História da matemática
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A área de estudo conhecido como a história da matemática é principalmente uma investigação sobre a origem de descobertas em matemática e, em menor medida, uma investigação sobre os métodos matemáticos e notação do passado.
Antes da era moderna ea propagação mundial do conhecimento, exemplos escritos de novos desenvolvimentos matemáticos vieram à luz apenas em algumas localidades. Os mais antigos textos matemáticos disponíveis são Plimpton 322 ( C babilônica matemática. 1900 aC), o Papiro matemático de Rhind (Egípcio matemática c. 2000-1800 aC) e do Papiro de Moscou ( C egípcio matemática. 1890 aC). Todos estes textos relativos a chamada teorema de Pitágoras , que parece ser o desenvolvimento matemático mais antiga e generalizada depois aritmética básica e geometria.
O estudo da matemática como uma disciplina de pleno direito começa no século 6 aC com o Pitagóricos, que cunhou o termo "matemática" do μάθημα grego antigo (mathema), que significa "sujeito de instrução". Matemática grega refinado muito os métodos (especialmente através da introdução de raciocínio dedutivo e rigor matemático em provas ) e expandiu o assunto da matemática. Chinês Matemática feita primeiras contribuições, incluindo um coloque sistema de valores. O Sistema numeral Hindu-Árabe e as regras para o uso de suas operações, em uso em todo o mundo de hoje, provavelmente evoluiu ao longo do primeiro milênio dC em Índia e foi transmitida ao oeste via matemática islâmicos. Matemática islâmicos, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecidos para essas civilizações. Muitos textos gregos e árabes em matemática foram, então, traduzido para o latim, o que levou a um maior desenvolvimento da matemática na Europa medieval .
Desde os tempos antigos, os Idade Média , explosões de criatividade matemática eram muitas vezes seguida por séculos de estagnação. Começando em Renaissance Itália no século 16, os novos desenvolvimentos matemáticos, interagindo com novas descobertas científicas, foram feitos em um ritmo crescente que continua até os dias atuais.
Matemática Prehistoric
A origem do pensamento matemático mentira nos conceitos de número , magnitude, e Formato. Modernos estudos de cognição animal mostraram que esses conceitos não são exclusivos para os seres humanos. Tais conceitos teria sido parte da vida cotidiana nas sociedades de caçadores-coletores. A ideia do conceito "número" evolui gradualmente ao longo do tempo é apoiado pela existência de línguas que preservam a distinção entre "um", "two" e "muitos", mas não de um número maior que dois.
O mais antigo conhecido objeto possivelmente matemática é a Lebombo osso, descobriu nas montanhas de Lebombo Suazilândia e datado de aproximadamente 35.000 aC. É composto de 29 entalhes distintos cortados em fíbula de um babuíno. Também pré-histórico artefatos descobertos na África e na França , datados entre 35.000 e 20 mil anos de idade, sugerem primeiras tentativas para quantificar tempo.
O osso Ishango , encontrado perto das cabeceiras do Nilo rio (nordeste do Congo ), pode ser tanto quanto 20.000 anos de idade e é composto por uma série de marcas de registro entalhadas em três colunas a todo o comprimento do osso. Interpretações comuns são que o osso Ishango mostra ou o mais antigo conhecido demonstração de sequências de números primos ou um calendário lunar de seis meses. No livro Como Matemática aconteceu: os primeiros 50.000 anos, Peter Rudman argumenta que o desenvolvimento do conceito de números primos só poderia ter surgido depois de o conceito de divisão, que ele data para depois de 10.000 aC, com números primos provavelmente não ser compreendido até cerca de 500 aC. Ele também escreve que "não foi feita nenhuma tentativa de explicar por que um registro de algo deve apresentar múltiplos de dois números primos, entre 10 e 20, e alguns números que são quase múltiplos de 10." O osso Ishango, de acordo com scholar Alexander Marshack, pode ter influenciado o desenvolvimento posterior de matemática no Egito, como, como algumas entradas no osso Ishango, aritmética egípcia também fez uso da multiplicação por 2; isso, no entanto, é contestada.
Predynastic egípcios do quinto milênio aC representada pictoricamente geométricas projetos. Tem-se afirmado que monumentos megalíticos na Inglaterra e Escócia , que datam do terceiro milênio aC, incorporar idéias geométricas tais como círculos , elipses , e Pitágoras triplica na sua concepção.
Todos os itens acima são disputadas no entanto, e atualmente o mais antigo uso matemática indiscutível é em fontes egípcias babilônicas e dinásticas. Assim que levou os seres humanos, pelo menos 45 mil anos da realização dos modernidade comportamental e linguagem (geralmente pensado para ser um longo tempo antes que) para desenvolver a matemática como tal.
Matemática babilônica
Babilônica matemática refere-se a quaisquer matemática do povo da Mesopotâmia (atual Iraque ), desde os dias do início dos sumérios , através da Período helenístico quase até o amanhecer do cristianismo . É nomeado matemática babilônica, devido ao papel central da Babilônia como um lugar de estudo. Mais tarde, sob a Império Árabe, Mesopotâmia, especialmente Bagdá , mais uma vez tornou-se um importante centro de estudo para Matemática islâmicos.
Em contraste com a dispersão de fontes, Matemática egípcia, o nosso conhecimento da matemática babilônica é derivado de mais de 400 tabuletas de argila descobertos desde a década de 1850. Escrito em Escrita cuneiforme, os comprimidos foram inscritos, enquanto o barro estava úmida, e cozido duro em um forno ou pelo calor do sol. Algumas delas parecem ser classificados lição de casa.
Os primeiros indícios de matemática escritos remonta aos antigos sumérios , que construíram a primeira civilização na Mesopotâmia. Eles desenvolveram um sistema complexo de metrologia de 3000 aC. A partir de cerca de 2500 aC em diante, os sumérios escreveu tabuada em tabuletas de argila e tratadas geométricas exercícios e divisão de problemas. Os primeiros vestígios dos numerais babilônios também datam deste período.
A maioria dos tabletes de argila recuperada Data 1800-1600 aC, e cobrem tópicos que incluem frações, álgebra, equações de segundo grau e cúbicos, eo cálculo do regular recíproco pares. Os comprimidos também incluem mesas e métodos de resolução de multiplicação linear e equações de segundo grau . O tablet YBC babilônico 7289 dá uma aproximação das √2 precisas a cinco casas decimais.
Matemática babilônica foram escritas usando um sexagesimal (base-60) sistema de numeração . Disso deriva o uso moderno do dia de 60 segundos em um minuto, 60 minutos em uma hora, e 360 (60 x 6) graus em um círculo, bem como o uso de segundos e minutos de arco para indicar fracções de grau. Babilônicos avanços em matemática foram facilitadas pelo fato de que 60 tem muitos divisores. Além disso, ao contrário dos egípcios, gregos e romanos, os babilônios tinham um sistema de valor verdadeiro lugar, onde dígitos gravados na coluna da esquerda representada valores maiores, tanto quanto no decimal sistema. Faltava-lhes, no entanto, um equivalente do ponto decimal e, portanto, o valor local de um símbolo muitas vezes tinham de ser inferido a partir do contexto. Por outro lado, este "defeito" é equivalente ao uso moderno-dia de aritmética de ponto flutuante; Além disso, a utilização da base 60 significa que qualquer recíproco de um número inteiro que é um múltiplo de divisores de 60 tem, necessariamente, uma expansão finito para a base 60. (Em aritmética decimal, apenas os recíprocos de múltiplos de 2 e 5 têm expansões decimais finitos. ) Por conseguinte, há um forte argumento que a aritmética estilo babilônico antigo é consideravelmente mais sofisticada do que a de uso atual.
A interpretação de Plimpton 322 foi a fonte de controvérsia durante muitos anos após o seu significado no contexto de triângulos de Pitágoras foi realizado. No contexto histórico, problemas de herança envolvendo subdivisão-área igual de campos triangulares e trapezoidais (com lados de comprimento inteiro) converter rapidamente para a necessidade de calcular a raiz quadrada de 2, ou para resolver a "equação de Pitágoras" em números inteiros: em vez de considerar uma praça como a soma de dois quadrados, podemos considerar equivalente um quadrado como uma diferença de dois quadrados. Após divisão, (CA) (C + A) = bb torna-se o produto de dois números racionais dando 1: (c / BA / b) (c / b + a / b) = 1. Isto é facilmente resolvida por uma mesa de consulta de pares recíprocos. Soluções da equação original são assim parametrizada pela escolha de um número racional x, a partir do qual-triângulos de Pitágoras-triplo pode ser facilmente construído por um triângulo com lados de comprimento 2x-scaling inteiro, xx-1, 1 + xx (deve um desejo matemático contemporâneo a fazê-lo). Todos os trios pitagóricos surgem dessa maneira, e os exemplos fornecidos em Plimpton 322 envolvem algumas bastante grandes números, para os padrões modernos, tais como (4601, 4800, 6649) em notação decimal.
Matemática egípcia
Egyptian matemática refere-se à matemática escritas na Língua egípcia. Do Período helenístico, grego substituiu egípcia como a língua escrita da Estudiosos egípcio. Estudo matemático no Egito depois continuou sob a Império Árabe como parte de Matemática islâmicos, quando o árabe tornou-se a língua escrita de acadêmicos egípcios.
O mais extenso texto matemático egípcio é o Rhind o papiro (às vezes também chamado de Ahmes Papyrus depois de seu autor), datado de c. 1650 aC, mas provavelmente uma cópia de um documento mais antigo da Reino médio de cerca de 2000-1800 aC. É um manual de instruções para estudantes em aritmética e geometria. Além de dar fórmulas e métodos para a multiplicação, a divisão da área e trabalhar com frações de unidade, ele também contém evidência de outro conhecimento matemático, incluindo compósitos e números primos ; aritmética , e geométrico meios harmônicas; e entendimentos simplistas, tanto do Crivo de Eratóstenes e teoria dos números perfeito (ou seja, que o número 6). Também mostra como resolver primeira ordem equações lineares , bem como aritmética e série geométrica.
Outro texto matemático egípcio significativo é o Papiro Moscou, também do Oriente período Unido, datado de c. 1890 aC. Ele consiste em o que é hoje chamado de problemas de palavras ou problemas de história, que aparentemente foram destinados como entretenimento. Um problema é considerado como sendo de particular importância porque dá um método para encontrar o volume de um frustum: "Se você está dito:. Uma pirâmide truncada de 6 para a altura vertical de 4 na base por dois no topo Está a quadratura esta 4, resultam 16. Está dobrar 4, resultar 8. Você é a quadrado 2, resultar 4. Você está para adicionar o 16, o 8, eo 4, resultam 28. Está a tomar um terço das 6, resultar 2. Está a tomar 28 duas vezes, resultar 56. Veja, é 56 . Você vai encontrá-lo. "
Finalmente, o Berlim papiro (c. 1300 aC) mostra que os antigos egípcios poderia resolver uma segunda ordem equação algébrica.
Matemática grega
Matemática grega refere-se à matemática escritas na língua grega desde a época de Tales de Mileto (~ 600 aC) para o encerramento do Academia de Atenas, em 529 AD. Matemáticos gregos viviam em cidades espalhadas por todo o Mediterrâneo Oriental, da Itália para o Norte de África, mas estavam unidos pela cultura e língua. Matemática grega do período seguinte Alexandre, o Grande é às vezes chamado matemática helenística.
Matemática grega era muito mais sofisticado do que a matemática que tinham sido desenvolvidas por culturas anteriores. Todos os registros sobreviventes da matemática pré-gregos mostram o uso do raciocínio indutivo, ou seja, observações repetidas usado para estabelecer regras de ouro. Matemáticos gregos, ao contrário, utilizou um raciocínio dedutivo. Os gregos usaram a lógica para tirar conclusões a partir de definições e axiomas, e utilizado rigor matemático para provar -los.
Matemática grega é pensado para ter começado com Tales de Mileto (c. 624-c.546 aC) e Pitágoras de Samos (c. 582-c. 507 aC). Embora a extensão da influência é contestado, eles provavelmente foram inspirados por Egípcio e Matemática babilônica. Segundo a lenda, Pitágoras viajou ao Egito para aprender matemática, geometria e astronomia de sacerdotes egípcios.
Thales usou a geometria para resolver problemas tais como calcular a altura de pirâmides ea distância dos navios da costa. Ele é creditado com o primeiro uso do raciocínio dedutivo aplicada à geometria, derivando quatro corolários para Teorema de Tales. Como resultado, ele foi saudado como o primeiro matemático verdadeiro e que o indivíduo primeiro conhecido a quem uma descoberta matemática tem sido atribuída. Pitágoras estabeleceu o Pitágoras School, cuja doutrina era que a matemática governou o universo e cujo lema era "Tudo é número". Foram os pitagóricos que cunhou o termo "matemática", e com quem o estudo da matemática para seu próprio bem começa. Os pitagóricos são creditados com a primeira prova do teorema de Pitágoras , embora a declaração do teorema tem uma longa história, e com a prova da existência de números irracionais .
Platão (428/427 aC - 348/347 aC) é importante para a história da matemática para inspirar e guiar os outros. Sua Academia Platônica, em Atenas , tornou-se o centro de matemática do mundo no século 4 aC, e foi a partir desta escola que os maiores matemáticos do dia, tais como Eudoxo de Cnido, veio. Platão também discutiu os fundamentos da matemática, esclareceu algumas das definições (por exemplo, a de uma linha como "comprimento breadthless"), e reorganizou as suposições. O método analítico é atribuída a Platão, enquanto uma fórmula para a obtenção de trios pitagóricos leva seu nome.
Eudoxus (408-c.355 aC) desenvolveu o método de exaustão, um precursor da moderna integração e uma teoria de rácios que evitado o problema de magnitudes incomensuráveis . O primeiro permitiu que os cálculos de área e volume de figuras curvilíneas, enquanto que o último activado geometers subsequentes avanços significativos em geometria. Embora ele não fez descobertas matemáticas técnicas específicas, Aristóteles (384-c.322 aC) contribuíram significativamente para o desenvolvimento da matemática por lançar as bases de lógica .
No século 3 aC, o centro premier da educação matemática e da investigação foi o Musaeum de Alexandria . Foi lá que Euclides (300 aC c.) ensinou, e escreveu o Elements , amplamente considerado o livro mais bem sucedida e influente de todos os tempos. Os elementos introduzidos rigor matemático através do método axiomático e é o primeiro exemplo do formato usado ainda em matemática hoje, a de definição, axioma, teorema, e prova. Embora a maioria dos conteúdos dos elementos já eram conhecidos, Euclides arranjado-los em um quadro lógico único e coerente. O Elements era conhecido por todas as pessoas educadas no Ocidente até meados do século 20 e seu conteúdo ainda são ensinadas nas aulas de geometria hoje. Além dos teoremas familiares de geometria euclidiana , o Elements foi concebido como um livro introdutório para todos os assuntos matemáticos da época, tais como a teoria dos números , álgebra e geometria sólida, incluindo provas de que a raiz quadrada de dois é irracional e que existem infinitos números primos. Euclides também escreveu extensivamente sobre outros assuntos, tais como seções cônicas , óptica , geometria esférica e mecânica, mas apenas metade de seus escritos sobreviver.
O primeiro matemático mulher registrada pela história era Hypatia de Alexandria (350 AD - 415). Ela sucedeu seu pai como bibliotecário na Grande Biblioteca e escreveu muitas obras sobre matemática aplicada. Porque ela era uma mulher, a comunidade cristã em Alexandria puniu por sua presunção, retirando-a nua e raspar sua pele com conchas (alguns dizem telhas).
Arquimedes (c.287-212 BC) de Syracuse, amplamente considerado o maior matemático da antiguidade, usei o método de exaustão para calcular a área sob o arco de com a parábola somatório de uma série infinita, de uma maneira não muito diferente do cálculo moderno. Ele também mostrou um poderia usar o método da exaustão para calcular o valor de π com tanta precisão quanto desejado, e obteve o valor mais preciso de π então conhecido, 3 10/71 <π <3 10/70. Ele também estudou a espiral que leva seu nome, obtido fórmulas para os volumes de superfícies de revolução (paraboloid, elipsóide, hyperboloid), e um sistema engenhoso para expressar números muito grandes. Enquanto ele também é conhecido por suas contribuições à física e vários dispositivos mecânicos avançados, o próprio Arquimedes colocou um valor muito maior sobre os produtos de seu pensamento e princípios matemáticos gerais. Ele considerava como sua maior conquista sua descoberta da área de superfície e volume de uma esfera, que obteve provando estes são 2/3 a área de superfície eo volume de um cilindro circunscrito à esfera.
Apolônio de Perge (c. 262-190 aC) fez avanços significativos para o estudo de seções cônicas , mostrando que se pode obter todas as três variedades de seção cônica variando o ângulo do plano que corta um cone duplo-napped. Ele também cunhou a terminologia em uso hoje para cónicas, ou seja, parábola ("colocar ao lado de" ou "comparação"), "elipse" ("deficiência"), e "hipérbole" ("um lance além"). Seu trabalho cónicas é uma das mais conhecidas e preservadas trabalhos matemáticos da antiguidade, e em que ele deriva muitos teoremas relativos seções cônicas que seria inestimável para os matemáticos e astrônomos posteriores que estudam o movimento planetário, como Isaac Newton. Embora nem Apolônio, nem quaisquer outros matemáticos gregos deu o salto para coordenar geometria, tratamento de Apolônio de curvas é de certa forma semelhante ao tratamento moderno, e alguns de seus trabalhos parece antecipar o desenvolvimento da geometria analítica por Descartes cerca de 1800 anos mais tarde.
Na mesma época, Eratóstenes de Cirene de Cyrene (c. 276-194 aC) inventou o Crivo de Eratóstenes para encontrar números primos . O século 3 aC é geralmente considerado como a "Idade de Ouro" da matemática grega, com os avanços na matemática pura, doravante, em relativo declínio. No entanto, nos séculos que se seguiram avanços significativos foram feitos em matemática aplicada, mais notadamente trigonometria , em grande parte para atender às necessidades dos astrônomos. Hiparco de Nicéia (c. 190-120 aC) é considerado o fundador da trigonometria para a elaboração da tabela trigonométrica primeiro conhecido, e para ele é também devido ao uso sistemático do círculo de 360 graus. Heron de Alexandria (c. 10-70 dC) é creditado com A fórmula de Heron para encontrar a área de um triângulo escaleno e de ser o primeiro a reconhecer a possibilidade de números negativos possuem raízes quadradas. Menelau de Alexandria (c. 100 dC) foi pioneira trigonometria esférica através de Teorema de Menelau. O trabalho trigonométricas mais completo e influente da antiguidade é o Almagesto de Ptolomeu (c. 90-168 dC), um tratado astronômico marco cujas tabelas trigonométricas seria usado pelos astrônomos para os próximos mil anos. Ptolomeu também é creditado com Teorema de Ptolomeu para derivar quantidades trigonométricas, eo valor mais preciso de π fora da China até o período medieval, 3,1416.
Após um período de estagnação depois de Ptolomeu, o período entre 250 e 350 dC por vezes é referida como a "Era de Prata" da matemática grega. Durante este período, Diofanto fez avanços significativos na álgebra , particularmente análise indeterminado, que é também conhecido como "análise Diofantina". O estudo de Equações diofantinas e Aproximações Diofantinas é uma área significativa de pesquisa para este dia. Sua obra principal foi a Aritmética, uma coleção de 150 problemas algébricos lidar com soluções exatas para determinar e equações indeterminadas. A Aritmética teve uma influência significativa sobre os matemáticos posteriores, como Pierre de Fermat , que chegou ao seu famoso Último Teorema depois de tentar generalizar um problema que ele tinha lido na Arithmetica (que de dividir um quadrado em dois quadrados). Diofanto também fez avanços significativos na notação, a Arithmetica sendo a primeira instância do simbolismo algébrico e síncope.
Matemática chinesa
Matemática chinesa precoce é tão diferente da de outras partes do mundo que é razoável supor desenvolvimento independente. O mais antigo texto matemático existente da China é o Chou Pei Suan Ching, diversamente datada entre 1200 aC e 100 aC, embora uma data de cerca de 300 aC parece razoável.
De particular interesse é o uso em matemática chinesas de um sistema de notação posicional decimal, os chamados "numerais rod", em que as cifras distintas foram utilizadas para números entre 1 e 10, e cifras adicionais para potências de dez. Assim, o número 123 seria escrito usando o símbolo para "1", seguido pelo símbolo para "100", em seguida, o símbolo para "2", seguido pelo símbolo para "10", seguido pelo símbolo para "3". Este foi o sistema de numeração mais avançados do mundo na época, aparentemente em uso vários séculos antes da era comum e bem antes do desenvolvimento do sistema numeral indiano. Numerais Rod permitiu a representação dos números tão grandes como os cálculos desejados e permitidos a serem realizadas sobre a pan suan, ou ábaco chinês. A data da invenção do pan Suan não é certo, mas a primeira menção escrita datas de AD 190, em Suplementares Notas de Xu Yue sobre a Arte de Figuras.
O trabalho mais antigo existente sobre geometria na China vem do filosófica Moísta canon c. 330 aC, compilado pelos seguidores de Mozi (470-390 aC). O Mo Jing descritos vários aspectos de muitos campos associados com a ciência física, e desde que um pequeno número de teoremas geométricos bem.
Em 212 aC, o imperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenou a todos os livros no Império Qin outros do que os oficialmente sancionados ser queimado. Este decreto não foi universalmente obedeceu, mas como uma consequência desta pequena ordem é conhecido sobre antigos Chinês Matemática antes desta data. Após livro queima de 212 aC, o Dinastia Han (202 aC-220 dC) produziu obras de matemática, que presumivelmente expandidas em obras que agora estão perdidos. O mais importante destes é Os Nove Capítulos da Arte Matemática, o título completo do que apareceu pela AD 179, mas existia em parte ao abrigo de outros títulos de antemão. É composto de 246 problemas de palavras que envolvem agricultura, negócio, emprego da geometria para descobrir vãos de altura e proporções de dimensão para Torres pagode chinês, engenharia, agrimensura, e inclui material sobre triângulos retângulos e valores de π . Criou prova matemática da teorema de Pitágoras , e uma fórmula matemática para eliminação de Gauss . Liu Hui, comentou sobre o trabalho no século 3 dC, e deu um valor de π precisas para cinco casas decimais. Embora mais de uma questão de resistência física computacional de visão teórica, no século 5 dC Zu Chongzhi calculado o valor de π para sete casas decimais, que se manteve o valor mais preciso de π por quase os próximos 1000 anos. Ele também estabeleceu um método que viria a ser chamado Princípio de Cavalieri para calcular o volume de uma esfera .
A marca d'água alta da matemática chineses ocorre no século 13 (última parte do período Sung ), com o desenvolvimento da álgebra chinês. O texto mais importante desse período é o Precioso Espelho dos Quatro Elementos por Chu Shih-Chieh (fl. 1280-1303), lidando com a solução de equações simultâneas maiores algébricas de ordem usando um método semelhante ao Método de Horner. O Precioso Espelho também contém um diagrama de triângulo de Pascal com coeficientes de binômio expansões através da oitava potência, embora ambos aparecem em obras chinesas já em 1100. O chinês também fez uso do diagrama combinatória complexa conhecido como o quadrado mágico e círculos mágicos, descritos nos tempos antigos e aperfeiçoadas por Yang Hui (1238-1298 AD).
Mesmo depois de matemática europeus começaram a florescer durante o Renascimento , matemática europeus e chineses foram tradições distintas, com saída matemática chinesa significativa em declínio a partir do século 13 em diante. Missionários jesuítas, como Matteo Ricci levou as idéias matemáticas e para trás entre as duas culturas entre os dias 16 a 18 séculos, embora neste ponto idéias muito mais matemáticos foram entrar na China do que de sair.
Matemática indiana
A mais antiga civilização no subcontinente indiano é a Civilização do Vale do Indo , que floresceu entre 2600 e 1900 aC no rio Indus bacia. Suas cidades foram projetadas com regularidade geométrica, mas não há documentos matemáticos conhecidos sobreviver a partir desta civilização.
Os mais antigos registros existentes matemáticos da Índia são o Sulba Sutras (data variadamente entre o século 8 aC eo século 2 dC), apêndices textos religiosos que dão regras simples para a construção de altares de várias formas, como quadrados, retângulos, paralelogramos, e outros. Tal como acontece com o Egito, a preocupação com as funções do templo aponta para uma origem de matemática em ritual religioso. Os Sulba Sutras dar métodos para a construção de uma círculo com aproximadamente a mesma área de um determinado quadrado, o que implica várias aproximações diferentes do valor de π . Além disso, eles calcular a raiz quadrada de 2 a várias casas decimais, a lista de trios pitagóricos, e dar uma declaração do teorema de Pitágoras . Todos estes resultados estão presentes em matemática babilônica, indicando influência mesopotâmica. Não se sabe até que ponto os Sutras Sulba influenciado os matemáticos mais tarde indianos. Como na China, há uma falta de continuidade na matemática indiana; avanços significativos estão separados por longos períodos de inatividade.
Pāṇini (c. Século 5 aC) formulou as regras para Gramática sânscrita. Sua notação foi semelhante à notação matemática moderna, e usado metarregras, transformações, e recursão. Pingala (cerca terceira-primeiro séculos BC) em seu tratado de prosódia usa um dispositivo que corresponde a um sistema binário . Sua discussão dos combinatória de metros corresponde a uma versão primária do teorema binomial. A obra de Pingala também contém as idéias básicas de números de Fibonacci (chamados mātrāmeru).
Os próximos documentos matemáticos importantes da Índia após os Sutras Sulba são o Siddhantas, tratados astronômicos a partir do quarto e quinto séculos dC ( Período Gupta), mostrando forte influência helenística. Eles são significativos pelo facto de conterem o primeiro exemplo de relações trigonométricas com base no meio de acorde, como é o caso em trigonometria moderno, ao invés de o acorde completo, como foi o caso em Ptolomaico trigonometria. Através de uma série de erros de tradução, as palavras "seno" e "co-seno" derivam da "jiya" sânscrito e "kojiya".
No século 5 dC, Aryabhata escreveu o Aryabhatiya, um volume fino, escrito em verso, destina-se a completar as regras de cálculo utilizados em astronomia e mensuração matemática, embora com nenhum sentimento para a lógica ou metodologia dedutivo. Embora cerca de metade das entradas estão errados, é no Aryabhatiya que o sistema de valor de lugar decimal aparece em primeiro lugar. Vários séculos depois, o Matemático muçulmano Abu Rayhan Biruni descreveu o Aryabhatiya como uma "mistura de seixos comuns e cristais caros".
No século 7, Brahmagupta identificado o Brahmagupta teorema, A identidade de Brahmagupta e A fórmula de Brahmagupta, e pela primeira vez, em Brahma-sphuta-siddhanta, ele explicou lucidamente o uso de zero, tanto como um espaço reservado e dígito decimal , e explicou a Sistema de numeração hindu-arábico. Foi a partir de uma tradução deste texto indiano sobre matemática (c. 770) que os matemáticos islâmicos foram introduzidas a este sistema de numeração, que eles se adaptaram como algarismos arábicos . Estudiosos islâmicos realizado conhecimento deste sistema de numeração para a Europa por volta do século 12, e tem agora deslocado todos os sistemas numéricos mais antigos em todo o mundo. No século 10, O comentário de Halayudha em O trabalho de Pingalá contém um estudo da sequência de Fibonacci e triângulo de Pascal , e descreve a formação de uma matriz .
No século 12, Bhaskara II viveu no sul da Índia e escreveu extensivamente sobre todos os ramos, em seguida, conhecidos da matemática. Sua obra contém objetos matemáticos ou equivalente, aproximadamente, equivalente a infinitesimais, derivados, teorema do valor médio e o derivado da função seno. Até que ponto ele antecipou a invenção do cálculo é um assunto controverso entre os historiadores da matemática.
No século 14, Madhava de Sangamagrama, o fundador da assim chamada Kerala Escola de Matemática, encontrou o Série Madhava-Leibniz, e, usando 21 termos, calculado o valor de π como 3,14159265359. Madhava também encontraram a série de Madhava-Gregory para determinar o arco tangente, o Madhava Newton série de potência para determinar seno e cosseno e aproximação de Taylor para funções seno e cosseno. No século 16, Jyesthadeva consolidou muitos dos desenvolvimentos e teoremas da Escola Kerala no Yukti-Bhasa. No entanto, a Escola de Kerala não formulou uma teoria sistemática de diferenciação e integração , nem há qualquer evidência direta de seus resultados ser transmitidos fora Kerala. Progresso em matemática juntamente com outros campos da ciência estagnou na Índia, com o estabelecimento de Domínio muçulmano na Índia.
Matemática islâmica
O Império Islâmico estabelecidos em toda a Pérsia , o Médio Oriente , Ásia Central, norte da África , Iberia, e em partes da Índia no século oitavo deram contributos significativos para a matemática. Embora a maioria dos textos islâmicos sobre matemática foram escritos em árabe , a maioria deles não foram escritos por árabes , uma vez que muito parecido com o status de grego no mundo helênico, árabe foi usado como a língua escrita dos estudiosos não-árabes em todo o mundo islâmico na tempo. Persas contribuído para o mundo da Matemática ao lado de árabes.
No século 9, o matemático persa Al-Khwarizmi escreveu vários livros importantes sobre os algarismos hindu-arábicos e sobre métodos de resolução de equações. Seu livro sobre o cálculo com numerais hindus , escrito cerca de 825, juntamente com o trabalho de Al-Kindi, foram fundamentais na divulgação matemática indiana e numerais indianos para o Ocidente. A palavra algoritmo deriva da latinização do seu nome, Algoritmi, ea palavra álgebra do título de uma de suas obras, Al-Kitab al-Mukhtasar fī Hisab al-Gabr wa'l-muqabala ( O Livro Compendious em Cálculo por Conclusão e balanceamento ). Ele deu uma explicação exaustiva para a solução algébrica de equações do segundo grau com raízes positivas, e ele foi o primeiro a ensinar álgebra em uma forma elementar e para seu próprio bem. Ele também discutido o método fundamental de " redução "e" equilíbrio ", referindo-se a transposição dos termos subtraídos para o outro lado de uma equação, que é, o cancelamento de termos como em lados opostos da equação. Esta é a operação que al-Khwarizmi originalmente descrita como al-jabr . Sua álgebra também não estava mais preocupado "com uma série de problemas a serem resolvidos, mas uma exposição que começa com termos primitivos em que as combinações devem dar todos os protótipos possíveis para equações, que constituem doravante explicitamente o verdadeiro objeto de estudo. " Ele também estudou uma equação para seu próprio bem e "de uma forma genérica, na medida em que não se limita a surgir no curso da resolução de um problema, mas é chamado especificamente para definir uma classe infinita de problemas."
Novos desenvolvimentos em álgebra foram feitas por Al-Karaji em seu tratado al-Fakhri , onde ele se estende a metodologia para incorporar potências inteiras e raízes inteiras de quantidades desconhecidas. Algo perto de uma prova por indução matemática aparece em um livro escrito por Al-Karaji por volta de 1000 dC, que a usou para provar o teorema binomial, triângulo de Pascal , e a soma de integrais cubos. O historiador da matemática, F. Woepcke, elogiou Al -Karaji por ser "o primeiro que introduziu a teoria da algébrica cálculo . " Também no século 10, Abul Wafa traduziu as obras de Diofanto para o árabe. Ibn al-Haytham foi o primeiro matemático para derivar a fórmula para a soma dos poderes quarto, usando um método que é facilmente generalizável para determinar a fórmula geral para o soma de quaisquer poderes integrais. Ele realizou uma integração a fim de encontrar o volume de um parabolóide, e foi capaz de generalizar seu resultado para as integrais de polinômios até o quarto grau. Assim, ele chegou perto de encontrar uma fórmula geral para as integrais de polinômios, mas ele não estava preocupado com quaisquer polinômios mais elevados do que o quarto grau.
No final do século 11, Omar Khayyam escreveu discussões sobre as dificuldades de Euclides , um livro sobre o que percebeu como falhas na de Euclides Elements , especialmente o postulado das paralelas. Ele também foi o primeiro a encontrar a solução geométrica geral para equações cúbicas. Ele também foi muito influente na reforma do calendário.
No século 13, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) fizeram avanços na trigonometria esférica. Ele também escreveu o trabalho influente sobre Euclides 's postulado paralelo. No século 15, Ghiyath al-Kashi calculado o valor de π para a casa decimal 16. Kashi também teve um algoritmo para calcular n º raízes, o que era um caso especial dos métodos indicados muitos séculos mais tarde por Ruffini e Horner.
Outras realizações de matemáticos muçulmanos durante este período incluem a adição danotação de ponto decimal aosnúmeros arábicos, a descoberta de todas as modernasfunções trigonométricas, além do seno,introdução de al-Kindi decriptoanálise efreqüência de análise, o desenvolvimento dageometria analíticaporIbn al-Haytham, o início dageometria algébrica porOmar Khayyam eo desenvolvimento de umanotação algébrica poral-Qalasādī.
Durante o tempo doImpério OtomanoeImpério Safávida do século 15, o desenvolvimento da matemática islâmica tornou-se estagnada.
Matemática europeu medieval
Interesse europeu Medieval em matemática foi impulsionado por preocupações muito diferentes daquelas dos matemáticos modernos. Um elemento propulsor foi a crença de que a matemática forneceu a chave para a compreensão da ordem criada da natureza, freqüentemente justificada por Platão 's Timeu e da passagem bíblica (no Livro da Sabedoria ) que Deus tinha ordenado todas as coisas na medida, e número, e peso .
Boécio forneceu um lugar para a matemática no currículo no século 6, quando ele cunhou o termo quadrivium para descrever o estudo da aritmética, geometria, astronomia e música. Ele escreveu de Arithmetica institutione , uma tradução livre do grego de de Nicômaco Introdução à Aritmética ; De institutione musica , também derivado de fontes gregas; e uma série de trechos de Euclides 's Elements . Suas obras foram teórico, ao invés de prática, e foram a base de estudo matemático até que a recuperação de trabalhos matemáticos gregos e árabes.
No século 12, os estudiosos europeus viajaram para a Espanha e Sicíliabuscando textos científicos árabes, incluindoal-Khwarizmi's The Book Compendious sobre Cálculo de Conclusão e Balanceamento, traduzido em latim porRobert de Chester, eo texto completo dade EuclidesElements, traduzido em várias versões porAdelard de Bath,Herman da Caríntia, eGerard de Cremona.
Estas novas fontes provocou uma renovação da matemática. Fibonacci, escrevendo no Liber ábacos , em 1202 e atualizado em 1254, produziu os primeiros matemática significativas na Europa desde a época de Eratóstenes, uma diferença de mais de mil anos. O trabalho apresentado algarismos hindu-arábicos para a Europa, e discutiu muitos outros problemas matemáticos.
O século 14 viu o desenvolvimento de novos conceitos matemáticos para investigar uma ampla gama de problemas. Uma contribuição importante foi o desenvolvimento da matemática do movimento local.
Thomas Bradwardine proposto que a velocidade (V) aumenta em proporção aritmética como a razão entre a força (F) a resistência (R) aumenta em proporção geométrica. Bradwardine expressou esta por uma série de exemplos específicos, mas, embora o logaritmo ainda não tinha sido concebido, podemos expressar sua conclusão anacronicamente por escrito: V = log (F / R). A análise de Bradwardine é um exemplo de uma técnica de transferência de matemática utilizada por al-Kindi e Arnald de Villanova para quantificar a natureza dos medicamentos composto a um problema físico diferente.
Um dos século 14Oxford Calculadoras,William Heytesbury, semcálculo diferencial e do conceito delimites, proposto para medir a velocidade instantânea "pelo caminho queiriaser descrita por [um corpo]se... ele foi transferida uniformemente ao mesmo grau de velocidade com que ela é movida em que dado instante ".
Heytesbury e outros matematicamente determinada a distância percorrida por um organismo submetido a movimento uniformemente acelerado (hoje resolvido porintegração), afirmando que "um corpo em movimento uniformemente adquirir ou perder esse incremento [de velocidade] vai atravessar em algum momento, um [distância] completamente igual ao que seria se fosse atravessar se move continuamente através do mesmo tempo com o grau significativo [de velocidade] ".
Nicole Oresme na Universidade de Paris eo italiano Giovanni di Casali fornecido independentemente manifestações gráficas dessa relação, afirmando que a área sob a linha que descreve a aceleração constante, representou a distância total percorrida. Em um comentário mais tarde em matemática de Euclides Elements , Oresme fez uma análise geral mais detalhada no qual ele demonstrou que um corpo vai adquirir em cada incremento sucessivo de tempo um incremento de qualquer qualidade que aumenta à medida que os números ímpares. Desde Euclides tinha demonstrado a soma dos números ímpares são os números de quadrados, a qualidade total adquirido pelos aumentos do corpo, como o quadrado do tempo.
Renaissance matemática
Durante o Renascimento , o desenvolvimento da matemática e de contabilidade estavam entrelaçados. Embora não exista uma relação direta entre álgebra e contabilidade, o ensino das disciplinas e os livros publicados, muitas vezes destinados para os filhos de comerciantes que foram enviados para imputando escolas (em Flandres e Alemanha ) ou ábaco escolas (conhecido como abbaco na Itália), onde aprenderam as habilidades úteis para o comércio e comércio. Provavelmente, não há necessidade de álgebra na realização de operações de contabilidade, mas para as operações de barganha complexas ou o cálculo de juros compostos, um conhecimento básico de aritmética era obrigatória e conhecimento de álgebra foi muito útil.
Luca Pacioli da "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità" (em italiano: "Revisão de Aritmética , Geometria , Ratio e Proporção ") foi impresso pela primeira vez e publicado em Veneza em 1494. Ele incluía uma de 27 páginas tratado sobre a contabilidade, "Particularis de computies et Scripturis " (em italiano: "Detalhes de Cálculo e Gravação"). Ele foi escrito principalmente para e vendidos principalmente para, os comerciantes que usaram o livro como um texto de referência, como uma fonte de prazer dos enigmas matemáticos que ele continha, e para ajudar a educação de seus filhos. Na Summa Arithmetica , Pacioli introduziu símbolos para mais e menos pela primeira vez em um livro impresso, que se tornaram símbolos notação padrão em matemática do Renascimento italiano. Summa Arithmetica também foi o primeiro livro impresso conhecido na Itália para conter álgebra . É importante notar que o próprio Pacioli havia emprestado muito do trabalho de Piero della Francesca quem ele plagiou.
Em Itália, durante a primeira metade do século 16, Scipione del Ferro e Niccolò Fontana Tartaglia descobriram soluções para equações cúbicas. Gerolamo Cardano publicou em seu livro 1545 Ars Magna , juntamente com uma solução para as equações quárticas, descoberto por seu aluno Lodovico Ferrari. Em 1572 publicou sua Rafael Bombelli L'Álgebra em que ele mostrou como lidar com as quantidades imaginárias que podem aparecer na fórmula de Cardano para resolver equações cúbicos.
O livro de Simon StevinDe Thiende("a arte de décimos"), publicado em holandês em 1585, continha o primeiro tratamento sistemático denotação decimal, o que influenciou todo o trabalho posterior sobre osistema de número real.
Impulsionada pelas exigências da navegação e à crescente necessidade de mapas precisos de grandes áreas,trigonometriacresceu para ser um importante ramo da matemática.Bartholomaeus Pitiscus foi o primeiro a usar a palavra, a publicação de suaTrigonometriaem 1595. tabela de senos e co-senos de Regiomontanus foi publicado em 1533.
Durante o Renascimento o desejo dos artistas para representar o mundo natural de forma realista, juntamente com a filosofia redescoberta dos gregos, os artistas levaram a estudar matemática. Eles também foram os engenheiros e arquitetos da época, e por isso tinha necessidade de matemática em qualquer caso. A arte da pintura em perspectiva, e os desenvolvimentos na geometria que envolvidos, foram estudadas intensamente.
Matemática durante a Revolução Científica
Do século 17
O século 17 assistiu a uma explosão sem precedentes de idéias matemáticas e científicas em toda a Europa. Galileu observou as luas de Júpiter, em órbita sobre o planeta, usando um telescópio baseado em um brinquedo importado da Holanda. Tycho Brahe tinha reunido uma quantidade enorme de dados matemáticos que descrevem o posições dos planetas no céu. Através de sua posição como assistente de Brahe, Johannes Kepler foi exposto pela primeira vez a sério e interagiu com o tema do movimento planetário. Cálculos de Kepler foram simplificadas pela invenção contemporânea de logaritmos por John Napier e Jost Bürgi. Kepler conseguiu formular leis matemáticas do movimento planetário. A geometria analítica desenvolvida por René Descartes (1596-1650) permitiu que essas órbitas a ser plotados em um gráfico, em coordenadas cartesianas . Simon Stevin (1585) criou a base para a notação decimal moderna capaz de descrever todos os números, se racional ou irracional.
Com base no trabalho anterior de muitos antecessores, Isaac Newton descobriu as leis da física que explicam as leis de Kepler , e reuniu os conceitos conhecidos agora como cálculo infinitesimal. independente, Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o cálculo e grande parte da notação cálculo ainda em uso hoje. Ciências e matemática tornou-se um esforço internacional, que logo se espalhou por todo o mundo.
Além da aplicação da matemática para os estudos dos céus, matemática aplicada começou a se expandir para novas áreas, com a correspondência de Pierre de Fermat e Blaise Pascal . Pascal e Fermat definir as bases para as investigações da teoria da probabilidade e as regras correspondentes de combinatória em suas discussões sobre um jogo de jogos de azar. Pascal, com a sua aposta, tentou usar a teoria da probabilidade recentemente tornando-se argumentar a favor de uma vida dedicada à religião, na alegando que mesmo que a probabilidade de sucesso era pequeno, as recompensas eram infinitos. Em certo sentido, isso prefigurava o desenvolvimento da teoria da utilidade no 18o-19o século.
Século 18
O matemático mais influentes do século 18 foi, sem dúvida Leonhard Euler . Suas contribuições variam de fundar o estudo da teoria dos grafos com as Sete Pontes de Königsberg problema para padronizar muitos termos matemáticos modernos e notações. Por exemplo, ele chamou a raiz quadrada de menos 1 com o símbolo i , e ele popularizou o uso da letra grega 
para representar a relação da circunferência de um círculo eo seu diâmetro. Ele fez inúmeras contribuições para o estudo da topologia, teoria dos grafos, cálculo, análise combinatória e análise complexa, como evidenciado pelo grande número de teoremas e notações nomeadas para ele.
Outros matemáticos europeus importantes do século 18 incluiuJoseph Louis Lagrange, que fez um trabalho pioneiro na teoria dos números, álgebra, cálculo diferencial e do cálculo das variações, eLaplaceque, na idade deNapoleão, fez um trabalho importante sobre as fundações decelestial mecânica e emestatísticas.
Matemática moderna
Século 19
Ao longo do século 19 tornou-se cada vez mais da matemática abstrata. No século 19 viveu Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Deixando de lado suas muitas contribuições para a ciência, na matemática pura que ele fez um trabalho revolucionário em funções de variáveis complexas, de geometria , e na convergência das série. Ele deu as primeiras provas satisfatórias do teorema fundamental da álgebra e da lei da reciprocidade quadrática.
Este século viu o desenvolvimento das duas formas de geometria não-euclidiana, onde o postulado das paralelas da geometria euclidiana não se sustenta mais. O matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky e seu rival, o matemático húngaro János Bolyai, definido de forma independente e estudou geometria hiperbólica, onde singularidade de paralelos não se sustenta mais. Neste geometria a soma dos ângulos de um triângulo somam menos de 180 °. geometria elíptica foi desenvolvido no final do século 19 pelo matemático alemão Bernhard Riemann ; aqui não paralelo podem ser encontradas e os ângulos de um triângulo somam mais do que 180 °. Riemann também desenvolveu a geometria de Riemann, que unifica e vastamente generaliza os três tipos de geometria, e ele definiu o conceito de um colector , que generaliza as idéias de curvas e superfícies.
O século 19 viu o início de uma grande quantidade de álgebra abstrata . Hermann Grassmann na Alemanha deu uma primeira versão de espaços vetoriais , William Rowan Hamilton na Irlanda desenvolveu álgebra não-comutativa. O matemático britânico George Boole concebeu uma álgebra que logo evoluiu para o que hoje é chamado de álgebra booleana, na qual os únicos números foram de 0 e 1. álgebra booleana é o ponto de partida lógica matemática e tem importantes aplicações em ciência da computação .
Augustin-Louis Cauchy,Bernhard Riemann, eKarl Weierstrass reformulou o cálculo de uma forma mais rigorosa.
Além disso, pela primeira vez, os limites da matemática foram exploradas. Niels Henrik Abel, um norueguês, e Évariste Galois, um francês, provou que não existe um método algébrico geral para resolver equações polinomiais de grau maior do que quatro ( Abel-Ruffini teorema ). Outros matemáticos do século 19 utilizadas isso em suas provas de que esquadro e compasso por si só não são suficientes para trissecar um ângulo arbitrário, para construir o lado de um cubo duas vezes o volume de um determinado cubo, nem para construir um quadrado igual na área para um determinado círculo. Os matemáticos tinha em vão tentou resolver todos esses problemas, desde o tempo dos gregos antigos. Por outro lado, a limitação de três dimensões em geometria foi superado no século 19 através de considerações de espaço de parâmetros e números hypercomplex.
As investigações de Abel e Galois para as soluções de vários equações polinomiais lançou as bases para futuros desenvolvimentos da teoria do grupo , e os campos associados da álgebra abstrata . No físicos do século 20 e outros cientistas têm visto a teoria do grupo como a forma ideal para estudar a simetria .
No final do século 19, Georg Cantor estabeleceram as primeiras bases da teoria dos conjuntos , o que permitiu o tratamento rigoroso da noção de infinito e tornou-se a língua comum de quase todos os matemática. Teoria dos conjuntos de Cantor, ea ascensão da lógica matemática nas mãos de Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert , Bertrand Russell , e AN Whitehead, deu início a um debate de longa duração sobre os fundamentos da matemática.
O século 19 viu a fundação de uma série de sociedades matemáticas nacionais: aSociedade Matemática de Londres em 1865, aSociété Matemática de France em 1872, oCircolo Matematico di Palermo em 1884, aSociedade de Matemática de Edimburgo, em 1883, eaSociedade Americana de Matemática, em 1888. O primeiro jogo internacional, a sociedade de interesses especiais, aSociedade Quaternion, foi formado em 1899, no contexto de umcontrovérsia vetor.
Em 1897, introduziu Henselnúmeros p-adic.
Século 20
O século 20 viu a matemática se tornar uma profissão importante. Todos os anos, milhares de novos doutorados em matemática são concedidos, e os trabalhos estão disponíveis no ensino e na indústria.
Em um discurso 1900 para o Congresso Internacional de Matemáticos, David Hilbert definiu uma lista de 23 problemas não resolvidos em matemática. Estes problemas, abrangendo muitas áreas da matemática, formaram um foco central de grande parte da matemática do século 20. Hoje, 10 foram resolvidos, 7 são parcialmente resolvido, e dois ainda estão abertas. Os restantes quatro são muito vagamente formulado para ser indicado como resolvido ou não.
Conjecturas históricas notáveis foram finalmente comprovada. Em 1976, Wolfgang Haken e Kenneth Appel usou um computador para provar o teorema de quatro cores . Andrew Wiles, com base no trabalho dos outros, provou Último Teorema de Fermat em 1995. Paul Cohen e Kurt Gödel provou que a hipótese do continuum é independente de (possível nem ser provada nem refutada a partir de) os axiomas padrão da teoria dos conjuntos. Em 1998 Callister Thomas Hales provou a conjectura Kepler.
Colaborações matemáticas de tamanho e alcance sem precedentes ocorreu. Um exemplo é a classificação dos grupos finitos simples (também chamado de "enorme teorema"), cuja prova entre 1955 e 1983 necessária artigos de periódicos 500 e tantos por cerca de 100 autores, e dezenas de enchimento de milhares de páginas. Um grupo de matemáticos franceses, incluindo Jean Dieudonné e André Weil, publicação sob o pseudônimo de " Nicolas Bourbaki ", tentou Exposit tudo da matemática conhecido como um todo coerente rigorosa. Os resultantes várias dezenas de volumes teve uma influência controverso na educação matemática.
Geometria diferencial entrou em sua própria quando Einstein usou em relatividade geral . Novas áreas inteiras da matemática, tais como lógica matemática, topologia , e John von Neumann 's teoria dos jogos mudou os tipos de perguntas que podem ser respondidas por métodos matemáticos. Todos os tipos de estruturas foram extraídos usando axiomas e nomes próprios como espaços métricos, espaços topológicos etc. Como os matemáticos fazem, o conceito de uma estrutura abstrata era por si só abstraído e levou a teoria da categoria. Grothendieck e Serre reformulação geometria algébrica usando teoria de feixes. Grandes avanços foram feitos no estudo qualitativo de sistemas dinâmicos que Poincaré tinham começado na década de 1890. Medida teoria foi desenvolvida no final dos anos 19 e início do século 20. Os pedidos de medidas incluem a integral de Lebesgue , axiomatisation de Kolmogorov da teoria da probabilidade e teoria ergódica. atar teoria muito expandida. A mecânica quântica levou ao desenvolvimento de análise funcional. outras novas áreas incluem, de Laurent Schwarz teoria da distribuição, teoria do ponto fixo, teoria e singularidade de René Thom teoria da catástrofe, modelo teoria, e de Mandelbrot fractais . Lie teoria com os seus grupos de Lie e álgebras de Lie se tornou uma das principais áreas de estudo.
Análise não-padrão, introduzido por Abraham Robinson, rehabillitated a abordagem ao cálculo infinitesimal, que tinha caído em descrédito em favor da teoria de limites , através do alargamento do campo de números reais para os números hiper-real, que incluem quantidades infinitesimais e infinitos. Um sistema de número ainda maior, os números surreais foram descobertos por John Horton Conway em conexão com jogos combinatórios.
O desenvolvimento ea melhoria contínua dos computadores , em primeiras máquinas analógicas mecânicas e, em seguida, as máquinas eletrônicas digitais, permitiu indústria para lidar com quantidades cada vez maiores de dados para facilitar a produção e distribuição e comunicação de massa, e novas áreas de matemática foram desenvolvidos para lidar com isso : Alan Turing 's teoria da computabilidade, a teoria da complexidade, de Claude Shannon , teoria da informação de processamento de sinal; análise de dados; otimização e outras áreas de pesquisa de operações . Nos séculos anteriores muito foco matemática estava no cálculo e funções contínuas, mas o surgimento de redes de computação e comunicação levou a uma crescente importância de conceitos distintos ea expansão da combinatória incluindo teoria dos grafos. a velocidade ea capacidade de processamento de dados de computadores também permitiu o manuseio de matemática problemas que eram demasiado para tratar por meio de cálculos do lápis e papel, conduzindo a áreas demorado, tais como análise numérica e computação simbólica. Alguns dos métodos mais importantes e algoritmos do século 20 são os seguintes: o algoritmo simplex, a transformação de Fourier rápida, códigos de correcção de erros, o filtro de Kalman da teoria de controlo e o algoritmo RSA de criptografia de chave pública.
Ao mesmo tempo, insights profundos foram feitos sobre as limitações para a matemática. Em 1929 e 1930, ficou comprovada a verdade ou a falsidade de todas as declarações formuladas sobre os números naturais mais um de adição e multiplicação, era decidível, ou seja, pode ser determinado por um algoritmo. Em 1931, Kurt Gödel descobriu que este não era o caso para o singular números mais tanto adição e multiplicação; este sistema, conhecido como aritmética de Peano, foi de fato incompletable. (Aritmética de Peano é adequada para uma boa dose de teoria dos números , incluindo a noção de número primo .) Uma consequência de dois de Gödel teoremas da incompletude é que, em qualquer sistema matemático que inclui aritmética de Peano (incluindo todos análise e geometria ), a verdade ultrapassa necessariamente prova, ou seja, há afirmações verdadeiras que não pode ser provado dentro do sistema. Daí a matemática não pode ser reduzida à lógica matemática, e David Hilbert sonho 's de fazer toda a matemática completos e consistentes precisava ser reformulada.
Uma das figuras mais coloridas na matemática do século 20 era Srinivasa Ramanujan Aiyangar (1887-1920), um índio autodidata que conjecturou ou provou ao longo de 3000 teoremas, incluindo propriedades de números altamente compósitos, a função de partição e seus asymptotics e funções teta simulados . Ele também fez grandes investigações nas áreas de funções de gama, formas modulares, séries divergentes, séries hipergeométricas e número primo teoria.
Paul Erdős publicou mais documentos do que qualquer outro matemático na história, trabalhando com centenas de colaboradores. Os matemáticos têm um jogo equivalente à Bacon Jogo Kevin, o que leva ao número Erdős de um matemático. Isto descreve a "distância colaborativo" entre uma pessoa e Paul Erdős, medida pelo co-autoria de trabalhos matemáticos.
Emmy Noetherfoi descrito por muitos como a mulher mais importante na história da matemática, ela revolucionou as teorias de anéis, campos, e álgebras.
Como na maioria das áreas de estudo, a explosão do conhecimento na era científica levou à especialização: até o final do século, havia centenas de áreas especializadas em matemática e da Classificação de Assuntos Matemática foi dezenas de páginas. Mais e mais revistas matemáticas foram publicados e, até o final do século, o desenvolvimento da rede mundial de computadores levou a publicação on-line.
Século 21
Em 2000, a Clay Mathematics Institute anunciou os seteMillennium Prize Problems, e em 2003 aconjectura de Poincaré foi resolvido porGrigori Perelman (que se recusou a aceitar um prêmio sobre este ponto).
A maioria das revistas matemáticas agora têm versões on-line, bem como versões impressas, e muitas revistas on-line somente são lançados. Há uma unidade cada vez maior para a publicação de acesso aberto, primeiro popularizada pelo arXiv.
Futuro da matemática
Há muitas tendências observáveis em matemática, sendo a mais notável que o sujeito está crescendo cada vez maior, os computadores são cada vez mais importante e poderoso, a aplicação da matemática à bioinformática está se expandindo rapidamente, o volume de dados a serem analisados sendo produzido pela ciência e indústria, facilitada por computadores, é explosiva expansão.
