Equação linear

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Amostra Gráfico de equações lineares

Uma equação linear é um equação algébrica em que cada ou é um termo constante ou o produto de uma constante vezes a energia de um primeiro variável. Uma tal equação é equivalente a equacionar uma primeiro grau polinomial para zero. Essas equações são chamados de "linear" porque representam linhas retas em coordenadas cartesianas . Uma forma comum de uma equação linear nas duas variáveis $x$ e $y$ é

$y = mx + b. \,$

Nesta forma, a constante $m$ vai determinar o declive ou inclinação da linha; e o termo constante $b$ vai determinar o ponto em que a linha atravessa o eixo y. Equações envolvendo termos como x ², y ^1/3, e xy são não-linear.

Formas para equações lineares 2D

Equações lineares complicados, como as acima, pode ser reescrito usando as leis da álgebra elementar em vários formas mais simples. No que se segue X, Y e t são variáveis; outras letras representam constantes (não especificada mas números fixos).

Forma geral

$Ax + By + C = 0, \,$

em que A e B não são ambos iguais a zero. A equação é geralmente escrito de modo que A ≥ 0, por convenção. O gráfico da equação é uma linha reta , e cada linha reta pode ser representado por uma equação na forma acima. Se A é diferente de zero, então o -intercept x, que representa a x - de coordenadas do ponto em que o gráfico cruza o eixo x (y é igual a zero), é - C / A. Se B for diferente de zero, então o -intercept y, que representa a coordenada x y do ponto onde o gráfico cruza o eixo y (x é igual a zero), é - C / B, e a declive da linha é - A / B.

Forma padrão

$Ax + By = C, \,$

onde A, B, e C são números inteiros cuja fator comum maior é 1, A e B não são ambos iguais a zero e, A é não-negativa (e, se A = 0, então B deve ser positivo). A forma padrão pode ser convertido para a forma geral, mas nem sempre a todas as outras formas, se A ou B é zero.

Forma-interceptação Slope

Y-eixo de fórmula

$y = mx + b, \,$

em que m é o declive da linha e b é a -intercept y, que representa a coordenada x y do ponto onde a linha atravessa o eixo dos y. Isto pode ser visto, deixando $x = 0$ , O que dá imediatamente $y = b$ .

Fórmula eixo X-

$x = \ frac {y} {m} + c, \,$

em que m é o declive da linha e c é a -intercept x, que representa a x coordenada x do ponto onde a linha atravessa o eixo x. Isto pode ser visto, deixando $y = 0$ , O que dá imediatamente $x = c$ .

Forma ponto-inclinação

$y - y_1 = m \ cdot (x - x_1),$

em que m é o declive da linha e (x _1, y ₁₎ é qualquer ponto na linha. As formas de ponto-inclinação e intercepção de inclinação são facilmente intercambiáveis.

A forma de ponto-inclinação exprime o facto de a diferença de a coordenada y entre dois pontos sobre uma linha (isto é, $y - y_1$ ) É proporcional à diferença na coordenada x (isto é, $x - x_1$ ). A constante de proporcionalidade é m (o declive da linha).

Forma Intercept

$\ Frac {x} {c} + \ frac {y} {b} = 1$

onde c e b deve ser diferente de zero. O gráfico da equação tem x e y c -intercept -intercept b. A forma de intercepção podem ser convertidos para a forma padrão, definindo a = 1 / C, B = 1 / b e C = 1.

Formulário de dois pontos

$y - k = \ frac {q - k} {p - h} (x - h),$

onde p ≠ h. O gráfico passa através dos pontos (H, K) e (p, q), e tem inclinação m = (q - K) / (P - h).

Forma paramétrica

$x = T t + U \,$

$y = V t + W. \,$

Dois equações simultâneas em termos de um parâmetro variável t, com inclinação m = V / T, x -intercept (VU - WT) / V e y -intercept (WT - VU) / T.

Isto também pode estar relacionado com a forma de dois pontos, onde T = P - h, L = H, V = q - k, e W = k:

$x = (p - h) t + h \,$

$y =. (q - k) t + k \,$

Neste caso, t varia de 0 a ponto (H, K) para um ponto em (p, q), com valores de t entre 0 e 1 proporcionando interpolação e outros valores de t fornecendo extrapolação.

Forma normal

$y \ sin \ phi + x \ cos \ phi - p = 0, \,$

onde φ é o ângulo de inclinação do normal e o símbolo p representa o comprimento do normal. O normal é definido como sendo o segmento mais curto entre a linha em questão e a origem. Forma normal pode ser derivado de forma geral dividindo todos os coeficientes por $\ Frac {| C |} {- C} \ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2}$ . Esta forma também chamada de Hesse forma padrão, o nome de um matemático alemão Ludwig Otto Hesse.

Casos especiais

$y = b. \,$

Este é um caso especial da forma padrão, onde A = 0 e B = 1, ou da forma de interceptar inclinação onde o declive M = 0. O gráfico é uma linha horizontal com y -intercept igual a b. Não há x -intercept, a menos que b = 0, caso em que o gráfico de linha é o eixo x, e assim cada número real x é um -intercept.

$x = c. \,$

Este é um caso especial da forma padrão, em que A = 1 e B = 0. O gráfico é uma linha vertical com x -intercept igual a c. A inclinação é indefinido. Não há -intercept y, a menos que c = 0, caso em que o gráfico de linha é o eixo y, e assim cada número real é uma y -intercept.

$y = y \$ e $x = x. \,$

Neste caso, todas as variáveis e constantes foram cancelados, deixando uma declaração trivialmente verdadeira. A equação original, portanto, seria chamado um identidade e normalmente não se consideram seu gráfico (que seria toda a -plane xy). Um exemplo é de 2 x 4 + y = 2 (x + y 2). As duas expressões em ambos os lados do sinal de igual são sempre iguais, não importa o que os valores são utilizados para xe y.

$e = f. \,$

Em situações onde a manipulação algébrica conduz a uma declaração como 1 = 0, então a equação original é chamado inconsistente, o que significa que não é verdade para todos os valores de x e y (ou seja, seu gráfico seria o vazio set) Um exemplo seria 3 x + 2 = 3 x - 5.

Conexão com funções e operadores lineares

Em todas as formas acima indicadas (assumindo que o gráfico não é uma linha vertical), a variável y é uma função de x, e o gráfico de esta função é o gráfico da equação.

No caso especial, que cruza a linha que passa pela origem, se a equação linear é escrito na forma y = f (x), em seguida, f tem as propriedades:

$f (x + y) = f (x) + f (y) \,$

$f (a x) = a f (x), \,$

onde a é qualquer escalar. Uma função que satisfaz estas propriedades é chamado uma função linear, ou mais geralmente um mapa linear. Esta propriedade faz equações lineares particularmente fácil de resolver e raciocinar sobre.

Equações lineares ocorrem com grande regularidade em matemática aplicada . Enquanto eles surgem naturalmente na modelagem de muitos fenômenos, eles são particularmente úteis uma vez que muitos equações não lineares podem ser reduzidos para equações lineares, assumindo que as quantidades de interesse para variar apenas uma pequena extensão de um estado de "background".

Equações lineares em mais de duas variáveis

Uma equação linear pode envolver mais do que duas variáveis. A equação geral linear em n variáveis é:

$a_1 x_1 + x_2 a_2 + \ cdots + a_n x_n = b.$

Nesta forma, a _1, a _2, ..., a _n são os coeficientes, x _1, x _2, ..., x _n são variáveis, e b é a constante. Ao lidar com três ou menos variáveis, é comum substituir x ₁ com apenas x, x _2, com y, e x _3, com Z, como apropriado.

Tal equação representará um (n-1) -dimensional hiperplà em n-dimensional espaço Euclidiano (por exemplo, um avião no espaço de 3).

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