Line (geometria)

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Três linhas - as linhas vermelhas e azuis têm a mesma inclinação, enquanto as vermelhas e verdes têm mesmo intercepção y.

Uma representação de uma segmento de linha

Geometria
Oxyrhynchus papiro (P.Oxy. I 29), mostrando fragmento de Elementos de Euclides
História da geometria
Ramos Geometria euclidiana · Euclidiana não geometria · A geometria analítica · Geometria Riemanniana · A geometria diferencial · Geometria projetiva · Geometria Algébrica
Áreas de pesquisa Geometria algébrica · A geometria diferencial · Geometria simplética
Conceitos importantes · Linha Nota: · Perpendicular · Paralela · Segmento de linha · Ray · Plano · Comprimento · Área · Volume · Vertex · Ângulo · Congruência · Similaridade · Polygon · Triângulo · Altitude · · Hipotenusa teorema de Pitágoras · Quadrilátero · Trapézio · Pipa Paralelogramo ( Rhomboid, Retângulo, Rhombus, Praça ) · Diagonal · Simetria · Curva · Círculo · Área de um disco · Circunferência · Diâmetro · Cilindro · Esfera · Pirâmide · Dimensões ( um, dois, três, quatro)
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A noção de linha ou em linha reta foi introduzido por matemáticos antigos para representar objetos retas com largura e profundidade insignificante. As linhas são uma idealização de tais objetos. Assim, até o século XVII, as linhas foram definidos como este: "A linha é a primeira espécie de quantidade, que tem apenas uma dimensão, ou seja, comprimento, sem qualquer largura nem a profundidade, e não é nada mais do que o fluxo ou funcionamento do ponto que [...] vai sair de seu imaginário movendo algum vestígio de comprimento, isentos de qualquer largura. [...] A linha reta é a que é igualmente alargado entre os seus pontos "

Euclid descreveu uma linha como "comprimento breadthless", e introduziu vários postula propriedades improváveis como base a partir da qual ele construiu a geometria, que agora é chamado de geometria euclidiana para evitar confusão com outras geometrias que foram introduzidas desde o final do século XIX (como geometria não-euclidiana, geometria projetiva, e geometria afim).

Em matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de uma linha está intimamente ligada à forma como a geometria é descrito. Por exemplo, na geometria analítica , uma linha no plano é muitas vezes definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazer uma determinada equação linear , mas em um ambiente mais abstrata, como geometria incidência, uma linha pode ser um objecto independente, distinto do conjunto de pontos que se encontram sobre ele.

Quando uma geometria é descrita por um conjunto de axioma, a noção de uma linha geralmente é deixado indefinido (um assim chamado objeto primitivo). As propriedades de linhas são então determinada pelos axioma que a eles se referem. Uma vantagem dessa abordagem é a flexibilidade que oferece aos usuários da geometria. Assim, em geometria diferencial uma linha pode ser interpretada como uma geodésica (caminho mais curto entre os pontos), enquanto que em alguns geometrias projetivas uma linha é um espaço vetorial 2-dimensional (todas as combinações lineares de dois vetores independentes). Esta flexibilidade também se estende além da matemática e, por exemplo, permite que os físicos a pensar no caminho de um raio de luz como sendo uma linha.

A segmento de linha faz parte de uma linha que é delimitada por dois pontos finais distintos e contém todos os pontos na linha entre os pontos finais. Dependendo de como o segmento de linha é definido, qualquer um dos dois pontos finais pode ou não ser parte do segmento de linha. Dois ou mais segmentos de linha podem ter algumas das mesmas relações como linhas, como estando paralelas, interseção, ou inclinar.

Definições contra descrições

Todas as definições são, em última análise circular na natureza, uma vez que dependem de conceitos que se deve ter definições, uma dependência que não pode ser mantido indefinidamente sem retornar ao ponto de partida. Para evitar esse círculo vicioso certos conceitos devem ser tomadas como conceitos primitivos; termos que são dadas nenhuma definição. Na geometria, é frequentemente o caso de que o conceito de linha é tomada como uma primitiva. Nas situações em que uma linha é um conceito definido, como na geometria de coordenadas , algumas outras ideias fundamentais são tomadas como primitivas. Quando o conceito de linha é uma primitiva, o comportamento e propriedades de linhas são ditadas pela axiomas que devem satisfazer.

Em um tratamento axiomático não axiomática ou simplificada de geometria, o conceito de uma noção primitiva pode ser muito abstrato para ser tratada. Nesta circunstância, é possível que uma imagem ou inscrição mental de uma noção primitiva é fornecida para dar uma base para construir a noção de que formalmente basear-se nos (não especificada) axiomas. Descrições desse tipo podem ser referidos, por alguns autores, como definições neste estilo informal de apresentação. Estes não são verdadeiros definições e não poderia ser utilizado em provas formais de declarações. A "definição" da linha em Elementos de Euclides se enquadra nessa categoria. Mesmo no caso em que uma geometria específica está sendo considerada (por exemplo, a geometria euclidiana ), há um consenso geralmente aceite entre os autores quanto ao que uma descrição informal de uma linha deve ser quando o assunto não está sendo tratado formalmente.

Geometria euclidiana

Quando geometria foi formalizada pela primeira vez por Euclides no Elements , ele definiu uma linha a ser "comprimento breadthless" com uma linha reta sendo uma linha "que se encontra uniformemente com os pontos sobre si mesmo". Estas definições de pouco servem uma vez que eles usam termos que não são, eles próprios, definidos. Na verdade, Euclides não usar essas definições neste trabalho e, provavelmente, incluiu-os apenas para torná-lo claro para o leitor o que estava sendo discutido. Na geometria moderna, uma linha é simplesmente tomado como um objeto indefinido com propriedades dadas por axiomas, mas às vezes é definida como um conjunto de pontos obedecendo uma relação linear quando algum outro conceito fundamental é deixado indefinido.

Numa formulação axiomática da geometria euclidiana, como a de Hilbert (axiomas originais de Euclides continha várias falhas que foram corrigidas por matemáticos modernos), é indicado uma linha para ter certas propriedades que relacioná-la com outras linhas e pontos. Por exemplo, para quaisquer dois pontos distintos, há uma linha única que os contêm, e quaisquer duas linhas distintas cruzam em, no máximo, num ponto. Em dois dimensões, ou seja, o euclidiana plano , duas linhas que não se interceptam são chamados paralelo. Em dimensões superiores, duas linhas que se cruzam não pode ser paralelo, se eles estão contidos em um avião , ou distorcer, se eles não são.

Qualquer coleção de um número finito de linhas de partições do avião em polígonos convexos (possivelmente ilimitada); Esta partição é conhecido como um arranjo de linhas.

Raio

Dada uma linha e qualquer ponto A, podemos considerar como uma decomposição esta linha em duas partes. Cada tal parte é chamada um raio (ou meia-line) e do ponto A é chamado de seu ponto inicial. O ponto A é considerada como sendo um membro do raio. Intuitivamente, um raio consiste naqueles pontos em uma linha passando por uma e segue por tempo indeterminado, a partir de A, apenas numa direcção ao longo da linha. No entanto, a fim de usar este conceito de um raio de provas é necessária uma definição mais precisa.

Dada pontos distintos A e B, eles determinam um raio único, com ponto inicial A. Como dois pontos definir uma linha original, este raio é constituído por todos os pontos entre A e B (incluindo A e B) e todos os pontos C na linha que passa por A e B de tal modo que B é entre A e C. Isto é, às vezes, também expressa como o conjunto de todos os pontos C, tais que A não é entre B e C. Um ponto D, na linha determinada por A e B, mas não na ray com o ponto A inicial determinado por B, irá determinar outro raio do ponto inicial A. No que diz respeito ao raio de AB, AD o raio é chamado o raio oposto.

Assim, gostaríamos de dizer que dois pontos diferentes, A e B, definir uma linha e uma decomposição desta linha para o união disjunta de um segmento aberto (A, B) e dois raios, BC e AD (o ponto D não é desenhada no diagrama, mas é para a esquerda de A na linha AB). Estes não são os raios opostos, uma vez que têm diferentes pontos iniciais.

A definição de um raio depende da noção de intermediação de pontos em uma linha. Segue-se que os raios existem apenas para geometrias para os quais existe essa noção, tipicamente geometria euclidiana ou geometria afim sobre uma campo ordenada. Por outro lado, os raios não existem no geometria projetiva nem em uma geometria sobre um não campo ordenado, como os números complexos ou qualquer campo finito.

Em topologia , um raio em um espaço X é uma incorporação contínua R ⁺ → X. Ele é utilizado para definir o conceito importante de extremidade do espaço.

Geometria de coordenadas

Em geometria coordenada , linhas em um plano cartesiano pode ser descrito algebricamente por equações lineares . Em duas dimensões, a equação para linhas não verticais muitas vezes é dado no formulário de intercepção de inclinação :

$y = mx + c \,$

onde:

m é a declive ou gradiente da linha.

c é a intercepção-y da linha.

x é a variável independente da função y = f (x).

O declive da linha através dos pontos A (x _A, Y _a) e B _(b x, y _b), quando X _uma ≠ x _b, é dado por M = _(b y -y _a) / _(b x -x _a) e a equação desta linha podem ser escritas de y = m (x - x _A) + y _um.

Em ^R2, cada linha L (incluindo linhas verticais) é descrita por uma equação linear da forma

$L = \ {(x, y) \ meados ax + by = c \} \,$

com verdadeira fixo coeficientes a, b e c tal que a e b não são ambos zero. Usando este formulário, linhas verticais correspondem às equações com b = 0.

Existem muitas formas variantes para escrever a equação de uma linha, que podem ser convertidos de uma para outra por manipulação algébrica. Estas formas (ver equação linear para outras formas) geralmente são nomeados pelo tipo de informações (dados) sobre a linha que é necessário para escrever o formulário. Alguns dos dados importantes de uma linha é sua inclinação, x intercepção de, pontos conhecidos na linha e intercepção y.

A equação da linha que passa por dois pontos diferentes $P_0 = (x_0, y_0)$ e $P_1 = (x_1, y_1)$ pode ser escrita como

$(Y - y_0) (x_1 - x_0) = (y_1 - y_0) (x - x_0)$ .

Se x ≠ ₀ x _1, esta equação pode ser reescrita como

$y = (x-x_0) \, \ frac {y_1-y_0} {x_1-x_0} + y_0$

$y = x \, \ frac {y_1-y_0} {x_1-x_0} + \ frac {x_1y_0-x_0y_1} {x_1-x_0} \ ,.$

Em três dimensões, linhas não pode ser descrita por uma única equação linear, de modo que eles são frequentemente descritos por equações paramétricas:

$x = + x_0 em \,$

$y = y_0 + bt \,$

$z = z_0 + ct \,$

onde:

x, y, e z são todos funções da variável independente t que varia ao longo dos números reais.

(X _0, y _{0, 0} z) é qualquer ponto na linha.

a, b, c e estão relacionados com o declive da linha, de tal modo que o vector de (a, b, c) é paralelo à linha.

Eles podem também ser descrita como a solução simultânea de duas equações lineares

$a_1x + b_1y + c_1z-d_1 = 0 \,$

$a_2x + b_2y + c_2z-d_2 = 0 \,$

tal que $(A_1, b_1, c_1)$ e $(A_2, b_2, c_2)$ não são proporcionais (as relações $a_1 = ta_2, b_1 = tb_2, c_1 = tc_2$ implicam $t = 0).$ Isto segue uma vez que em três dimensões de uma única equação linear normalmente descreve um plano e uma linha é o que é comum a dois planos de interseção distintas.

Equação vetorial

A equação vectorial da linha por meio de pontos A e B é dada por R = OA + λ AB (onde λ é um escalar).

Se um vector é OA e b é vector OB, então a equação da linha pode ser escrita: r = a + λ (b - a).

Um raio começando no ponto A é descrita por limitar λ. Um raio é obtido se λ ≥ 0, eo raio oposto vem de λ ≤ 0.

Pontos colineares

Três pontos são disse a ser collinear se eles mentem na mesma linha. No espaço euclidiano , três pontos geralmente determinar um plano , mas no caso de três pontos colineares isso não aconteça.

Na geometria de coordenadas , no espaço n-dimensional a pontos X = (x _1, x _2, ..., x _n), Y = (Y _1, Y _2, ..., y _n), e Z = (Z _1, Z _2, ..., _n z) são colineares se a matriz

$\ Begin {} bmatrix 1 & x_1 x_2 & & \ dots & x_n \\ 1 & y_1 & y_2 & \ dots & Y_n \\ 1 & z_1 & z_2 & \ dots & z_n \ end {bmatrix}$

tem um classificar inferior a 3. Em especial, por três pontos no plano (n = 2), acima da matriz é quadrada e os pontos são colineares se e apenas se o seu determinante é zero.

Quando a distância d (a, b) entre os dois pontos A e B é definido, a colinearidade entre três pontos pode ser expressa por:

Os pontos a, b e c são colineares se e somente se d (x, a) = d (c, a) e d (x, b) = d (c, b) implica x = c.

Na geometria euclidiana esta propriedade é verdadeiro, uma vez que se c não está na linha determinada por um e b haverá outro ponto (não igual a c) que é tão longe de a e b como o ponto c é (visualizar o ponto do outro lado da linha, que representa a imagem de espelho do c).

Nos geometrias onde o conceito de uma linha é uma noção primitiva, como pode ser o caso em alguns geometrias sintéticos, são necessários outros métodos de determinação da co-linearidade.

Espaço euclidiano

No espaço euclidiano , R ⁿ (e de forma análoga em todos os outros espaço afim), a linha L passando através de dois pontos diferentes A e B (considerados como vectores) é o subconjunto

$G = \ {(1-t) \, A + T \, b \ meados t \ in \ mathbb {R} \}$

A direcção da linha é a partir de uma (t = 0) para b (T = 1), ou em outras palavras, na direcção do vector b - a. Diferentes escolhas de a e b podem produzir a mesma linha.

Tipos de linhas

Em certo sentido, todas as linhas da geometria euclidiana são iguais, em que, sem coordenadas, não se pode distingui-los um do outro. No entanto, as linhas podem desempenhar papéis especiais em relação a outros objetos na geometria e ser dividido em tipos de acordo com essa relação. Por exemplo, com respeito a um cónica , as linhas podem ser:

Retas tangentes ,
Linhas secantes,
Linhas exteriores, que não satisfaçam a cônica em qualquer ponto do plano euclidiano, ou um mais especializado
directriz .

Para mais geral curvas algébricas, as linhas também poderia ser:

i -secant linhas, atendendo à curva nos pontos i contados sem multiplicidade, ou
asymptotes.

No que diz respeito ao triângulos temos:

o Linha de Euler, e
o Simson linhas.

Para um hexágono com vértices deitado sobre uma cônica temos a A linha Pascal e, no caso especial em que a cónica é um par de linhas, que têm o Linha de Pappus.

Geometria projetiva

Em muitos modelos de geometria projetiva, a representação de uma linha raramente está em conformidade com a noção de "curva em linha reta", como é visualizado na geometria euclidiana. Em Geometria elíptica vemos um exemplo típico disso. Na representação da geometria esférica elíptica, são representados por linhas círculos grandes de uma esfera com pontos diametralmente opostos identificadas. Em um modelo diferente de geometria elíptica, as linhas são representadas por euclidianas aviões que passam pela origem. Mesmo que essas representações são visualmente distintos, eles satisfazer todas as propriedades (como, dois pontos que determinam uma linha única) que os tornam adequados para representações linhas neste geometria.

Geodesics

O "linearidade" de uma linha, interpretados como a propriedade que minimiza as distâncias entre os pontos, pode ser generalizado e leva ao conceito de geodésicas em espaços métricos.

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