frankfurt , buscando invernos mais suaves do que os de São Petersburgo. Em 1860, Cantor formou com distinção na Realschule em Darmstadt; suas habilidades excepcionais em matemática, trigonometria , em particular, foram anotados. Em 1862, entrou para o Cantor Universidade de Zurique. Depois de receber uma herança substancial em cima da morte de seu pai em 1863, Cantor trocou seus estudos para o Universidade de Berlim, participando de palestras de Leopold Kronecker, Karl Weierstrass e Ernst Kummer. Ele passou o verão de 1866 no Universidade de Göttingen, em seguida, e mais tarde um centro de pesquisa matemática.
Professor e pesquisador
Em 1867, Cantor completou a sua dissertação, sobre a teoria dos números, na Universidade de Berlim. Depois de ensinar brevemente em uma escola para meninas Berlim, Cantor assumiu uma posição no Universidade de Halle, onde passou toda a sua carreira. Ele foi premiado com o requisito habilitação para a sua tese, também na teoria dos números, que ele apresentou em 1869 após sua nomeação em Halle.
Em 1874, casou-se com Cantor Vally Guttmann. Tiveram seis filhos, o último (Rudolph) nascidos em 1886. Cantor foi capaz de sustentar uma família, apesar de modesto salário acadêmico, graças à sua herança de seu pai. Durante sua lua de mel no Montanhas Harz, Cantor passou muito tempo em discussões matemáticas com Richard Dedekind, que ele havia conhecido dois anos antes, enquanto na Suíça feriado.
Cantor foi promovido a professor extraordinário em 1872 e fez Professor completo em 1879. Para atingir este último posto com a idade de 34 foi uma realização notável, mas Cantor desejar um cadeira em uma universidade mais prestigiosa, em particular a Berlim, na época o principal universidade alemã. No entanto, seu trabalho encontrou muita oposição para que isso seja possível. Kronecker, que chefiou matemática em Berlim até sua morte, em 1891, tornou-se cada vez mais desconfortável com a perspectiva de ter Cantor como um colega, percebendo-o como um "corruptor da juventude" para o ensino de suas idéias para uma nova geração de matemáticos. Pior ainda, Kronecker, uma figura bem estabelecido na comunidade matemática e ex-professor de Cantor, discordou fundamentalmente com o impulso do trabalho de Cantor. Kronecker, agora visto como um dos fundadores do ponto de vista construtivo em matemática, não gostou muito da teoria dos conjuntos de Cantor, pois afirmava a existência de conjuntos que satisfazem certas propriedades, sem dar exemplos específicos de conjuntos cujos membros, de fato satisfazer essas propriedades. Cantor chegou a acreditar que a posição de Kronecker tornaria impossível para ele que nunca para deixar Halle.
Em 1881, Halle colega de Cantor Eduard Heine morreu, criando uma cadeira vaga. Halle aceitou a sugestão de Cantor que seja oferecido para Dedekind, Heinrich M. Weber e Franz Mertens, nessa ordem, mas cada um se recusou a cadeira depois de ser oferecido. Friedrich Wangerin acabou por ser nomeado, mas ele nunca foi perto de Cantor.
Em 1882, a correspondência matemática entre Cantor e Dedekind chegou ao fim, aparentemente como resultado de Dedekind de declínio da cadeira em Halle. Cantor também começou outra correspondência importante, com Gösta Mittag-Leffler, na Suécia, e logo começou a publicar no diário de Mittag-Leffler Acta Mathematica. Mas em 1885, Mittag-Leffler estava preocupado com a natureza filosófica e nova terminologia num artigo Cantor tinha apresentado a Acta. Ele pediu Cantor de retirar o papel da Acta enquanto ela estava em prova, escrevendo que era "... cerca de cem anos muito em breve." Cantor cumprido, mas, em seguida, reduzido a sua relação e correspondência com Mittag-Leffler, escrevendo a um terceiro:
Mittag-Leffler tinha tido o seu caminho, eu deveria ter que esperar até o ano 1984, o que para mim parecia demasiado grande demanda! ... Mas é claro que eu nunca quero saber de novo nada sobre Acta Mathematica.
Cantor sofreu seu primeiro ataque conhecido de depressão em 1884. A crítica de seu trabalho pesado em sua mente: cada um dos cinquenta e duas cartas que ele escreveu para Mittag-Leffler, em 1884 mencionado Kronecker. A passagem de uma dessas cartas é revelador do dano para a auto-confiança de Cantor:
... Eu não sei quando vou voltar para a continuação do meu trabalho científico. No momento em que eu posso fazer absolutamente nada com ele, e limitar-me a dever mais necessário de minhas palestras; quanto mais feliz eu seria ser cientificamente ativo, se eu tivesse a frescura mental necessária.
Esta crise levou-o a aplicar a palestra sobre filosofia em vez de matemática. Ele também começou um intenso estudo de Pensamento literatura elisabetana pode haver evidência de que Francis Bacon escreveu as peças atribuídas a Shakespeare (veja Questão da autoria de Shakespeare); Esta última análise, resultou em dois panfletos, publicado em 1896 e 1897.
Cantor recuperado logo depois, e, posteriormente, fez contribuições mais importantes, incluindo seu famoso argumento diagonal e teorema. No entanto, ele nunca mais alcançou o alto nível de seus notáveis trabalhos de 1874-1884. Ele finalmente procurou, e alcançou, uma reconciliação com Kronecker. No entanto, as divergências filosóficas e as dificuldades que os dividem persistiu.
Em 1890, Cantor foi fundamental na fundação da Deutsche Mathematiker-Vereinigung e presidido sua primeira reunião em Halle em 1891, onde ele apresentou pela primeira vez sua argumento diagonal; sua reputação era forte o suficiente, apesar da oposição de Kronecker ao seu trabalho, para garantir que ele foi eleito como o primeiro presidente desta sociedade. Deixando de lado a animosidade Kronecker tinha exibido para ele, Cantor convidou para dirigir o encontro, mas Kronecker foi incapaz de fazê-lo porque sua esposa estava morrendo de ferimentos sofridos em um acidente de esqui no momento.
Anos de atraso
Depois de 1884 a hospitalização de Cantor, não há registro de que ele estava em qualquer sanatório novamente até 1899. Logo depois que a segunda internação, filho mais novo de Cantor Rudolph morreu repentinamente (enquanto Cantor estava entregando uma palestra sobre seus pontos de vista sobre Teoria baconiana e William Shakespeare ), e esta tragédia drenado Cantor de grande parte da sua paixão pela matemática. Cantor foi novamente hospitalizado em 1903. Um ano mais tarde, ele ficou indignado e agitado por um documento apresentado por Julius König na Terceira Congresso Internacional de Matemáticos. O papel tentaram provar que os princípios básicos da teoria dos conjuntos transfinita eram falsas. (Konig é recordado agora como tendo apontado apenas por que alguns conjuntos não podem ser bem-ordenada, em desacordo com Cantor.) Uma vez que o papel tinha sido lido na frente de suas filhas e colegas, Cantor percebeu-se como tendo sido publicamente humilhado. Embora Ernst Zermelo demonstraram menos de um dia depois que a prova de König tinha falhado, Cantor permaneceu abalada, mesmo que momentaneamente questionar Deus. Cantor sofria de depressão crônica para o resto de sua vida, para o qual ele foi dispensado de ensino em várias ocasiões e repetidamente confinados em vários sanatórios. Os eventos de 1904 precedida de uma série de hospitalizações em intervalos de dois ou três anos. Ele não abandonou completamente a matemática, no entanto, palestras sobre os paradoxos da teoria dos conjuntos ( Paradoxo Burali-Forti, Paradoxo de Cantor, e O paradoxo de Russell) a uma reunião do Deutsche Mathematiker-Vereinigung em 1903, e participantes do Congresso Internacional de Matemáticos em Heidelberg em 1904.
Em 1911, Cantor foi um dos estudiosos estrangeiros ilustres convidados para participar do 500º aniversário da fundação da Universidade de St. Andrews na Escócia . Cantor participou, na esperança de encontrar Bertrand Russell , cujo recém-publicado Principia Mathematica citado repetidamente o trabalho de Cantor, mas isso não aconteceu. No ano seguinte, St. Andrews concedido Cantor um doutorado honorário, mas a doença impediram de receber o grau em pessoa.
Cantor se aposentou em 1913, vivem na pobreza e sofrem de desnutrição durante a Primeira Guerra Mundial . A celebração pública de seu 70º aniversário foi cancelada por causa da guerra. Ele morreu em 06 de janeiro de 1918 no sanatório onde ele havia passado o último ano de sua vida.
Trabalho matemático
O trabalho de Cantor entre 1874 e 1884 é a origem da teoria dos conjuntos . Antes deste trabalho, o conceito de um conjunto era um tanto elementar que tinha sido usado implicitamente desde os primórdios da matemática, que remonta às idéias de Aristóteles . Ninguém tinha percebido que a teoria dos conjuntos teve qualquer conteúdo não trivial. Antes de Cantor, havia apenas conjuntos finitos (que são fáceis de entender) e "infinito" (que foi considerado um tema para filosófica, em vez de matemática, a discussão). Provando que existem (infinitamente) muitos tamanhos possíveis para conjuntos infinitos, Cantor estabelecido que a teoria dos conjuntos não foi trivial, e que precisava ser estudada. Set teoria tem vindo a desempenhar o papel de um teoria fundacional na matemática moderna, no sentido de que ele interpreta proposições sobre objetos matemáticos (por exemplo, números e funções) de todas as áreas tradicionais de matemática (tais como álgebra , análise e topologia ) em uma única teoria, e oferece um conjunto padrão de axiomas para provar ou refutar-los. Os conceitos básicos da teoria dos conjuntos são agora usados em toda a matemática.
Em um de seus primeiros trabalhos, Cantor provou que o conjunto de números reais é "mais numerosas" do que o conjunto de números naturais ; esta demonstrou, pela primeira vez, que existem conjuntos infinitos de diferente tamanhos. Ele também foi o primeiro a apreciar a importância da um-para-um correspondências (doravante denotada "correspondência 1-to-1") na teoria dos conjuntos. Ele usou este conceito para definir e finito conjuntos infinitos, subdividindo esta última em conjuntos numeráveis (ou infinitos contáveis) e conjuntos incontáveis (conjuntos infinitos nondenumerable).
Cantor desenvolveu conceitos importantes na topologia e sua relação com cardinalidade. Por exemplo, ele mostrou que a Cantor conjunto está longe denso, mas tem a mesma cardinalidade como o conjunto de todos os números reais, ao passo que os racionais estão em toda parte densa, mas contável.
Cantor introduziu construções fundamentais na teoria dos conjuntos, como o conjunto potência de um conjunto A, que é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Mais tarde, mostrou que o tamanho do conjunto de potência é estritamente maior que o tamanho de A, mesmo quando A é um conjunto infinito; este resultado logo ficou conhecido como Teorema de Cantor. Cantor desenvolveu toda uma teoria e aritmética de conjuntos infinitos, chamados cardeais e ordinais , que se estendeu a aritmética dos números naturais. Sua notação para os números cardinais era a letra hebraica 
( aleph) com um subscrito número natural; para os ordinais ele empregou a letra grega ω ( omega). Esta notação ainda está em uso hoje.
O Hipótese do contínuo, introduzido pela Cantor, foi apresentado por David Hilbert como o primeiro de sua vinte e três problemas em aberto em seu discurso famoso em 1900 Congresso Internacional de Matemáticos, em Paris . O trabalho de Cantor também atraiu a atenção favorável para além encômio comemorado de Hilbert. O filósofo norte-americano Charles Sanders Peirce elogiou a teoria dos conjuntos de Cantor, e, seguindo público prelecções entregues por Cantor no primeiro Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Zurique, em 1897, Hurwitz e Hadamard também ambos expressaram sua admiração. Nesse Congresso, Cantor renovou sua amizade e correspondência com Dedekind. A partir de 1905, Cantor correspondeu com seu admirador e tradutor britânico Philip Jourdain sobre a história da teoria dos conjuntos e em idéias religiosas de Cantor. Isso foi mais tarde publicado, assim como vários de seus trabalhos expositivos.
Número teoria, séries trigonométricas e ordinais
Dez primeiros trabalhos de Cantor estavam em teoria dos números , o seu tema de sua tese. Por sugestão do Eduard Heine, professor em Halle, Cantor virou-se para análise . Heine propôs que Cantor resolver um problema em aberto que havia escapado Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann , eo próprio Heine: a exclusividade da representação de uma função por séries trigonométricas. Cantor resolveu este problema difícil em 1869. Foi enquanto trabalhava neste problema que ele descobriu ordinais transfinitos, que ocorreram como índices n no n º derivada conjunto S n de um conjunto S de zeros de uma série trigonométrica. Dada uma série trigonométrica f (x), com S como o seu conjunto de zeros, Cantor tinha descoberto um procedimento que produziu outro séries trigonométricas que tinha um S como o seu conjunto de zeros, onde S 1 é o conjunto de limitar pontos de S. Se S k + 1 é o conjunto de pontos-limite de S k, então ele poderia construir uma série trigonométrica cujos zeros são S k + 1. Porque os conjuntos S k foram fechadas, eles continham a sua Pontos-limite, ea intersecção da sequência decrescente infinita de conjuntos S, S 1, S 2, S 3, ... formou um conjunto limite, o que hoje chamaríamos de S ω, e então ele percebeu que S ω também teria ter um conjunto de pontos limite S ω + 1, e assim por diante. Ele tinha exemplos que foram sobre para sempre, e por isso aqui foi uma sequência infinita de ocorrência natural de números infinitos, ω ω + 1, ω + 2, ...
Entre 1870 e 1872, Cantor publicou mais papéis em séries trigonométricas, e também um papel a definição de números irracionais como sequências convergentes de números racionais . Dedekind, Cantor quem fez amizade em 1872, citou este papel no final daquele ano, no jornal onde ele estabeleceu pela primeira vez com a célebre definição de números reais por Cortes de Dedekind. Enquanto estende a noção de número por meio de seu conceito revolucionário de infinito cardinalidade, Cantor foi paradoxalmente oposta às teorias de infinitesimais de seus contemporâneos Otto Stolz e Paul du Bois-Reymond, descrevendo-os como tanto "abominação" e "um bacilo da cólera da matemática". Cantor publicou também uma "prova" errônea da inconsistência dos infinitesimais.
Teoria de conjuntos
O início da teoria dos conjuntos como um ramo da matemática é muitas vezes marcado pela publicação do artigo de 1874 Cantor, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Em uma propriedade da coleção de todos os números algébricos real"). Este artigo foi o primeiro a fornecer uma prova rigorosa que havia mais de um tipo de infinito. Anteriormente, todas as coleções infinitas tinha sido implicitamente assumido como sendo equinumerous (isto é, de "o mesmo tamanho" ou tendo o mesmo número de elementos). Cantor provou que a coleção de números reais e de recolha de positivos inteiros não são equinumerous. Em outras palavras, os números reais não são contável. Sua prova é mais complexa do que a mais elegante argumento diagonal que ele deu em 1891. O artigo de Cantor também contém um novo método de construção números transcendentes. Números transcendentes foram construídos pela primeira vez por Joseph Liouville em 1844.
Cantor estabelecido estes resultados usando duas construções. Sua primeira construção mostra como escrever o real números algébricos como uma sequência de uma 1, A 2, A 3, .... Por outras palavras, os números algébricas reais são contáveis. Cantor começa sua segunda construção com qualquer sequência de números reais. Usando essa seqüência, ele constrói intervalos aninhados cuja intersecção contém um número real não na sequência. Uma vez que cada seqüência de números reais podem ser usados para construir uma verdadeira não na seqüência, os números reais não pode ser escrito como uma seqüência - ou seja, os números reais não são contáveis. Através da aplicação de sua construção com a sequência de números algébricos reais, Cantor produz um número transcendental. Cantor ressalta que suas construções provar mais - ou seja, eles fornecem uma nova prova do teorema de Liouville: Cada intervalo contém infinitos números transcendentais. Próximo artigo da Cantor contém uma construção que prova que o conjunto de números transcendentes tem o mesmo "poder" (veja abaixo) como o conjunto de números reais.
Entre 1879 e 1884, Cantor publicou uma série de seis artigos em Mathematische Annalen que juntos formaram uma introdução à sua teoria dos conjuntos. Ao mesmo tempo, houve uma crescente oposição às idéias de Cantor, liderada por Kronecker, que admitiu conceitos matemáticos somente se eles poderiam ser construídos em um número finito de passos dos números naturais, que ele tomou como intuitivamente dadas. Para Kronecker, a hierarquia das infinidades de Cantor era inadmissível, uma vez que aceitar o conceito de infinito real abriria a porta a paradoxos que desafiam a validade da matemática como um todo. Cantor também introduziu o Cantor definido durante este período.
O quinto artigo desta série, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Fundamentos de uma Teoria Geral da Agregados"), publicado em 1883, foi o mais importante das seis e também foi publicado como um separado monografia. Ele continha a resposta de Cantor aos seus críticos e mostrou como a números transfinitos eram uma extensão sistemática dos números naturais. Ele começa por definir conjuntos bem ordenados. Os números ordinais são depois introduzidos como os tipos de ordem de conjuntos bem ordenados. Cantor, em seguida, define a adição e multiplicação do cardeal e números ordinais. Em 1885, Cantor estendeu a teoria de tipos de ordem para que os números ordinais simplesmente tornou-se um caso especial de tipos de ordem.
Em 1891, ele publicou um artigo contendo seu elegante "argumento diagonal" para a existência de um conjunto incontável. Ele aplicou a mesma idéia para provar Teorema de Cantor: o cardinalidade do conjunto de um conjunto A competência é estritamente maior do que o cardinality de A. Isto estabeleceu a riqueza da hierarquia de conjuntos infinitos, e do cardeal e aritmética ordinal que Cantor tinha definido. Seu argumento é fundamental para a solução do Problema da parada e da prova da Primeiro teorema da incompletude de Gödel. Cantor escreveu sobre a conjectura de Goldbach , em 1894.
Em 1895 e 1897, Cantor publicou um artigo de duas partes em Mathematische Annalen sob Editoria de Felix Klein; estes eram seus últimos trabalhos significativos sobre a teoria dos conjuntos. O primeiro documento começa por definir conjunto, subconjunto , etc., de forma que seriam em grande parte aceitável agora. O cardeal e aritmética ordinal são revistos. Cantor queria o segundo papel de incluir uma prova da hipótese do continuum, mas teve de se contentar com a sua teoria da expositing séries e números ordinais bem ordenada. Cantor tenta provar que, se A e B são conjuntos com um equivalente de um subconjunto de B e B equivalente a um subconjunto de A, então A e B são equivalentes. Ernst Schröder tinha afirmado este teorema um pouco mais cedo, mas sua prova, bem como de Cantor, foi falho. Felix Bernstein forneceu uma prova correta em sua tese de PhD de 1898; daí o nome Cantor-Bernstein-Schroeder teorema.
One-to-one correspondência
1874 Crelle papel de Cantor foi o primeiro a chamar a noção de um 1-to-1 correspondência, apesar de ele não usar essa frase. Ele, então, começou a procurar uma correspondência de 1 para 1 entre os pontos da quadrado unitário e os pontos de uma unidade segmento de linha. Em uma carta 1877 a Dedekind, Cantor provou ser uma medida resultado mais forte: para qualquer inteiro positivo n, existe uma correspondência de um-para-um entre os pontos sobre o segmento de linha da unidade e todos os pontos numa n espaço dimensional. Sobre esta descoberta Cantor escreveu famosa para Dedekind: "Je le vois, mais je ne le crois pas!" ("Eu vejo isso, mas eu não acredito nisso!") O resultado que ele encontrou de forma surpreendente tem implicações para a geometria ea noção de dimensão.
Em 1878, Cantor apresentou um outro papel para jornal Crelle, em que ele definiu com precisão o conceito de uma correspondência um-para-1, e introduziu a noção de " poder "(um termo que ele tirou de Jakob Steiner) ou "equivalência" de conjuntos: dois conjuntos são equivalentes (têm a mesma potência) se existe uma correspondência de um-para-um entre eles. Cantor definido conjuntos contáveis (ou conjuntos numeráveis) como conjuntos que pode ser posto em uma correspondência um-para-um com os números naturais , e provou que os números racionais são denumerable. Ele também provou que n -dimensional espaço euclidiano R n tem o mesmo poder como o números reais R, como faz um infinito contável produto de cópias de R. Enquanto ele fez uso gratuito de responsabilização como um conceito, ele não escrever a palavra "contáveis" até 1883. Cantor também discutiu seu pensamento sobre dimensão, sublinhando que o seu o mapeamento entre intervalo de unidade e da praça unidade não era um um contínuo.
Este papel desagradou Kronecker, e Cantor queria retirá-las; no entanto, Dedekind persuadiu a não fazê-lo e Weierstrass apoiou a sua publicação. No entanto, Cantor nunca mais apresentou nada para Crelle.
Hipótese do contínuo
Cantor foi o primeiro a formular o que mais tarde veio a ser conhecido como o hipótese do contínuo ou CH: não existe nenhum conjunto cuja potência é maior do que a dos naturais e menos do que a dos reais (ou equivalentemente, a cardinalidade dos reais é exactamente alef-ona, em vez de apenas pelo menos alef-ona). Cantor acreditava que a hipótese do continuum para ser verdade e tentou por muitos anos para provar -lo, em vão. Sua incapacidade de provar a hipótese do contínuo causou-lhe ansiedade considerável.
A dificuldade Cantor teve em provar a hipótese do contínuo foi sublinhada por desenvolvimentos posteriores no campo da matemática: um resultado por 1940 Gödel e 1963 um por um Paul Cohen em conjunto implica que a hipótese do contínuo não pode nem ser provada nem refutada usando o padrão Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha (a combinação referida como "ZFE").
Paradoxos da teoria dos conjuntos
As discussões sobre set-theoretic paradoxos começaram a aparecer por volta do final do século XIX. Alguns destes problemas fundamentais implícitos com programa de teoria dos conjuntos de Cantor. Em 1897 um artigo sobre um tópico relacionado, Cesare Burali-Forti estabelecido o primeiro tal paradoxo, o Burali-Forti paradoxo: o número ordinal do conjunto de todos os ordinais deve ser um ordinal e isso leva a uma contradição. Cantor descobriu esse paradoxo em 1895, e descreveu em uma carta de 1896 para Hilbert . Crítica montado para o ponto onde Cantor lançou contra-argumentos em 1903, destina-se a defender os princípios básicos de sua teoria dos conjuntos.
Em 1899, Cantor descobriu seu homônimo paradoxo: o que é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos? É evidente que deve ser o maior possível cardeal. No entanto, para qualquer conjunto A, o número cardinal do conjunto de potência é estritamente maior do que o número cardinal de A (este facto é agora conhecido como Teorema de Cantor). Este paradoxo, juntamente com Burali-Forti de, liderada Cantor de formular um conceito chamado limitação de tamanho, segundo a qual a recolha de todos os ordinais, ou de todos os conjuntos, foi uma "multiplicidade inconsistente" que era "demasiado grande" para ser um conjunto. Tais coleções mais tarde ficou conhecido como classes próprias.
Uma opinião comum entre os matemáticos é que estes paradoxos, em conjunto com O paradoxo de Russell, demonstrar que não é possível tomar um "ingênuo", ou não-axiomático, a abordagem à teoria dos conjuntos sem arriscar contradição, e é certo que eles estavam entre as motivações para Zermelo e outros para produzir axiomatizações da teoria dos conjuntos. Outros observam, porém, que os paradoxos não obter em uma visão informal motivada pela hierarquia iterativo, o que pode ser visto como explicar a ideia de limitação de tamanho. Alguns também questionam se o Formulação de fregeano teoria dos conjuntos ingênua (que era o sistema diretamente refutada pelo paradoxo de Russell) é realmente uma interpretação fiel da concepção cantoriana.
Filosofia, religião e matemática de Cantor
O conceito da existência de um infinito real foi uma importante preocupação compartilhada dentro dos domínios da matemática, filosofia e religião. Preservar o ortodoxia da relação entre Deus e matemática, embora não da mesma forma como mantidos por seus críticos, foi por muito tempo uma preocupação de Cantor de. Ele directamente abordada esta intersecção entre essas disciplinas na introdução de seu Mannigfaltigkeitslehre allgemeinen Grundlagen einer, onde destacou a conexão entre sua visão do infinito eo filosófico. Para Cantor, seus pontos de vista matemáticos estavam intrinsecamente ligadas às suas implicações filosóficas e teológicas - ele identificou o Infinito absoluto com Deus , e ele considerou seu trabalho em números transfinitos ter sido comunicada diretamente a ele por Deus, que havia escolhido Cantor para revelá-los ao mundo.
Debate entre os matemáticos cresceu a partir de pontos de vista opostos no filosofia da matemática sobre a natureza do infinito real. Alguns sustentavam a opinião de que o infinito era uma abstração que não era matematicamente legítimo, e negou a sua existência. Os matemáticos de três grandes escolas de pensamento ( construtivismo e seus dois filhotes, intuitionism e finitismo) oposição teorias de Cantor nesta matéria. Para os construtivistas como Kronecker, esta rejeição do infinito real decorre de um desacordo fundamental com a idéia de que provas não-construtiva, como argumento diagonal de Cantor são prova suficiente de que algo existe, segurando vez que provas construtivas são necessários. Intuitionism também rejeita a idéia de que o infinito real é uma expressão de qualquer tipo de realidade, mas chegar à decisão através de uma via diferente da do construtivismo. Em primeiro lugar, o argumento de Cantor repousa sobre a lógica para provar a existência de números transfinitos como uma entidade matemática real, enquanto que intuicionistas sustentam que entidades matemáticas não pode ser reduzido a proposições lógicas, originários vez nas intuições da mente. Em segundo lugar, a noção de infinito como uma expressão da realidade em si é anulado em intuitionism, uma vez que a mente humana não pode construir intuitivamente um conjunto infinito. Os matemáticos tais como Brouwer e especialmente Poincaré adoptou um intuitionist postura contra o trabalho de Cantor. Citando os paradoxos da teoria dos conjuntos como um exemplo da sua natureza fundamentalmente falho, Poincaré declarou que "a maioria das idéias de cantoriana teoria dos conjuntos devem ser banidos da matemática uma vez por todas." Por fim, Wittgenstein ataques 's foram finitista: ele acreditava que o argumento diagonal de Cantor conflated o intensão de um conjunto de cardinal ou números reais com a sua extensão, misturando assim o conceito de regras para gerar um conjunto com um conjunto real.
Alguns teólogos cristãos viu o trabalho de Cantor como um desafio à singularidade da infinitude absoluta na natureza de Deus. Em particular, Pensadores neo-tomista viu a existência de um infinito real que consistia em algo além de Deus como pôr em risco "a reivindicação exclusiva de Deus para o infinito supremo". Cantor acreditava firmemente que este ponto de vista foi uma má interpretação do infinito, e estava convencido de que a teoria dos conjuntos poderia ajudar a corrigir esse erro:
... As espécies transfinitos são tanto à disposição das intenções do Criador e Sua infinita absoluta vai como são os números finitos.
Cantor também acreditava que sua teoria dos números transfinitos contrariava tanto materialismo e determinismo - e ficou chocado quando ele percebeu que ele era o único membro da faculdade em Halle, que não mantêm crenças filosóficas deterministas.
Em 1888, Cantor publicou sua correspondência com vários filósofos sobre as implicações filosóficas da sua teoria dos conjuntos. Em um extenso tentativa de persuadir outros pensadores e autoridades cristãs a adotar seus pontos de vista, Cantor tinha correspondia com filósofos cristãos, como Tilman e Pesch Joseph Hontheim, bem como teólogos como Cardeal Johannes Franzelin, que já respondeu ao equiparar a teoria dos números transfinitos com panteísmo. Cantor até mesmo enviou uma carta directamente para Papa Leão XIII a si mesmo, e dirigiu vários panfletos para ele.
A filosofia de Cantor sobre a natureza dos números levou-o a afirmar a crença na liberdade de matemática de postular e provar conceitos além do reino dos fenômenos físicos, como expressões dentro de uma realidade interna. As únicas restrições neste sistema metafísico são de que todos os conceitos matemáticos deve ser desprovido de contradição interna, e que eles seguem a partir das actuais definições, axiomas e teoremas. Essa crença é resumida em sua famosa afirmação de que "a essência da matemática é a sua liberdade." Essas idéias são idênticas às da Edmund Husserl.
Enquanto isso, o próprio Cantor foi ferozmente oposta à infinitesimais, descrevendo-os como tanto uma "abominação" e "o bacilo da cólera da matemática".
1883 papel de Cantor revela que ele estava bem ciente daoposição suas idéias foram encontrando:
... Eu percebo que neste empreendimento me coloco em uma certa oposição aos pontos de vista amplamente difundidas sobre os matemáticos infinitas e para opiniões freqüentemente defendido a natureza dos números.
Por isso, ele dedica muito espaço para justificar seu trabalho anterior, afirmando que os conceitos matemáticos podem ser introduzidos livremente, desde que eles estão livres de contradição e definido em termos de conceitos previamente aceitos. Ele também cita Aristóteles , Descartes, Berkeley, Leibniz , e Bolzano no infinito.
Ascendência de Cantor
"Muito pouco se sabe com certeza sobre a origem e educação de George Woldemar Cantor." Avós paternos de Cantor eram de Copenhaga , e fugiu para a Rússia a partir do rompimento das Guerras Napoleônicas . Há muito pouca informação direta sobre seus avós. Cantor foi chamado às vezes judaica em sua vida, mas também tem sido chamado de russo, alemão e dinamarquês bem.
Jakob Cantor, o avô de Cantor, deu suas crianças cristãs nomes de santos. Além disso, vários dos parentes de sua avó estavam no serviço público czarista, que não iria recebê-judeus, a menos que se converteu ao cristianismo. O pai de Cantor, Georg Cantor Waldemar, foi educado na missão luterana em São Petersburgo, e da sua correspondência com seu filho mostra tanto deles como luteranos devotos. Sua mãe, Maria Anna Böhm, foi um austro-húngaro nascido em São Petersburgo e batizado católico romano ; ela se converteu ao protestantismo em cima da união. No entanto, há uma carta do irmão de Cantor Louis para sua mãe, dizendo:
Mögen wir zehnmal von Juden und ich im abstammen Princip noch für tão sehr Gleichberechtigung der Hebräer sein, im Leben socialen sind mir lieber Christen ...
("Mesmo que eram descendentes de judeus dez vezes, e mesmo que eu possa ser, em princípio, totalmente a favor da igualdade de direitos para Hebreus, na vida social prefiro cristãos ..."), que pode ser lido implicar que ela era de ascendência judaica.
Havia declarações documentadas, durante a década de 1930, que chamavam esta ascendência judaica em causa:
Mais frequentemente [isto é, do que a ascendência da mãe], a questão tem sido discutida de saber se Georg Cantor era de origem judaica. Sobre isso, é relatado em um aviso do Instituto genealógica dinamarquês em Copenhaga a partir do ano 1937 acerca de seu pai: "Fica testemunhou que Georg Cantor Woldemar, nascido 1809 ou 1814, não está presente nos registos da comunidade judaica, e que ele completamente sem dúvida não era um judeu ... "
É também disse mais tarde no mesmo documento:
Também esforços por um longo tempo pelo bibliotecário Josef Fischer, um dos melhores especialistas em genealogia judaica na Dinamarca, encarregados da identificação de professores judeus, que Georg Cantor era de ascendência judaica, terminou sem resultado. [Algo parece estar errado com esta frase, mas o significado parece bastante clara.] Em trabalhos publicados de Cantor e também em sua Nachlass não há demonstrações por si mesmo que se relacionam com a origem judaica de seus antepassados. There is to be sure in the Nachlass a copy of a letter of his brother Ludwig from 18 November 1869 to their mother with some unpleasant antisemitic statements, in which it is said among other things: ...
(O resto da citação for concluído pela primeira citação acima). Em Homens de Matemática, Eric Temple Bell descreveu Cantor como sendo "de ascendência judaica pura em ambos os lados", embora ambos os pais foram batizados. Em um artigo de 1971 intitulado "Rumo a uma biografia de Georg Cantor", o historiador britânico da matemática Ivor Grattan-Guinness menciona ( Annals of Science 27, 345-391 pp., 1971) que ele era incapaz de encontrar evidência de ascendência judaica. (Ele também afirma que a esposa de Cantor, Vally Guttmann, era judeu).
Em uma carta escrita por Georg Cantor para Paul Tannery em 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondência, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 306), Cantor afirma que seus avós paternos eram membros da comunidade judaica sefardita de Copenhague. Especificamente, Cantor afirma ao descrever seu pai: "Er ist aber em geboren Kopenhagen, von israelitischen Eltern, morrer der dortigen portugisischen Judengemeinde ..." ("Ele nasceu em Copenhaga de judeus (lit:" Os pais israelita ") do local, comunidade português-judaica ".) Além disso, maternal grande tio de Cantor, um violinista húngaro Josef Böhm, tem sido descrito como judeu, o que pode implicar que a mãe de Cantor foi, pelo menos em parte descendente da comunidade judaica húngara.
Em uma carta a Bertrand Russell, Cantor descreveu sua ascendência e auto-percepção da seguinte forma:
Nem meu pai nem minha mãe eram de sangue alemão, sendo o primeiro um dinamarquês, ter em Kopenhagen, minha mãe austríaca de Hungar descensão. Você deve saber, senhor, que eu não sou um regulares apenas Germain , porque eu sou nascido 03 de março de 1845 em Saint Peterborough, Capital da Rússia, mas eu fui com meu pai e sua mãe e irmãos e irmã, 11 anos de idade no ano de 1856 , para a Alemanha.
Historiografia
Até os anos 1970, as principais publicações acadêmicas sobre Cantor eram duas monografias curtas por Schönflies (1927) - em grande parte a correspondência com Mittag-Leffler - e Fraenkel (1930). Ambos estavam na segunda e terceira mão; nem tinha muito sobre sua vida pessoal. A diferença foi, em grande parte preenchida por Eric Temple Bell Homens de Matemática (1937), que um dos biógrafos modernos de Cantor descreve como "talvez o livro mais lido moderno na história da matemática "; e como "um dos piores". Sino apresenta relação de Cantor com seu pai como Édipo, as diferenças de Cantor com Kronecker como uma briga entre dois judeus, e loucura de Cantor como desespero romântico sobre sua incapacidade de ganhar aceitação para a sua matemática, e preenche a imagem com estereótipos. Grattan-Guinness (1971) constatou que nenhuma dessas alegações eram verdadeiras, mas elas podem ser encontradas em muitos livros do período de intervenção, devido à ausência de qualquer outra narrativa. Há outras legendas, independente da Bell - incluindo um que rotula o pai de uma criança abandonada Cantor, enviado a São Petersburgo por pais desconhecidos. Uma crítica do livro de Bell está contido em biografia de Joseph Dauben.
