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Análise Matemática

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Análise matemática, que os matemáticos chamam simplesmente como análise, tem o seu início na formulação rigorosa de cálculo infinitesimal. É um ramo de matemática pura, que inclui as teorias de diferenciação , integração e medida, os limites, série infinita, e funções analíticas. Estas teorias são muitas vezes estudados no contexto de números reais , números complexos , e reais e complexos funções . No entanto, eles também podem ser definidos e estudado em qualquer espaço de objetos matemáticos que tem uma definição de proximidade (a espaço topológico) ou, mais especificamente, a distância (a espaço métrico).

História

Os primeiros resultados em análise foram implicitamente presente nos primeiros dias da matemática do grego antigo. Por exemplo, uma soma geométrica infinita está implícita na Zeno paradoxo da dicotomia. Mais tarde, Matemáticos gregos como Eudoxus e Archimedes mais explícita, mas informal, o uso dos conceitos de limites e de convergência, quando utilizaram o método de exaustão para calcular a área e volume de regiões e sólidos. Na ?ndia , o 12º matemático do século Bhaskara II deu exemplos do derivado e utilizado o que é hoje conhecido como Teorema de Rolle.

No século 14, Madhava de Sangamagrama desenvolvido expansões em séries infinitas, como a série de potências e da série de Taylor , de funções como seno , cosseno , tangente e arctangent. Ao lado de seu desenvolvimento da série de Taylor das funções trigonométricas , ele também estimou a magnitude dos erros criados por truncar essas séries e deu uma aproximação racional de uma série infinita. Seus seguidores no Kerala escola de astronomia e matemática expandido suas obras, até o século 16.

Na Europa, durante a segunda metade do século 17, Newton e Leibniz desenvolvida de forma independente cálculo infinitesimal, que cresceu, com o estímulo de trabalho aplicada que continuou até o século 18, em tópicos de análise, como o cálculo das variações , ordinárias e equações diferenciais parciais , A análise de Fourier, e funções geradoras. Durante este período, foram aplicadas técnicas de cálculo para aproximar problemas discretos por aqueles contínuos.

No século 18, Euler introduziu a noção de função matemática . Análise real começou a emergir como um assunto independente quando Bernard Bolzano introduzida a definição moderna de continuidade em 1816. Mas a obra de Bolzano não se tornou amplamente conhecido até os anos 1870. Em 1821, Cauchy começou a colocar sobre uma base de cálculo lógico firme ao rejeitar o princípio da generalidade da álgebra amplamente utilizado em trabalhos anteriores, particularmente por Euler. Em vez disso, Cauchy formulado cálculo em termos de ideias geométricas e infinitesimais. Assim, sua definição de continuidade necessária uma mudança infinitesimal em x para corresponder a uma mudança infinitesimal em y. Ele também introduziu o conceito de Seqüência de Cauchy, e começou a teoria formal da análise complexa. Poisson, Liouville, Fourier e outros estudaram equações diferenciais parciais e análise harmônica. As contribuições desses matemáticos e outros, tais como Weierstrass, desenvolveu a abordagem epsilontic, fundando assim o moderno campo de análise matemática.

Em meados do século Riemann introduziu sua teoria da integração . O último terço do século 19 viu o aritmetização de análise por Weierstrass, que pensou que o raciocínio geométrico era inerentemente enganosa, e introduziu o Definição "epsilon-delta" de limite . Em seguida, matemáticos começaram a ficar preocupados que eles foram assumindo a existência de um continuum de números reais sem prova. Dedekind, em seguida, construiu os números reais por Cortes de Dedekind, em que números irracionais são formalmente definidos, que servem para preencher as "lacunas" entre os números racionais, criando assim um conjunto completo: o continuum de números reais. Naquela época, as tentativas para refinar os teoremas de Integração riemann levou ao estudo do "tamanho" do conjunto de descontinuidades das funções reais.

Além disso, " monstros "( nenhum lugar funções contínuas, contínua, mas funções diferenciáveis em nenhum lugar, curvas de enchimento de espaço) começou a ser criado. Neste contexto, Jordan desenvolveu sua teoria da medida, Cantor desenvolveu o que hoje é chamado teoria dos conjuntos ingênua, e Baire provou a Baire categoria teorema. No início do século 20, o cálculo foi formalizada através de um axiomático teoria dos conjuntos . Lebesgue resolvido o problema da medida, e Hilbert introduziu Espaços de Hilbert para resolver equações integrais. A idéia de espaço vectorial normalizado estava no ar, e em 1920 Banach criado análise funcional.

Subdivisões

Análise matemática inclui os seguintes subcampos.

  • Equações diferenciais
  • Análise real, o estudo rigoroso de derivados e integrais de funções de variáveis reais. Isto inclui o estudo de sequências e os seus limites, série.
    • Cálculo Multivariable
    • Análise real em escalas de tempo - uma unificação da análise real com cálculo das diferenças finitas
  • Teoria da medida - dado um conjunto, o estudo de como atribuir a cada subconjunto um número adequado, intuitivamente interpretado como o tamanho do subconjunto.
  • Cálculo vetorial
  • Análise funcional estuda espaços de funções e introduz conceitos como Espaços de Banach e Espaços de Hilbert.
  • Cálculo das variações lida com extremizing funcionais, ao contrário de ordinário cálculo que lida com funções .
  • Análise Harmônica lida com Séries de Fourier e suas abstrações.
  • Análise geométrica envolve a utilização de métodos geométricos no estudo de equações diferenciais parciais e a aplicação da teoria de equações diferenciais parciais à geometria.
  • A análise complexa, o estudo das funções do plano complexo de si, que são diferenciáveis complexa (isto é, holomorphic).
    • Diversas variáveis complexas
  • Análise ou hipercomplexo Análise Clifford
  • p -adic análise, o estudo de análise no contexto de p números -adic, o que difere em alguns aspectos interessantes e surpreendentes de suas contrapartes reais e complexos.
  • Análise não-padrão, que investiga o números hiperreais e suas funções e dá uma tratamento rigoroso da infinitesimais e infinitamente grandes números. É normalmente classificados como teoria dos modelos.
  • Análise numérica, o estudo de algoritmos para aproximar os problemas da matemática contínuas.
  • Análise calculável, o estudo de quais as partes de análise pode ser levada a cabo num forma computável.
  • Cálculo estocástico - noções analíticas desenvolvidas para processos estocásticos.
  • Análise reavaliado - aplica-se idéias de análise e topologia funções de set-valorizados.
  • Análise Tropical (ou análise idempotente) - análise no contexto da semianel do max-plus álgebra onde a ausência de um aditivo inversa é compensada pela regra pouco idempotente A + A = A. Quando transferidos para o cenário tropical, muitos problemas não lineares tornou linear.

Análise clássica, normalmente, ser entendido como qualquer trabalho não utilizando técnicas de análise funcional, e às vezes é também chamada de análise de disco; refere-se também, naturalmente, com os temas mais tradicionais. O estudo de equações diferenciais é agora partilhada com outros domínios, tais como sistemas dinâmicos, embora a sobreposição com a análise convencional é grande.

Análise em outras áreas:

  • Teoria analítica dos números
  • Combinatória analíticas
  • Probabilidade contínua
  • Entropia diferencial na teoria da informação
  • Jogos diferenciais
  • A geometria diferencial , a aplicação de cálculo para espaços matemáticas específicas conhecidas como colectores que possuem uma estrutura interna complexa mas se comportam de uma maneira simples localmente.
  • Topologia diferencial

Espaços topológicos, espaços métricos

A motivação para o estudo de análise matemática no contexto mais amplo de topológica ou espaços métricos é triplo:

  1. As mesmas técnicas básicas provaram ser aplicável a uma classe mais ampla de problemas (por exemplo, o estudo de espaços funcionais).
  2. A maior compreensão da análise em espaços mais abstratos freqüentemente prova ser directamente aplicáveis aos problemas clássicos. Por exemplo, em A análise de Fourier, funções são expressos em termos de um certo soma infinita de funções trigonométricas . Assim, a análise de Fourier pode ser usada para decompor um som em uma combinação única de tons puros de vários passos. Os "pesos", ou de coeficientes, os termos na expansão de Fourier de uma função pode ser pensado como componentes de um vector numa infinito espaço dimensional conhecido como um Espaço de Hilbert. Estudo de funções definidas neste contexto mais geral, portanto, proporciona um método conveniente de obter os resultados sobre a maneira como as funções variam no espaço, bem como o tempo ou, em termos mais matemáticos, equações diferenciais parciais , em que esta técnica é conhecida como separação de variáveis.
  3. As condições necessárias para comprovar a determinado resultado são demonstrados de forma mais explícita. O analista então torna-se mais consciente exatamente o aspecto da suposição é necessária para provar o teorema.

Cálculo das diferenças finitas, cálculo discreto ou análise discreta

Como a seção acima sobre espaços topológicos deixa claro, a análise não é apenas sobre a continuidade no sentido tradicional de números reais. A análise é fundamentalmente sobre as funções, os espaços que as funções e atuam sobre o espaços de funções que as próprias funções são membros da. Um discreta função f (n) é geralmente chamado de sequência de uma (n). Uma sequência pode ser uma sequência finita de alguma fonte de dados ou uma sequência infinita de um sistema dinâmico discreto. Uma função discreta pode ser explicitamente definida por uma lista, ou por uma fórmula para f (n), ou pode ser dada implicitamente por um relação de recorrência ou equação diferença. A equação é a diferença discreta equivalente de uma equação diferencial e pode ser usada para aproximar a este último ou estudados no seu próprio direito. Cada pergunta e método sobre equações diferenciais tem um equivalente discreto para equações de diferenças. Por exemplo, onde existem transformadas integrais em análise harmônica para estudar funções contínuas ou sinais analógicos, existem transformadas discretas para funções discretas ou sinais digitais. Bem como o métrica discreta existem mais geral ou discreta espaços métricos e finitos espaços topológicos finitos.

Páginas da Web

  • Primeiras utilizações conhecidas algumas das palavras de Matemática: Cálculo e Análise
  • Análise básica: Introdução à Análise Real por Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )
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