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Unidade imaginária

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Em matemática, física e engenharia, a unidade imaginária é denotada por Eu \, ou do latim j \, ou o grego iota (veja notações alternativas abaixo). Ele permite que o número real do sistema, \ Mathbb {R}, para ser estendida para o número complexo sistema, \ Mathbb {C}. A sua definição precisa depende do método particular de extensão.

A principal motivação para esta extensão é o fato de que nem toda equação polinomial com coeficientes reais f (x) = 0 tem uma solução nos números reais. Em particular, a equação x ^ 2 + 1 = 0 não tem solução real (ver "Definição", abaixo). No entanto, se permitirmos números complexos como soluções, então esta equação, e mesmo toda equação polinomial f (x) = 0 tem uma solução. (Ver fecho algébrico e teorema fundamental da álgebra.)

Para uma história da unidade imaginária, ver a história dos números complexos .

A unidade imaginária é muitas vezes vagamente referida como a "raiz quadrada de um negativo" ou a "raiz quadrada de menos um", mas veja abaixo para dificuldades que podem surgir a partir de um uso ingênuo dessa idéia.

Definição

Por definição, a unidade imaginária eu é uma solução (de dois) da equação quadrática

x ^ 2 + 1 = 0 \

ou equivalentemente

x ^ 2 = -1 \ .

Desde que não há nenhum número real que produz um número real negativo quando quadrado, nós imaginar tal número e atribuir a ele o símbolo i. É importante compreender, porém, que é tão bem definido como uma construção matemática os números reais, apesar do seu nome formal e sendo menor que imediatamente intuitiva.

Operações com números reais podem ser estendidas aos números imaginários e complexos, tratando i como uma quantidade desconhecida ao manipular uma expressão, e em seguida, usando a definição para substituir qualquer ocorrência de i 2 com -1. Poderes Superior integrais de eu também pode ser substituído com - i, 1, eu Ou -1:

i ^ 3 = i ^ 2 i = (-1) i = -i \,
i ^ 4 ^ 3 = i i = (-i) i = - (i ^ 2) = - (- 1) = 1 \,
i ^ 5 = i ^ 4 i = (1) i = i \,

eu e - eu

Ser um polinômio de segunda ordem sem verdadeira raiz múltipla, a equação acima tem duas soluções distintas que são igualmente válidas e que venham a ser e aditivo multiplicativos inversas uma da outra. Mais precisamente, uma vez que uma solução de eu da equação foi fixo, o valor - eu (Que não é igual a eu ) É também uma solução. Uma vez que a equação é a única definição de eu , Verifica-se que a definição é ambígua (mais precisamente, não bem definida). No entanto, nenhuma ambiguidade resulta enquanto uma das soluções é escolhido e fixo como "positiva eu . "Isto porque, embora - eu e eu não são quantitativamente equivalente (que são negativos de cada outro), não há nenhuma diferença qualitativa entre eu e - eu (Que não pode ser dito para a -1 e +1). Ambos os números imaginários têm igual direito de ser o número cujo quadrado é -1. Se todos os livros didáticos matemáticos e literatura publicada referindo-se a números imaginários ou complexos foram reescritos com - eu substituindo todas as ocorrências de + eu (E, portanto, todas as ocorrências - eu substituido por - (- eu ) = + eu ), Todos os factos e teoremas continuaria a ser equivalente válido. A distinção entre os dois raízes x de x ^ 2 + 1 = 0 com um deles como "positivo" é puramente uma relíquia de notação; nem raiz pode ser dito para ser mais primário ou fundamental do que a outra.

O problema pode ser uma sutil. A explicação mais precisa é dizer que, embora o complexo campo, definido como R [X] / (X 2 + 1), (veja número complexo ) é único até isomorfismo, não é único até um isomorfismo único - existem exatamente 2 automorfismos de campo de R [X] / (X 2 + 1), a identidade eo automorfismo enviando X para - X. (Estas não são as automorphisms único campo de C, mas são os únicos automorfismos de campo de C que mantêm cada número real fixo.) Veja número complexo , conjugação complexa, automorphism campo, e Grupo de Galois.

Um problema semelhante surge se os números complexos são interpretados como 2 × 2 reais matrizes (veja número complexo ), porque então ambos

X = \ begin {} pmatrix 0 e -1 \\ 1 & \; \; 0 \ end {pmatrix}

e

X = \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \; \; 0 \ end {pmatrix}

são as soluções para a equação da matriz

X ^ 2 = -I \ .

Neste caso, a ambiguidade resulta da escolha geométrica dos quais "sentido" em torno do círculo unitário é a rotação "positivo". Uma explicação mais precisa é dizer que o grupo automorphism do grupo especial ortogonal SO (2, R) tem exatamente dois elementos - a identidade eo automorfismo que troca "CW" (sentido horário) e rotações "CCW" (sentido anti-horário). Ver grupo ortogonal.

Todas essas ambigüidades podem ser resolvidos através da adopção de uma mais rigorosa definição de número complexo , e explicitamente escolher uma das soluções para a equação a ser a unidade imaginária. Por exemplo, o par ordenado (0, 1), na construção usual dos números complexos com vectores bidimensionais.

O uso adequado

A unidade imaginária é por vezes escrito \ Sqrt {-1} em contextos matemática avançada (bem como em textos populares menos avançados); no entanto, muito cuidado deve ser tomado quando da manipulação de fórmulas que envolvam radicais. A notação é reservada quer para a principal raiz quadrada função, que é definida para real x ≥ 0, ou para o ramo principal da função raiz quadrada complexa. A tentativa de aplicar a função (real) raiz quadrada as regras de cálculo do principal para manipular o ramo principal da função raiz quadrada complexa vai produzir falsos resultados:

-1 = I \ cdot i = \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = \ sqrt {(- 1) \ cdot (-1)} = \ sqrt {1} = 1 (Incorrectas)

A regra de cálculo

\ Sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} = \ sqrt {a \ cdot b}

só é válida para valores reais, não negativos de um e b .

Para uma discussão mais aprofundada desse fenômeno, consulte raiz quadrada e ramo.

Para evitar que tais erros quando da manipulação de números complexos, uma estratégia é nunca usar um número negativo sob um sinal de raiz quadrada. Por exemplo, ao invés de escrever expressões como \ Sqrt {} -7 , Deve-se escrever i \ sqrt {7} em vez disso. Essa é a utilização para a qual a unidade imaginária foi criado.

Raiz quadrada da unidade imaginária

Pode-se supor que um outro conjunto de números imaginários precisam ser inventadas para conta para a raiz quadrada de i. No entanto, isto não é necessário, uma vez que pode ser expresso (embora bastante mal - ver acima) como qualquer um de dois números complexos:

\ Pm \ sqrt {i} = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i)

Isso pode ser mostrado para ser válida a partir de:

\ Left (\ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i) \ right) ^ 2 \= \ Left (\ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 (1 + i) ^ 2 \
= (\ Pm 1) ^ 2 \ frac {1} {2} (1 + i) (1 + i) \
= \ Frac {1} {2} (1 + 2i + i ^ 2) \ quad \ quad \ quad (i ^ 2 = -1) \
= \ Frac {1} {2} + i - \ frac {1} {2} \
= I \

Poderes do eu

Os poderes de eu repetir num ciclo:

\ ldots
i ^ {- 3} = i \,
i ^ {-} = 2 -1 \,
i ^ {- 1} = -i \,
i ^ 0 = 1 \,
i ^ 1 = i \,
i ^ 2 = -1 \,
i ^ 3 = -i \,
i ^ 4 = 1 \,
i ^ 5 = i \,
i ^ 6 = -1 \,
\ ldots

Isto pode ser expresso com o seguinte padrão, em que n é qualquer número inteiro:

i ^ {} 4n = 1 \,
i ^ {4n + 1} = i \,
i ^ {4n + 2} = -1 \,
i ^ {4n + 3} = -i \,

Isto leva à conclusão de que

i ^ n = i ^ {n \ bmod 4} \,

i e fórmula de Euler

A fórmula de Euler é

e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) \, ,

em que x é um número real. A fórmula também pode ser estendida para o complexo analiticamente x.

Substituindo x = \ pi rendimentos

e ^ {i \ pi} = \ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi) = -1 + i0 \,

e chega-se ao elegante identidade de Euler :

e ^ {i \ pi} + 1 = 0 \, .

Esta equação extremamente simples refere-se cinco quantidades matemáticas significativas (0, 1, π, e, i) e por meio das operações básicas de adição, multiplicação e exponenciação.

Exemplo

Substituição de x = \ pi / 2 - 2 N \ pi, onde N é um número inteiro arbitrário, produz

e ^ {i (\ pi / 2 - 2 N \ pi)} = i \,

Ou, elevando cada lado para o poder eu ,

e ^ {i i (\ pi / 2 - 2 N \ pi)} = i ^ i \,

ou

e ^ {- (\ pi / 2 - 2 N \ pi)} = i ^ i \, ,

o que demonstra que i ^ i \, tem um número infinito de elementos sob a forma de

i ^ i = e ^ {- \ pi / 2 + 2 \ pi N} \,

onde N é um número inteiro qualquer. Este valor real, embora real não é determinada exclusivamente. A razão é que o logaritmo complexo é multiplicar-valorizado.

Operações com i

Muitas operações matemáticas que podem ser levadas a cabo com números reais também pode ser levada a cabo com eu , Tal como exponentation, raízes, logaritmos e funções trigonométricas.

Um número elevado à ni poder é:

\! \ X ^ {ni} = \ cos (\ ln (x ^ n)) + i \ sin (\ ln (x ^ n))

O ni th raiz de um número é:

! \ \ \ Sqrt [ni] {x} = \ cos (\ ln (\ sqrt [n] {x})) - i \ sin (\ ln (\ sqrt [n] {x}))

O log i base de um número é:

\ Log_i (x) = {{2 \ ln (x)} \ over i \ pi}

O co-seno de eu é um número real:

\ cos (i) = \ cosh (1) = {{e + 1 / e} \ over 2} = {{e ^ 2 + 1} \ over 2e} = 1,54308064

E o seno de eu é imaginário:

\ Sin (i) = \ sinh (1) \, i = {{e - 1 / e} \ over 2} \, i = {{e ^ 2 - 1} \ over 2e} \, i = 1,17520119 \, Eu

Notações alternativas

  • Em engenharia elétrica e campos relacionados, a unidade imaginária é muitas vezes escrito como j \, para evitar confusão com corrente eléctrica como uma função do tempo, tradicionalmente designado pelos i (t) \, ou apenas i. \, A linguagem Python também usa j para denotar a unidade imaginária, enquanto em Matlab, ambas as notações i e j são associados com a unidade imaginária.
  • Algum cuidado extra deve ser tomado em certos livros que definem j = - i, em particular a ondas de viajar (por exemplo, o direito de viajar de avião onda na direção x e ^ {i (kx - \ omega t)} = e ^ {j (\ omega t-kx)} \, ).
  • Alguns textos usar a letra grega iota (ι) para escrever a unidade imaginária para evitar confusão. Por exemplo: Biquaternion.
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