Prova matemática

Em matemática , uma prova é uma demonstração convincente de que alguns enunciado matemático é necessariamente verdade, dentro dos padrões aceitos de campo. A prova é uma lógica argumento, não um um empírica. Ou seja, a prova deve demonstrar que uma proposição é verdadeira em todos os casos a que se aplica, sem uma única exceção. Uma proposição não comprovada acreditava ou fortemente suspeitada para ser verdade é conhecido como um conjectura.

As provas empregam lógica , mas geralmente incluem alguma quantidade de linguagem natural que normalmente admite alguma ambiguidade. De facto, a grande maioria das provas de matemática escritos podem ser consideradas como aplicações de lógica informal. Puramente provas formais são consideradas em teoria da prova. A distinção entre provas formais e informais levou a muita análise da actual e histórica prática matemática, quasi-empirismo em matemática, e os chamados matemática populares (nos dois sentidos desse termo). O filosofia da matemática está preocupado com o papel da linguagem e lógica em provas, e matemática como uma linguagem.

Independentemente de sua atitude em relação ao formalismo, o resultado que é provou ser verdade é um teorema ; em uma prova completamente formal, que seria a linha final, ea prova completa mostra como resulta da axiomas sozinho pela aplicação das regras de inferência. Uma vez que um teorema é provado, ele pode ser usado como a base para demonstrar ainda mais declarações. Um teorema pode também ser referido como um Lema, se ele é usado como um trampolim na prova de um teorema. Os axiomas são essas declarações não se pode, ou não precisa, provar. Estes foram uma vez que o estudo primário dos filósofos da matemática. Hoje o foco é mais em prática, isto é, técnicas aceitáveis.

Os métodos de prova

Prova direta

Na prova direta, a conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas anteriores. Por exemplo, uma prova directa pode ser utilizada para estabelecer que a soma dos dois mesmo inteiros é sempre mesmo:

Para quaisquer dois inteiros pares e podemos escrever e para alguns inteiros e , Uma vez que ambos e são múltiplos de 2. Mas a soma também é um múltiplo de 2, de modo que, por conseguinte, é ainda por definição.

Esta prova utiliza definição de inteiros pares, bem como lei de distribuição.

Prova por indução

Na prova por indução, em primeiro lugar um "caso base" está provado, e, em seguida, uma "regra de indução" é usado para provar uma (muitas vezes infinito) série de outros casos. Uma vez que o caso base é verdade, a infinidade de outros casos também deve ser verdadeira, mesmo que todos eles não podem ser provadas diretamente por causa de seu número infinito. Um subconjunto de indução é Descida infinita. Infinito descida pode ser usado para provar a irracionalidade da raiz quadrada de dois.

O princípio da indução matemática afirma que: Seja N = {1, 2, 3, 4, ...} o conjunto dos números naturais e P (n) uma expressão matemática que envolve o número natural n pertencente a N tal que ( i) P (1) é verdadeira, ou seja, P (n) é verdadeira para n = 1 (ii) P (m + 1) é verdadeiro sempre que P (m) é verdadeira, ou seja, P (m) é verdade que implica P (m + 1) é verdadeiro. Em seguida, P (n) é válido para o conjunto dos números naturais N.

Prova por transposição

Prova por Transposição estabelece a conclusão "se p então q", provando o equivalente contrapositiva declaração "se não q então não p".

Prova por contradição

Na prova por contradição (também conhecido como reductio ad absurdum, latim para "a redução no absurdo"), mostra-se que, se alguma declaração era falsa, ocorre uma contradição lógica, portanto, a declaração deve ser verdade. Este método é talvez o mais prevalente de provas matemáticas. Um exemplo famoso de uma prova por contradição mostra que é irracional :

Supõe que é racional, assim onde a e b são inteiros diferentes de zero com nenhum fator comum (definição de número racional). Assim, . Quadratura ambos os lados produz 2 b = ² a ^2. Desde 2 divide o lado esquerdo, 2 também deve dividir o lado direito (como eles são iguais e ambos inteiros). Assim, um ² é ainda, o que implica que uma obrigação também ser mesmo. Assim, podemos escrever a = 2 c, onde c é também um inteiro. Substituição para os rendimentos originais equação 2 b ² = (2 C) ² = 4 c ^2. Dividindo ambos os lados por 2 rendimentos b ² = c 2 ^2. Mas, em seguida, pelo mesmo argumento como antes, divide a 2 b ^2, b assim deve ser mesmo. No entanto, se a e b são ambos ainda, eles compartilham um fator, ou seja, 2. Isto contradiz nossa hipótese, portanto, somos forçados a concluir que é irracional.

Prova por construção

Prova por construção, ou prova por exemplo, é a construção de um exemplo concreto com uma propriedade para mostrar que algo que tem propriedades que existe. Joseph Liouville, por exemplo, provou a existência de números transcendentes de construção de uma exemplo explícito.

Prova por exaustão

Na prova por exaustão, a conclusão é estabelecido dividindo-o em um número finito de casos e provando cada um separadamente. O número de casos, por vezes, pode tornar-se muito grande. Por exemplo, a primeira prova do teorema das quatro cores era uma prova por exaustão com 1.936 casos. Esta prova foi polêmica porque a maioria dos casos foram verificados por um programa de computador, não com a mão. A prova mais curta conhecido do teorema de quatro cores ainda hoje tem mais de 600 casos.

Prova probabilística

Uma prova probabilística é aquele em que é mostrado um exemplo de existir, com segurança, utilizando métodos de teoria das probabilidades . Isso não é ser confundido com um argumento que um teorema é "provavelmente" verdadeira. O último tipo de raciocínio pode ser chamado de "argumento de plausibilidade" e não é uma prova; no caso de o Collatz conjecturar é claro até que ponto é que a partir de uma prova genuína. Prova probabilística, como prova por construção, é uma das muitas maneiras de mostrar teoremas de existência.

Prova combinatória

Uma prova combinatória estabelece a equivalência de expressões diferentes, mostrando que eles contam o mesmo objecto de diferentes maneiras. Normalmente, uma bijection é usado para mostrar que as duas interpretações dar o mesmo resultado.

Prova não-construtiva

A prova não-construtiva estabelece que um determinado objeto matemático deve existir (por exemplo, "Algum X satisfaz f (X)"), sem explicar como tal objeto pode ser encontrado. Muitas vezes, isso toma a forma de uma prova por contradição em que a inexistência do objeto é provado ser impossível. Em contraste, uma prova construtiva estabelece que um objeto particular existe, fornecendo um método de encontrar. Um exemplo famoso de uma prova não-construtiva mostra que existem dois números irracionais e tal que é um número racional :

Ou é um número racional e estamos a fazer (tomar ), Ou mostra que podemos ter e .

Prova nem refutação

Há uma classe de demonstrações matemáticas para o qual não existe nem uma prova, nem refutação, usando apenas ZFC, a forma padrão de teoria dos conjuntos axiomática . Exemplos incluem o hipótese do contínuo; veja mais Lista de declarações indecidível em ZFC. Sob a hipótese de que é ZFC consistente, a existência de tais indicações Resulta (Primeiro) teorema da incompletude de Gödel. Se uma proposição não comprovada particular pode ser provada ou refutada usando um conjunto padrão de axiomas nem sempre é óbvia, e pode ser extremamente técnica para determinar. Para mostrar que um enunciado matemático é independente (ou indeterminável) em um determinado formalização da matemática, como ZFC requer métodos que transcendem a formalização dada.

Prova Elementary

Uma prova elementar é (geralmente) uma prova de que não utiliza análise complexa. Por algum tempo pensou-se que certos teoremas, como o teorema de número primo, só poderia ser provada usando a matemática "superiores". No entanto, ao longo do tempo, muitos destes resultados foram reprovadas usando técnicas só elementares.

Fim de uma prova

Por vezes, a abreviatura "QED" é escrito para indicar o fim de uma prova. Esta sigla significa "Quod Erat Demonstrandum", que é Latin para "o que era para ser demonstrada". Uma alternativa é a utilização de um quadrado ou um rectângulo, tais como □ ou ∎, conhecido como um " lápide "ou" Halmos ".