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Em uma esfera, a soma dos ângulos de um triângulo não é igual a 180 ° (ver trigonometria esférica). Uma esfera não é um espaço euclidiano, mas localmente as leis da geometria euclidiana são boas aproximações. Em um pequeno triângulo na face da terra, a soma dos ângulos é quase 180 °. Uma esfera pode ser representado por um conjunto de dois mapas tridimensionais, por conseguinte, uma esfera é um colector.

A variedade é um resumo espaço matemático no qual cada ponto tem um vizinhança, que se assemelha a um espaço euclidiano , mas em que a estrutura global pode ser mais complicada. Em manifolds discutir, a idéia de dimensão é importante. Por exemplo, as linhas são unidimensionais, e planos bidimensionais.

Em um colector unidimensional (ou de um colector), cada ponto tem uma vizinhança que se parece com um segmento de uma linha. Exemplos de um-variedades incluem uma linha, um círculo , e dois círculos separados. Em um dois-colector, cada ponto tem um bairro que parece um disco. Exemplos incluem um plano, da superfície de uma esfera , e a superfície de uma toro .

Manifolds são objetos importantes em matemática e física porque eles permitem que estruturas mais complicadas para ser expresso e compreendido em termos das propriedades relativamente bem compreendidos de espaços mais simples.

Estruturas adicionais são frequentemente definidas em variedades. Exemplos de variedades com estrutura adicional incluir variedades diferenciáveis em que se pode fazer o cálculo , Variedades de Riemann em que as distâncias e ângulos podem ser definidas, colectores simpléticos que servem como o espaço de fase em mecânica clássica , e os quatro-dimensional manifolds que modelo de pseudo-Riemanniana espaço-tempo na relatividade geral .

Uma definição matemática precisa de um colector é dada abaixo. Para entender completamente a matemática por trás manifolds, é necessário conhecer conceitos elementares sobre conjuntos e funções , e útil ter um conhecimento prático de cálculo e topologia .

Exemplos inspiradores

Círculo

Figura 1: A quatro cartas cada mapa parte do círculo para um intervalo aberto e, juntos, cobrem todo o círculo.

O círculo é o exemplo mais simples de um colector topológica depois de uma linha. Topologia ignora flexão, de modo que uma pequena parte de um círculo é exactamente o mesmo como uma pequena parte de uma linha. Considere-se, por exemplo, a metade superior da unidade de círculo, 2 x + y = 1 2, em que a coordenada x y é positivo (indicado pelo arco amarelo na Figura 1). Qualquer ponto deste semicírculo pode ser descrito exclusivamente por seu x coordenada x. Assim, projeção para a primeira coordenada é uma contínua e invertível , mapeamento do semicírculo superior ao intervalo aberto (-1,1):

\ Chi _ {\ mathrm {topo}} (x, y) = x. \, \!

Tais funções são chamadas gráfico s. Da mesma forma, existem gráficos para o fundo (vermelho), à esquerda (azul), e (verde) peças certas do círculo. Juntas, essas peças cobrir todo o círculo e as quatro cartas formam um atlas para o círculo.

Os gráficos superior e direita se sobrepõem: a sua interseção encontra-se no quarto de círculo, onde tanto o x - e os -coordena y são positivos. A parte superior dois gráficos e χ χ direito cada mapear essa parte para o intervalo (0,1). Assim, uma função de t (0,1) a si próprio pode ser construído, que usa o primeiro inversa da parte superior do gráfico para alcançar o circulo e, em seguida, segue o gráfico de volta para o intervalo. Seja a qualquer número em (0,1), em seguida:

\ Begin {align} T (a) & = \ chi _ {\ mathrm {direita}} \ left (\ chi _ {\ mathrm {topo}} ^ {- 1} (a) \ right) \\ & = \ chi_ { \ mathrm {direita}} \ left (a, \ sqrt {1-a ^ 2} \ right) \\ & = \ sqrt {1-a ^ 2}. \ End {align}

Essa função é chamada um mapa de transição.

Figura 2: Um círculo gráfico colector baseado em declive, cobrindo todos, mas um ponto do círculo.

A parte superior, inferior, esquerda, direita e gráficos mostram que o círculo é uma variedade, mas eles não formam os únicos atlas possíveis. Os gráficos não precisa ser projecções geométricas, e o número de cartas é uma questão de escolha algum. Considere os gráficos

\ Chi _ {\ mathrm {minus}} (x, y) = s = \ frac {y} {x} + 1

e

\ _ Qui {\ mathrm {mais}} (x, y) = t = \ frac {y} {1-x}.

Aqui S é o declive da linha pelo ponto de coordenadas (x, y) e do ponto de pivô fixo (-1,0); t é o espelho, com o ponto pivot (+1,0). O mapeamento inverso de s para (x, y) é dada pela

\ Begin {align} x & = \ frac {1-s ^ 2} {1 + s ^ 2} \\ y & = \ frac {2s} {1 + s ^ 2}. \ End {align}

Ele pode ser facilmente confirmado que x + y 2 2 = 1 para todos os valores do declive s. Estas duas cartas fornecer uma segunda atlas para o círculo, com

t = \ frac {1} {s}. \, \!

Cada carta omite um único ponto, ou (-1,0) para s ou (+1,0) para t, então, nem gráfico por si só é suficiente para cobrir todo o círculo. Topologia pode provar que não é possível cobrir o círculo completo com um único gráfico. Por exemplo, embora seja possível construir um círculo de um único intervalo de linha através da sobreposição e "colagem" as extremidades, isto não produz um gráfico; uma porção do círculo será mapeado para ambas as extremidades de uma só vez, perdendo invertibilidade.

Outros curvas

Quatro variedades de curvas algébricas: círculos, parábola, hipérbole ■, cúbico.

Colectores não precisam de ser conectados (todos em "one piece"); assim, um par de círculos separados também é um manifold. Eles não necessitam de ser fechadas; assim, um segmento de linha, sem seus pontos finais é um manifold. E eles não precisam ser finito; assim, uma parábola é um manifold. Colocar essas liberdades juntos, outros dois manifolds são um exemplo hipérbole (dois, pedaços infinitos abertos) eo lugar geométrico dos pontos sobre o cúbico curva y 2 = x 3 - x (um pedaço de circuito fechado e uma peça aberta, infinita).

No entanto, excluímos exemplos como dois círculos tocantes que compartilham um ponto para formar uma figura-8; no ponto compartilhada não podemos criar um gráfico satisfatória. Mesmo com a curvatura permitido pela topologia, da vizinhança do ponto partilhada parece com um "+", e não uma linha.

Círculo enriquecido

Visto usando cálculo , a função de transição T círculo é simplesmente uma função entre os intervalos abertos, o que dá um sentido à afirmação de que T é diferenciável . O mapa de transição T, e todos os outros, são diferenciáveis em (0, 1); portanto, com este atlas do círculo é uma variedade diferenciável. É também lisa e analítica porque as funções de transição têm estas propriedades também.

Outras propriedades círculo permitir que ele para atender aos requisitos de tipos mais especializados de manifold. Por exemplo, o círculo tem uma noção da distância entre dois pontos, o comprimento do arco entre os pontos; Por isso, é um Variedade de Riemann.

História

O estudo de manifolds combina muitas áreas importantes da matemática: ela generaliza conceitos como curvas e superfícies, bem como idéias de álgebra linear e topologia .

Pré-história

Antes de o conceito moderno de um colector havia vários resultados importantes.

Euclidiana geometria não considera espaços onde Euclides 's postulado paralelo falha. Saccheri primeiro estudou em 1733. Lobachevsky, Bolyai, e Riemann desenvolveu-los 100 anos mais tarde. Sua pesquisa descobriu dois tipos de espaços cujas estruturas geométrica diferente da de classical espaço euclidiano ; estes deram origem a geometria hiperbólica e geometria elíptica. Na teoria moderna de manifolds, essas noções correspondem a Variedades de Riemann com constante negativa e positiva curvatura, respectivamente.

Carl Friedrich Gauss pode ter sido o primeiro a considerar espaços abstratos como objetos matemáticos em seu próprio direito. Sua Theorema egregium dá um método para calcular a curvatura de um sem considerar a superfície espaço ambiente em que a superfície se encontra. Tal superfície seria, na terminologia moderna, ser chamado de um colector; e em termos modernos, o teorema provado que a curvatura da superfície é uma propriedade intrínseca. Manifold teoria tem vindo a concentrar-se exclusivamente sobre estas propriedades intrínsecas (ou invariantes), enquanto que em grande parte ignorando as propriedades extrínsecos do espaço ambiente.

Outra, mais topológico exemplo de um intrínseco propriedade de um colector é a sua característica de Euler . Leonhard Euler mostrou que para um convexo polytope no espaço euclidiano tridimensional com vértices V (ou cantos), bordas E, F e enfrenta,

V - E + F = 2.

A mesma fórmula vai realizar se projetarmos os vértices e arestas do politopo em uma esfera , a criação de um "mapa" com vértices V, bordas E, F e enfrenta, e de fato, irá permanecer válido para qualquer mapa esférico, mesmo que não decorre de qualquer politopo convexo. Assim é um 2 invariante topológico da esfera, chamado sua característica de Euler. Por outro lado, um toro pode ser cortado aberto pelo seu 'paralelo' e círculos 'meridianos', criando um mapa com V = 1 vértice, E = 2 arestas, e F = 1 face. Assim, a característica de Euler do toro é 1-2 + 1 = 0. A característica de Euler de outras superfícies é um útil invariante topológico, que pode ser estendido para dimensões mais elevadas usando Números de Betti. Em meados do século XIX, o Gauss-Bonnet teorema ligado a característica de Euler para a curvatura de Gauss.

Síntese

Investigações de Niels Henrik Abel e Carl Gustav Jacobi na inversão de integrais elípticas na primeira metade do século 19 levou a considerar tipos especiais de variedades complexas, agora conhecido como Jacobianos. Bernhard Riemann contribuiu ainda mais para a sua teoria, esclarecendo o significado geométrico do processo de continuação analítica de funções de variáveis complexas, embora essas idéias estavam muito à frente de seu tempo.

Outra importante fonte de manifolds na matemática do século 19 foi mecânica analítica, como desenvolvidas pela Simeon Poisson, Jacobi, e William Rowan Hamilton. Os possíveis estados de um sistema mecânico são pensados para ser pontos de um espaço abstrato, espaço de fase em Lagrangian e Formalismos Hamiltonianos da mecânica clássica. Este espaço é, de facto, uma tubagem de alta-dimensional, cujas dimensão corresponde aos graus de liberdade do sistema e em que os pontos são indicados pela sua coordenadas generalizadas. Para um movimento sem restrições de partículas livres do colector é equivalente ao espaço euclidiano, mas diferentes leis de conservação restringi-lo às formações mais complicados, por exemplo, Liouville tori. A teoria de um corpo sólido em rotação, desenvolvido no século 18 por Leonhard Euler e Joseph Lagrange , dá outro exemplo onde o colector não é trivial. Aspectos geométricos e topológicos da mecânica clássica foram enfatizados por Henri Poincaré, um dos fundadores da topologia .

Riemann foi o primeiro a fazer um trabalho extenso generalizando a ideia de uma superfície para dimensões maiores. O nome vem do colector original de Riemann Alemão prazo, Mannigfaltigkeit, que William Kingdon Clifford traduzido como "multiplicidade". Em sua palestra inaugural Göttingen, Riemann descreveu o conjunto de todos os possíveis valores de uma variável com certas restrições, como Mannigfaltigkeit, porque a variável pode ter muitos valores. Ele distingue entre stetige Mannigfaltigkeit e diskrete Mannigfaltigkeit (multiplicidade contínua e descontínua multiplicidade), dependendo se o valor é alterado de forma contínua ou não. Como exemplos contínuos, Riemann refere-se não somente as cores e os locais de objetos no espaço, mas também as várias formas possíveis de uma figura espacial. Uso indução, Riemann constrói um n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n vezes multiplicidade estendido ou multiplicidade n-dimensional) como uma pilha contínua de (n-1) manifoldnesses dimensionais. Noção intuitiva de Riemann de um Mannigfaltigkeit evoluiu para o que é hoje formalizado como um manifold. Variedades de Riemann e superfícies de Riemann são nomeados após Bernhard Riemann.

Hermann Weyl deu uma definição intrínseca para variedades diferenciáveis em seu curso sobre superfícies de Riemann em 1911-1912, abrindo o caminho para o conceito geral de um espaço topológico que se seguiu em breve. Durante a década de 1930 Hassler Whitney e outros esclareceu o aspectos fundamentais do sujeito e, portanto, intuições que datam da segunda metade do século 19 tornou-se mais preciso, e desenvolvida através de geometria diferencial e Teoria dos grupos de Lie.

Topologia das variedades: destaques

Manifolds bidimensionais, também conhecidas como superfícies, foram considerados por Riemann sob o pretexto de superfícies de Riemann , e rigorosamente classificada no início do século 20 por Poul Heegaard e Max Dehn. Henri Poincaré foi pioneiro no estudo das variedades tridimensionais e levantou uma questão fundamental sobre eles, hoje conhecida como a Conjectura de Poincaré. Depois de quase um século de esforços por muitos matemáticos, a começar pelo próprio Poincaré, um consenso entre os especialistas (a partir de 2006) é que Grigori Perelman provou a conjectura de Poincaré (veja o Solução da conjectura de Poincaré Hamilton-Perelman). Bill Thurston programa de geometrização, formulada na década de 1970, desde que uma extensão de longo alcance da conjectura de Poincaré para os manifolds tridimensionais gerais. Quatro-dimensional manifolds foram levados para a vanguarda da pesquisa matemática na década de 1980 por Michael Freedman e em um ambiente diferente, por Simon Donaldson, que foi motivada pelo então recente progresso na física teórica ( Teoria de Yang-Mills), onde eles servem como um substituto para o ordinário 'flat' espaço-tempo. Trabalho importante em variedades de dimensão superior, incluindo análogos da conjectura de Poincaré, tinha sido feito antes por René Thom, John Milnor, Stephen Smale e Sergei Novikov. Uma das técnicas mais difundidas e flexíveis subjacentes muito trabalho na topologia das variedades é A teoria de Morse.

Definição matemática

Informalmente, um colector é um espaço que é "modelado em" espaço euclidiano .

Há muitos tipos diferentes de colectores e generalizações. Em geometria e topologia, todos os colectores são variedades topológicas, possivelmente com uma estrutura adicional, na maioria das vezes um estrutura diferenciável. Em termos de construção de colectores via patching, um distribuidor tem uma estrutura adicional se os mapas de transição entre diferentes manchas satisfazer axiomas além de apenas continuidade. Por exemplo, variedades diferenciáveis tem homeomorfismos sobre bairros sobrepostos difeomórfico uns com os outros, de modo que o tubo de distribuição dispõe de um conjunto bem definido de funções que são diferenciáveis em cada vizinhança, e assim diferenciável no colector como um todo.

Formalmente, um distribuidor topológico é um segundo contável Hausdorff espaço que é localmente homeomorphic ao espaço euclidiano.

Segundo contável e Hausdorff são condições ponto-definidos; segundo contáveis exclui os espaços de maior cardinalidade como o longa fila, enquanto Hausdorff exclui espaços, como "a linha com duas origens" (estas variedades generalizadas são discutidos em não Hausdorff colectores).

Localmente homeomorphic ao espaço euclidiano significa que cada ponto tem uma vizinhança homeomorphic a um euclidiana aberto n -canetas,

\ Mathbf {B} ^ n = \ {(x_1, x_2, \ dots, x_n) \ in \ mathbb {R} ^ n \ meados x_1 x_2 ^ 2 + ^ 2 + \ cdots + x_n ^ 2 <1 \}.

Geralmente colectores são considerados como tendo uma dimensão fixa (o espaço tem de ser localmente fixo a um homeomorfos n -Ball), e um tal espaço é chamado um n -variedade; no entanto, alguns autores admitem manifolds onde diferentes pontos podem ter diferentes dimensões. Uma vez que é uma dimensão invariante local, cada componente ligado tiver uma dimensão fixa.

Esquema-teoricamente, um colector é uma rodeado localmente espaço, cuja estrutura feixe é localmente isomorphic ao feixe de contínuo (ou diferenciável, ou complexa-analítica, etc.) funções em espaço euclidiano. Esta definição é usado principalmente quando se discute manifolds analíticas em geometria algébrica.

Definição ampla

A mais ampla definição comum de colector é um espaço topológico localmente homeomorfo a um espaço vetorial topológico sobre os reais. Este omite os axiomas set-point (permitindo cardinalities mais elevados e não Hausdorff colectores) e dimensão finita (permitindo vários colectores de análise funcional). Normalmente, uma relaxa um ou outro estado: manifolds sem os axiomas de ponto são estudados em conjunto topologia geral, enquanto variedades de dimensão infinita são estudadas em análise funcional.

Gráficos, atlas e mapas de transição

A Terra é esférica navegadas usando mapas ou cartas planas, coletadas em um atlas. Da mesma forma, uma variedade diferenciável pode ser descrito utilizando mapas matemáticos, chamados coordenar gráficos, coletados em um atlas matemáticos. Não é geralmente possível para descrever um distribuidor com apenas um gráfico, porque a estrutura global do colector é diferente da estrutura simples das cartas. Por exemplo, nenhum mapa plano único pode representar a totalidade da Terra. Quando um coletor é construído a partir de vários gráficos sobrepostos, as regiões onde eles se sobrepõem levar informações essenciais para a compreensão da estrutura global.

Charts

Um mapa de coordenadas, um gráfico de coordenadas, ou simplesmente um gráfico, de um colector é uma invertível mapa entre um subconjunto do colector e um espaço simples de tal modo que tanto a sua inversa no mapa e preservar a estrutura desejada. Para um distribuidor topológico, o espaço simples é algum espaço euclidiano R n e interesse centra-se na estrutura topológica. Esta estrutura é preservada por Homeomorfismos , mapas inversibles que são contínuas em ambas as direcções.

No caso de um variedade diferenciável, um conjunto de gráficos chamado um atlas nos permite fazer o cálculo em variedades. coordenadas polares , por exemplo, formar um gráfico para o avião R2 menos o eixo x positivo ea origem. Outro exemplo de um gráfico é a top mapa χ mencionado na seção anterior, um gráfico para o círculo.

Atlas

A descrição da maioria dos colectores requer mais de um gráfico (um único gráfico é adequado apenas para os manifolds mais simples). Uma coleção específica de gráficos que abrange um colector é chamado de atlas. Um atlas não é única como todas as variedades podem ser cobertos várias maneiras usando diferentes combinações de cartas.

Os atlas contendo todas as cartas possíveis consistentes com uma determinada atlas é chamado o atlas máximas. Ao contrário de um atlas comuns, os atlas máximas de um dado distribuidor é único. Embora seja útil para definições, é um objeto muito abstrato e não usado diretamente (por exemplo, em cálculos).

Mapas de transição

Gráficos de um atlas podem sobrepor-se e de um ponto único de um colector podem ser representados em várias tabelas. Se dois mapas se sobrepõem, partes delas representam a mesma região do colector, assim como um mapa da Europa e um mapa da ?sia podem conter tanto Moscou. Dado dois gráficos sobrepostos, uma função de transição pode ser definida que vai desde uma bola aberta em R n para o colector e depois de volta para outro (ou talvez o mesmo) bola aberta em R n. O mapa resultante, como mapa do T no exemplo acima do círculo, é chamado de mudança de coordenadas, uma transformação de coordenadas, uma função de transição, ou um mapa de transição.

Estrutura adicional

Um atlas também pode ser utilizado para definir a estrutura adicional no colector. A estrutura é definida em primeiro lugar em cada gráfico separadamente. Se todos os mapas de transição são compatíveis com esta estrutura, a estrutura das transferências para o colector.

Esta é a maneira padrão são definidas várias diferenciáveis. Se as funções de transição de um atlas de um colector topológica preservar a estrutura natural do diferencial R n (isto é, se forem difeomorfismos), a estrutura diferencial transferências para o colector e transforma-lo em uma variedade diferenciável. Variedades complexas são introduzidos de forma análoga, exigindo que as funções de transição de um atlas são funções holomorfas. Para variedades simpléticas, as funções de transição deve ser simplectomorfismos.

A estrutura do colector depende do atlas, mas por vezes diferentes atlas pode ser dito para dar origem a uma mesma estrutura. Tais atlas são chamados compatível.

Estes conceitos são feitos preciso em geral através da utilização de pseudogroups.

Construção

Um único tubo de distribuição pode ser construída de maneiras diferentes, cada salientando um aspecto diferente do colector, conduzindo assim a um ponto de vista ligeiramente diferente.

Charts

O gráfico mapeia a parte da esfera com z positiva de coordenadas para um disco.

Talvez a maneira mais simples para construir um colector é o utilizado no exemplo acima do círculo. Em primeiro lugar, um subconjunto de R 2 é identificado, e, em seguida, um atlas cobrindo este subconjunto é construído. O conceito de colector cresceu historicamente a partir de construções como esta. Aqui é um outro exemplo, a aplicação deste método para a construção de uma esfera:

Esfera com gráficos

A esfera pode ser tratada em quase da mesma maneira que o círculo. Em matemática uma esfera é apenas a superfície (não o interior sólido), que pode ser definida como um subconjunto de R 3:

S = \ {(x, y, z) \ in \ mathbf {R} ^ 3 | x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 \}.

A esfera é bidimensional, de modo que cada gráfico irá mapear parte da esfera a um subconjunto aberto de R2. Considere o hemisfério norte, que é a parte com z positivo coordenada (de cor vermelha na imagem à direita). A função definida por χ

\ Qui (x, y, z) = (x, y),

mapeia o hemisfério norte para o aberto por unidade de disco projectando-a na (x, y) plano. Uma carta similar existe para o hemisfério sul. Juntamente com os dois gráficos que se projectam sobre o (x, z) plano e dois gráficos que se projectam no plano (Y, Z), um atlas de seis gráficos é obtida, a qual cobre toda a esfera.

Isso pode ser facilmente generalizado para esferas de dimensão superior.

Miscelânea

Um colector pode ser construída por meio de colagem em conjunto pedaços de uma maneira consistente, tornando-os em gráficos sobrepostos. Esta construção é possível para qualquer distribuidor e, portanto, é muitas vezes usado como uma caracterização, especialmente para variedades diferenciáveis e de Riemann. Ele se concentra em um atlas, como as manchas naturalmente fornecer gráficos, e uma vez que não há espaço exterior envolvido leva a uma visão intrínseca do colector.

O colector é construído por especificando um atlas, que é ela própria definida por mapas de transição. Um ponto do colector é, portanto, uma classe de equivalência de pontos que são mapeados para o outro por meio de mapas de transição. Gráficos mapear classes de equivalência para pontos de um único patch. Normalmente existem fortes exigências sobre a consistência dos mapas de transição. Para variedades topológicas eles são obrigados a ser homeomorfismos ; se eles também são difeomorfismos, o colector resultante é uma variedade diferenciável.

Isto pode ser ilustrado com o mapa de transição t = 1 / s a partir da segunda metade do exemplo círculo. Comece com duas cópias da linha. Use a coordenar s para a primeira cópia, e t para a segunda cópia. Agora, cola ambas as cópias em conjunto, identificando o ponto T na segunda cópia com o ponto de 1 / s na primeira cópia (o ponto t = 0 não se identifica com um ponto qualquer da primeira cópia). Isto dá um círculo.

Vista intrínseca e extrínseca

A primeira construção e essa construção são muito semelhantes, mas representam bastante diferentes pontos de vista. Na primeira construção, o colector é visto como incorporado em algum espaço euclidiano. Esta é a visão extrínseca. Quando um colector é visto deste modo, é fácil de usar intuição de espaços Euclidiana para definir uma estrutura adicional. Por exemplo, em um espaço euclidiano é sempre claro se um vector, em algum ponto é tangencial ou normal a uma superfície através desse ponto.

A construção de retalhos não usa qualquer incorporação, mas simplesmente vê o colector como um espaço topológico por si só. Este ponto de vista abstrato é chamado o ponto de vista intrínseco. Ele pode torná-lo mais difícil de imaginar o que um vetor tangente pode ser.

n -Sphere como uma colcha de retalhos

O n -sphere S n é uma generalização da ideia de um círculo (1-esfera) e esfera (2-esfera) de dimensões superiores. Um n -sphere S n pode ser construída por meio de colagem em conjunto duas cópias de R n. O mapa de transição entre eles é definida como

\ Mathbf {R} ^ n \ setminus \ {0 \} \ a \ mathbf {R} ^ n \ setminus \ {0 \}: x \ mapsto x / \ | x \ | ^ 2.

Esta função é a sua própria inversa e, assim, pode ser utilizado em ambas as direcções. À medida que a transição é um mapa função suave, este atlas define uma variedade suave. No caso de n = 1, o exemplo simplifica para o exemplo dado anteriormente círculo.

Identificando os pontos de um colector

É possível definir diferentes pontos de um colector para ser o mesmo. Isto pode ser visualizado como a colagem destes pontos num único ponto, formando uma espaço quociente. Há, no entanto, não há razão para esperar que tais espaços quociente ser manifolds. Entre os possíveis espaços quociente que não são necessariamente distribuidores, orbifolds e CW complexos são considerados relativamente bem-comportado.

Um método de identificação de pontos (colando-os) é através de um direito (ou esquerdo) acção de um grupo , que age sobre o manifold. Dois pontos são identificados, se uma é deslocado para a outra por um elemento de grupo. Se H é o colector e G é o grupo, o espaço quociente resultante é designado por M / G (ou G \ M).

Manifolds que podem ser construídos através da identificação de pontos incluem tori e espaços projetivos reais (começando com um avião e uma esfera, respectivamente).

Produtos cartesianos

O Produto cartesiano de manifolds também um manifold. Não cada colector pode ser escrita como um produto de outras variedades.

A dimensão do tubo de distribuição do produto, é a soma das dimensões dos seus factores. A sua topologia é a topologia produto, e um produto cartesiano de gráficos é uma carta para o distribuidor do produto. Assim, um atlas para o colector de produto pode ser construído usando atlas para os seus factores. Se estes atlas definir uma estrutura diferencial sobre os factores, o atlas correspondentes define uma estrutura diferencial no colector de produto. O mesmo é verdadeiro para qualquer outra estrutura definida sobre os factores. Se um dos factores que tem uma fronteira, o colector de produto também tem um limite. Produtos cartesianos podem ser usados para construir e tori finito cilindros, por exemplo, como S 1 × S 1 e S 1 × [0, 1], respectivamente.

Um cilindro finito é um manifold com limite.

Manifold com limite

Um colector com limite é uma variedade com uma borda. Por exemplo, uma folha de papel com cantos arredondados é um 2-colector com um limite de 1-dimensional. A aresta de uma -variedade n é um -variedade (n -1). A disco (círculo mais interior) é um 2-manifold com limite. Seu limite é um círculo, um 1-colector . A bola (esfera mais interior) é um 3-manifold com limite. Seu limite é uma esfera, um 2-manifold. (Veja também Boundary (topologia)).

Em linguagem técnica, com um colector de fronteira é um espaço que contém ambos os pontos interiores e pontos de fronteira. Cada ponto tem um interior homeomorphic bairro ao n -canetas abertos {(x 1, x 2, ..., x n) | Σ x i 2 <1}. Cada ponto de fronteira tem uma homeomorfos vizinhança da "metade" n -canetas {(x 1, x 2, ..., x n) | Σ x i 2 <1 e 1 x ≥ 0}. O homeomorphism deve enviar o ponto de fronteira a um ponto com x 1 = 0.

Colagem ao longo dos limites

Duas variedades com limites podem ser coladas umas às outras ao longo de uma fronteira. Se isso for feito da maneira certa, o resultado também é um manifold. Da mesma forma, dois limites de um único colector podem ser colados um ao outro.

Formalmente, a colagem é definida por um bijection entre os dois limites. Dois pontos são identificados quando eles são mapeados para o outro. Para um colector topológica bijection este deve ser um homeomorphism, caso contrário, o resultado não será um colector topológico. Da mesma forma para uma variedade diferenciável que tem que ser um difeomorfismo. Para outras variedades outras estruturas devem ser preservadas.

Um cilindro finito pode ser construído como um tubo de distribuição, começando com uma tira de [0, 1] × [0, 1] e colagem de um par de bordos opostos sobre a fronteira por um difeomorfismo adequado. A projectiva plano pode ser obtida por colagem de uma esfera com um furo nele para uma Fita de Möbius ao longo das suas respectivas fronteiras circulares.

Classes de manifolds

Variedades topológicas

O tipo mais simples de colector para definir é o distribuidor topológico, que parece localmente como um "comum" espaço euclidiano R n. Formalmente, um distribuidor topológico é um espaço topológico homeomorphic localmente a um espaço euclidiano. Isto significa que cada ponto tem um bairro para o qual existe um homeomorfismo (um bijective função contínua cuja inversa também é contínua) que o mapeamento do bairro para R n. Estes homeomorfismos são os gráficos da placa base.

É de notar que um distribuidor topológico parece localmente como um espaço euclidiano de forma bastante fraco: enquanto para cada mapa individual é possível distinguir funções diferenciáveis ou medir distâncias e ângulos, pelo simples facto de ser um distribuidor topológico um espaço faz não tem qualquer escolha particular e consistente de tais conceitos. A fim de discutir tais propriedades de um colector, é preciso especificar melhor estrutura e considerar variedades diferenciáveis e variedades de Riemann discutidos abaixo. Em particular, uma mesma variedade topológica subjacente pode ter várias classes mutuamente incompatíveis de funções diferenciáveis e um número infinito de maneiras de especificar distâncias e ângulos.

Normalmente pressupostos técnicos adicionais sobre o espaço topológico são feitos para excluir os casos patológicos. É costume de exigir que o espaço seja Hausdorff e segundo contável.

A dimensão do colector em um certo ponto é a dimensão do espaço euclidiano que as cartas nesse ponto mapa para (número n na definição). Todos os pontos de um colector conectado tem a mesma dimensão. Alguns autores exigem que todos os gráficos de um mapa distribuidor topológico para euclidiana espaços da mesma dimensão. Nesse caso, cada colector topológica tem uma invariante topológico, a sua dimensão. Outros autores permitem uniões disjuntos de variedades topológicas com dimensões diferentes para ser chamado manifolds.

Variedades diferenciáveis

Para a maioria das aplicações de um tipo especial de distribuidor topológico, uma variedade diferenciável, é usado. Se as cartas locais em um colector são compatíveis, em certo sentido, pode-se definir as direções, espaços tangentes e funções diferenciáveis em que manifold. Em particular, é possível utilizar o cálculo de uma variedade diferenciável. Cada ponto de uma variedade diferenciável n-dimensional tem uma espaço tangente. Este é um espaço euclidiano n-dimensional consistindo de a vetores tangentes das curvas através do ponto.

Duas classes importantes de variedades diferenciáveis são variedades suaves e analíticos. Para variedades suaves os mapas de transição são suave, que é infinitamente diferenciável. Manifolds analíticos são variedades suaves com a condição adicional de que os mapas de transição são analítica (que pode ser expresso como séries de potência, que são, essencialmente, polinômios de grau infinito). A esfera pode ser dada estrutura analítica, como pode curvas mais familiares e superfícies.

A conjunto sanável generaliza a idéia de um por partes lisas ou curva sanável para dimensões maiores; No entanto, conjuntos retificável não estão em colectores gerais.

Variedades de Riemann

Para medir distâncias e ângulos em variedades, o distribuidor deve ser Riemannian. Uma variedade de Riemann é uma variedade diferenciável em que cada espaço tangente está equipado com um produto interno <⋅, ⋅> de uma forma que varia suavemente de ponto a ponto. Dados dois vetores tangentes U e V, o produto interno <u, v> dá um número real. O ponto (ou escalar) produto é um exemplo típico de um produto interno. Isto permite a definição de várias noções como comprimento, ângulos , áreas (ou volumes ), curvatura, gradientes de funções e divergência de campos de vetores.

Todas as variedades diferenciáveis (de dimensão constante) pode ser dada a estrutura de uma variedade de Riemann. O espaço euclidiano si carrega uma estrutura natural de variedade de Riemann (os espaços tangentes são naturalmente identificado com o próprio espaço euclidiano e transportar o produto escalar padrão do espaço).Muitas curvas e superfícies familiares, incluindo, por exemplo, todos osn-spheres, são especificados como subespaços de um espaço euclidiano e herdar uma métrica a partir de sua incorporação nele.

Manifolds Finsler

Um colector de Finsler permite a definição de distância, mas não de ângulo; é um colector analítica na qual cada espaço tangente está equipado com uma norma, || || ·, de uma maneira que varia suavemente de ponto a ponto. Esta norma pode ser estendido para uma métrica, que define o comprimento de uma curva; mas não pode, em geral, ser utilizado para definir um produto interno.

Qualquer variedade de Riemann é uma variedade Finsler.

Grupos de Lie

Grupos de Lie, em homenagem aSophus Lie, são variedades diferenciáveis ​​que carregam também a estrutura de umgrupoque é tal que as operações do grupo são definidas por mapas suaves.

Um espaço vectorial euclidiano com o grupo de operação de adição de vectores é um exemplo de um grupo de Lie não compacta. Um exemplo simples de um compacto grupo de Lie é o círculo: a operação de grupo é simplesmente rotação. Este grupo, conhecido como L (1), pode também ser caracterizada como o grupo de números complexos de módulo com uma multiplicação como a operação de grupo. Outros exemplos de grupos de Lie incluem grupos especiais de matrizes , que são todos os subgrupos do grupo linear geral, o grupo de n por n matrizes não-zero determinante. Se as entradas da matriz são números reais , isso vai ser um n 2 -dimensional colector desconectado. O grupos ortogonais, os grupos de simetria da esfera e hiperesferas, são n ( n -1) / 2 variedades de dimensão, onde n -1 é a dimensão da a esfera. Outros exemplos podem ser encontrados na tabela de grupos de Lie.

Outros tipos de manifolds

  • A variedade complexa é uma variedade modelado em C n com funções holomorfas de transição em sobreposições de gráfico. Estas variedades são os objetos básicos de estudo de geometria complexa. Um colector de um complexo-dimensional é chamado uma superfície de Riemann . Note-se que um n variedade complexa dimensional tem dimensão 2 n como uma variedade diferenciável real.
  • A CR colectoré um colector modelado em limites de domínios emC n.
  • Manifolds dimensão infinita: para permitir infinitas dimensões, pode-se considerarmanifolds de Banach que são localmente homeomorfo a Espaços de Banach.mesma forma, manifolds Fréchet são localmente homeomorfo a Espaços de Fréchet.
  • A variedade simplética é um tipo de colector que é usado para representar os espaços de fase em mecânica clássica . Eles são dotados de uma 2-forma que define o suporte de Poisson. Um tipo estreitamente relacionado de colector é um colector de contato.

Classificação e invariantes

Diferentes noções de variedades têm diferentes noções de classificação e invariável; nesta seção nos concentramos em manifolds fechadas lisas.

A classificação dos colectores fechados lisas é bem compreendida , em princípio , excepto em dimensão 4: em dimensões de baixo (2 e 3) é geométrica, por meio do teorema de uniformização e a solução Hamilton-Perelman da conjectura Poincaré, e em alta (dimensão 5 e acima) é algébrica, através teoria cirurgia. Esta é uma classificação, em princípio: a questão geral de saber se duas variedades suaves são difeomorfa é não computável em geral. Além disso, os cálculos específicos continuam a ser difíceis, e há muitas questões em aberto.

Superfícies orientáveis ​​podem ser visualizados, e suas aulas difeomorfismo enumerados, por género. Dadas duas superfícies orientáveis, pode-se determinar se eles são difeomórfico calculando a respectiva géneros e comparando: eles são difeomórfico se e somente se os géneros são iguais, de modo que o género forma um conjunto completo de invariantes.

Isto é muito mais difícil em dimensões superiores: variedades de dimensão mais elevados não podem ser directamente visualizados (embora intuição visual é útil para a compreensão deles), nem pode suas aulas difeomorfismo ser enumerados, nem se pode, em geral, determinar se duas descrições diferentes de um colector de dimensão superior se referem ao mesmo objeto.

No entanto, pode-se determinar se dois colectores estão diferente , se houver alguma característica intrínseca que as diferencia. Esses critérios são comumente referidos como invariantes , porque, enquanto que eles podem ser definidas em termos de alguma apresentação (tais como do género em termos de uma triangulação), eles são o mesmo em relação a todas as descrições de possíveis de um colector nomeadamente: eles são invariantes sob diferentes descrições.

Ingenuamente, se poderia esperar para desenvolver um arsenal de critérios invariantes que definitivamente classificar todos os manifolds até isomorfismo. Infelizmente, sabe-se que para variedades de dimensão mais elevada e 4, não existe programa que pode decidir se os dois colectores estão difeomórfico.

Variedades suaves têmum rico conjunto de invariantes, vindo detopologia de set-point, clássico topologia algébrica, e topologia geométrica.Os invariantes mais familiares, que são visíveis para superfícies, sãoorientabilidade (a invariante normal, também detectada porhomologia) egênero (a invariante homological).

Suave colectores fechados não têm invariantes locais (exceto dimensão), embora manifolds geométricas têm invariantes locais, nomeadamente a curvatura de uma variedade de Riemann ea torção de um colector equipado com uma conexão afim. Esta distinção entre nenhum invariantes locais e invariantes locais é uma forma comum de distinguir entre geometria e da topologia. Todos os invariantes de um colector fechado lisa são, portanto, global.

A topologia algébrica é uma fonte de um número de importantes propriedades invariantes globais. Alguns critérios importantes incluem a simplesmente conectado propriedade e orientabilidade (veja abaixo). De facto, vários ramos da matemática, como a homologia e homotopy teoria, ea teoria de classes características foram fundadas, a fim de estudar as propriedades invariantes de manifolds.

Exemplos de superfícies

Orientabilidade

Em duas dimensões e mais altos, um critério invariável simples, mas importante é a questão de saber se uma variedade admite uma orientação significativa. Considere-se um colector de topológica com gráficos de mapeamento para R n . Dada uma base encomendado para R n , um gráfico faz com que o seu pedaço do colector para si adquirir um senso de ordenação, que em 3-dimensões pode ser visto tanto como destro ou canhoto. Gráficos sobrepostos não são obrigados a fixar, no sentido de ordenação, o que dá uma liberdade importante manifolds. Para algumas variedades, como a esfera, cartas podem ser escolhidas de modo a que as regiões de sobreposição concordar com sua "imparcialidade"; estes são orientáveis ​​manifolds. Para outros, isso é impossível. A última possibilidade é fácil esquecer, porque qualquer superfície fechada incorporado (sem auto-interseção) no espaço tridimensional é orientável.

Alguns exemplos ilustrativos de colectores não orientável incluem: (1) afita de Moebius, que é um colector com um quadro, (2) agarrafa de Klein, que devem intersectar-se em 3-espaço, e (3) oplano projectiva real, que surge naturalmente emgeometria.

Fita de Möbius

Fita de Möbius

Comece com um cilindro circular infinito de pé na vertical, um colector sem limite. Fatia através dela alto e baixo para produzir dois limites circulares, e a tira cilíndrica entre eles. Este é um colector com orientável limite, em que "a cirurgia" será realizada. Corte a faixa aberta, de modo que pudesse desenrolar para se tornar um retângulo, mas manter um aperto nas extremidades cortadas. Torça uma extremidade 180 °, tornando o rosto superfície interior para fora, e cole as extremidades de volta juntos sem problemas. Isso resulta em uma tira com uma meia-torção permanente: o Fita de Möbius. Seu limite não é mais um par de círculos, mas (topologicamente) um único círculo; e que já foi seu "interior" se fundiu com a sua "fora", para que ele agora tem apenas um único lado.

Garrafa de Klein

A garrafa de Klein imerso no espaço tridimensional.

Tome duas tiras de Möbius; cada um tem um único circuito como um limite. Endireitar aquelas voltas em círculos, e deixe as tiras de distorcer em cross-caps. Colagem dos círculos juntos vai produzir um novo colector, fechado sem limite, a garrafa de Klein . Fechando a superfície não faz nada para melhorar a falta de orientabilidade, ele simplesmente remove o limite. Assim, a garrafa de Klein é uma superfície fechada sem qualquer distinção entre dentro e fora. Note-se que no espaço tridimensional, uma superfície da garrafa de Klein deve passar através de si. Construir uma garrafa de Klein, que não é auto-intersecção requer quatro ou mais dimensões do espaço.

Plano projetivo real

Comece com uma esfera centrada na origem. Cada linha que passa pela origem perfura a esfera em dois pontos opostos chamados antípodas . Embora não haja nenhuma maneira a fazê-lo fisicamente, é possível fundir matematicamente cada par antípoda em um único ponto. A superfície fechada assim produzido é o plano projectiva verdadeira, ainda uma outra superfície não orientável. Tem uma série de descrições e construções equivalentes, mas esta via explica o seu nome: todos os pontos em qualquer dada linha através do projecto de origem para o mesmo "ponto" nesta "plano".

Gênero ea característica Euler

Por duas variedades de dimensão uma propriedade invariável chave é o gênero, ou o "número de identificadores" presentes em uma superfície. Um toro é uma esfera com uma alça, um toro dupla é uma esfera com duas alças, e assim por diante. Na verdade, é possível caracterizar totalmente compactas, colectores bidimensionais com base no género e orientabilidade. Em variedades de dimensão superior gênero passa a ter a noção de característica de Euler .

Generalizações de manifolds

  • Orbifolds : Uma orbifold é uma generalização do colector para permitir determinados tipos de " singularidades "na topologia. Grosso modo, é um espaço que localmente se parece com os quocientes de algum espaço simples ( por exemplo, espaço euclidiano ) pelas ações de várias grupos finitos. As singularidades correspondem a pontos fixos das ações do grupo, e as ações devem ser compatíveis em um certo sentido.
  • Variedades algébricas e esquemas : variedades algébricas não-singulares sobre os números reais ou complexos são manifolds. Uma generaliza esta primeira permitindo singularidades, em segundo lugar, permitindo que diferentes campos, e em terceiro lugar emulando a construção de correção de colectores: assim como um colector é colada junto de subconjunto aberto de espaço euclidiano, uma variedade algébrica é colada junto de variedades algébricas afins, que são zero conjuntos de polinômios sobre corpos algebricamente fechados. Esquemas são igualmente colado junto dos regimes afins, que são uma generalização de variedades algébricas. Ambos estão relacionados com manifolds, mas são construídos algebricamente usando feixes em vez de atlas.
Por causa de pontos singulares, uma variedade não é em geral um colector, embora linguisticamente os francesesvariété, AlemãoMannigfaltigkeite Inglêscolectorsão em grande parte sinónimos.em francês uma variedade algébrica é chamadoune algébrique variété(umavariedade algébrica), enquanto uma variedade suave é chamadoune variété différentielle(umavariedade diferencial).
  • CW-complexos : Um complexo CW é um espaço topológico formada por colagem discos de dimensionalidade diferente juntos. Em geral o espaço resultante é singular, e, consequentemente, não é um colector. No entanto, eles são de interesse central na topologia algébrica, especialmente em homotopia , uma vez que são fáceis de calcular com singularidades e não são uma preocupação.
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