Função inversa

Uma função f e sua inversa f ^-1. Porque f mapeia um a 3, o inverso f ^-1 mapeia 3 volta a um.

Em matemática , uma função inversa é uma função que desfaz outra função: Se um x entrada para a função f produz uma saída y, em seguida, colocar y para a função inversa g produz a saída x, e vice-versa. isto é, f (x) = y, e G (y) = x. Mais directamente, g (f (x)) = x, ou seja, g (x) compostos com f (x) x deixa inalterada.

Uma função f que tem um inverso é chamado invertível; a função inversa é, então, determinado unicamente por f e é denotado por f ^-1 (f ler inversa, não deve ser confundida com a exponenciação ).

Definições

A palavra inverso está relacionada com a palavra invertido significa inverter, vire de cabeça para baixo, para fazer o oposto.

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Se Mapas de f X para Y, então f mapas ^-1 Y de volta para X.

Em vez de considerar as inversas para entradas e saídas individuais, pode-se pensar a função como o envio de todo o conjunto de entradas, o domínio, a um conjunto de saídas, as intervalo. Seja f uma função cujo domínio é o conjunto X, e cujo alcance é o conjunto Y. Então f é invertible se existe uma função com domínio g Y e X gama, com a propriedade:

Se f é invertible, a função g é único; em outras palavras, não é exatamente uma função g satisfazer este imóvel (nem mais, nem menos). Essa função g é então chamado o inverso de f, e, geralmente, indicado como ^f-1.

Dito de outra forma, uma função é invertível se, e somente se o seu relação inversa é uma função do intervalo de Y, no caso em que a relação inversa é a função inversa.

Nem todas as funções tem um inverso. Por esta regra seja aplicável, cada elemento y ∈ Y deve corresponder a não mais de um x ∈ X; f uma função com essa propriedade é chamada um-para-um, ou de preservação da informação, ou um injecção.

Operações inversas que conduzem a funções inversas: Exemplo

Operações inversas são o oposto de funções de variação diretos. Função de variação direta são baseadas na multiplicação; y = kx. A operação inversa da multiplicação é divisão e uma função de variação inversa é y = k / x.

Exemplo: funções de raiz quadrada e quadratura

A função f (x) = x ² pode ou não pode ser invertida, dependendo do domínio.

Se o domínio é os números reais, em seguida, cada elemento em Y que correspondem a dois elementos diferentes em X (± x), e, por conseguinte, não seria f invertível. Mais precisamente, o quadrada de x não é invertível porque é impossível deduzir a partir da sua saída o sinal da sua entrada. Tal função é chamado de não- injetiva ou informação perdida. Note que nem a raiz quadrada nem a raiz quadrada principal função é o inverso de x ² porque o primeiro não está retornos de valor único, ea segunda - x quando x é negativo.

Se o domínio consiste nos números não-negativos, em seguida, a função é injetora e invertida.

Inverses em matemática superior

A definição dada acima é comumente adotada em teoria dos conjuntos e cálculo . Em matemática superior, a notação

significa "f é uma função de mapeamento de elementos de um conjunto X para elementos de um conjunto Y". A fonte, X, é chamado o domínio de f, e o alvo, Y, é chamado o codomain. O codomain contém a gama de f como um subconjunto , e é considerado como parte da definição de f.

Ao usar codomains, o inverso de uma função f: X → Y é obrigado a ter domínio Y e X codomain. Para o inverso para ser definido em todas Y, cada elemento de Y deve situar-se na gama da função f. Uma função com esta propriedade é chamado para uma ou surjection. Assim, uma função com um codomain é invertível se e somente se ela é tanto injective (one-to-one) e surjective (sobre). Tal função é chamada de um-para-um ou uma correspondência bijection, e tem a propriedade de que cada elemento y ∈ Y corresponde a exatamente um elemento x ∈ X.

Inversas e composição

Se f é uma função invertível com domínio X e gama Y, em seguida,

Esta afirmação é equivalente à primeira das definições do inverso acima dado, e torna-se equivalente à segunda definição se Y coincide com o codomain de f. Usando a composição de funções podemos reescrever esta afirmação da seguinte forma:

onde _X é a ID função identidade no conjunto X; isto é, a função que deixa inalterada X. Em teoria da categoria, esta afirmação é usado como a definição de um inverso morphism.

Se pensamos composição como uma espécie de multiplicação de funções, esta identidade diz que o inverso da função é análoga a um multiplicativo inverso. Isto explica a origem da notação f ^-1.

Nota sobre a notação

A notação sobrescrito para inversas às vezes pode ser confundido com outros usos de sobrescritos, especialmente quando se lida com trigonométricas e funções hiperbólicas. Para evitar esta confusão, as notações f ^[-1] ou com o ^"-1" acima da f são por vezes usadas.

É importante perceber que f ^-1 (x) não é o mesmo que F (x) ^-1. Em f ^-1 (x), o sobrescrito "-1" não é um expoente . Uma notação semelhante é usado para funções iteradas. Por exemplo, f ² indica duas iterações da função f; se f (x) = x ² - 1, então f ² (x) = f (f (x)) = f (x ² - 1) = (x ^{2-1) 2-1,} o que simplifica a x ⁴ - 2 x ^2. Em símbolos:

No cálculo, f ^(n), com parênteses, indica o enésimo derivado de uma função f. Por exemplo:

Em trigonometria , por razões históricas, sin ² x normalmente significa que o quadrado do pecado x:

No entanto, a expressão sin ^-1 x geralmente não representa o inverso multiplicativo de sen x, mas o inverso da função de seno aplicados a X (na verdade, um inverso parcial ; ver abaixo). Para evitar confusão, uma função trigonométrica inversa é muitas vezes indicado pelo prefixo "arc". Por exemplo, o inverso da função de seno é normalmente chamado de função arco seno, escrito como arcsin, que é, como pecado, convencionalmente denotadas em Tipo de roman e não em itálico (Note que bibliotecas de funções matemáticas de software costumam usar o nome asin):

A função (sen x) ^-1 é o inverso multiplicativo para o seno, e chama-se a co-secante . É usualmente representada csc x:

Funções hiperbólicas comportam de forma semelhante, utilizando o prefixo "AR", como em arsinh para a função inversa de sinh, e csch x para o multiplicativo inverso de sinh x.

Propriedades

Exclusividade

Se existir uma função inversa para uma dada função f, que é única: deve ser a relação inversa.

Simetria

Há uma simetria entre uma função e do seu inverso. Especificamente, se f é uma função invertível com domínio X e gama Y, então sua inversa f ^-1 tem domínio Y e X gama, eo inverso de f ^-1 é a função original f. Em símbolos, para f uma função com domínio X e gama Y, e g uma função com domínio Y e gama X:

Isto segue a partir da conexão entre a função inversa e relação inversa, porque inversão das relações é um involução.

Esta declaração é uma consequência óbvia da dedução que para f a ser invertida deve ser injective (primeira definição da inversa) ou bijective (segundo definição). A propriedade de simetria pode ser concisamente expressa pela seguinte fórmula:

O inverso de g o f é o f ^-1 g ^-1.

O inverso de uma composição de funções é dada pela fórmula

Observe que a ordem de G e F foram invertidos; para desfazer f seguido de g, é preciso primeiro desfazer g e, em seguida, desfazer f.

Por exemplo, vamos f (x) = x 3 e deixe g (x) = x + 5 Então a composição g o f é a função que primeiro se multiplica por três e, em seguida, adiciona cinco.:

Para reverter esse processo, devemos primeiro subtrair cinco, e depois dividir por três:

Esta é a composição (f ^-1 S ^-1 g) (y).

Auto-inversos

Se X é um conjunto, então o função identidade em X é sua própria inversa:

Mais geralmente, uma função f: X → X é igual ao seu próprio inversa se e apenas se a composição f o f é igual a _X ID. Tal função é chamada de involução.

Inverses no cálculo

Single-variável cálculo está principalmente preocupado com as funções que mapeiam os números reais para números reais. Estas funções são muitas vezes definida através de fórmulas , tais como:

Uma função da f os números reais para os números reais possui uma inversa, desde que ele é um-para-um, isto é, enquanto o gráfico de y = f (x) tem, apenas um para cada valor possível y correspondente valor x , e, portanto, passa a teste de linha horizontal.

A tabela a seguir mostra várias funções padrão e seus inversos:

Função f (x)	F Inverso -1 (y)	Notas
x + um	Y - um
a - x	a - y
mx	y / m	m ≠ 0
1 / x	1 / y	x, y ≠ 0
X 2		x, y ≥ 0 somente
x 3		nenhuma restrição sobre x e y
x p	y 1 / P (ou seja )	x, y ≥ 0 em geral, p 0 ≠
e x	ln y	y> 0
Um X	registrar um y	y> 0 e a> 0
funções trigonométricas	funções trigonométricas inversas	várias restrições (ver tabela abaixo)

Fórmula para o inverso

Uma abordagem para encontrar uma fórmula para f ^-1, se existir, é resolver a equação y = f (x) para x. Por exemplo, se f é a função

então temos de resolver a equação y = (2 x + 8) ³ para x:

Assim, a função inversa f ^-1 é dada pela fórmula

Às vezes o inverso de uma função não pode ser expressa por uma fórmula com um número finito de termos. Por exemplo, se f é a função

então f é um-para-um, e, por conseguinte, possui uma função inversa f ^-1. A fórmula para esta inversa tem um número infinito de termos:

Gráfico do inverso

Os gráficos de y = f (x) e y = f ^{1 (x).} A linha pontilhada é y = x.

Se f e f ^-1 são inversos, em seguida, o gráfico da função

é o mesmo que o gráfico da equação

Esta é idêntica à equação y = f (x) que define o gráfico de f, excepto que os papéis de X e Y foram invertidos. Assim, o gráfico de f ^-1 pode ser obtido a partir do gráfico de f por comutação das posições dos eixos x e y. Isto é equivalente a refletindo o gráfico em toda a linha y = x.

Inversas e derivados

A função contínua f é um-para-um (e, portanto, invertível) se e só se for ou estritamente aumentando ou diminuindo (sem locais máximos ou mínimos). Por exemplo, a função

é invertível, uma vez que o derivado de f (x) = 3 x ² + 1 é sempre positivo.

Se a função é f diferenciável, então o inverso F ^-1 será diferenciável contanto que f (x) ≠ 0. O derivado do inverso é dada pela função inversa teorema:

Se colocarmos x = f ^-1 (y), em seguida, a fórmula acima pode ser escrita

Este resultado decorre da regra da cadeia (veja o artigo sobre funções inversas e diferenciação).

O teorema da função inversa pode ser generalizado para as funções de várias variáveis. Especificamente, uma função diferenciável f: ^Rn → ^Rn é invertível numa vizinhança de um ponto P, desde que o Jacobian matriz de f em p é invertível. Neste caso, o Jacobiana de f ^-1 a F (p) é o inverso matriz do Jacobiano de f em p.

Exemplos do mundo real

Por exemplo, seja F a função que converte uma temperatura em graus Celsius, a uma temperatura em graus Fahrenheit:

em seguida, sua função inversa converte graus Fahrenheit para Celsius:

desde

Ou, suponha que f atribui a cada criança em uma família o seu ano de nascimento. Uma função inversa iria saída que criança nasceu em um determinado ano. No entanto, se a família tem gêmeos (ou trigêmeos), em seguida, a saída não pode ser conhecido quando a entrada é o ano de nascimento comum. Como assim, se um ano é dado em que nenhuma criança nasceu em seguida, uma criança não pode ser nomeado. Mas se cada criança nasceu em um ano separado, e se nós restringimos a atenção para os três anos em que a criança nasceu, então nós temos uma função inversa. Por exemplo,

Generalizações

Inversas parciais

A raiz quadrada de x é uma inverso parcial de f (x) = x ^2.

Mesmo se uma função f não é um-para-um, é possível definir uma inverso parcial do f por restrição do domínio. Por exemplo, a função

não é um-para-um, uma vez que X ² = (- x) ^2. No entanto, torna-se a função de um-para-um, se restringir ao domínio x ≥ 0, caso em que

(Se em vez restringir ao domínio x ≤ 0, então o inverso é o negativo da raiz quadrada de y.) Como alternativa, não há necessidade de restringir o domínio se estamos contentes com o inverso de ser um função de vários valores:

O inverso dessa função cúbica tem três ramos.

Por vezes este valor múltiplo inverso é chamado o inverso completa de f, e as porções (tais como √ x e -√ x) são chamadas ramos. O ramo mais importante de uma função de vários valores (por exemplo, a raiz quadrada positiva) é chamado a sucursal principal, e seu valor em y é chamado o principal valor de f ^-1 (y).

Para uma função contínua na linha de reais, é necessário um ramo entre cada par de extremos locais. Por exemplo, o inverso de uma função cúbica com um máximo local e um mínimo local tem três ramos (ver o quadro à direita).

O seno é um inverso parcial do função seno.

Estas considerações são particularmente importantes para definir as inversas de funções trigonométricas . Por exemplo, a função seno não é um-para-um, desde

para cada x reais (e mais geralmente sin (x + 2π n) = sin (x) para cada inteiro n). No entanto, é o seno de um-para-um no intervalo [- ^π / _2, ^π / _2], e o inverso parcial correspondente é chamado o arcsine. Este é considerado o principal ramo do seno inverso, de modo que o valor principal do seno inverso é sempre entre - ^π / ₂ e ^π / _2. A tabela a seguir descreve o principal ramo de cada função trigonométrica inversa:

função	Faixa de costume valor do principal
sin -1	- Π / 2 ≤ sin-1 (x) ≤ π / 2
cos -1	0 ≤ cos -1 (x) ≤ π
tan -1	- Π / 2 <-1 tan (x) <π / 2
berço -1	0 <berço -1 (x) <π
seg -1	0 ≤ s-1 (x) ≤ π
csc -1	- Π / 2 ≤ CSC-1 (x) ≤ π / 2

Esquerda e direita inversas

Se f: X → Y, uma inversa esquerda para f (ou retração de f) é uma função g: Y → X tal que

Isto é, a função g satisfaz a regra

Assim, g deve ser igual ao inverso de f no intervalo de f, mas pode tomar quaisquer valores para elementos de Y não no intervalo. Uma função f com uma inversa esquerda é necessariamente injective. Em matemática clássica, cada função injetora f tem necessariamente uma inversa esquerda; no entanto, isto pode falhar em matemática construtivas. Por exemplo, um inverso esquerdo da inclusão {0,1} → R dos dois elementos definido nos reais viola indecomponibilidade dando um retração da linha real para o conjunto {0,1}.

A inversa certo para f (ou secção de f) é uma função h: Y → X tal que

Isto é, a função h satisfaz a regra

Assim, h (y) pode ser qualquer um dos elementos de x para y que mapeiam sob f. Uma função f tem um inverso direito se e somente se é surjective (embora a construção de tal inverso, em geral, requer a axioma de escolha).

Um inverso que é tanto uma esquerda e direita inversa deve ser exclusivo. Da mesma forma, se o g é um inversa esquerda para f, g, em seguida, pode ou não ser um inverso direita para f; e se g é um inverso certo para f, g, em seguida, não é necessariamente uma inversa esquerda para f. Por exemplo, vamos f: R → [0, ∞) denotam o mapa quadratura, tal que f (x) = x ² para todo x em R, e deixe g: [0, ∞) → R denotar o mapa raiz quadrada, tais que g (x) = √x para todos x≥0. Então f (g (x)) = x para todo x em [0, ∞); isto é, g é um direito de f inversa. No entanto, não é um g inversa esquerda para f, uma vez que, por exemplo, g (f (-1)) = 1 ≠ -1.

Preimages

Se f: X → Y é qualquer função (não necessariamente invertida), a preimage (ou imagem inversa) de um elemento y ∈ Y é o conjunto de todos os elementos de X que mapeiam para y:

O preimage de y pode ser considerada como a Imagem de y sob o (valor múltiplo) inversa completa da função f.

Da mesma forma, se S é qualquer subconjunto de Y, o preimage de S é o conjunto de todos os elementos de X que mapeiam para S:

Por exemplo, ter uma função f: R → R, onde f: x ↦ x ^2. Esta função não pode ser invertida por razões discutidas acima . No entanto preimages pode ser definido para os subgrupos da codomain:

O preimage de um único elemento y ∈ Y - um singleton conjunto {y} - é às vezes chamado de fibra de y. Quando o símbolo Y representa o conjunto de números reais, é comum referir-se f ^-1 (y) como um nível definido.